Matematicas 3

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Modulo Completo Matemáticas 3

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Matematicas 3

  1. 1. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 1
  2. 2. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 2
  3. 3. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 3 ÍNDICE PRIMER QUIMESTRE BLOQUE 1:NÚMEROS Y FUNCIONES....................................... 12 FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES.....................................12 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 12 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 12 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 12 FUNCIONES LINEALES ................................................................................................... 14 LECCION N°1.................................................................................................................. 15 INVESTIGO N°1...................................................................................................... 15 GLOSARIO N°1 ....................................................................................................... 16 RESUMO N°1........................................................................................................... 16 CUESTIONARIO N°1....................................................................................................... 17 FICHA N°2: RANGOS E INTERVALOS..................................................... 19 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 19 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 19 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 19 Función creciente en un intervalo................................................................................ 20 Función estrictamente decreciente en un intervalo ................................................... 20 Función decreciente en un intervalo ........................................................................... 21 LECCION N°2.................................................................................................................. 22 INVESTIGO Nº 2 ..................................................................................................... 22 GLOSARIO Nº 2....................................................................................................... 22 RESUMO Nº 2.......................................................................................................... 23 CUESTIONARIO Nº 2 ..................................................................................................... 24
  4. 4. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 4 FICHA N°3: PROGRESIONES......................................................................... 25 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 25 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 25 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 25 INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS............................................... 25 SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS............ 27 LECCION N°3.................................................................................................................. 28 INVESTIGO N°3...................................................................................................... 28 GLOSARIO N°3 ....................................................................................................... 28 RESUMO N°3........................................................................................................... 29 CUESTIONARIO N°3....................................................................................................... 30 FICHA N°4: FORMULACION DE PROGRESIONES......................... 31 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 31 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 31 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 31 Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética................. 32 Interpolación de términos............................................................................................ 32 Suma de n términos consecutivos ............................................................................... 32 LECCION N°4.................................................................................................................. 34 INVESTIGO N°4...................................................................................................... 34 GLOSARIO N°4 ....................................................................................................... 34 RESUMO N°4........................................................................................................... 35 CUESTIONARIO N°4....................................................................................................... 36 FICHA N°5: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS............................................. 37 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 37 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 37 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 37
  5. 5. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 5 LECCION N°5.................................................................................................................. 39 INVESTIGO N°5...................................................................................................... 40 GLOSARIO N°5 ....................................................................................................... 40 RESUMO N°5........................................................................................................... 41 CUESTIONARIO N°5....................................................................................................... 42 BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA ..................................... 43 FICHA N°6: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA............................................ 43 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 43 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 43 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 43 Progresión geométrica ............................................................................................ 43 Ejemplos de progresiones geométricas ..................................................................... 44 Ejercicios de progresiones geométricas................................................................. 44 LECCION N°6.................................................................................................................. 45 INVESTIGO N°6...................................................................................................... 45 GLOSARIO N°6 ....................................................................................................... 45 RESUMO N°6........................................................................................................... 46 CUESTIONARIO N°6....................................................................................................... 47 FICHA N°7: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA............................................ 48 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 48 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 48 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 48 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.................................................................... 48 SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA....................................... 49 LECCION N°7.................................................................................................................. 52 INVESTIGO N°7...................................................................................................... 52 GLOSARIO N°7 ....................................................................................................... 53 RESUMO N°7........................................................................................................... 53 CUESTIONARIO N°7....................................................................................................... 54
  6. 6. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 6 FICHA N°8: INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS .. 55 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 55 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 55 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 55 INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS............................................... 55 Medios geométricos................................................................................................................ 56 SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS........................................... 56 LECCION N°8.................................................................................................................. 58 INVESTIGO N°8...................................................................................................... 58 GLOSARIO N°8 ....................................................................................................... 58 RESUMO N°8........................................................................................................... 59 CUESTIONARIO N°8....................................................................................................... 60 FICHA N°9: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS..................................... 61 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 61 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 61 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 61 RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA .... 61 LECCION N°9.................................................................................................................. 63 INVESTIGO N°9...................................................................................................... 63 GLOSARIO N°9 ....................................................................................................... 64 RESUMO N°9........................................................................................................... 65 CUESTIONARIO N°9....................................................................................................... 66 FICHA N°10: LOGARITMOS................................................................... 67 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 67 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 67 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 67 LOGARITMOS......................................................................................................... 67 PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS:.............................................. 67 LOGARITMO DE UN PRODUCTO:.......................................................................... 68
