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Introdução ao
Processamento Digital de
               Imagens

          Prof. Leonardo Vidal Batista
                 DI/...
Processamento Digital de
Imagens


   Modelagem matemática, análise, projeto
    e implementação (S&H) de sistemas
    vo...
PDI e áreas correlatas
                      Dados
    Visão                             Computação
 Computacional        ...
PDI x Visão Computacional
Imagens digitais
   TV digital
   Câmeras digitais, celulares, scanners
   DVDs
   Sistemas de teleconferência
   Tra...
Imagens Digitais
   Diagnóstico médico: ultrassonografia,
    angiografia, tomografia, ressonância
    magnética, contage...
Outros Sinais Digitais
   Diagnóstico médico: eletrocardiograma,
    eletroencefalograma, eletromiograma,
    eletroretin...
Sinais Contínuos e Discretos
                                 Sinal analógico

                                 Sinal digi...
Processamento Analógico
de Sinais



                   Processador
 Sinal analógico    analógico    Sinal analógico
 de e...
Processamento Digital de
    Sinais
       Sinal                                  Sinal
       analógico Conversor      Pr...
Processamento Digital de
     Sinais
   Alguns sinais são inerentemente digitais ou
    puramente matemáticos
   Ex: Núm...
Processamento Digital de
     Sinais
   Hardware, software, ou ambos
   Maior flexibilidade
   Menor custo
   Menor te...
Processamento Digital de
Sinais – Robustez a Ruído
   Sinal analógico original




   Sinal analógico corrompido – em gera...
Processamento Digital de
       Sinais – Robustez a Ruído
                                     Sinal digital corrompido – ...
Eliminação de ruído
Detecção de Bordas
Aguçamento
Pseudo-cor
Pseudo-cor
Segmentação/Classificação
Combinação de Imagens
Metamorfose
Warping (Deformação)
Warping (Deformação)
   Interpol faz apelo público para identificar
    pedófilo
    (http://noticias.terra.com.br/mundo/...
Warping (Deformação)
   A imagem distorcida pôde ser recuperada por
    especialistas para que o homem fosse identificado
Você confia em seu sistema
visual?
Você confia em seu sistema
visual?
Você confia em seu sistema
visual?
Você confia em seu sistema
visual?




                     http://www.echalk.co.uk/
                     amusements/Optic...
Você confia em seu sistema
visual?
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A Faixa Visível do Espectro
Eletromagnético
 Luz: radiação eletromagnética
 Freqüência f, comprimento de onda
  L
 Faix...
A Faixa Visível do Espectro
Eletromagnético

 Radiação monocromática: radiação
  em um único comprimento de onda
 Cor es...
A Faixa Visível do Espectro
Eletromagnético
A Faixa Visível do Espectro
   Eletromagnético

Denominação Usual da Cor   Faixa do Espectro (nm)
        Violeta         ...
A Estrutura do Olho Humano
   Olho humano: aproximadamente esférico,
    diâmetro médio em torno de dois
    centímetros
...
A Estrutura do Olho Humano
Bastonetes
   75 a 150 milhões/olho, sobre toda a
    retina
   Não são sensíveis às cores
   Baixa resolução (conectad...
Cones
   6 a 7 milhões/olho, concentrados na fóvea
   Sensíveis às cores
   Alta resolução (um cone por terminal
    ne...
Cones
   Há três tipos de cones:
       Cone sensível ao vermelho
       Cone sensível ao verde
       Cone sensível a...
Cones
                                 Cone “Verde”
Resposta




           Cone “Azul”                       Cone “Vermel...
Sistema de Cores RGB
 A cor de uma fonte de radiação na
  faixa visível é definida pela adição
  das cores espectrais emi...
Sistema RGB

   Padronização da Comissão
    Internacional de Iluminação (CIE):
      Azul: 435,8 nm
      Verde: 546,1...
Sistema RGB - Combinação de
    Cores Primárias

 Cores secundárias da luz: magenta
  (M), cíano (C) e amarelo (Y):
   M...
Espaço de Cores RGB

   Cor no sistema RGB é um vetor em
    um espaço tridimensional:
                 G




           ...
Espaço de Cores RGB
   Reta (i, i, i): reta acromática
   Pontos na reta acromática:
    tonalidades de cinza ou níveis ...
Sistema de Cores CMY

 Cor de um objeto que não emite
  radiação própria depende dos
  pigmentos que absorvem radiação
  ...
CMY - Cores Primárias

   Cores primárias dos pigmentos:
    absorvem uma cor primária da luz e
    refletem as outras du...
CMY – Combinação de Cores
    Primárias
 Cores secundárias:
   R = M + Y

   G = C + Y

   B = M + C

 Preto (K):
   ...
Processos Aditivo e Subtrativo
Sistema de Cores YIQ

 Transmissão de TV em cores:
  compatibilidade com TV P & B
 Y: luminância (intensidade percebida,...
Conversão YIQ-RGB
 Conversão de RGB para YIQ:
   Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B
   I = 0.596R – 0.274G –0.322B
   Q = 0....
Sistema de Cores HSI
 Fisiologicamente, a retina humana
  opera no sistema RGB
 A percepção subjetiva de cor é
  diferen...
Sistema de Cores HSI
   Matiz (H): determinada pelo comprimento
    de onda dominante; cor espectral mais
    próxima; de...
Sistema de Cores HSI
   Também chamado HSB, HSV, HSL
    (B=Brightness; V=Value; L=Lightness), às vezes
    com pequenas ...
Conversão HSI-RGB
   Algoritmos nas Notas de Aula
Imagem monocromática
            y




x
Imagem monocromática
 Função Ia(x,y)
 (x, y): coordenadas espaciais
 Ia(x,y): intensidade ou brilho da
  imagem em (x,y)
Amostragem e Quantização
   Digitalização: discretização espacial
    (amostragem) e de intensidade
    (quantização)
Amostragem e Quantização
                             Sinal analógico
                             Sinal digital
         ...
Amostragem e Quantização
    - Parâmetros
   T: período de amostragem (unidade de
    espaço ou tempo)
   f = 1/T: freqü...
Amostragem e Quantização
   – Exemplo 1
       Sinal analógico s(t): voltagem de
        saída de um sistema elétrico em
...
Amostragem e Quantização
    – Exemplo 1
   T = 0.5s, q = 0.5V, M = 64: s[0.5.n], n =
    0, 1, 2, ...
   s[0.5n]  {-32...
Amostragem e Quantização
    – Exemplo 2
 Em um processo de digitalização foram colhidas
  N=10 amostras de um sinal de t...
Amostragem e Quantização
– Solução do Exemplo 2

