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Enteros

  1. 1. Didáctica de los Números Enteros*Números enteros. Matemáticas para maestros de Educación Primaria. Ed. Pirámide, 2011.
  2. 2. 1. Número entero y currículo Parece apropiado que los niños y niñas descubran las distintas ampliaciones de los campos numéricos, no como estructuras matemáticas rigurosas, sino en función de un uso progresivo y natural, atendiendo a su dificultad intrínseca. En este sentido, chicos y chicas tienen que trabajar…  en un primer nivel con los números naturales que se usan para contar los elementos de una colección, descubrir sus operaciones y propiedades, y realizar cálculos prácticos con ellos (Primer ciclo).  en un segundo nivel deben alcanzar cierto conocimiento y manejo de los números racionales, en su significado de números fraccionarios primero y otros significados más tarde (2º y Tercer ciclo).  en un tercer paso, requieren descubrir el conjunto de los enteros como aquellos números que permiten abordar y dar respuesta a otras situaciones familiares, como son todas aquellas relacionadas con los números negativos en la vida cotidiana (Tercer ciclo).
  3. 3. 1. Número entero y currículo Parece apropiado que los niños y niñas descubran las distintas ampliaciones de los campos numéricos, no como estructuras matemáticas rigurosas, sino en función de un uso progresivo y natural, atendiendo a su dificultad intrínseca. Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. ORDEN de 10 de agosto de 2007, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía
  4. 4. 2. Aspectos históricosA pesar de que en la actualidad puedes encontrar números negativosrepresentando muchas situaciones en la vida cotidiana, debes saberque su aparición fue bastante posterior a la de los númerosfraccionarios. Los n. enteros necesitan de la existencia del cero, algoque era ajeno a muchas culturas antiguas. Los primeros en usar elcero fueron los hindúes y los mayas.
  5. 5. 2. Aspectos históricosLas cantidades negativas fueron utilizadas en China y en la India desdetiempos remotos (s. V).Para los chinos, el mundo era un movimiento constante en busca delequilibrio entre fenómenos opuestos.Para los hindúes, los números negativos tenían un sentido práctico: elde las deudas. Poco a poco, el sistema de numeración creado por loshindúes, que incluía al cero y a los números negativos, fue adoptado porlos europeos, los que se negaron a aceptar la existencia estos númerosdurante muchos años, a los que le llamaban números “absurdos”.
  6. 6. 2. Aspectos históricosAsí, hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptadosuniversalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a losnúmeros negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudióexhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum(1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esosentes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores quecero”.Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su AnteitungZur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1
  7. 7. 3. Situaciones y contextosCuando se aborda el estudio de los números enteros en el aula, elobjetivo inicial y fundamental debe ser dotar a estos “nuevos” númerosde significado, estableciendo para ello lazos entre este tipo de númerosy la realidad cercana a los escolares.Será a través de estas situaciones como los chicos y chicas descubriránla importancia del cero, intuirán la conveniencia de utilizar signosdistintos para distinguir entre los números positivos y los negativos,deducirán que los números enteros pueden ordenarse a pesar de que noexiste un primer número entero y se acercarán de forma natural a lasoperaciones con números enteros, entre otras cuestiones importantes.Solo en la medida en que los alumnos y alumnas dominen estoscontextos tendrá sentido establecer la notación simbólica de los númerosenteros, profundizar en las operaciones con ellos y en sus propiedades.
  8. 8. 3. Situaciones y contextosEntre las situaciones que se suelen utilizar para introducir los númerosenteros encontramos cuatro grupos generales: fenómenos físicos,situaciones contables, situaciones temporales o cronológicas y contextosmatemáticos.A continuación se describen e identifican estos fenómenos y semuestran ejemplos de ellos….
  9. 9. 3. Situaciones y contextos3.1. Fenómenos físicosSituación 1: DepósitosUn depósito se está llenando de agua demanera que el nivel sube a razón de 3 cmpor minuto. A las doce del medio día el aguase encuentra en un punto señalado por A enel tubo auxiliar.Respecto al nivel marcado por A ¿qué alturaalcanzará el agua a las doce y cuarto? ¿quéaltura alcanzaba a las doce menos diez?A las doce y media se cierra el grifo dellenado y se abre un desagüe que vacía eldepósito a razón de 2 cm cada minuto, ¿quéaltura alcanza el agua a la una menos diez?
  10. 10. 3. Situaciones y contextos3.1. Fenómenos físicosSituación 2: Temperaturasa) ¿Cuál es la mayor temperatura que puede medir eltermómetro de la imagen? ¿Y la menor?b) Un día de invierno, las temperaturas mínimasregistradas en las capitales de provincias andaluzasfueron las indicadas en la siguiente tabla:¿En que ciudad hizo más frío?¿En qué ciudad se registró una temperatura mínima másalta?¿Cuántos grados de diferencia hubo entre lastemperaturas mínimas de estas dos ciudades?