  7. 7. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 7 LOGARITMO DE UN COCIENTE ............................................................................. 68 LOGARITMO DE UNA POTENCIA .......................................................................... 68 LOGARITMO DE UNA RAIZ.................................................................................... 69 CARACTERISTICA Y MANTISA.......................................................................... 69 VALOR DE LA CARACTERISTICA. :......................................................................... 69 COLOGARITMO: .................................................................................................... 70 LECCION N°10................................................................................................................ 71 INVESTIGO N°10.................................................................................................... 71 GLOSARIO N°10 ..................................................................................................... 71 RESUMO N°10......................................................................................................... 72 CUESTIONARIO N°10..................................................................................................... 73 SEGUNDO QUIMESTRE FICHA N°11: LOGARITMOS VULGARES. .............................. 75 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 75 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 75 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 75 LOGARITMOS VULGARES .................................................................................. 75 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES .................................................. 75 CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS: ................................................................................................................................... 77 LECCION N°11................................................................................................................ 78 INVESTIGO.............................................................................................................. 78 GLOSARIO N°11 ..................................................................................................... 78 RESUMO N°11......................................................................................................... 79 CUESTIONARIO N°11..................................................................................................... 79
  8. 8. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 8 FICHA N°12: LOGARITMOS VULGARES............................................... 81 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 81 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 81 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 81 CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION:.................................................... 81 LECCION N°12........................................................................................................... 83 INVESTIGO N°12.................................................................................................... 83 GLOSARIO N°12 ..................................................................................................... 83 RESUMO N°12......................................................................................................... 84 CUESTIONARIO N°12..................................................................................................... 84 FICHA N°13: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ............................................. 86 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 86 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 86 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 86 RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS..................... 86 LECCION N°13................................................................................................................ 88 INVESTIGO N°13.................................................................................................... 88 GLOSARIO N°13 ..................................................................................................... 88 RESUMO N°13......................................................................................................... 89 CUESTIONARIO N°13 .........................................................................................89 FICHA N°14: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 91 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 91 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 91 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 91 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS........................................................ 91 LECCION N°14................................................................................................................ 93 INVESTIGO N°14.................................................................................................... 93 GLOSARIO N°14 ..................................................................................................... 93
  9. 9. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 9 RESUMO N°14......................................................................................................... 94 CUESTIONARIO N°14..................................................................................................... 95 FICHA N°15: GENERALIDADES Y APLICACIONES....................... 96 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 96 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 96 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 96 GEOMETRIA ANALITICA..................................................................................... 96 Distancia de un punto a una recta. ............................................................... 97 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.................................................................... 98 LECCION N°15................................................................................................................ 99 INVESTIGO N°15.................................................................................................... 99 GLOSARIO N°15 ..................................................................................................... 99 RESUMO N°15....................................................................................................... 100 CUESTIONARIO N°15................................................................................................... 101 BLOQUE 4:PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 102 FICHA N°16: FUNCIONES ANALÍTICAS. ........................................... 102 OBJETIVOS:.................................................................................................................. 102 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 102 Objetivo Educativo. .................................................................................................... 102 Ecuación General de la Recta .............................................................................................. 103 Ecuación de la Recta (vertical)............................................................................................. 103 Ecuación de la Recta (horizontal)........................................................................................ 103 Ecuación de la Recta (punto-pendiente).............................................................................. 103 LECCION N° 16........................................................................................................ 105 INVESTIGO N°16.................................................................................................. 105 GLOSARIO N°16 ................................................................................................... 105 RESUMO N°16....................................................................................................... 106 CUESTIONARIO N°16............................................................................................ 107