   Precisamos conhecer f, q e M!
   Dados:
           f = 0.1 amostra/k...
Amostragem e Quantização
    – Solução do Exemplo 2

    T = 10 km/amostra
    (a) Distância entre as cidades =
        ...
Conversores Analógico-
    Digitais (ADC)
   Conversor Analógico/Digital (Analog to
    Digital Converter - ADC): amostra...
Conversores Analógico-
    Digitais (ADC)
   ADC unipolar: voltagem de entrada de 0 a Vref
   ADC bipolar: voltagem de e...
ADC

       Unipolar                 Bipolar

 Voltagem      Código    Voltagem       Código

[0,00, 1,25)      000   [-5,...
Conversores Analógico-
Digitais (ADC)

 O bit menos significativo (LSB) do código
  se altera em incrementos de 1,25V.
 ...
Amostragem e Quantização
        – Qualidade do Sinal
                             40

                             20
   ...
Amostragem e Quantização
       – Qualidade do Sinal
                             40

                             20
    ...
Amostragem e Quantização
       – Qualidade do Sinal
                            40

                            20
      ...
Amostragem e Quantização
       – Qualidade do Sinal
                            40

                            20
      ...
Notação simplificada para
Imagens
   f[i, j]  {0, 1, 2,..., M-1}
   Tipicamente, M = 256
Imagem digital
  monocromática
                      250

                      200

                      150

          ...
Resolução Espacial e de
       Contraste




256x256 / 256 níveis   256x256 / 64 níveis       256x256 / 2 níveis




     ...
Imagens RGB




Banda R   Banda G      Banda B




          Imagem RGB
Imagens Digitais
 Uma imagem é uma matriz bidimensional
  observada de forma pictórica.
 Imagens de densidade demográfic...
Scanners

   Monocromáticos: fila de diodos
    fotossensíveis em um suporte que se
    desloca
   Coloridos: fila de di...
Scanners
Scanners

   Th: distância entre diodos no suporte
   Tv: tamanho do passo do suporte
   Th e Tv definem a resolução es...
Scanners

   Ex: 300 x 300 dpi, digitalização de formato
    carta(8,5 x 11’’), no máximo
      8,5x300=2550 diodos (mon...
Scanners


    N pontos/polegada

                              Movimento do braço:
                        ...   M passos...
Câmeras Digitais
Câmeras Digitais
 Sensor de imagem:
  matriz de diodos
  fotosensíveis cobertos
  por filtros R, G e B
 Diodos produzem ...
Câmeras Digitais


               ...




         ...
Qualidade dos Sensores
   S9500 – ISO 1600      EOS350D – ISO 1600
Qualidade dos Sensores
   EOS350D – ISO 1600




   S9500 – ISO 1600
Câmeras Digitais

   Exemplo: Sony DSC V1: 1944 x 2592 pixels =
    5Mpixels. Digitalizar papel em formato carta com
    ...
Câmeras Digitais
   Solução:
   1944 / 8,5 pol x 2592/11 pol = 228,7 dpi x =
    235,6 dpi
   Resolução espacial inferi...
Dispositivos Gráficos
   Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000
    pontos (6 Mpixels), impressa em formato
    15x10 cm, c...
Dispositivos Gráficos

   Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000
    pontos (6 Mpixels). Imprimir em formato
    15x10 cm, ...
Dispositivos Gráficos
   Ex: foto 10x15cm, scanneada a 1200x1200
    dpi, 24 bits/pixel. Tamanho em bytes?
   Dimensões ...
Dispositivos Gráficos
   Solução:
   Foto 10x15cm = 3,94 x 5,91 pol.
   Tamanho      em      bytes:  3,94x1200   x
    ...
Dispositivos Gráficos
   Solução:
   Dimensões em tela de 14 pol., em resolução de
    1024x768 pontos? Resolução em dpi...
Dispositivos Gráficos

   Solução:
   Dimensões em tela de 17 pol., em resolução de
    1024x768 pontos? Resolução em dp...
Monitor CRT




   A e C: Placas aceleradoras e defletoras
   D: tela com pontos de fósforos RGB
   F: Máscara de sombr...
Monitor CRT
Monitor RGB
Monitor RGB

 Linha 0

 Linha 1




Linha R-1
Operações com Imagens
 Espaço / freqüência
 Locais / pontuais
 Unárias / binárias / ... / n-árias
Operações n-árias
   Operação T sobre n imagens, f1, f2, ..., fn,
    produzindo imagem de saída g
              g = T[f1...
Operações Pontuais
   g(i, j) depende do valor do pixel em (i’, j’)
    das imagens de entrada
   Se (i, j) = (i’, j’) e...
Operações Pontuais
 s                                   s
L-1
                                    L-1
         (r2, s2)


...
Operações Locais
   g(i, j) depende dos valores dos pixels das
    imagens de entrada em uma vizinhança
    de (i’, j’)
 ...
Operações Locais
   Exemplo: Filtro “Média”
           1
g (i, j )  [ f (i  1, j  1)  f (i  1, j )  f (i  1, j  1...
Filtros de suavização

 Média, Moda, Mediana, Gaussiano...
 Vizinhança m x n
Photoshop!
Photoshop!
Photoshop!
Photoshop!
Filtros de aguçamento e
     detecção de bordas
   Efeito contrário ao de suavização: acentuam
    variações de intensida...
Filtros de detecção de bordas
   g(i, j): aproximação discreta do módulo do
    vetor gradiente em f(i, j).
   Aproximaç...
Filtros de detecção de bordas
               Gradiente de Prewitt:
 g(i, j) = |f(i+1,j-1) + f(i+1, j) + f(i+1, j+1)
      ...
Gradiente de Roberts




      Limiares 15, 30 e 60
Processamento de
    Histograma
   Se o nível de cinza l ocorre nl vezes em
    imagem com n pixels, então
              ...
Histograma
                                           Histograma
                              nl

        Imagem         ...
Histograma
        O histograma representa a distribuição
         estatística de níveis de cinza de uma imagem
nl       ...
Histograma




   10000

    8000

    6000

    4000

    2000

       0
           0   50   100   150   200   250
Histograma




   1500



   1000



    500



      0

          0   50   100   150   200   250
Expansão de Histograma
           Quando uma faixa reduzida de níveis de
            cinza é utilizada, a expansão de
   ...
Expansão de Histograma
   Quando uma faixa reduzida de níveis de
    cinza é utilizada, a expansão de
    histograma pode...
Expansão de Histograma
         1500