  11. 11. 3. Situaciones y contextos3.2. Fenómenos contables y operaciones comercialesSituación 3: Movimientos de cuentasEl movimiento de una cuenta bancaria durante ciertos días del mes demayo viene reflejado en la siguiente tabla:Completa la columna “Saldo” detrás de cada operación
  12. 12. 3. Situaciones y contextos3.2. Fenómenos contables y operaciones comercialesSituación 4: Planificación comercialUn comerciante ha comprado 30 trajes a 200 euros cada uno, pero hatenido que vender 20 a 180 euros. ¿A qué precio tiene que vender lostrajes que le quedan para no perder dinero? ¿Y para ganar 500 euros?
  13. 13. 3. Situaciones y contextos3.3. Fenómenos con valor de referencia destacadoSituación 5: Cambios de posiciónAl final del mes de febrero la canción preferida de Beatriz se encuentra en la listade “Los cuarenta principales” un puesto más abajo que al principio del mismomes. En la primera semana del mes bajó tres posiciones, en la segunda bajó dosy en la tercera recuperó tres posiciones. En la última semana, ¿subió o bajóposiciones?, ¿cuántas? La canción terminó el mes de enero en tercera posicióndel ranking y la lista se actualiza los domingos por la tarde, ¿en qué lugar seencuentra la canción preferida de Beatriz el jueves 18 de febrero?
  14. 14. 3. Situaciones y contextos3.3. Fenómenos con valor de referencia destacadoSituación 6: Alturas respecto el nivel del marUna gaviota sobrevuela la playa a una altura de 12 metros sobre el agua;Juan se encuentra buceando a una profundidad de 8 metros, y unaavioneta vuela a una altura de 50 metros sobre el nivel del mar.Dibuja un esquema con el enunciado descrito en la situación 6. Marcacon números positivos o negativos la posición de cada uno de los datos.
  15. 15. 3. Situaciones y contextos3.3. Fenómenos con valor de referencia destacadoSituación 7: El ascensor (juego)Planteamos esta situación como un juego de tablero para variosjugadores. El tablero es el representado en la tabla de la izquierda ynecesitamos además un dado numerado con +1, +2, +3, -1, -2 y -3 yuna ficha de distinto color para cada jugador.Reglas del juego:Para empezar todos los jugadores colocan sus fichas en el tercerpiso. Por turnos, lanzan el dado y mueven sus fichas tantos pisosarriba o abajo, según indique el dado.Cuando el resultado de una jugada suponga una “salida del edificio”,se pasará el turno sin mover.Gana quien consiga llevar el ascensor a la planta baja.Este y otros juegos similares permiten que los estudiantes sefamiliaricen con situaciones en las que se pasa con frecuencia a“uno y otro lado” del cero.
  16. 16. 3. Situaciones y contextos3.3. Fenómenos con valor de referencia destacadoSituación 8: El ascensor (problemas)En el mismo contexto se pueden plantear situacionesproblemáticas, como por ejemplo:a) Un vecino se encuentra en el 5º piso y va a recoger sucoche que se encuentra en el tercer sótano. ¿Cuántasplantas debe bajar?b) A continuación una señora llama al ascensor desde elsótano nº 1. ¿El ascensor sube o baja)? ¿Cuántas plantas?Si para ir a su apartamento debe subir 8 plantas, ¿en quépiso está su vivienda?
  17. 17. 3. Situaciones y contextos3.3. Fenómenos con valor de referencia destacadoSituación 9: CronologíaCleopatra nació en el año 69 a. C., heredó el trono de Ptolomeo XII enel año 51 a. C. Y murió con 39 años.a) ¿Con cuántos años fue reina?b) ¿En qué año murió?
  18. 18. 3. Situaciones y contextos3.4. Situaciones matemáticasSituación 10: Coordenadas en el plano cartesiano (I)Indica las coordenadas de los vértices de cada uno de los triángulos siguientes:
  19. 19. 3. Situaciones y contextos3.4. Situaciones matemáticasSituación 11: Coordenadas en el plano cartesiano (II)El mosquito P se mueve en línea recta del punto (–4, +3) al (+5, –3) y luego al(+6, 0) y su posquita M, su mosquita preferida, parte del (0, –3), pasa por (+4, +1)y descansa en el (+5, –1). Dibuja las trayectorias rectilíneas en un planocartesiano y averigüa si se encuentran indicando, en su caso, las coordenadas delpunto de encuentro.
  20. 20. 3. Situaciones y contextos3.4. Situaciones matemáticasSituación 12: Coordenadas en el plano cartesiano (II)Los números enteros como conjuntos de fichas (Krause, 1991)Podemos representar a los números enteros como conjuntos de fichas de doscolores, por ejemplo, blancas y negras. Las blancas tendrán sentido positivo y lasnegras negativo.Las siguientes situaciones representarán al número –5:
  21. 21. 3. Situaciones y contextos3.4. Situaciones matemáticasSituación 12: Coordenadas en el plano cartesiano (II)Pues bien:Encuentra tres representaciones del número entero +3.Piensa una definición de suma de números enteros basada en este tipo derepresentaciones.Realiza la operación (–5) + (+3) utilizando tres elecciones distintas de losrepresentantes de cada sumando. La suma que has definido ¿es independiente de losrepresentantes?¿Cuál puede ser la representación más sencilla (representante canónico) de cadanúmero entero?
