05 respuesta en el tiempo de un sistema de control

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05 respuesta en el tiempo de un sistema de control

  1. 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA Respuesta en el tiempo de un Sistema de ControlLa respuesta de un sistema de control, o de un elemento del sistema, está formada de dos partes:la respuesta en estado estable y la respuesta transitoria.La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay uncambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.La respuesta en estado estable es la respuesta que permanece después de que desaparecen todoslos transitorios. Salida t Transitorio Estado estableSeñales de prueba típicas. Las señales de prueba que se usan regularmente son funcionesescalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posiblerealizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que lasseñales son funciones del tiempo muy simples.INGENIERÍA DE CONTROL 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  2. 2. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICARespuesta en el tiempo de un sistema de controlSea el siguiente sistema de controlLa función de transferencia del sistema es C (s ) = G (s ) R (s ) C (s ) = G (s )R(s )La respuesta en el tiempo C (t ) es obtenida tomando la transformada de Laplace inversa de C (s ) -1 -1 C (t ) = L C (s ) = L [G(s )R(s )] -1LRespuesta en el tiempo de un sistema de primer orden C (s ) 1 = R(s ) Ts + 1 1 C (s ) = R (s ) Ts + 1Respuesta al escalón unitarioLa entrada escalón unitario es 1 R (s ) = sLa respuesta en el tiempo es 1 -1  1 1 − t C (t ) = L  Ts + 1 s  = 1− e T  INGENIERÍA DE CONTROL 2 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  3. 3. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAConstante de tiempo, es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar del 63.2% de su cambio total. t =TConforme más pequeña es la constante de tiempo la respuesta del sistema es más rápida.Tiempo de estabilización, o tiempo de respuesta es el tiempo que necesita la curva de respuestapara alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. ts = 4 TRespuesta al impulso unitario de un sistema de primer ordenLa entrada impulso unitario es R(s ) = 1La respuesta en el tiempo es 1 -1  1  1 −T t C (t ) = L  Ts + 1 = T e  INGENIERÍA DE CONTROL 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  4. 4. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAForma general de la función de transferencia de primer orden C (s ) G (T1 s + 1) = R (s ) Ts + 1Donde G es la ganancia del sistema.Polos Son los valores de s que hacen que el polinomio del denominador sea cero. Son las raíces del polinomio del denominador.Ceros Son los valores de s que hacen que el polinomio del numerador sea cero. Son las raíces del polinomio del numerador.El Polo de la función es 1 s=− TEl cero de la función es 1 s=− T1Ubicación del polo y cero del sistema en el plano s.INGENIERÍA DE CONTROL 4 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  5. 5. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemploUn circuito eléctrico RC representado a continuación tiene las siguientes funciones detransferencia.Las funciones de transferencias considerando e0 (t ), i(t ), eR (t ) como salidas y ei (t ) como entradasson: E0 (s ) 1 I (s ) Cs E R (s ) RCs = = = Ei (s ) RCs + 1 Ei (s ) RCs + 1 Ei (s ) RCs + 1Si el valor de la resistencia es R = 100 KΩ y el valor del capacitor es C = 1 µ f y se le aplica unvoltaje de entrada ei = 10V . Obtener la respuesta en el tiempo para cada salida.La constante de tiempo del circuito es:RC = 100 000 * 0.000001 = 0.1 seg 10El voltaje de entrada aplicado es Ei (s ) = sEl voltaje de salida E 0 (s ) sería  1  10   10  10  E0 (s ) =    =     0.1s + 1  s   s + 10  s Obteniendo la transformada inversa de Laplace ( ) e0 (t ) = 10 1 − e −10 t voltsEl tiempo de estabilización para una banda del 2% sería t S = 0.4 segINGENIERÍA DE CONTROL 5 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  6. 6. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICALa corriente I (s ) sería.  1 *10 −6 s  10   10 *10 −6 s  10  I (s ) =     0.1s + 1  s  =  s + 10  s        Obteniendo la transformada inversa de Laplace ( ) i (t ) = 0.1 *10 −3 e −10 t ampersEl voltaje E R (s ) sería.  