         1000



          500



            0

                0   50   100   15...
Expansão de Histograma
          Expansão é ineficaz nos seguintes casos:

nl                       nl                   ...
Equalização de Histograma
   Se a imagem apresenta pixels de valor 0
    e L-1 (ou próximos a esses extremos) a
    expan...
Equalização de Histograma
                        L 1 r 
    s  T (r )  round        nl 
                        ...
Equalização de Histograma
   Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
                nl
    l     nl
    0    790   1200
    1   1...
Equalização de Histograma
   Exemplo   (cont.):
   r=0s     = round(790 x 7 / 4096) = 1
   r=1s     = round(1813 x 7 ...
Equalização de Histograma
   Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
    l     nl      nk
    0     0
    1    790     1200
      ...
Equalização de Histograma
nl         Hist. Original     nl    Hist. Equal. (Ideal)   nl   Hist. Equal. (Real)




 0   L-1...
Equalização de Histograma
   Expansão de histograma é pontual ou
    local? E equalização de histograma?
   O que ocorre...
Equalização de Histograma
Local
   Para cada locação (i,j) de f

    •   Calcular histograma na vizinhança de
        (i,...
Controle de contraste
     adaptativo


                            c
             (i, j )            [ f (i, j )   ...
Controle de contraste
adaptativo
Filtros baseados na função
    gaussiana
   Função gaussiana:


   Derivada:

   Derivada segunda:
Filtros baseados na função
    gaussiana
   Gaussiana, derivada e derivada
    segunda
Filtros baseados na função
    gaussiana

 A máscara é construída pela
  amostragem de G(x), G’(x) e G’’(x)
 x = -5σ, .....
Filtros gaussianos
bidimensionais




      Com r = sqrt(x2 + y2)
Pseudo-cor
Nível de   R     G    B
 cinza
   0       15    20   30
   1       15    25   40
  ...
  L-1      200   0    0
Outros filtros:
 Curtose, máximo, mínimo etc.
 Filtros de suavização + filtros de
  aguçamento
 Laplaciano do Gaussiano...
Filtros Lineares e Invariantes
ao Deslocamento
    Filtro linear:
          T [af1 + bf2] = aT [f1] + bT [f2]
     para c...
Convolução
    Convolução de s(t) e h(t):


                                
     g (t )  s (t ) * h (t )    s( )h(t...
Convolução
                                                  
                  g (t )  s (t ) * h (t )         s( )h...
Convolução
   Observe que g(t) = 0 para


            t  [t0  t2 , t1  t3 ]
Convolução Discreta Linear
   Convolução linear entre s[n] e h[n]
                                  
        g[n]  s[n ...
Convolução Discreta Linear
     6         s ( )                                           6       h ( )


     4        ...
Convolução Discreta Linear
                         6           s ( )


                         4


                    ...
Convolução Discreta Linear
                         6           s ( )


                         4


                    ...
Convolução Discreta Linear
6       s[n]                                                     6           h[n]

4           ...
Convolução Discreta Linear

      s[n]          Filtro             g[n]
                    h[n]

                        ...
Impulso Unitário
   Delta de Dirac ou             (t)
    impulso unitário      1
    contínuo
   Duração = 0
   Área ...
Sinais = somatório de
impulsos
   Delta de Kronecker                            A[n-n0]

                               ...
Resposta ao impulso
   Resposta de um filtro a s[n]:
                 N 1                     N 1
       g[ n]     s[...
Resposta ao impulso

   h[n]:
       Resposta ao impulso
       Máscara convolucional
       Kernel do filtro
       ...
Filtros FIR

   Finite Impulse Response
                    N 1
           y[n]     ak x[n  k ]
                    k...
Filtros IIR

   Infinite Impulse Response
               N 1            M 1
      y[n]     ak x[n  k ]   bk y[n  ...
Filtros IIR (exemplo)

   Encontre a resposta ao impulso do
    seguinte sistema recursivo. Supor que o
    sistema está ...
Filtros IIR (exemplo)

   Exemplo:
   y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]
   y[0] = delta[0]–delta[-1]–0,5y[-1] = 1
   y[...
Filtros IIR (exemplo 2)

   Exemplo: encontre a resposta ao impulso
    do seguinte sistema recursivo. Supor que
    o si...
Filtros IIR (exemplo 2)
   Exemplo (Solução)
   y[n] = y[n-1] + x[n] - x[n-4]
   y[0] = y[-1] + delta[0] - delta[-4] = ...
Convolução Discreta Circular
    Sinais s[n] e h[n] com N0 e N1 amostras,
     respectivamente => extensão com zeros:
   ...
Convolução Circular x Linear

   Fazendo-se N = N0 + N1 – 1

            s[n]  h[n]  s[n] * h[n]
Convolução de Imagens
   f[i, j] (R0xC0) e h[i, j] (R1xC1): extensão
    por zeros
                                      ...
Máscaras Convolucionais
1   1   1     1   0    -1    -1 -1 -1
0   0   0     1   0    -1    -1   8   -1
-1 -1 -1      1   0...
Operador de Bordas de
  Kirsch
  5    5   5     -3   5   5     -3 -3     5
  -3   0   -3    -3   0   5     -3    0   5
  -...
Máscaras Convolucionais
 Em geral:
 Máscaras de integração somam
  para 1
 Máscaras de diferenciação somam
  para 0
Transformada z
   Transformada z de x[n]:
                                
         Z{x[n]}  X [ z ]      x[n] z  n
...
Propriedades da
Transformada z
   Linearidade: Se x[n] = ax1[n] + bx2[n],
    (a e b: constantes arbitrárias), então:

  ...
Propriedades da
 Transformada z
    Deslocamento:
            Z{x[n+k]} = zkX[z], k inteiro
    Prova:                  ...
Propriedades da
Transformada z
   Convolução:
                             
    y[n]  h[n] * x[n]      h[k ]x[n  k ]...
Propriedades da
Transformada z
   Convolução (Prova)
                                   n
Z{h[n] * x[n]}     h[k...
Função de Transferência

   Equação de diferenças de um filtro
                N 1            M 1
       y[n]     ak ...
Função de Transferência
   Transformada Z da Equação de
    diferenças

           M 1
                          
   ...
Função de Transferência
   Aplicando a transformada z em
    ambos os lados e simplificando:
                            ...
Função de Transferência
 BIBO: Bounded-input, bounded-
  output
 Sistemas BIBO-estáveis: sistemas
  causais tais que:

