Relaciones.Definición.      Una     relación    es    un    conjunto       de   parejas   ordenadas.Si A y B son dos conju...
R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de Ben A.R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y =...
g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}En consecuencia,                             y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).y Ï g (R) Û (" x...
Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:"x es menor que y"Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.  ...
Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x)/ (x, y) Î R} se denomina relación inversa y...
Relación              reflexiva               en              un              conjunto.Definición. R es una relación refle...
Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A ycualesquiera sean los elementos x,y de A se ...
En consecuencia:       R es antisimétrica en A equivale a decir:                 R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Ù y R x Þ ...
En consecuencia:       R es transitiva en A equivale a decir:               R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ ...
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Relaciones en algebra

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Relaciones en algebra

  1. 1. Relaciones.Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólosí R es subconjunto de A x B.Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente unarelación en A.0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.Si (x,y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".Ejemplo 1:Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7} = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.
  2. 2. R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de Ben A.R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0.Dominio de una Relación.Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R)al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejasordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}En consecuencia,xÎ D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).xÏ D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).Rango de una Relación.Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) alconjunto formado por todas las segundas componentes de las parejasordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
  3. 3. g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}En consecuencia, y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:D(R1) = {3, 1, 5} g (R1) = {2, 8, 4}D(R2) = {3} g (R2) = {8}D(R3) = {3, 5} g (R3) = {2, 4}D(R4) = {3, 1, 5} g (R4) = {2, 4, 6}D(R5) = {3, 1} g (R5) = {5, 3}D(R6) = {2, 6} g (R6) = {3, 1}.Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î RÙy < x}.El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x nohace parte de S.
  4. 4. Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:"x es menor que y"Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}. D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}.Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A enB sí y sólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B.
  5. 5. Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x)/ (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia, (y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R. (y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R. Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.Relación Idéntica.Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x}se denomina relación idéntica en A y se designa IA:En consecuencia:(x, y) Î IA Û x Î A Ù y = x.(x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹ x.Ejemplo 7.IR es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos lospares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales.Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.
  6. 6. Relación reflexiva en un conjunto.Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es unarelación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Esdecir R es reflexiva en A si y sólo sí,R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).R no es reflexiva en A si y sólo si,R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).Ejemplo 8.Sea A = {1, 3, 5}.R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.Ejemplo 9.IA es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.Ejemplo 10.A2 es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí IA Ì R.Relación simétrica en un conjunto.
  7. 7. Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A ycualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces yR x. En consecuencia: R es simétrica en A Û R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Þ y R x). R no es simétrica en A Û R Ë A x A Ú ($ x)($ y) (x R y Ù y x).Ejemplo 11.Las relaciones IA y A2 son simétricas en A cualquiera sea A.Ejemplo 12Sea A = {3, 4, 2} entonces:R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.Ejemplo 13.La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î NÙx | y} donde la expresión "x| y"significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x| y nonecesariamente y| x.Teorema. R es simétrica en A sí y sólo sí R = R-1.Relación antisimétrica en un conjunto.Definición. R es una relación antisimétrica en A sí y sólo sí R es una relaciónen A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:Sí x R y Ù y R x entonces x = y.
  8. 8. En consecuencia: R es antisimétrica en A equivale a decir: R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Ù y R x Þ x = y) R no es antisimétrica en A equivale a decir: R Ë A x A Ú ($ x)($ y) ( x R y Ù y R x Ù x ¹ y)Ejemplo 14.I A es antisimétrica en A.Ejemplo 15.Sea A = {2, 4, 6} entonces:R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en AEjemplo 16.La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x|y} es antisimétrica en N, puestoque x|y Ù y|x implica x = y.Teorema. R es antisimétrica en A Û R · R-1 Ì IA.Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es unarelación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.
  9. 9. En consecuencia: R es transitiva en A equivale a decir: R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z) R no es transitiva en A equivale a decir: R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x z).Ejemplo 17.I A es transitiva en A.Ejemplo 18.Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.Ejemplo 19.La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x |y} es transitiva en N.

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