  10. 10. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 10 FICHA N°17: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ..................................... 108 OBJETIVOS:.................................................................................................................. 108 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 108 Objetivo Educativo. .................................................................................................... 108 Destreza con criterio de desempeño:....................................................................... 108 Forma General de la Ecuación de la Circunferencia............................................... 109 LECCION N°17......................................................................................................... 111 INVESTIGO N°17.................................................................................................. 111 GLOSARIO N°17 ................................................................................................... 111 RESUMO N°17....................................................................................................... 112 CUESTIONARIO N°17............................................................................................ 113 FICHA N°18: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 115 Objetivo:..................................................................................................................... 115 Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 115 LECCION N°18......................................................................................................... 119 INVESTIGO N°18.................................................................................................. 119 GLOSARIO N°18 ................................................................................................... 120 RESUMO N°18....................................................................................................... 121 CUESTIONARIO N°18............................................................................................ 122 FICHA N°19: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 124 OBJETIVOS:.................................................................................................................. 124 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 124 Secciones cónicas.................................................................................................... 124 LA CIRCUNFERENCIA. ......................................................................................... 125 LA ELIPSE ................................................................................................................ 126 LA HIPÉRBOLA....................................................................................................... 126 LECCION N°19......................................................................................................... 127 INVESTIGO N°19.................................................................................................. 127 RESUMO N°19....................................................................................................... 128
  11. 11. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 11 GLOSARIO N°19 ................................................................................................... 128 CUESTIONARIO N°19............................................................................................ 129 FICHA N°20: ECUACIONES CUADRÁTICAS............................... 131 Objetivos:.................................................................................................................... 131 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 131 Objetivo educativo: .................................................................................................... 131 Ecuaciones Lineales ............................................................................................ 132 Ecuación punto-pendiente .................................................................................. 132 Distancia entre puntos ............................................................................................. 132 INTERSECCION ENTRE RECTAS...................................................................... 132 INTERSECCION ENTRE PARABOLAS ............................................................. 134 LECCION N°20............................................................................................................. 136 INVESTIGO N°20.................................................................................................. 136 RESUMO N°20....................................................................................................... 136 GLOSARIO N°20 ................................................................................................... 137 CUESTIONARIO N°20.................................................................................................. 138
  12. 12. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 12 PRIMER QUIMESTRE BLOQUE 1: Números y Funciones FICHA N°1: Análisis de Funciones OBJETIVOS: Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones. Destreza de Criterio de desempeño:  Desarrollo de evaluaciones funcionales.  Graficación de funciones lineales.  Aplicación de teoremas de evaluación funcional. Objetivo Educativo. En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma. El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite tomar decisiones importantes. Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560). La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables
  13. 13. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 13 Dependientes. Los valores permitidos de x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x constituye su recorrido x y Dominio Recorrido. Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido) Ejemplo x y Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen (Correspondencia) en el conjunto de llegada. X y Dominio Recorrido 1 2 3 4 55 55 5 a b c d 1 2 3 4 a b c d 1 2 3 4 a b c d
  14. 14. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 14 No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen (correspondencia) en el conjunto de llegada X y Dominio Recorrido FUNCIONES LINEALES Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es representado en el plano cartesiano. Su forma característica es 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo. Ejemplo Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑥 𝑓( ) -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 1 2 3 4 a b c d
  15. 15. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 15 LECCION N°1 INVESTIGO N°1 1. Escribir una definición de Función. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el eje de las ordenadas. 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ ESPECIALIDAD: _____________________________
  16. 16. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 16 FUNCIONES GLOSARIO N°1 a. Función:………………………………………………………………………………………………………………... b. Dominio………………………………………………………………………………………………………………… c. Recorrido………………………………………………………………………………………………………………. d. Contra dominio:…………………………………………………………………………………………………….. e. Pendiente…………………………………………………………………………………………………………….. 4. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… RESUMO N°1 F. lineales F. Cuadráticas
  17. 17. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 17 CUESTIONARIO N°1 Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en cada caso. x y Dominio Recorrido __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 1 2 3 4 a b c d 1 2 3 4 a b c d
  18. 18. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 18 Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de corte con el eje y a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 b. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5 c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 d. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥 Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  19. 19. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 19 BLOQUE1: Números y Funciones FICHA N°2: Rangos e Intervalos OBJETIVOS: Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis, aplicando métodos numéricos. Destreza de Criterio de desempeño:  Determinación de las funciones crecientes.  Determinación de funciones decrecientes.  Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales. Objetivo Educativo. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras: a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica. Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.
  20. 20. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 20 Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba: Función creciente en un intervalo Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: Función estrictamente decreciente en un intervalo Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
  21. 21. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 21 Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo: Función decreciente en un intervalo Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de intervalo, y , se cumple que: Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, Entonces es función. A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es función. No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.
  22. 22. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 22 LECCION N°2 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________ INVESTIGO Nº 2 Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. _________________________________________________________________________ Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. _________________________________________________________________________ Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. _________________________________________________________________________ GLOSARIO Nº 2 Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte…………………………………………………………………………………………………………..
  23. 23. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 23 Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………………………………… RESUMO Nº 2 Creciente Decreciente eses ejemplos FUNCION
  24. 24. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 24 CUESTIONARIO Nº 2 Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente: Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  25. 25. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 25 BLOQUE 1: Números y Funciones FICHA N°3: Progresiones OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Interpolar medios geométricos.  Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas Objetivo Educativo. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos. Es decir a……………. …………..b
