Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

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Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

  1. 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  2. 2. Variáveis aleatórias contínuas * Comentário * <ul><li>Como sabe variável aleatória contínua é aquela pelo qual assume valores dentro de um intervalo real. </li></ul><ul><li>Ocorre que, por propriedades da Teoria dos Números, demonstra-se que em qualquer intervalo real existe uma quantia infinita de valores distintos, qualquer intervalo real existe uma quantia infinita de valores distintos. </li></ul>
  3. 3. Variáveis aleatórias contínuas * Comentário * Continuação <ul><li>Assim no caso contínuo (real) para encontrar probabilidade não se aplica a sua definição clássica, e sim uma nova metodologia que consiste em avaliar o grau de concentração de valores de probabilidades se efetuar através de simulação, dentro das mesmas condições, repetidas vezes. </li></ul>
  4. 4. Variáveis aleatórias contínuas * Comentário * Continuação <ul><li>Para encontrar este grau de concentração a estatística utiliza do que a estatística denominou de: </li></ul><ul><li>Função de Densidade de Probabilidade (fdp). </li></ul>
  5. 5. Variáveis aleatórias contínuas Detalhes da Função de Densidade de Probabilidade <ul><li>Não pode ser negativa; </li></ul><ul><li>Para calcular probabilidade é necessário traçar o seu gráfico, a área delimitada pelo eixo horizontal e os valores desejados é o valor procurado; </li></ul><ul><li>A área total sobre a curva vale 1. </li></ul>
  6. 6. Variáveis aleatórias contínuas Detalhes da Função de Densidade de Probabilidade <ul><li>É possível criar várias funções que satisfaz os detalhes acima ocorre que no aspecto de pesquisa, em princípio a que interessa é: </li></ul><ul><li>Distribuição Normal </li></ul>
  7. 7. Distribuição Normal * Resumo * <ul><li>A função pelo qual surgiu a Distribuição Normal foi criada pelo matemático Gauss no século XIIX, sendo que o seu uso é geral em todas as ciências bastando dizer fenômenos da natureza, mais de 80,0% possui comportamento com as características desta Distribuição. </li></ul>
  8. 8. Distribuição Normal * Função Geratriz * <ul><li>O modelo matemático desta distribuição é: </li></ul><ul><li>Em que: μ é a média e σ 2 é a variância. </li></ul><ul><li>Notação: X  N (  ,  2) </li></ul><ul><li>os detalhes matemáticos desta função não serão discutidos e sim o seu aspecto conclusivo através de seu gráfico que é: </li></ul>
  9. 9. Distribuição Normal * Gráfico de sua Função *
  10. 10. Distribuição Normal * Normal Padrão * <ul><li>Um caso particular de importância fundamental da distribuição normal é aquela pela qual: </li></ul><ul><ul><li>Média:  = 0; </li></ul></ul><ul><ul><li>Variância:  2 = 1. </li></ul></ul><ul><li>Nesta caso a variável é representado pela letra Z. </li></ul>
  11. 11. Normal Padrão Gráfico <ul><li>O seu gráfico é o mesmo da geral, simplesmente que, devido ao fato do ponto de máximo ser na média e aqui a média é Zero, indica que a curva é simétrica em ralação ao eixo vertical (Z). </li></ul>
  12. 12. Normal Padrão Gráfico
  13. 13. Valores da Distribuição Normal (0,1) <ul><li>Na era atual da informática, qualquer valor desejado de se ter da distribuição normal encontra-se em toda planilha eletrônica, alem disso todo livro de estatística traz uma tabela em que encontra os seus valores principais. </li></ul>
  14. 14. Valores da Normal (0,1) Forma de Apresentação
  15. 15. Forma de Apresentação Ampliando e Interpretando <ul><li>Os valores de Z você lê: </li></ul><ul><ul><li>Parte inteira e primeira decimal na coluna 1; </li></ul></ul><ul><ul><li>Segunda casa decimal na primeira linha. </li></ul></ul>
  16. 16. Forma de Apresentação Ampliando e Interpretando <ul><li>A probabilidade você lê no cruzamento da primeira coluna com a da primeira linha. </li></ul>
  17. 17. Forma de Apresentação Ilustração <ul><li>Para z = 0,63, a probabilidade digitada é: 0,2357. </li></ul>
  18. 18. Forma de Apresentação Interpretando <ul><li>Pelos valores da probabilidade digitada tem que para: z=0,00 a probabilidade é: 0,000, isto significa que é o ponto de inicio, ou seja para valores a partir do eixo vertical. </li></ul>