 ...
Estimação da Resposta em
Freqüência
   Resposta em freq. a partir de H[z]
                       
          H [ z]     ...
Estimação da Resposta em
Freqüência
 Exemplo: encontre a resposta em
  freqüência do filtro y[n] = (x[n] + x[n-1])/2
  ut...
Estimação da Resposta em
Freqüência
 Exemplo: encontre a resposta em
  freqüência do filtro y[n] = (x[n] - x[n-1])/2
  ut...
Correlação
   Convolução:                    
       g[n]  s[n ] * h[n]         s[ ]h[n   ]
                      ...
Correlação
   Exemplo:
h[-1] = 3; h[0] = 7; h[1] = 5;
s[0..15] = {3, 2, 4, 1, 3, 8, 4, 0, 3, 8, 0,
  7, 7, 7, 1, 2}


  ...
Correlação
    Exemplo:
    g[1]  s[0]h[1]  15
              1
    g[0]      s[ ]h[ ]  s[0]h[0]  s[1]h[1]  31
 ...
Correlação
   Exemplo:
g[0..15] = 31, 43, 39, 34, 64, 85, 52, 27,
  61, 65, 59, 84, 105, 75, 38, 27
 Observe que g[5] é ...
Correlação Normalizada
   A correlação normalizada elimina a
    dependência dos valores absolutos
    dos sinais:
      ...
Correlação Normalizada
 Resultado para o exemplo anterior:
 g[0..15] = .??? .877 .934 .73 .81
  .989 .64 .59 .78 .835 .6...
Detecção e estimação

Fonte:
http://www.dspguide.com/ch7/3.htm
Detecção e estimação
   Gaivota, “filtro casado” (olho) e
    imagem de correlação normalizada
    (máximo no olho)




 ...
Estimação Espectral
   O cálculo direto do espectro         de
    amplitudes e fases não é fidedigno
   O espectro pode...
Periodograma
   O quadrado do módulo do espectro de
    amplitudes: densidade espectral de
    potência (PSD), ou espectr...
Janelamento (windowing)
   Todo sinal discreto obtido a partir de um
    sinal    analógico    é   resultado     da
    m...
Janelamento (windowing)
   A janela retangular pode gerar grandes
    descontinuidades na forma de onda
    original
Janelamento (windowing)
    Multiplicação no tempo equivale          a
     convolução na freqüência (Fourier)
    DFT d...
Janelamento (windowing)
   A convolução com um sinc introduz
    distorções no espectro
   Janelas mais “suaves” reduzem...
Janela de Hamming
                     2n 
     0,54  0,46 cos        0nN
wn                  N 1
     0 c...
Janela de Hamming
    Seno multiplicado por janela retangular e
     de Hamming
Janela de Hamming
    DFT de seno multiplicado por janela
     retangular e de Hamming
Outras Janelas
    Blackman-Harris, Dolph-Chebyshev,
     Kaiser-Bessel (superiores?)
    Tukey, Poisson, Hanning etc
Dissolve Cruzado
   ht (i, j)= (1 - t) f(i, j) + t g(i, j)
   t é um escalar no intervalo [0, 1]
Dissolve Cruzado




  t = 0,3   t = 0,5   t = 0,7
Dissolve Cruzado Não-
Uniforme
   ht(i, j)= [1 - t(i, j)] f(i, j) + t(i, j) g(i, j)
   t é uma matriz com as mesmas
    ...
Dissolve Cruzado Não-
Uniforme




t(i,j)=(i+j)/(R+C-2)   t(i,j)=j/(C-1)   t(i,j)=i/(R-1)
Detecção de Movimento
          L  1, se | f1  f 2 | Lt
        g
          0, caso contrario




   f1            ...
Redução de Ruído por Média
de Imagens
   f[i, j] imagem sem ruído
   nk(i, j) ruído de média m
   gk[i,j] = f[i,j] + nk...
Redução de Ruído por Média
de Imagens
                         M
                        
                     1
        ...
Operações Topológicas

   Rígidas
       Translação
       Rebatimento
       Rotação
       Mudança de Escala
   Nã...
Rotação
   Rotação em torno de (ic, jc)

    i'  (i  ic ) cos   ( j  jc ) sen   ic
     j '  (i  ic ) sen   ( ...
Rotação e Rebatimento




Imagem original   Rebatimento pela   Rotação de 90
                       diagonal       graus e...
Ampliação (Zoom in)
   Por replicação de pixels

    Original     Ampliação por fator 3

     10 10      10   10   10   1...
Ampliação (Zoom in)
    Por interpolação bilinear

     Original                Ampliação por fator 3
      10 10        ...
Ampliação (Zoom in)
    Por interpolação bilinear

     Original                Ampliação por fator 3
      10 10        ...
Ampliação (Zoom in)
   Exemplo: Ampliação por fator 10




Original         Replicação     Interpolação
Redução (Zoom out)
    Por eliminação de pixel
    Por Média
      Original                Redução por fator 3
10   10  ...
Reconstrução de Imagens
   Zoom por fatores não inteiros
   Ex: F = 3,75432
   Operações elásticas, etc.
   Técnicas m...
Reconstrução de imagens
   Dados f(i,j), f(i,j+1), f(i+1,j), f(i+1,j+1)
                           (i, j)     (i, y)     ...
Reconstrução de imagens
    por interpolação bilinear
   f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]
   f(i+1,y)=f(i+1,j)...
Reconstrução de imagens
   Ex: f(10.5, 15.2)=?

 f(10, 15) = 10; f(10, 16) = 20;
f(11,15) = 30; f(11, 16) = 30
Reconstrução de imagens
Solução:
x = 10.5; y = 15.2 => i = 10; j = 15
f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]
f(10, 15....
Zoom por reconstrução de
 imagens
Ex: Ampliação por fator 2.3
Passo para as coordenadas: 1/2.3 = 0.43
x = 0, 0.43, 0. 87, ...
Operações Topológicas Não
Rígidas (warping)
 Warping = distorção
 Zoom por fator F(i, j)
 Rotação por ângulo teta(i,j)
...
Warping baseado em
Campos
 Entretenimento
 Efeitos especiais, morphing
 Correção de distorções óticas
 Alinhamento de ...
Warping baseado em
Campos
1.   Características importantes da
     imagem são marcados por
     segmentos de reta orientad...
Warping baseado em
Campos
3.   Para cada par de vetores
     referência-alvo, encontra-se o
     ponto X’ para onde um pon...
Warping baseado em
Campos
Warping baseado em
Campos
   u: representa o
    deslocamento
    normalizado de P
    até O no sentido
    do vetor PQ
 ...
Warping baseado em
Campos
 Se O=P, u = 0
 Se O=Q, u = 1
 Se O entre P e
  Q, 0<u<1;
 Se O após Q,
  u>1
 Se O antes d...
Warping baseado em
Campos
   Encontrar u e v: norma, produto interno,
    vetores perpendiculares, projeção de um
    vet...
Warping baseado em
Campos
   “Norma” da projeção de a sobre b (o
    sinal indica o sentido em relação a b)
             ...
Warping baseado em
Campos
   Vetor b = (x2, y2) perpendicular a a =
    (x1, y1) e de norma igual à de a:
               ...
Warping baseado em
Campos
   Soluções:
       x2 = y1, y2 = -x1
       x2 = -y1, y2 = x1