  26. 26. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 26 Medios entre a y b Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la progresión geométrica, la fórmula es: 𝑟 = √ 𝑡 𝑛 𝑡1 𝑚+1 𝒕 𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒕 𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃 Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 1 4 𝑦 4 DATOS: 𝒕 𝒏 = 𝟒 𝒕 𝟏 = 𝟏 𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 = 𝑟 = √ 𝑡 𝑛 𝑡1 𝑚+1 = √ 4 1 4 3+1 = √16 4 = 2
  27. 27. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 27 Escribimos la progresión geométrica: 1 4 , 𝟏 𝟐 , 𝟏, 𝟐, 4. 3 medios geométrico SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICAS. Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54….. La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80 Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos podemos utilizar una fórmula: 𝑆 = 𝑡1(1 − 𝑟 𝑛) 1 − 𝑟 𝑆 = 𝑡1 − 𝑡 𝑛 1 − 𝑟 Ejemplo: Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 90, ……………. 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡 𝟕 =? 𝒕 𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 = ? Desarrollo: Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑 Calculamos S: 𝑆 = 𝑡1(1−𝑟 𝑛) 1−𝑟 ; 𝑆 = 10(1−37) 1−3 ; 𝑆 = 10(−2186) −2 ; 𝑆 = 10930
  28. 28. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 28 LECCION N°3 INVESTIGO N°3 Que es INTERPOLAR medios geométricos. _________________________________________________________________________ Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos. _________________________________________________________________________ Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos. _________________________________________________________________________ GLOSARIO N°3 Busque el significado de las siguientes palabras: Interpolar:………………………………………………………………………………………………………….. Medios geométricos:…………………………………………………………………………………………. Términos:………………………………………………………………………………………………………….. Serie:…………………………………………………………………………………………………………………. Expresión:…………………………………………………………………………………………………………… NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  29. 29. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 29 Proceso Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- RESUMO N°3 Interpolación de medios Suma de n términos Proceso es es Formula Formula
  30. 30. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 30 CUESTIONARIO N°3 Determine la solución de las siguientes series de progresiones. 1. Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10 2. Interpolar 4 medios geométricos entre1 1 2 𝑦 16 81 3. Calcular la suma de. 54, 18, 6…………………… 2 27 4. Calcular el dato que falta: a. 𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =? b. 𝑡1 = 2 𝑡 𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 = c. 𝑡 𝑛 = 54 𝑡1 = 2 9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80 8 9 d. 𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =? Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  31. 31. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 31 BLOQUE 1: NÚMEROS Y FUNCIONES FICHA N°4: FORMULACION DE PROGRESIONES OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Encontrar regularidades en secuencias numéricas.  Interpolar términos en una progresión aritmética.  Hallar la suma de términos en una progresión aritmética. Objetivo Educativo. Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3
  32. 32. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 32 Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética. Interpolación de términos La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios aritméticos. Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética. Datos: t1 = 2 t5 = 14 n = 5 progresión 2, a, b, c, 14 Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética. t 5 = t1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d » 14 = 2 + 4d » d = 3 Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14 Suma de n términos consecutivos 𝑺 𝒏 = 𝒏 𝟐 (𝟐𝒏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅)
  33. 33. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 33 Suma de n términos consecutivos
  34. 34. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 34 LECCION N°4 INVESTIGO N°4 5. Quien descubrió las progresiones __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 6. Que es una sucesión infinita. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ 7. Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos. __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ GLOSARIO N°4 f. Serie:………………………………………………………………………………………………………………... g. Diferencia………………………………………………………………………………………………………… h. Progresión………………………………………………………………………………………………………… i. Formula:…………………………………………………………………………………………………….. j. Aritmética………………………………………………………………………………………………………… NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  35. 35. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 35 Formula del término enésimo Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ RESUMO N°4 Complete el siguiente mapa conceptual. Progresiones Aritméticas Definición Que es el término enésimo
  36. 36. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 36 CUESTIONARIO N°4 1. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 9 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 7, 10, 13, … … … … …. 2. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12 𝑣𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … …. 3. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … …. 4. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 63 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3, 10, 17, … … … … …. 5. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 11, 6, 1, … … … … …. 6. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 28 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 19, 12, 5, … … … … …. 7. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 27 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3 1 2 , 5 1 4 , , … … … … …. Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  37. 37. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 37 BLOQUE 1: NÚMEROS Y FUNCIONES FICHA N°5: Solución de Problemas OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Plantear y solucionar los problemas.  Encontrar regularidades en secuencias numéricas.  Interpolar términos en una progresión aritmética.  Hallar la suma de términos en una progresión aritmética. Objetivo Educativo. PROCESO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRESION ARITMETICAS 1. Leemos el problema en forma rápida puntualizando los términos de la P.A. 2. Leemos detenidamente extrayendo los términos y luego puntualizando el término desconocido. 3. Planteamos el problema. 4. Desarrollamos el problema, respondiendo a las incógnitas. 5. Determinamos la respuesta. Para mayor compresión determinamos el siguiente ejemplo.
  38. 38. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 38 Ejemplos: El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión. t4 = 10; t6 = 16 tn = tk + (n - 1) · d 16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3 t1= a4 - 3d; t1 = 10 - 9 = 1 1, 4, 7, 10, 13, ... Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7, -12……… El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. t1 = − 1; t15 = 27; tn = t1 + (n - 1) · d 27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2 S= (-1 + 27) 15/2 = 195 ¿Cuándo ha ahorrado un hombre en cinco años si en enero del primer año ahorro 2 dólares y en cada mes posterior ahorra 3 dólares más que el precedente?
  39. 39. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 39 Datos 𝒏 = 𝟔𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒕 𝟏 = 𝟐 𝒅 = 𝟑 𝑺 𝒏 = La serie es: 2, 5, 8, 11…………………………………………………𝑡 𝑛 𝑺 𝒏 = 𝒏 𝟐 [𝟐𝒕 𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅] 𝑆60 = 60 2 [2 × 2 + (60 − 1)3] 𝑆60 = 30[4 + 59 × 3] 𝑆60 = 30[4 + 177] 𝑆60 = 30[181] 𝑆60 = 5430 LECCION N°5
  40. 40. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 40 INVESTIGO N°5 Quien descubrió las progresiones ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Que es una sucesión. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos. ______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________ GLOSARIO N°5 Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética………………………………………………………………………………………………………… Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  41. 41. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 41 ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________ RESUMO N°5 Complete el siguiente mapa conceptual. Progresiones Aritméticas Definición Que es el término enésimo Formula del término enésimo
  42. 42. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 42 CUESTIONARIO N°5 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟗 𝐧𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, … … … … …. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐 𝐯𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, … … … … …. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟒𝟖 𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, … … … … …. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟔𝟑 𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟕, … … … … …. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐 𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟏, 𝟔, 𝟏, … … … … …. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟖 𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟗, 𝟏𝟐, 𝟓, … … … … …. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟕 𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑 𝟏 𝟐 , 𝟓 𝟏 𝟒 , , … … … … …. Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  43. 43. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 43 BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA FICHA N°6: Progresión Geométrica OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Plantear y solucionar los problemas.  Encontrar regularidades en secuencias numéricas.  Interpolar términos en una progresión aritmética.  Hallar la suma de términos en una progresión aritmética. Objetivo Educativo. Progresión geométrica Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 y así sucesivamente.
