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formulario identidades

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formulario identidades

  1. 1. Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales En m a t e m á t i c a s , las identidades trigo- Identidades pitagóricasnométricas son igualdades que involucranrazones trigonométricas, verificables para sen 2 e + cos 2 e = lcualquier valor permisible de la variable ovariables que se considere. sen2e=l-cos 6 2Estas identidades son útiles siempre que se • cos 6=l-sen 0 2 2precise simplificar expresiones que inclu-yen razones trigonométricas. 1 +tan 2 e=sec 2 e • sec 6-tan2e=l 2TIPOS DE IDENTIDADESIdentidades por cociente l+cot G=csc 2 e 2 • csc 0-cot2e=l 2 sen0 cose tan 6: cote; COS0 sene dentidades auxiliares sen 4 e+cos 9= 1 -2sen 6cos 0 4 2 2Identidades recíprocas s e n 6 e + c o s 9 = l - 3sen 0cos 2 e 6 2 tan6+cote=sec0csc6 csc0 = >sen6csc6 = l sec 6+csc 9=sec 6csc 2 e 2 2 2
  2. 2. Semestral UNI • TrigonometríaProblemas resueltos Resolución1. Demuestre que Dato: cot x -• Si asenx+&cosx=c, a d e m á s , a +b =c 2 2 2 Ha 2 entonces se cumple que a b senx = —, cosx = — c c Demostración Del dato, tenemos que asenx+bcosx=c — asenx=c-í>cosx > Elevamos ambos miembros al cuadrado: o sen x=c -2bccosx+6 cos x 2 2 2 2 2 h ={í¿í Á^f 2 a ( l -cos jr)=c -2&ccosAf+ft cos x 2 2 2 2 2 1/2 a =c +(o +¿3 )cos x-26ccosjf 2 2 2 2 2 Al reemplazar a =c -b 2 2 2 y a +b =c 2 2 2 tenemos Luego c - b = c + c c o s j f - 2bccosx 2 2 2 2 2 _ a b ah bh c cos x-2bccosx+b =0 2 2 2 E = frsenx + o c o s x = ¿ .,— "+- j^ 2 Q 3/¿2 (ccosx-í>) =0 2 -> ccosx=b Luego, cosx = — c E = h + — b a Reemplazando el eos* en la igualdad asenx+fc>cosx=c se tiene que a sen* = — 2/3 Si cotJf = encuentre el valor de s3/2 la siguiente expresión ab a b
  3. 3. Semestral UNI • Trigonometría Identidades trigonométricas de arcos compuestosIDENTIDADES PARA LA SUMA DE DOSARCOS sen(a-9) tana-tan9 = eos a eos 9 sen(a+9) =senacos9+cosasenG i PROPIEDAD eos ( a + 6 ) =cosacosG - senasenB Si x es variable angular y a y b son constantes, entonces tan a + tan 9 asen x+ b eos x=Va + b sen( x + G)> tan(a + 6) = 2 2 1-tan retan 9 donde n sen i = , b eos,9 = i a Va +b 2 2 Vo + ¿ 2IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DEDOS ARCOS A d e m á s , se cumple que sen(a - 9)=senacosG -cosasen9 -la + b <asenx + bcosx<<Ja +b 2 2 2 2 cos(a - 9)=cosacos9+senasen9 TEOREMASIDENTIDADES AUXILIARES Si A+B+C=nn, nsZ, entonces sen (a+9)sen(a+0)=sen a - sen 9 tanA+tanS+tanC=tanAtanfitanC
  4. 4. Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1Problemas resueltos 2. A partir del gráfico, halle x.1. Demuestre que si x es variable real y a y o constantes reales se cumple que - V a +b 2 2 < asenx + bcosx < ¡a 2 +b 2 2V3 Demostración Resolución Sea £ = a s e n x + b c o s x Del gráfico, se observa que -> £-ocosx=asen • p=a+30° x . _ x+7 Elevamos ambos miembros al cuadrado tana = — ¡ = tanp = ) 2V3 2V3 £ -2o£cosjc+b cos x=a sen x 2 2 2 2 2 £ - 2 b £ c o s x + b c o s A : = a ( l -eos *) 2 , 2 2 2 2 Simplificando, tenemos la ecuación de 2.° grado: (a +b )cos x-2£bcosx+£ -a ==0 2 2 2 2 2 Comox e R, entonces, cosx e R. Lue- go, la ecuación cuadrática tiene solu- |5=a+30° -> tanp=tan(a+30°) ciones reales, es decir, el discriminante , „ tana + tan30° de la ecuación es mayor o igual a cero. tanB = l-tanatan30° (-2£b) -4(a +6 )(£ -a ) > 0 2 2 2 2 2 x J_ x+7 = 2V3 V3+ E b -(a +b )(E -a )>0 2 2 2 2 2 2 2V3 j _ 2V3 ){"J3