  19. 19. Forma de Apresentação Interpretando - Graficamente <ul><li>Assim a tabela nos traz apenas os valores para z positivo, e com isto é necessário, tomar os cuidados a seguir: </li></ul>
  20. 20. Uso da Tabela N(0,1) Detalhes <ul><li>Sendo uma Curva Probabilística, a área total é a probabilidade do Espaço Amostral e assim seu valor é igual a 1,0; </li></ul><ul><li>O eixo vertical divide a curva em dois lados: Da Direita (Valores Positivos de z) e Da Esquerda (Valores Negativos de z); </li></ul>
  21. 21. Uso da Tabela N(0,1) Detalhes - Continuação <ul><li>A Curva Normal é Simétrica em torno do eixo vertical, ou seja, o comportamento do Lado Direito e Esquerdo são Idênticos, foi devido a esta característica que tabelou a Normal no formato acima; </li></ul><ul><li>Por ser Simétrica, cada lado possui a mesma área, e como a área total é 1,0, a área total de cada lado é igual a 0,5. </li></ul>
  22. 22. Uso da Tabela N(0,1) Detalhes - Continuação <ul><li>Uma maneira fácil de encontrar o valor desejado é encontrar o desejado somente pelo lado direito, posteriormente pelo lado esquerdo e após somar estas áreas que representará a probabilidade procurada, procedendo desta maneira, em cada um dos lados, as situações possíveis serão: </li></ul>
  23. 23. Uso da Tabela N(0,1) Situação 1: P( 0 ≤ Z < + ∞ )
  24. 24. Uso da Tabela N(0,1) Situação 2: P( 0 ≤ Z < z )
  25. 25. Uso da Tabela N(0,1) Situação 3: P( Z > z )
  26. 26. Uso da Tabela N(0,1) Situação 3: P( Z > z )
  27. 27. Uso da Tabela N(0,1) Resumo de Situações
  28. 28. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>Se Z ~ N(0, 1), determine as seguintes probabilidades: </li></ul><ul><li>P(0 < Z < 1,23) </li></ul>
  29. 29. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>Se Z ~ N(0, 1), determine: </li></ul><ul><li>P(0 < Z < 1,23) </li></ul><ul><li>Pela tabela: P(0 < Z < 1,23) =0,3907 </li></ul>
  30. 30. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>P(Z > 1,47) </li></ul>
  31. 31. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>P(Z > 1,47) </li></ul><ul><li>P(Z > 1,47) = P(1,47 < Z < +  ) </li></ul><ul><li>P( Z > 1,47) = 0,5 – 0,4292 </li></ul><ul><li>P( Z > 1,47) = 0,0708 </li></ul>
  32. 32. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>P(– 0,83 < Z < 1,23) </li></ul>
  33. 33. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>P(– 0,83 < Z < 1,23) </li></ul>
  34. 34. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>P(– 0,83 < Z < 1,23) </li></ul><ul><li>Probabilidade Procurada: </li></ul><ul><li>P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,3907 + 0,2967 </li></ul><ul><li>P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,6874 </li></ul>
  35. 35. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 <ul><li>P(Z < –2,19 ou Z > 1,56) </li></ul>
  36. 36. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 – item d (P(-2,19 < Z < 1,59))
  37. 37. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 – item d (P( Z <-2,19 ou Z > 1,59)) <ul><li>Probabilidade Procurada: </li></ul><ul><li>P(Z > -2,19 ou Z < 1,59) = 0,0546 + 0,0143 </li></ul><ul><li>P(-2,19 < Z < 1,59) = 0,2029 </li></ul>
  38. 38. Uso da Tabela N(0,1) Achando Z Quando Conhece Probabilidade <ul><li>Neste caso, a única situação possível de encontrar é o caso de existência de área em um único lado (Unilateral), sendo que se os valores forem simétrico é possível transformar para a situação possível bilateral. </li></ul><ul><li>Porem para facilidade do aluno, basta olhar na tabela de Valores Críticos de Z. </li></ul>
  39. 39. Uso da Tabela N(0,1) Tabela de Valores Críticos
  40. 40. Uso da Tabela N(0,1) Tabela de Valores Críticos
  41. 41. Uso da Tabela N(0,1) Valores Críticos - Exemplo <ul><li>Se Z ~ N(0,1), ache o valor de z que satisfaz: </li></ul><ul><li>P(Z < z) = 0,80 </li></ul><ul><li>Por ser simplesmente menor que o valor pré-definido, indica que abrange o lado esquerdo na totalidade, ou seja é UNILATERAL. </li></ul>
  42. 42. Uso da Tabela N(0,1) Valores Críticos - Exemplo <ul><li>Continuando: </li></ul><ul><li>Basta então olhar na tabela Unilateral: </li></ul><ul><li>Olhando tem: </li></ul><ul><li>z = 0,842 </li></ul>
  43. 43. Uso da Tabela N(0,1) Valores Críticos - Exemplo <ul><li>P( - z < Z < + z) = 0,95 </li></ul><ul><li>Neste caso envolveu os dois lados (Maior que –z e menor que +z) assim é bilateral </li></ul><ul><li>Na tabela: </li></ul><ul><li>Z = 1,96 </li></ul>