                  b        a


...
Warping baseado em
Campos
   Parâmetro u:
    “norma” da
    projeção de PX
    sobre PQ, dividido
    pela norma de PQ

...
Warping baseado em
Campos
   P = (xp,yp), Q =
    (xq, yq), X = (x,y)

        PX .PQ
     u          2
        || PQ ||...
Warping baseado em
Campos
   Parâmetro v:
    distância de X à
    reta suporte de PQ

       PX .  PQ
    v
        ||...
Warping baseado em
Campos
   PQ = (Xq-Xp, Yq-Yp)
    PQ1 = (Yq–Yp, Xp-Xq)
    PQ2 = (Yp–Yq, Xq-Xp)
   Vamos usar PQ1
Warping baseado em
Campos
   Parâmetro v:


       PX .  PQ
    v
        || PQ ||


v = (x-xp)(yq-yp) + (y-yp)(xp–xq)
...
Warping baseado em
Campos
   Cálculo de X’:




                          v.  P ' Q'
        X '  P'u.P' Q'
         ...
Warping baseado em
Campos

             PX .PQ
          u          2
             || PQ ||

            PX .  PQ
      ...
Warping baseado em
Campos
   Quando há mais de um par de vetores
    referência-alvo, cada pixel sofre a
    influência d...
Warping baseado em
Campos
Warping baseado em
Campos
   Peso da coordenada definida pelo i-ésimo
    par de vetores de referência-alvo:




    di: ...
Warping baseado em
Campos
   Relação inversa com a distância entre a
    reta e o ponto X
   Parâmetro a : Aderência ao ...
Warping baseado em
Campos
   Parâmetro p controla a importância do
    tamanho do segmento
   p = 0: independe do tamanh...
Warping baseado em
Campos
   Parâmetro b controla a forma como a
    influência decresce em função da
    distância
   b...
Warping baseado em
Campos
   Bons resultados são obtidos com:
    a entre 0 e 1
    b=2
    p = 0 ou p = 1.
Warping baseado em
Campos
   Exemplo:
P0 = (40, 10); Q0 = (20, 5)
P0’ = (35, 15); Q0’ = (25, 20)        0   5 10   15    ...
Warping baseado em
Campos
   Exemplo (cont):
u1 = [(20-20) (10-20) +
   (25-30)(35-30)] / [(10-
   20)2+ (35-30)2] = - 0....
Warping baseado em
Campos
   Exemplo (cont):
Dados a = 0.1; b = 2; p= 0
wi = 1/[0.1+di]2
d0 = v0 = 19.4 => w0 =
         ...
Morphing
 Interpolação de formas e cores
  entre duas imagens distintas
  (f0 e fN-1)
 Encontrar imagens f1, f2, ..., fN...
Morphing
Morphing
            Warping de f0


                  cki

      f0                     fN-1


 ai                       ...
Morphing
  ai
       c1i
             c2i
                   c3i
                         c4i
                            ...
Morphing
Técnicas no Domínio da
     Freqüência
   Conversão ao domínio da freqüência:
    transformadas
   Processamento e análi...
Cosseno Analógico
   f: freqüência         x(t )  A cos2ft   
   T=1/f: período    A


    : fase
   A: amplitu...
Uma Família de Funções
   Cosseno Analógicas
 xk (t )  Ak cos2f k t   k , k  0, 1, ..., N  1

 fk:  freqüência do...
Uma Família de Funções
Cosseno Discretas

x k [n]  Ak cos2f k n   k , n  0,1,...,N  1


   k = 0,1,...N-1
Uma Família de Funções
Cosseno Discretas
             1/ 2
     2
Ak               ck X k
     N
       1/2 1/2
...
Uma Família de Funções
  Cosseno Discretas
             1/ 2
           2                   (2n  1)k 
x k [n ]   ...
Uma Família de Funções
Cosseno Discretas
   xk[n] (N = 64, Xk = 10).
         2

         1

         0

        -1

    ...
Uma Família de Funções
Cosseno Discretas
            2

            1
 k=2
            0
1 ciclo
            -1

         ...
Uma Família de Funções
   Cosseno Discretas
               2


  k=32         1


 16 ciclos
               0

           ...
Uma Família de Funções
   Cosseno Discretas
               2


  k=63         1


31,5 ciclos    0

               -1

   ...
Uma Família de Funções
Cosseno Discretas
   Amostragem de um sinal periódico não
    necessariamente produz um sinal de
 ...
Somando Cossenos
  Discretos
    Criar um sinal x[n] somando-se os sinais
     xk[n], k = 0...N-1, amostra a amostra:
   ...
Somando Cossenos
        Discretos
       Exemplo:
       N = 8; X0 = 10; X1 = 5; X2 = 8,5; X3 = 2;
        X4 = 1; X5 =...
Somando Cossenos
         Discretos
        X1 = 5
4                                   5     (2n  1) 
               ...
Somando Cossenos
     Discretos
        X2 = 8,5
                                       8.5      (2n  1)2 
          ...
Somando Cossenos
       Discretos
          X3 = 2
  1                                      2     (2n  1)3 
         ...
Somando Cossenos
       Discretos
          X4 = 1
0.4
                                        1     (2n  1)4 
      ...
Somando Cossenos
       Discretos
          X5 = 1,5
  1
                                           1.5      (2n  1)5 ...
Somando Cossenos
       Discretos
          X6 = 0
                                         0     (2n  1)6 
         ...
Somando Cossenos
        Discretos
           X7 = 0,1
                                           0.1  (2n  1)7 
    ...
Somando Cossenos
Discretos
       X[k] é um sinal digital: X[k]= X0, X1,...XN-1
       Exemplo: X[k]=10;5;8.5;2;1;1.5;0;...
Somando Cossenos
Discretos
 xk[n]: cosseno componente de x[n],
  de freqüência fk = k/2N; ou
 xk[n]: componente de freqü...
Transformada Cosseno
    Discreta (DCT)
     DCT de x[n]:
             1/ 2     N 1
         2                       ...
Transformada Cosseno
Discreta (DCT)