  5. 5. Academia César Vallejo - Material Didáctico N. 1 Identidades trigonométricas de arcos múltiplesIDENTIDADES DEL ARCO DOBLE IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE eos 9 - sen 9 2 2 sen39=3sen6-4sen e á cos29 = <2 c o s 9 - l 2 l-2sen 9 2 cos39=4cos 9-3cos9 3 sen29=2sen9 cos9 3tan9-tan 9 3 tan 39 = l-3tan 92Fórmulas de d e g r a d a c i ó n Fórmulas de d e g r a d a c i ó n 2cos 9=l+cos29 2 2sen 9=l-cos29 2 4cos 9=3cos9+cos39 ,3Triángulo del á n g u l o doble 4sen 0=3sene-sen39 í l+tan 9 2 2tan6 Identidades auxiliares sen39=sen9(2cos29 +1) • sen 29 = cos39=cos9(2cos29 - 1 ) l + tan 8 ¿ 4sen9sen(60° - 9 ) s e n ( 6 0 ° + 9 ) = s e n 3 6 l-tan 92 • eos 29 = l + tan 9 2 4cosecos(60 -9)cos(60°+9)=cos39 o tan9tan(60°-9)tan(60°+9)=tan39Identidades auxiliares
  6. 6. Semestral UNI • Trigonometría Transformaciones trigonométricasDE SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOSO COSENOS A PRODUCTO . D „ ;A+B eos/I-I-eos £¡ = 2 eos eos 2 2 .Por identidades t r i g o n o m é t r i c a s dearcos compuestos . _ „ .A+B} (A-B" eos A- coso = -2 sen senPara el seno se tiene: 2 2 , sen(a+B)=senacosB+cosasenp sen(a - p)=senacosp - cosasenp DE PRODUCTO DE DOS SENOS O COSENOS A SUMA O DIFERENCIAAl sumar y restar el primer y segundo miem-bro obtenemos: 2senxcosy=sen(x+y)+sen(x-y) sen(a+p)+sen(a - p)=2senacosP 2cosxcosy=cos(x+y)+cos(A:-y) sen(a+p) - sen(a - P)=2cosasenp 2serurseny=cos(jr-y)-cos(;r+y)Sea 4=a+p y B = a - p , entonces J A+ B „ A-B Propiedades < = x y B= 2 2 Si A4-B+C=n, se cumpleReemplazando, en las expresiones, se tiene * n A A B C sen A + s e n f í + senC = 4cos—eos—eos— 2 2 2 senA + s e n ñ = 2sen — — eos 2 2 ^ A A B C , eos A+cosñ + cosC = 4sen—sen—sen—+1 2 2 2 (A+B seny4-senfi = 2cos - sen sen { 2 ) { 2 sen2A+sen2B+sen2C=4senAsen6senC
  7. 7. Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1Problema resuelto Inr senl — i ( p+uDemuestre que senx+sen(x + r ) + sen(x + 2 r ) + . . . + s e n ( x + ( n - l ) ) = ^2-r^sen — sen(-) ^ 2DondeP: primer ángulo U: último ángulo n razón de la progresión n: número de términosDemostraciónSea £=serix+sen(x+r)+sen(x+2r)-r...+sen(x+(n-l)")Multiplicamos por 2 s e n ^ j a ambos miembros 2£sen - =2senxsen - +2sen(x+r)sen - +...+2sen(x+(n-l)r)sen -Cada término del segundo miembro lo transformaremos en una diferencia de cosenos. 2senxsen - =cos x-- |-cos 2 2 7 2 2sen(x + r)sen| - | = cos -eos 5r 2sen(x + 2r)sen¡ - | = cos -eos x + 2 s e n ( x + ( n - l ) r ) s e n | - | = cos x+jt^~r -eos x+— rSumando todos los términos de manera vertical 2£sen - ] = cosf x - - i - cosí x + í n - - | r l2j { 2 ) { { 2)Transformando a producto: , n ( r

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