  44. 44. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 44 Aunque es más fácil aplicando la fórmula: Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón: Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión Ejemplos de progresiones geométricas  La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.  La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.  La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.  Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7  Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición. Ejercicios de progresiones geométricas
  45. 45. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 45 LECCION N°6 INVESTIGO N°6 Quien descubrió las progresiones ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________ Que es una sucesión. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ __________________________ Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos. ______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________ GLOSARIO N°6 Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética………………………………………………………………………………………………………… NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  46. 46. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 46 Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ RESUMO N°6 Complete el siguiente mapa conceptual. Progresiones Aritméticas Definición Que es el término enésimo Formula del término enésimo
  47. 47. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 47 CUESTIONARIO N°6 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12 𝑣𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … …. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … …. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 63 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3, 10, 17, … … … … …. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 11, 6, 1, … … … … …. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 28 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 19, 12, 5, … … … … …. Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  48. 48. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 48 BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA FICHA N°7: Progresión Geométrica OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Conocer cada uno de los términos de una progresión geométrica.  Reforzar los conocimientos anteriores.  Plantear y solucionar los problemas.  Encontrar regularidades en secuencias numéricas. Objetivo Educativo. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior: Observa una la sucesión: 2: 4: 8: 16: 32: 64:.……….. Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2. El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 x 2 = 8 El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 x 2 = 16. El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término: o bien, el del 5º entre el valor del 4º: .
  49. 49. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 49 SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Cálculo del último término de una progresión geométrica.
  50. 50. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 50
  51. 51. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 51
  52. 52. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 52 LECCION N°7 INVESTIGO N°7 1. Que es una progresión geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Indique dos semejanzas y dos diferencias entre progresión aritmetica y geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. ¿Cuáles son los términos de una progresión geométrica?: Explique cada uno de ellos. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  53. 53. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 53 GLOSARIO N°7 Series………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Geométrico……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Que es una progresión creciente……………………...........................…………………………………………………………. Que es una progresión decreciente……………………………………………………………………………………………………… Logaritmo…………………………………………………………………………………………………………………………………………… Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… RESUMO N°7 Termino de una progresión geométrica
  54. 54. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 54 CUESTIONARIO N°7 SOLUCION DE EJERCICIOS: 1. Hallar el primer término de una progresión geométrica cuyo 15avo término es - 59049, y la razón es -3. Escribir la progresión. 2. En una progresión geométrica el primer término es 2, el último término 1458 y la razón 3 . Cuantos términos tiene la progresión geométrica. 3. El noveno término de una progresión geométrica es , y el primer término es 384. Calcular la razón. 4. Calcular el dato que falta: RESUELVA LOS SIGUIENTE PROBLEMA: COMPRUEBE SI LA RESPUESTA E3: 400, 800 y 1200 5. Los ahorros de tres años de un hombre están en progresión aritmética si en los tres años a ahorrado 2400 dólares y en el primer año ahorra la mitad lo que ahorro el segundo año ¿Cuánto ahorro cada año? COMPRUEBE SI LA RESPUESTA ES: 246 km. 6. Una persona viaja 50 km en el primer día y en cada día posterior 5, 5 km. De lo que recorrió en día anterior ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días? Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  55. 55. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 55 BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA FICHA N°8 Interpolación de Medios Geométricos. OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Reforzar los conocimientos anteriores.  Interpolar medios geométricos.  Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas Objetivo Educativo. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos. Es decir a……………. …………..b
  56. 56. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 56 M medios entre a y b Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la progresión geométrica, la fórmula es: 𝑟 = √ 𝑡 𝑛 𝑡1 𝑚+1 𝒕 𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒕 𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃 Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 1 4 𝑦 4 DATOS: 𝒕 𝒏 = 𝟒 𝒕 𝟏 = 𝟏 𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 = 𝑟 = √ 𝑡 𝑛 𝑡1 𝑚+1 = √ 4 1 4 3+1 = √16 4 = 2 Escribimos la progresión geométrica: 1 4 , 𝟏 𝟐 , 𝟏, 𝟐, 4. 3 medios geométricos SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54….. La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
  57. 57. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 57 Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos podemos utilizar una formula: 𝑆 = 𝑡1(1 − 𝑟 𝑛) 1 − 𝑟 𝑆 = 𝑡1 − 𝑡 𝑛 1 − 𝑟 Ejemplo: Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 90, ………………. 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡 𝟕 =? 𝒕 𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 = Desarrollo: Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑 Calculamos S: 𝑆 = 𝑡1(1 − 𝑟 𝑛) 1 − 𝑟 ; 𝑆 = 10(1 − 37) 1 − 3 ; 𝑆 = 10(−2186) −2 ; 𝑆 = 10930
  58. 58. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 58 LECCION N°8 LECCION 6 INVESTIGO N°8 Que es INTERPOLAR medios geométricos. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------ Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------ GLOSARIO N°8 Busque el significado de las siguientes palabras: Interpolar___________________________________________________________________________ Medios geométricos____________________________________________________________________ Términos_______________________________________________________________________________ Serie_________________________________________________________________________________ Expresión______________________________________________________________________________ NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  59. 59. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 59 Proceso Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ RESUMO N°8 Complete el cuadro sinóptico. Interpolación de medios Suma de n términos de geométricas progresión geométrica Proceso es es Formula Formula
  60. 60. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 60 CUESTIONARIO N°8 1 SOCSS SOLUCION DE EJERCICIOS: Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10 Interpolar 4 medios geométricos entre1 1 2 𝑦 16 81 Calcular la suma de. 54, 18, 6…………………… 2 27 Resp: 80 𝟐𝟔 𝟐𝟕 Calcular el dato que falta: 𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =? 𝑡1 = 2 𝑡 𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 = 𝑡 𝑛 = 54 𝑡1 = 2 9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80 8 9 𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =? Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  61. 61. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 61 BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA FICHA N°9: Resolución de Problemas. OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Resolver problemas aplicando a situaciones de la vida diaria  Interpolar medios geométricos.  Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas Objetivo Educativo. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA El tema de progresión geométrica tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria: Para resolver: 1. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total comprensión. 2. Elaborar una tabla de datos. 3. Calcula la incógnita o incógnitas.
