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Relaciones binarias power point

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Relaciones binarias power point

  1. 1. Relaciones BinariasSean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es unsubconjunto del productocartesiano A × B, en símbolos, R ⊆ A × B. Si A = B, diremos que R esuna relación binariadefinida en A y se identifica como un subconjunto de A2 = A × A.Para indicar que un par ordenado (a, b) pertenece a la relación R sueleescribirse aRb, loque equivale a (a, b) ∈ R.
  2. 2. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIONSea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos:DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algun b ∈ B}El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados quepertenecen a R, en sımbolos:RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algun a ∈ A}Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R entre los conjuntosA y B dados:⋄ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, donde A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4}.⋄ R = {(x, y) ∈ A × B : |x · y| ≤ 6}, donde A = B = Z.
  3. 3. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIASSea R una relación binaria definida en A, es decir, R ⊆ A2. Dicha relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes propiedades:1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) /∈ R3. Simetrıa: R es simetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.4. Asimetrıa: R es asimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) /∈ R.5. Antisimetrıa: R es antisimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y.6. Transitividad: R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.
  4. 4. RELACIONES INVERSASSea R una relacion de A en B. La relacion inversa de R es el subconjunto de B×A definido por:R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R}COMPOSICI ON DE RELACIONESSean las relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, definiremos una relacion de A en C, llamada composicion entre R y S, medianteR ◦ S = {(a, c) ∈ A × C : (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S, para algun b ∈ B}Propiedades:1. Si R ⊆ A×B, S ⊆ B×C y T ⊆ C ×D son relaciones, entonces (R◦S)◦T = R◦(S ◦T).2. Si R ⊆ A × B y S ⊆ B × C son relaciones, entonces (R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1.
  5. 5. RELACIONES DE EQUIVALENCIASea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
  6. 6. CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTESea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase deequivalencia de x, que se denotara por [x], se define como [x] = {y ∈ A : yRx}.El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de A porla relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R.Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a, b, c, d, e} y la relación de equivalencia sobreA determinada porR = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (c, e), (e, c)}se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son [a] = [d] = {a, d} [b] = [c] = [e] = {b, c, e}y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a, d}, {b, c, e}}.
  7. 7. Propiedades: Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y x, y ∈ A, entonces:• . x ∈ [x].• . xRy ⇔ [x] = [y].• . [x] = [y] ´o [x] ∩ [y] = ∅.
  8. 8. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIASi A es un conjunto, entonces(a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición de A; y(b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R sobre A.Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo, es claro que el conjuntocociente A/R = {{a, d}, {b, c, e}} es una partición del conjunto A = {a, b, c, d, e}.Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por ejemplo, {{a, b}, {c, e}, {d}},se tiene que ´esta representa al conjunto cociente A/¯R, donde ¯R es la relación de equivalencia sobre A determinada porR= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c)}
  9. 9. RELACIONES DE ORDENSea R una relación binaria definida sobre un conjunto A. Diremos que R es una relación de orden.⋄ Parcial: si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva.⋄ Total: si R es una relación de orden parcial y si para todo x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ Ro (y, x) ∈ R.⋄ Estricto: si R es irreflexiva, asimetrica y transitiva.
  10. 10. Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1, 2, 3} y las relaciones(a) R1 = {(a, b) ∈ A2 : a| b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} es reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R1 es una relación de orden parcial. Sin embargo, como 2, 3 ∈ A,pero (2, 3) /∈ R1 y (3, 2) /∈ R1, entonces R1 no es una relación de orden total.(b) R2 = {(a, b) ∈ A2 : a 6 b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} ES reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R2 es una relación de orden parcial. Además, para todox, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R2 o (y, x) ∈ R2, por lo que R2 es una relación de ordentotal.(c) R3 = {(a, b) ∈ A2 : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es irreflexiva, asimetrica y transitiva, por lo que R3 es una relación de orden estricto.

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