0.1s  10   s  10  E R (s ) =    =     0.1s + 1  s   s + 10  s Obteniendo la transformada inversa de Laplace ( eR (t ) = 10 e −10 t )El tiempo de estabilización para una banda del 2% sería t S = 0.4 segINGENIERÍA DE CONTROL 6 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  7. 7. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICARespuesta en el tiempo de un sistema de segundo ordenEl diagrama de bloques de un sistema de segundo orden en términos de la relación deamortiguamiento ζ y frecuencia natural no amortiguada ω n esLa función de transferencia de lazo cerrado es C (s ) 2 ωn = 2 R (s ) s + 2ζω n s + ω n 2La ecuación característica nos da información sobre el comportamiento dinámico del sistema.Las raíces de la ecuación característica s 2 + 2ζω n s + ω n = 0 serían 2 s1, 2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1Si ζ > 1 los polos de lazo cerrado son reales y diferentes, el sistema se denominasobreamortiguado y su respuesta transitoria es exponencial s1 = −ζω n + ω n ζ 2 − 1 s 2 = −ζω n − ω n ζ 2 − 1Si ζ = 1 los polos de lazo cerrado son reales e iguales, el sistema se denomina críticamenteamortiguado y su respuesta es exponencial s1 = −ω n s 2 = −ω nSi 0 < ζ < 1 los polos de lazo cerrado son complejos conjugados, el sistema se denominasubamortiguado y su respuesta es oscilatoria s1 = −ζω n + jω n 1 − ζ 2 s 2 = −ζω n − jω n 1 − ζ 2Si ζ = 0 los polos de lazo cerrado son imaginarios, el sistema se denomina sin amortiguamientoy su respuesta tiene oscilaciones mantenidas s1 = jω n s 2 = − jω nINGENIERÍA DE CONTROL 7 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  8. 8. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA1. Caso sobreamortiguado ζ > 1Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 sLa transformada inversa de Laplace2. Caso críticamente amortiguado ζ = 1Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 sLa transformada inversa de Laplace3. Caso subamortiguado 0 < ζ < 1Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 s 2 ωn C (s ) = (s + ζω n + jω d )(s + ζω n − jω d )sen donde ω d = ω n 1 − ζ 2 es la frecuencia natural amortiguadaLa transformada inversa de Laplace4. Caso sin amortiguamiento ζ = 0Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 s 2 ωn C (s ) = (s + jω n )(s − jω n )sLa transformada inversa de Laplace c(t ) = 1 − cos ω n tINGENIERÍA DE CONTROL 8 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  9. 9. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAFamilia de curvas c(t) con diversos valores de ζ .Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria.Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican entérminos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil degenerar. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular larespuesta para cualquier entrada.)Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para unaentrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:1. Tiempo de retardo, t d2. Tiempo de levantamiento, t r3. Tiempo pico, t p4. Sobrepaso máximo, M p5. Tiempo de asentamiento, t s1. Tiempo de retardo, t d : es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez lamitad del valor final.INGENIERÍA DE CONTROL 9 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  10. 10. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA2. Tiempo de levantamiento, t r : es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al90%,del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundoorden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemassobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.3. Tiempo pico, t p : es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico delsobrepaso.4. Sobrepaso máximo (porcentaje), M p : es el valor pico máximo de la curva de respuesta,medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de launidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. La cantidad de sobrepaso máximo (enporcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema. c(t p ) − c(∞ ) M p% = * 100% c(∞ )5. Tiempo de asentamiento, t s : es el tiempo que se requiere para que la curva de respuestaalcance un rango alrededor del valor final (por lo general, de 2%) y permanezca dentro de él.Especificaciones de la respuesta transitoria de un sistema subamortiguado πTiempo pico, t p tp = ωd π −βTiempo de levantamiento, t r tr = ωd    −πζ 1−ζ 2 Sobrepaso máximo porcentual, M p M p % = 100e   = 100e −(σ ω d )π 4 4Tiempo de asentamiento, t s ts = = (banda del 2%) σ ζω nLa constante de tiempo del sistema es 1 ζω nINGENIERÍA DE CONTROL 10 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  11. 11. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICACurva de M p contra ζ .La curva de respuesta c(t) para unaentrada escalón unitario, siemprepermanece dentro de un par decurvas envolventes.La respuesta c(t ) se puede obtener por medio de las curvas envolventesEl número de picos en la respuesta tsería N pi cos = s tplas magnitudes de esos picos son (c(t p ) = 1 + e ( ) −ζω n t p ) c(∞) (c(2t p ) = 1 − e ( −ζω n 2t p ) ) c(∞ )c(3t ) = (1 + e ) c(∞) ( −ζω n 3t p ) pINGENIERÍA DE CONTROL 11 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  12. 12. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 1Considere el sistema de la figura, en el que ζ = 0.6 y ω n = 5 rad / seg . Obtenga el tiempo delevantamiento t r , el tiempo pico t p el sobrepaso máximo M p y el tiempo de asentamiento t scuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario.A partir de los valores dados de ζ y ω n obtenemos ω d = ω n 1 − ζ 2 = 4 , y σ = ζω n = 3 .Tiempo de levantamiento t r es ωd  4 π − β π − 0.93 β = tan −1   = tan −1   = 0.93 rad tr = = = 0.55 seg σ  3 ωd 4Tiempo pico t p es π π tp = = = 0.785 seg ωd 4Sobrepaso máximo M p es M p = e (−π σ ω d ) = e (−3π 4 ) = 0.095 M p % = 0.095 * 100 = 9.5%Tiempo de asentamiento t s para el criterio del 2% es 4 4 t s = = = 1.33 seg σ 3INGENIERÍA DE CONTROL 12 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  13. 13. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 2Considere el sistema de la figura. Determine el valor de k de modo que la relación deamortiguamiento ζ sea de 0.5. Luego obtenga el tiempo de crecimiento t r , el tiempo pico t p , elsobreimpulso máximo M p y el tiempo de establecimiento t s , en la respuesta a un escalónunitario.Solución.La función de transferencia de este sistema es: C (s ) 16 C (s ) Gω n2 = 2 = 2 R(s ) s + (0.8 + 16 k )s + 16 R(s ) s + 2ζω n s + ω n 2Comparándola con la función general de 2º orden s 2 + 2ζω n s + ω n = s 2 + (0.8 + 16 k )s + 16 2lo que nos da que 2ζω n = (0.8 + 16 k ) y ω n = 16 la ganancia del sistema G = 1 2La frecuencia natural no amortiguada ω n . ω n = 4 rad / seg 2ζωn − 0.8 2(0.5)(4 ) − 0.8Despejando k k= = = 0.2 k = 0.2 16 16El máximo sobrepaso M p %  −π ζ  1−ζ 2    − 0.5 π  1−(0.5 )2   M p % = 100 e   = 100e   = 16.3%Frecuencia natural amortiguada ω d ω d = ω n 1 − ζ 2 = 4 1 − 0.5 2 = 3.464 rad / segEl tiempo pico t p π π tp = = = 0.907 seg ω d 3.464El tiempo de crecimiento (levantamiento) t r π − β π − 1.047β = cos −1 (ζ ) = cos −1 (0.5) = 1.047 rad tr = = = 0.605 seg ωd 3.464INGENIERÍA DE CONTROL 13 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  14. 14. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICATiempo de estabilización (asentamiento) t s 4 4 ts = = = 2 seg ζω n (0.5)(4)Podemos calcular c(∞ ) para una entrada escalón unitario utilizando el teorema del valor final  16  1  c(∞ ) = lim sC (s ) = lim s 2   s + (0.8 + 16 k )s + 16  s  = 1 s →0 s →0   Gráfica de respuesta c(t ) para una entrada escalón unitario, utilizando la envolvente. ts 2El número de picos sería N pi cos = = = 2.2 c(∞ ) = GR1 = 1 t p 0.907Los valores de la respuesta c(t ) son c(t p ) = c(0.907) = 1 + e ( ( ) −ζωn t p ) c(∞) ( = 1+ e −1.814 )(1) = 1.163c( 2t p ) = c(1.814) = 1 − e ( ( ) −ζωn 2t p ) c(∞ ) ( ) = 1 − e −3.628 (1) = 0.973INGENIERÍA DE CONTROL 14 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  15. 15. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 3Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia K y la constante derealimentación de velocidad K h para que el sobrepaso máximo en la respuesta al escalón unitariosea 0.2 y el tiempo pico sea 1 seg. Con estos valores de K y K h , obtenga el tiempo delevantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga que J = 1 Kg − m y que B = 1 N − m / rad / seg . C (s ) K = 2 R(s ) Js + (B + KK h )s + K K = J 2  B + KK h  K s + s +  J  JComparándola con la forma general del sistema de segundo orden, nos queda C (s ) Gω n2 B + KK h 2 K = 2 2ζω n = y ωn = R(s ) s + 2ζω n s + ω n 2 J Jla ganancia del sistema es G = 1Como la ganancia del sistema es 1 y la entrada es un escalón de magnitud 1, la salida se estabilizaen 1, c(∞ ) = GR1 = 1 .Utilizando el teorema del valor final, se puede obtener la magnitud donde se estabiliza el sistema.  K  1 c(∞ ) = lim sC (s ) = lim s 2   Js + (B + KK )s + K  s  = 1 s →0 s →0  h  Como el máximo sobrepaso es 0.2, correspondería a un 20%, (M p% = 20% )  −π ζ  1−ζ 2   1 1M p % = 100e   = 20% ζ = = = 0.456 2 π π2 +1 +1   M p %  2 [ln(0.2)]2 ln      100    el tiempo pico t p = 1 seg πtp = = 1 seg ω d = π = 3.1416 rad / seg ωd ωd πωd = ωn 1 − ζ 2 ωn = = = 3.53 rad / seg 1− ζ 2 1 − (0.456 ) 2 K K = Jω n = (1)(3.53) = 12.46 N − m 2 2 2como ω n = entonces JINGENIERÍA DE CONTROL 15 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  16. 16. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA B + KK h 2ζω n J − B 2(0.456 )(3.53)(1) − (1)como 2ζω n = Kh = = = 0.178 seg J K 12.46El tiempo de levantamiento t r π − β π − 1.097β = cos −1 (ζ ) = cos −1 (0.456 ) = 1.097 rad tr = = = 0.65 seg ωd π 4 4Tiempo de asentamiento t s ts = = = 2.485 seg ζω n (0.456)(3.53)Gráfica de respuesta c(t ) para una entrada escalón unitario, utilizando la envolvente. t 2.485El número de picos sería N pi cos = s = = 2.485 ≈ 2 c(∞ ) = GR1 = 1 tp 1Los valores de la respuesta c(t ) son ( c(t p ) = c(1) = 1 + e ( ) −ζωn t p ) c(∞) ( ) = 1 + e −1.609 (1) = 1.2 ( −ζω (2 t )c(2t p ) = c(2) = 1 − e n p c(∞ ) ) ( = 1− e −3.219 )(1) = 0.96INGENIERÍA DE CONTROL 16 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  17. 17. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 4La figura (a) muestra un sistema vibratorio mecánico. Cuando se aplica al sistema una fuerza de 2lb (entrada escalón), la masa oscila como se aprecia en la figura (b). Determine m, b y k delsistema a partir de esta curva de respuesta. El desplazamiento x se mide a partir de la posición deequilibrio.Solución.La función de transferencia de este sistema es 1 X (s ) 1 X (s ) m = = P(s ) ms + bs + k 2 P(s ) b k s2 + s + m mComparándola con la función general de 2º ordenC (s ) Gω n2 1 b k = 2 tenemos que la ganancia G = y s 2 + 2ζω n s + ω n = s 2 + s + 2R(s ) s + 2ζω n s + ω n 2 k m m b 2 klo que nos da que 2ζω n = y ωn = m mDado que la entrada es un escalón de magnitud 2, tenemos 2 P(s ) = ssustituyendo en la función de transferencia del sistema 1 2 X (s ) = 2   ms + bs + k  s utilizando el teorema del valor final para obtener el valor en el cuál se estabiliza el sistema.de la gráfica de respuesta el valor donde se estabiliza el sistema es x(∞ ) = 0.1 2 2 x(∞ ) = lim sX (s ) = X (s ) = lim s = = 0.1 pie s →0 s →0 ( 2 s ms + bs + k) kPor tanto k = 20 lb f / pieComo el sistema se estabiliza en 0.1 y el sobrepaso es de 0.0095, entonces M p = 9.5% quecorresponde a ζ = 0.6 .INGENIERÍA DE CONTROL 17 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  18. 18. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA 1 1 ζ = = = 0.6 π2 π2 +1 +1   M p %  2 [ln(0.95)]2 ln      100   El tiempo pico t p se obtiene mediante π π π tp = = = ωd ωn 1 − ζ 2 0.8ω nLa respuesta experimental muestra que t p = 2 seg . Por tanto 3.1416 ωn = = 1.96 rad / seg (2)(0.8) 2 kDado que ω n = , obtenemos m 20 20 m= = = 5.2 slug = 166 lb ω 2 n (1.96 )2b se determina a partir de b 2ζω n = m b = 2ζω n m = (2)(0.6 )(1.96 )(5.2) = 12.2 lb f / pie / segINGENIERÍA DE CONTROL 18 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
  19. 19. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAGrafique la respuesta en el tiempo para el siguiente sistema de control, para una entrada escalónunitario, y determine el tiempo de levantamiento t r , el tiempo pico t p el sobrepaso máximo M py el tiempo de asentamiento t s . R(s) 25 C(s) +- s (s + 2 )INGENIERÍA DE CONTROL 19 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

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