  62. 62. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 62 Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica: Una maquina costo 12 000 y se aplica anualmente a una tasa del 20%. Si su valor de desecho es de $ 2 000. Calcule la vida efectiva de la máquina, es decir el número de años hasta que el valor depreciado sea aproximado al de desecho. Análisis:  La máquina se desprecia en 20% cada año  El costo de la maquina corresponde al 80% del año anterior.  El valor de desecho es de $ 2 000. 𝒕 𝟎 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒕 𝒏 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒄𝒉𝒐 𝒏 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒅𝒂 𝒖𝒕𝒊𝒍 𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒕 𝟎 = 𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒕 𝒏 = 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒅 = 𝟐𝟎% 𝒓 = 𝟖𝟎% = 𝟎, 𝟖 𝒏 = ? 𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒕 𝒏 = 𝒕 𝟎 𝒓 𝒏−𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒕 𝒏 = 𝒕 𝟎 𝒓 𝒏 Despejamos n 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑡 𝑛 − 𝑙𝑜𝑔𝑡 𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑟 𝑜 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑡 𝑛 𝑡0 𝑙𝑜𝑔𝑟 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 2 000 12 000 𝑙𝑜𝑔𝑟 = 8, 029
  63. 63. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 63 LECCION N°9 INVESTIGO N°9 ¿Qué es problema?. 8. Escriba las fórmulas de los términos de la progresión geométrica 2. Indique que es una progresión geométrica 9. NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  64. 64. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 64 GLOSARIO N°9 Busque el significado de las siguientes palabras: Datos 10. Formulas 1. Geométrico 1. Despreciar 1. Solución. 1. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 2.
  65. 65. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 65 Proceso RESUMO N°9 Complete en cuadro sinóptico. PROCESO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE P. G.
  66. 66. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 66 CUESTIONARIO N°9 El lunes gane dos dólares y cada día después gane el doble de lo que gane el anterior. ¿Cuánto gane el sábado y cuanto de lunes a sábado? 1. El dentista arreglo 20 piezas a una persona cobrándole u dólar por la primera, dos dólares por la segunda, 4 dólares por la tercera, 8 dólares por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán el honorario del dentista? 3. Un hombre juega durante 8 días y cada día gana 1 3 de lo que gano el día anterior. Si el octavo día gano 1 dólar, cuánto ganó el primer día? 2. Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  67. 67. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 67 BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA FICHA N°10: Logaritmos. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas. Destreza de Criterio de desempeño:  Conocer conceptos generales de logaritmo.  Conocer propiedades y principios de logaritmos. Objetivo Educativo. LOGARITMOS Concepto: Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos: 1. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativo, porque si fuese negativa, sus potencias pares serian positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por lo tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmos. 2. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus potencias, ya sea pares o impares son positivas y nunca negativas.