 X[k]: coeficientes DCT
 X: representação de x no domínio da
  freqüência
 X[0]: c...
DCT – Exemplo 1
                    g1

0.1


  0


-0.1


-0.2
    0     20   40   60   80   100   120
                  ...
DCT – Exemplo 1 (Cont.)
                   g10                                  g1+g3+g10
 2                              ...
DCT – Exemplo 2
60                           1     π 
       f1[n]  29.99 cos 2 π   n    
40                       ...
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
60                                3     π    150                 f1  f 2  f 3
          f 3 [n...
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
                                             150
60                             5     π         ...
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
                                                    200
60                                 7     ...
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
60                             9     π                 f1  f 2  ...  f 9
       f 9 [n]  -10...
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
                                               600
60                              20     π     ...
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
60                             60     π    120          f1  f 2  ...  f 60
       f 60 [n]  ...
DCT – Exemplo 3
                       1250
                       1200

       Sinal           1150
                     ...
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  1. 1. Introdução ao Processamento Digital de Imagens Prof. Leonardo Vidal Batista DI/PPGI/PPGEM leonardo@di.ufpb.br leovidal@terra.com.br http://www.di.ufpb.br/leonardo
  2. 2. Processamento Digital de Imagens  Modelagem matemática, análise, projeto e implementação (S&H) de sistemas voltados ao tratamento de informação pictórica, com fins estéticos, para torná-la mais adequada à interpretação ou aumentar eficiência de armazenamento e transmissão.
  3. 3. PDI e áreas correlatas Dados Visão Computação Computacional Gráfica Imagens Processamento Digital de Imagens (sinais 2D) Processamento Digital de Sinais
  4. 4. PDI x Visão Computacional
  5. 5. Imagens digitais  TV digital  Câmeras digitais, celulares, scanners  DVDs  Sistemas de teleconferência  Transmissões via fax  Editoração eletrônica  Impressoras  Monitoramento da superfície terrestre e previsão climática por imagens de satélites  Detecção de movimento
  6. 6. Imagens Digitais  Diagnóstico médico: ultrassonografia, angiografia, tomografia, ressonância magnética, contagem de células, etc  Identificação biométrica: reconhecimento de face, íris ou impressões digitais  Ciências forenses  Realce e restauração de imagens por computador  Instrumentação  Controle de qualidade  Granulometria de minérios
  7. 7. Outros Sinais Digitais  Diagnóstico médico: eletrocardiograma, eletroencefalograma, eletromiograma, eletroretinograma, polisonograma, etc  Identificação biométrica por reconhecimento de voz  Síntese de voz  Áudio Digital  Telefonia  Suspensão ativa em automóveis  Mercado acionário
  8. 8. Sinais Contínuos e Discretos Sinal analógico Sinal digital ... Amplitude 2q q 0 -q -2q ... Erros de quantização 0 Ta 2Ta 3Ta ... Tempo, espaço etc.
  9. 9. Processamento Analógico de Sinais Processador Sinal analógico analógico Sinal analógico de entrada de saída
  10. 10. Processamento Digital de Sinais Sinal Sinal analógico Conversor Processador digital A/D Digital Sinal Sinal analógico Conversor Processador Conversor analógico A/D Digital D/A
  11. 11. Processamento Digital de Sinais  Alguns sinais são inerentemente digitais ou puramente matemáticos  Ex: Número de gols por rodada do campeonato brasileiro de futebol  Neste caso, não há necessidade de Conversão A/D  Ainda assim, pode haver necessidade de conversão D/A  Ex: texto -> voz sintetizada
  12. 12. Processamento Digital de Sinais  Hardware, software, ou ambos  Maior flexibilidade  Menor custo  Menor tempo de desenvolvimento  Maior facilidade de distribuição  Sinais digitais podem ser armazenados e reproduzidos sem perda de qualidade  Mas alguns sistemas exigem uma etapa analógica!
  13. 13. Processamento Digital de Sinais – Robustez a Ruído Sinal analógico original Sinal analógico corrompido – em geral, recuperação impossível mesmo para pequenas distorções
  14. 14. Processamento Digital de Sinais – Robustez a Ruído Sinal digital corrompido – recuperação possível Sinal digital original mesmo com distorções substanciais, principalmente com uso de códigos corretores. „1‟ „1‟ „0‟ „0‟ Sinal digital recuperado com erro „1‟ „0‟
  15. 15. Eliminação de ruído
  16. 16. Detecção de Bordas
  17. 17. Aguçamento
  18. 18. Pseudo-cor
  19. 19. Pseudo-cor
  20. 20. Segmentação/Classificação
  21. 21. Combinação de Imagens
  22. 22. Metamorfose
  23. 23. Warping (Deformação)
  24. 24. Warping (Deformação)  Interpol faz apelo público para identificar pedófilo (http://noticias.terra.com.br/mundo/interna /0,,OI1971484-EI294,00.html)  As fotos haviam sido manipuladas digitalmente para disfarçar o rosto do pedófilo, mas especialistas em computação da Agência de Polícia Federal na Alemanha conseguiram reproduzir o rosto do suspeito de forma que seja identificável
  25. 25. Warping (Deformação)  A imagem distorcida pôde ser recuperada por especialistas para que o homem fosse identificado
  26. 26. Você confia em seu sistema visual?
  27. 27. Você confia em seu sistema visual?
  28. 28. Você confia em seu sistema visual?
  29. 29. Você confia em seu sistema visual? http://www.echalk.co.uk/ amusements/OpticalIllusi ons/illusions.htm
  30. 30. Você confia em seu sistema visual?
  31. 31. Você confia em seu sistema visual?
  32. 32. Você confia em seu sistema visual?