  22. 22. 4. De la familiarización a la formalizaciónA nivel metodológico parece adecuado que en la enseñanza obligatoria seintroduzca este conjunto numérico de manera natural e intuitiva y utilizaresta cercanía para la familiarización y descubrimiento de las operaciones ypropiedades iniciales. Pero en algún momento, aunque desde luego no enla E. Primaria, habrá que iniciar la formalización que debe planificarse yponderarse de manera racional, vinculada siempre que sea posible haciacuestiones prácticas y atractivas para el alumnado.A grandes rasgos, y en función de las situaciones de partida, podemosclasificar las distintas vías de aproximación al conjunto de los númerosenteros Z en modelos aritméticos, algebraicos y geométricos.En esta sección se presenta a modo de ejemplo y de manera sucinta unmodelo de formalización aritmético.
  23. 23. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:En este modelo inductivo y experimental se definen los números enteros y susoperaciones a partir de las tablas construidas para los números naturales. Así porejemplo, los números positivos se identifican con los números naturales y paraintroducir los números negativos se parte de las tablas de restar en N.
  24. 24. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Se observa que diferencias como 0–1, 1–2, 2–3, etc., no tienen como resultado unnúmero natural; también se interpreta que deberían tener el mismo resultado. Paradar solución a estas limitaciones se les asigna un nuevo ente matemático,denominado “opuesto de 1”, que se simboliza por –1.
  25. 25. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Se observa que diferencias como 0–1, 1–2, 2–3, etc., no tienen como resultado unnúmero natural; también se interpreta que deberían tener el mismo resultado. Paradar solución a estas limitaciones se les asigna un nuevo ente matemático,denominado “opuesto de 1”, que se simboliza por –1.A las diferencias 0–2, 1–3, 2–4, etc., se les asigna el “opuesto de 2”, que sesimboliza por –2, y así sucesivamente se pueden construir los números negativoscomo valores simétricos de los naturales.
  26. 26. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Números enterosDe forma general, para cada número natural n hemos definido su opuesto –n, conla condición: n + (–n) = 0. El conjunto de todos los números enteros, que se escribeZ, es el formado por los números positivos (naturales) y por los números negativosque acabamos de definir: Z = { …, –n, …., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …., n, ….}Esta nueva secuencia numérica formada por los números negativos cuenta con unarelación de orden. En las columnas de la tabla 1 observamos que todos losnúmeros van disminuyendo una unidad por lo que se puede inferir: … <–5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 <…En ocasiones, los números positivos se representan con el signo “+” delante; así lanotación +3 indica el número “positivo 3”. Pero lo usual es que los númerospositivos se escriban sin el signo, ya que se identifican con los naturales.
  27. 27. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Suma de enterosPara definir la suma de dos números enteros cualesquiera se recurre a la mismaestrategia: comenzar con situaciones reales, plantear problemas matemáticos apartir de ellos e inferir generalizaciones a partir de un modelo como el siguiente:
  28. 28. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Suma de enterosSe observa que en las columnas 3ª, 4ª y 5ª se conocen los resultados donde vanapareciendo los términos de la secuencia numérica en el orden establecido y ensentido descendente. Resulta fácil inferir los términos de las dos últimas filas deesta tabla, inferencia que puede extenderse al resto de columnas.
  29. 29. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Suma de enterosSi observamos los resultados de la tabla ya completa, las reglas generales, válidaspara la suma de dos números enteros cualesquiera, dicen que:La suma de dos positivos es siempre otro positivo, cuyo valor es la suma de susvalores: (a) + (b) = (a + b)La suma de dos negativos es siempre un negativo, cuyo valor es la suma de susvalores: (–a) + (–b) = – (a + b).La suma de un positivo (+a) y un negativo (–b) tiene tres soluciones posibles:el valor del positivo es mayor que el del negativo, a > b, entonces a + (–b) = a–bel valor del negativo es mayor que el positivo, b > a, entonces a + (–b) = – (b–a)positivo y negativo tiene el mismo valor a = b, entonces a + (–a) = 0
  30. 30. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Producto de enterosEn el caso de la multiplicación no hay situaciones concretas que puedan ilustrartodas las reglas del producto. Sí que es posible establecer las definicionesapropiadas a partir de la siguiente tabla construida a partir de propiedadesconocidas del producto de n. naturales:
  31. 31. 4. De la familiarización a la formalizaciónModelo aritmético basado en las tablas de restar:Producto de enterosA partir de estos datos se observan regularidades de orden que sirven para inferirlos datos que faltan y completar la tabla. De este modo, es posible definir demanera generalizada el producto de dos números enteros cualesquiera.Si a y b son positivos: (a) x (b) = (a x b) ; (–a) x (–b) = (a x b) ; (a) x (–b) = – (a x b)

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