  68. 68. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 68 3. En todo sistema de logaritmo, el sistema de logaritmo de base 1, 𝒃 𝟏 = 𝑏 𝑙𝑜𝑔. 𝑏 = 1 4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero, porque siendo b la base, tendremos. 𝒃 𝟎 = 1 𝑙𝑜𝑔. 1 = 0 5. Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo porque siendo log1=0, los logaritmos de los números mayores que uno serán mayores que cero, luego, serán positivos. 6. Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo, porque siendo log 1 = 0, los logaritmos de los números que 1 serán menores que cero; luego serán negativos. LOGARITMO DE UN PRODUCTO: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Sea A y B los factores, sea LOGARITMO DE UN COCIENTE El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.. Sea A el dividendo y B el divisor: LOGARITMO DE UNA POTENCIA El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicando por el logaritmo de la base. Sea A la base y n el exponente: 𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵 𝑙𝑜𝑔 𝐴 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵 𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴
  69. 69. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 69 LOGARITMO DE UNA RAIZ El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz Sea A el radicando y n el índice: CARACTERISTICA Y MANTISA Todo logaritmo tiene una parte entera y una parte decimal. La parte entera se llama característica y la parte decimal se llama mantisa. VALOR DE LA CARACTERISTICA. : a) La característica del logaritmo de un número de un número comprendido entre 1 y 10 es cero. b) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número. Así el 84 tiene dos cifras enteras y la característica de su logaritmo es 1; 512 tiene tres cifras enteras y la característica de su log es 2. c) La característica de un número menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal. Log0, 5 es -1. Log 0,07 es -2. 𝑙𝑜𝑔 √𝐴 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛
  70. 70. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 70 COLOGARITMO: Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso. Así, el cologaritmo de 2 es el logaritmo 1 2 ; el cologaritmo de 54 es el logaritmo de 1 54 En general 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 1 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1 − 𝑙𝑜𝑔𝑥 ∴ 𝑙𝑜𝑔1 = 0 ∴ 0 − 𝑙𝑜𝑔𝑥 −𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥 CONCLUSIONES. Restar el log de un número equivale a sumar el cologaritmo del mismo número. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒐 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒈𝒃 Ejemplo: a. Hallar el valor de 1215 × 0.84 por logaritmo Como logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, tendríamos:  log(1215 × 0,84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + 𝑙𝑜𝑔0.85 3,084576 + 1,̅ 924279 = 3,00886 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜. 1020, 6  Hallar el valor de 0,765 39,14 por logaritmo: log 0,765 39,14 = log 0,765 − log 39,14 log 0,765 39,14 = log 0,765 + 𝑐𝑜 log 39,14 = 1̅, 88366 + 2,̅ 407380 = 2̅, 29104 𝑨𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐: 0. 019545
  71. 71. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 71 LECCION N°10 INVESTIGO N°10 Investigue sobre los logaritmos VULGARES (10 puntos) 11. GLOSARIO N°10 Busque el significado de las siguientes palabras: Logaritmo es 12. Exponente 4. Propiedad 2. Cologaritmo es: 2. Antilogaritmo es: 2. NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  72. 72. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 72 Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 5. RESUMO N°10 Elabore un mapa conceptual de las propiedades de los logaritmos:
  73. 73. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 73 CUESTIONARIO N°10 Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número Los números negativos tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus potencias, ya sea pares o impares son positivas y nunca negativas. El logaritmo de un producto es igual a la resta de los logaritmos de los factores. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub radical dividido entre el índice de la raíz. Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso. Coloque el literal según corresponda ( )Logaritmo de un producto ( )Logaritmo de un cociente ( )Logaritmo de una potencia ( )Logaritmo de una raíz a. 𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵 b. 𝑙𝑜𝑔 𝐴 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵 c. 𝑙𝑜𝑔 √𝐴 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛 d. 𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴
  74. 74. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 74 Hallar el valor de 3214,8 × 0.003(−43,76) por logaritmo ( ) 0, 300886 ( )0, 200786 ( )2,625352 Hallar el valor de 7,66 por logaritmo ( ) 3,00886 ( )0, 095424 ( ) 2,625352 Hallar el valor de √0,02624 1,4164 por logaritmo ( ) 0,040294 ( )0, 95424 ( ) 0,62535 Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  75. 75. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 75 SEGUNDO QUIMESTRE BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA FICHA N°11 LOGARITMOS VULGARES. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas. Destreza de Criterio de desempeño:  Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.  Conocer conceptos generales de logaritmo.  Conocer propiedades y principios de logaritmos. Objetivo Educativo. LOGARITMOS VULGARES Los logaritmos vulgares son de base 10. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES Observando la progresión: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10 000 10−1 = 1 10 = 0,1 10−2 = 1 100 = 0, 01 10−3 = 1 1000 = 0,001 10−4 = 1 10000 = 0, 0001
  76. 76. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 76 Se deduce fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10: En este sistema, los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son potencia de 10, así: 1. 𝑙 2. 𝑜𝑔1 = 0 𝑙𝑜𝑔 10 = 1 3. 𝑙𝑜𝑔100 = 2 4. 𝑙𝑜𝑔1000 = 3 5. 𝑙𝑜𝑔10 000 = 4 6. 𝑙𝑜𝑔0, 1 = −1 𝑙𝑜𝑔 0,01 = −2 7. 𝑙𝑜𝑔0, 001 = −3 8. 𝑙𝑜𝑔0,0001 = −4 9. 𝑙𝑜𝑔0, 00001 = −5 El log. De todo número que no sea una potencia de 10 no es un número entero, sino una fracción propia o un número entero más una fracción propia. En efecto: Como, log. 1= 0 y log 10 = 1, los números comprendidos entre 1 y 10 Tendría un logaritmo mayor que 0 y menor que 1, luego su log será una fracción propia. Así log. 2 = 0, 301030. Como, log. 10= 1 y log 100 = 2, los números comprendidos entre 10 y 100 Tendría un logaritmo mayor que 1 y menor que 2, luego su log será 1 más una fracción propia. Así log 15 = 1+0, 176091 = 1,176091 Así, log. De un numero comprendido entre log 0.01 y 0. 001 será menor que -3 más una fracción propia; el logaritmo de un número comprendido entre 0. 001 y 0. 0001 será mayor que -4 y menor que -3; y luego será -4 más una fracción propia, etc.