  33. 33. Você confia em seu sistema visual?
  34. 34. Você confia em seu sistema visual?
  35. 35. Você confia em seu sistema visual?
  36. 36. Você confia em seu sistema visual?
  37. 37. Você confia em seu sistema visual?
  38. 38. Você confia em seu sistema visual?
  39. 39. A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético  Luz: radiação eletromagnética  Freqüência f, comprimento de onda L  Faixa visível do espectro eletromagnético: 380 nm < L < 780 nm  Na faixa visível, o sistema visual humano (SVH) percebe comprimentos de onda diferentes como cores diferentes
  40. 40. A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético  Radiação monocromática: radiação em um único comprimento de onda  Cor espectral pura: radiação monocromática na faixa visível
  41. 41. A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético
  42. 42. A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético Denominação Usual da Cor Faixa do Espectro (nm) Violeta 380 – 440 Azul 440 – 490 Verde 490 – 565 Amarelo 565 – 590 Laranja 590 – 630 Vermelho 630 – 780
  43. 43. A Estrutura do Olho Humano  Olho humano: aproximadamente esférico, diâmetro médio em torno de dois centímetros  A luz penetra no olho passando pela pupila e pelo cristalino e atingindo a retina  Imagem invertida do cenário externo sobre a retina  Cones e bastonetes convertem energia luminosa em impulsos elétricos que são transmitidos ao cérebro.
  44. 44. A Estrutura do Olho Humano
  45. 45. Bastonetes  75 a 150 milhões/olho, sobre toda a retina  Não são sensíveis às cores  Baixa resolução (conectados em grupos aos terminais nervosos)  Sensíveis à radiação de baixa intensidade na faixa visível  Visão geral e de baixa luminosidade  Objetos acinzentados sob baixa luminosidade
  46. 46. Cones  6 a 7 milhões/olho, concentrados na fóvea  Sensíveis às cores  Alta resolução (um cone por terminal nervoso)  Pouco sensíveis a radiação de baixa intensidade na faixa visível  Visão específica, de alta luminosidade  Movimentamos os olhos para que a imagem do objeto de interesse recaia sobre a fóvea.
  47. 47. Cones  Há três tipos de cones:  Cone sensível ao vermelho  Cone sensível ao verde  Cone sensível ao azul  Cores diversas obtidas por combinações destas cores primárias
  48. 48. Cones Cone “Verde” Resposta Cone “Azul” Cone “Vermelho” 400 500 600 700 Comprimento de onda (nm)
  49. 49. Sistema de Cores RGB  A cor de uma fonte de radiação na faixa visível é definida pela adição das cores espectrais emitidas – sistema aditivo  Combinação de radiações monocromáticas vermelho (R), verde (G) e azul (B)  Cores primárias da luz  Sistema de cores RGB
  50. 50. Sistema RGB  Padronização da Comissão Internacional de Iluminação (CIE):  Azul: 435,8 nm  Verde: 546,1 nm  Vermelho: 700 nm
  51. 51. Sistema RGB - Combinação de Cores Primárias  Cores secundárias da luz: magenta (M), cíano (C) e amarelo (Y): M = R + B C = B + G Y = G + R  Cor branca (W): W = R + G + B
  52. 52. Espaço de Cores RGB  Cor no sistema RGB é um vetor em um espaço tridimensional: G R B
  53. 53. Espaço de Cores RGB  Reta (i, i, i): reta acromática  Pontos na reta acromática: tonalidades de cinza ou níveis de cinza  Preto: (0, 0, 0) (ausência de luz)  Branco: (M, M, M), (M é a intensidade máxima de uma componente de cor)  Monitor de vídeo: Sistema RGB
  54. 54. Sistema de Cores CMY  Cor de um objeto que não emite radiação própria depende dos pigmentos que absorvem radiação em determinadas faixas de freqüência e refletem outras  Absorção em proporções variáveis das componentes R, G e B da radiação incidente: sistema subtrativo
  55. 55. CMY - Cores Primárias  Cores primárias dos pigmentos: absorvem uma cor primária da luz e refletem as outras duas C = W – R = G + B M = W – G = R + B Y = W – B = G + R
  56. 56. CMY – Combinação de Cores Primárias  Cores secundárias: R = M + Y G = C + Y B = M + C  Preto (K): K = C + M + Y = W – R – G – B  Impressoras coloridas: CMY ou CMYK
  57. 57. Processos Aditivo e Subtrativo
  58. 58. Sistema de Cores YIQ  Transmissão de TV em cores: compatibilidade com TV P & B  Y: luminância (intensidade percebida, ou brilho)  I e Q: crominâncias
  59. 59. Conversão YIQ-RGB  Conversão de RGB para YIQ:  Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B  I = 0.596R – 0.274G –0.322B  Q = 0.211R – 0.523G + 0.312B  Conversão de YIQ para RGB :  R = 1.000 Y + 0.956 I + 0.621 Q  G = 1.000 Y – 0.272 I – 0.647 Q  B = 1.000 Y – 1.106 I + 1.703 Q
  60. 60. Sistema de Cores HSI  Fisiologicamente, a retina humana opera no sistema RGB  A percepção subjetiva de cor é diferente  Atributos perceptivos das cores:  Matiz (hue) ou tonalidade  Saturação  Intensidade
  61. 61. Sistema de Cores HSI  Matiz (H): determinada pelo comprimento de onda dominante; cor espectral mais próxima; denominação usual das cores  H é um ângulo: 0o = R; 120o = G; 240o = B  Saturação: pureza da cor quanto à adição de branco  S = 0: cor insaturada (nível de cinza)  S = 1: cor completamente saturada  Cores espectrais puras tem S = 1
  62. 62. Sistema de Cores HSI  Também chamado HSB, HSV, HSL (B=Brightness; V=Value; L=Lightness), às vezes com pequenas diferenças na conversão para RGB.
  63. 63. Conversão HSI-RGB  Algoritmos nas Notas de Aula
  64. 64. Imagem monocromática y x
  65. 65. Imagem monocromática  Função Ia(x,y)  (x, y): coordenadas espaciais  Ia(x,y): intensidade ou brilho da imagem em (x,y)
  66. 66. Amostragem e Quantização  Digitalização: discretização espacial (amostragem) e de intensidade (quantização)
  67. 67. Amostragem e Quantização Sinal analógico Sinal digital ... Amplitude 2q q 0 -q -2q ... Erros de quantização 0 T 2T 3T ... Tempo ou espaço