  44. 44. Uso da N(0,1) para outras distribuições normais. <ul><li>Neste caso simplesmente basta utilizar o teorema abaixo e o procedimento já visto: </li></ul>
  45. 45. Interpretação do Teorema <ul><li>O teorema acima nos diz que qualquer que seja a distribuição Normal, é possível transformá-la em uma Normal Reduzida, e assim unicamente com o Uso da Tabela N(0,1) resolve todos os problemas envolvendo variável que possua: </li></ul><ul><li>Distribuição Normal. </li></ul>
  46. 46. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 <ul><li>O peso de criança ao nascer, na cidade de Goiânia, tem distribuição normal de média 3220,1 g e desvio padrão de 503,2 g. Ache a porcentagem de crianças em Goiânia que nascerão com peso: </li></ul><ul><ul><ul><li>Abaixo de 2500 (Desnutrida) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Entre 2500 e 4500 g </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Acima de 5500 </li></ul></ul></ul>
  47. 47. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 <ul><li>Comentário sobre estes dados: </li></ul><ul><li>As informações aqui relatadas se referem a uma pesquisa realizada pela Doutora Margareth Giglio, em que coletou as informações completas das 17 mil crianças que nasceram em Goiânia no ano de 2001. </li></ul><ul><li>Foi realizado um teste que comprovou que possui Distribuição Normal. </li></ul>
  48. 48. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 - Solução <ul><li>Seja X a v.a. “ Peso de uma criança ao nascer em Goiânia” </li></ul><ul><li>Pelas informações tem que: </li></ul><ul><ul><li>Média = 3220,1 gramas; </li></ul></ul><ul><ul><li>Desvio Padrão = 503,2 gramas; </li></ul></ul><ul><ul><li>X possui Distribuição Normal; </li></ul></ul><ul><ul><li>Assim tem: X~N(3220,1 ; 503,2 2 ). </li></ul></ul>
  49. 49. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 - Solução <ul><li>Pelo teorema da Normal tem-se: </li></ul><ul><li>Como X ~N(3220,1 ; 503,1 2 ) </li></ul><ul><li>Então: </li></ul>
  50. 50. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 - Solução <ul><ul><ul><li>Abaixo de 2500 (Desnutrida) </li></ul></ul></ul><ul><li>Aqui: X = 2500, que substituindo fica: </li></ul><ul><li>Na tabela N(0,1) vem: </li></ul>
  51. 51. Exemplo 1 – Solução Abaixo de 2500 (Desnutrida) <ul><li>Pelo Gráfico: </li></ul><ul><li>Situação 3. </li></ul><ul><li>Assim: P(X < 2500) = 0,5 – 0,4236 </li></ul><ul><li>P(X < 2500) = 0,0764. </li></ul><ul><li>Resposta: 7,64% nascerão desnutrida. </li></ul>
  52. 52. Exemplo 1 – Solução Abaixo de 2500 (Desnutrida) <ul><li>Comentário sobre o resultado encontrado: </li></ul><ul><li>Como sabe: </li></ul><ul><ul><li>Os dados partiram de dados reais; </li></ul></ul><ul><ul><li>O tamanho da Amostra foi muito alto (17000); </li></ul></ul><ul><ul><li>Foi comprovado que possui distribuição Normal. </li></ul></ul><ul><li>Assim, 7,64% é a Prevalência de Crianças ao Nascer em Goiânia e que nascem desnutrida. </li></ul>
  53. 53. Exemplo 1 – Solução Entre 2500 e 4500 <ul><li>Aplicando o Teorema, fica: </li></ul>
  54. 54. Exemplo 1 – Solução Acima de 5000 g <ul><li>No teorema: </li></ul><ul><li>Na tabela N(0,1) </li></ul>
  55. 55. Exemplo 1 – Solução Acima de 5000 g - Nota <ul><li>Devido a que até a quarta casa decimal ocorreram somente Zeros, Não diz que a probabilidade é NULA (variável contínua) mas sim: p < 0,0001; </li></ul><ul><li>No presente caso, quer dizer: Nascer criança com peso acima de 5 000 gramas é coisa muito rara (Inferior a UMA criança em um grupo de DEZ MIL nascimentos). </li></ul>
  56. 56. Exemplo 2 <ul><li>Sabendo que 1,0% das crianças que nascem são classificadas como Desnutrição Severa, ache o peso máximo para que uma criança seja considerada Desnutrida de forma severa.(Use os dados do problema 01) </li></ul>
  57. 57. Exemplo 2 Solução <ul><li>Seja x o ponto de corte pelo qual abaixo dele estão as crianças com desnutrição severa. </li></ul><ul><li>Como desnutrição é Baixo Peso, pelos dados do exemplo 1, vem: </li></ul>
  58. 58. Exemplo 2 Solução <ul><li>Com o uso da Tabela de Pontos críticos, unilateral, tem: </li></ul><ul><li>Desnutrição severa serão aquelas que nasçam com peso inferior a 2 049,7 gramas </li></ul>
  59. 59. Distribuição Normal <ul><li>FIM </li></ul><ul><li>Prof. Gercino Monteiro Filho </li></ul>

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