  77. 77. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 77 CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS: Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de diversas expresiones: Ejemplo: 1. Hallar el valor de la expresión de 1215 × 0.84 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 log(1215 × 0.84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + log 0.84 3.084576 + 1̅. 924279 = 3008855 Antilogaritmo: 1020.5 2. Hallar el valor de la expresión de 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠√3 5 𝑙𝑜𝑔3 5 = 0.477121 5 = 0. 095424 Antilogaritmo: 1, 24573
  78. 78. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 78 LECCION N°11 INVESTIGO Investigue sobre el uso de la tabla de logaritmo. 13. GLOSARIO N°11 Busque el significado de las siguientes palabras: Antilogaritmo 14. Propiedades 6. Producto 3. Cociente: 3. Mantisa es: 3. NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
  79. 79. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 79 Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 7. RESUMO N°11 Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de una expresión logarítmica: CUESTIONARIO N°11 Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F Logaritmo es el de base 10 Los antilogaritmos es igual que decir logaritmo
  80. 80. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 80 El logaritmo de una expresión es llevar a un número a encontrar su valor logarítmico en su mina expresión. Hallar el valor de 532 × 0.184 por logaritmo ( ) 0, 300886 ( )0,1. 990729 ( )2,625352 Hallar el valor de 210 por logaritmo ( ) 3,00886 ( )0, 095424 ( ) 3. 010299 Hallar el valor de 3284×0.09132 715.84 por logaritmo (𝒙) 1̅. 622153 ( )1, 95424 ( ) 0,62535 Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  81. 81. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 81 BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA FICHA N°12: LOGARITMOS VULGARES. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas. Destreza de Criterio de desempeño:  Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.  Conocer conceptos generales de logaritmo.  Conocer propiedades y principios de logaritmos. Objetivo Educativo. CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION: POR COMBINACION DE LAS PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LOS LOGARITMOS: Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de diversas expresiones: Ejemplo: Hallar el valor de la expresión de 3284×0.09132 715,84 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔 ( 3284 × 0.0,09132 715,84 ) = 𝑙𝑜𝑔(3284 × 0,09132) + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84 = 𝑙𝑜𝑔3284 + 𝑙𝑜𝑔0.09132 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84 = 3,51640 + 2.̅ 96057 + 3.̅ 14518 = 1.̅ 62215 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 = 0.41894
  82. 82. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 82 Hallar el valor de la expresión de 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 3 2 5 × 5 2 3 𝑙𝑜𝑔 (3 2 5 × 5 2 3) = 𝑙𝑜𝑔3 2 5 + 𝑙𝑜𝑔5 2 3 2 5 𝑙𝑜𝑔3 + 2 3 𝑙𝑜𝑔3 2 5 (0.47712) + 2 3 (0.69897) 0.190848 + 0.46598 0.656828, Antilogaritmo: 4.5376 Hallar el valor de la expresión de√ 32,7×0.006 0.14×89.17 3 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔 (√ 32,7 × 0.006 0.14 × 89.17 3 ) = 1 3 𝑙𝑜𝑔 32,7 × 0.006 0.14 × 89.17 1 3 [𝑙𝑜𝑔32,7 + 𝑙𝑜𝑔0.006 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔0.14 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔 + 89.17] 1 3 [1.514548 + 3̅. 77815 + 0.8539 + 2̅. 04978] 1 3 [+2̅. 19635] = 1̅. 39878 Antilogaritmo= 0.25048
  83. 83. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 83 LECCION N°12 INVESTIGO N°12 Investigue sobre la aplicación de los logaritmos en la vida diaria. _____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ GLOSARIO N°12 Busque el significado de las siguientes palabras: Factor 15. Residuo 8. Diferencia 4. Antilogaritmo 4. Expresión numérica 1. NOMBRE: _______________________________ CURSO: ________________________________ PROFESOR: _____________________________ FECHA: _______________________________
  84. 84. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 84 Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 9. RESUMO N°12 Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de una expresión logarítmica: (10 puntos) CUESTIONARIO N°12 Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F La característica de un logaritmo de un número comprendida entre 1 y 10 es cero El cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso
  85. 85. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 85 La mantisa es la parte entera de un número Hallar el valor de 𝟏𝟎𝟎.𝟑𝟗×𝟎.𝟎𝟑𝟏𝟗𝟔 𝟕.𝟏𝟒×𝟎.𝟎𝟗𝟑 por logaritmo ( ) 0, 68412 ( )0,1. 990729 ( )2,625352 Hallar el valor de √𝟎.𝟎𝟐𝟔𝟐𝟒 𝟏,𝟒𝟏𝟔 𝟒 por logaritmo ( ) 1̅. 622153 ( )1, 0.04029 ( ) 0,62535 Hallar el valor de √ 𝟐𝟒 𝟑×𝟑,𝟖𝟏 𝟐 𝟑 𝟕,𝟐𝟐 𝟑×𝟒𝟐,𝟎𝟓 𝟐×𝟏,𝟐 𝟒 𝟓 por logaritmo ( ) 1̅. 622153 ( )0, 0.04029 ( ) 0,476 Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
  86. 86. COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701 Matemática Tercer Año de Bachillerato Página 86 BLOQUE 3: MATEMATICAS DISCRETA FICHA N°13: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas. Destreza de Criterio de desempeño:  Aplicar el proceso en la solución de ejercicios.  Conocer conceptos generales de logaritmo.  Conocer propiedades y principios de logaritmos. Objetivo Educativo. RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS El tema de LOGARITMOS tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria: Para resolver: 4. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total comprensión. 5. Elaborar una tabla de datos. 6. Calcula el valor de cada uno de los logaritmos.

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