  68. 68. Amostragem e Quantização - Parâmetros  T: período de amostragem (unidade de espaço ou tempo)  f = 1/T: freqüência de amostragem (amostras/unidade de espaço ou tempo)  q: passo de quantização  Sinal analógico: s(t), s(x)  Sinal digitalizado: s[nT], n inteiro não negativo, s[nT] {-Mq, ..., -2q, -q, 0, q, 2q, ..., (M-1)q}
  69. 69. Amostragem e Quantização – Exemplo 1  Sinal analógico s(t): voltagem de saída de um sistema elétrico em função do tempo 40 20 Sinal analógico Volts 0 -20 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 segundos
  70. 70. Amostragem e Quantização – Exemplo 1  T = 0.5s, q = 0.5V, M = 64: s[0.5.n], n = 0, 1, 2, ...  s[0.5n]  {-32, -31.5..., -0.5, 0, 0.5 1,...,31, 31.5}  s[0]=9.5V,s[0.5]=8V,s[1]=-2V, s[1.5]= -10.5V, ...  Notação Simplificada:  s[n]  {-M,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., M-1}  s[0]=19, s[1]=16, s[2]=-4, s[3]=-21,...  s[n] = {19, 16, -4, -21, ...}
  71. 71. Amostragem e Quantização – Exemplo 2  Em um processo de digitalização foram colhidas N=10 amostras de um sinal de temperatura (graus Celsius) igualmente espaçadas ao longo de um segmento de reta unindo duas cidades A e B. A primeira amostra foi colhida na cidade A e a última na cidade B. O sinal digital resultante é s[n] = {12 12 13 13 14 13 14 14 15 14}  Perguntas: (a) Distância entre as cidades? (b) Valores de temperatura registrados? (c) Limites de temperatura registrável? (d) Qual o valor de s[5km]?
  72. 72. Amostragem e Quantização – Solução do Exemplo 2  Precisamos conhecer f, q e M!  Dados: f = 0.1 amostra/km q = 2o Celsius M = 16;
  73. 73. Amostragem e Quantização – Solução do Exemplo 2  T = 10 km/amostra  (a) Distância entre as cidades = (10-1)x10 = 90km  (b) Temperaturas em graus Celsius: {24 24 26 26 28 26 28 28 28 30}  (c) Limites de temperatura em graus Celsius: [-32, 30]  (d) s[5km]: no sinal digital s[nT] não há nT = 5km!
  74. 74. Conversores Analógico- Digitais (ADC)  Conversor Analógico/Digital (Analog to Digital Converter - ADC): amostra, quantiza em L níveis e codifica em binário.  Um transdutor deve converter o sinal de entrada para tensão elétrica (V)  Códigos de b bits: L = 2b níveis de quantização  Exemplo: b = 8, L = 256  ADC de b bits
  75. 75. Conversores Analógico- Digitais (ADC)  ADC unipolar: voltagem de entrada de 0 a Vref  ADC bipolar: voltagem de entrada de -Vref a Vref  Exemplo: ADC unipolar de 3 bits, Vref = 10 V  L = 23 = 8, Resolução de voltagem: 10/8 = 1,25V  Exemplo: ADC bipolar de 3 bits, Vref = 5 V  L = 23 = 8, Resolução de voltagem: 10/8 = 1,25V
  76. 76. ADC Unipolar Bipolar Voltagem Código Voltagem Código [0,00, 1,25) 000 [-5,0, -3,75) 000 [1,25, 2,50) 001 [-3,75, -2,5) 001 [2,50, 3,75) 010 [-2,5, -1,25) 010 [3,75, 5,00) 011 [-1,25, 0,0) 011 [5,00, 6,25) 100 [0,00, 1,25) 100 [6,25, 7,50) 101 [1,25, 2,50) 101 [7,50, 8,75) 110 [2,50, 3,75) 110 [8,75, 10,0) 111 [3,75, 5,00) 111
  77. 77. Conversores Analógico- Digitais (ADC)  O bit menos significativo (LSB) do código se altera em incrementos de 1,25V.  Resolução de voltagem: “valor” do LSB  Alguns parâmetros: fa, Vref, b, ...
  78. 78. Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal 40 20 Sinal analógico Volts 0 -20 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 segundos 40 40 f = 2 amostras/s Sinal analógico 20 (T = 0,5s), q = 1 20 reconstruído 0 0 -20 -20 -40 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
  79. 79. Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal 40 20 Sinal analógico Volts 0 -20 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 segundos 40 f = 5 amostras/s 40 Sinal analógico (T = 0,2s), q = 1 20 20 reconstruído 0 0 -20 -20 -40 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
  80. 80. Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal 40 20 Sinal analógico Volts 0 -20 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 segundos 40 40 f = 10 amostras/s Sinal analógico 20 (T = 0,1s), q = 1 20 reconstruído 0 0 -20 -20 -40 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
  81. 81. Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal 40 20 Sinal analógico Volts 0 -20 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 segundos 40 40 f = 10 amostras/s Sinal analógico 20 (T = 0,1s), q = 16 20 reconstruído 0 0 -20 -20 -40 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
  82. 82. Notação simplificada para Imagens  f[i, j]  {0, 1, 2,..., M-1}  Tipicamente, M = 256
  83. 83. Imagem digital monocromática 250 200 150 100 50 0 0 100 200 300 400 500 i=0 250 200 161 161 ... 142 150 161 161 ... 142 100   50  ... ... ... ...    0 0 50 100 150 200 250 300 350 163 163 ... 95  j = 266
  84. 84. Resolução Espacial e de Contraste 256x256 / 256 níveis 256x256 / 64 níveis 256x256 / 2 níveis 32x32 / 256 níveis
  85. 85. Imagens RGB Banda R Banda G Banda B Imagem RGB
  86. 86. Imagens Digitais  Uma imagem é uma matriz bidimensional observada de forma pictórica.  Imagens de densidade demográfica, de raios x, de infravermelho, de temperaturas de uma área, etc.
  87. 87. Scanners  Monocromáticos: fila de diodos fotossensíveis em um suporte que se desloca  Coloridos: fila de diodos fotossensíveis, recobertos por filtros R, G e B, em um suporte que se desloca  Lâmpada fluorescente branca ilumina o objeto  Diodos produzem carga elétrica proporcional à intensidade da luz refletida pelo objeto
  88. 88. Scanners
  89. 89. Scanners  Th: distância entre diodos no suporte  Tv: tamanho do passo do suporte  Th e Tv definem a resolução espacial  M: profundidade de cor ou resolução de contraste  Resolução espacial: pontos por polegada (dot per inch, dpi) (1 ponto = 1 sensor em scanner monocromático, 3 sensores em scanners RGB)  1 pol = 2,54 cm.
  90. 90. Scanners  Ex: 300 x 300 dpi, digitalização de formato carta(8,5 x 11’’), no máximo  8,5x300=2550 diodos (mono) ou  3x2550=7650 diodos (cor)  Aumentar resolução vertical sem aumentar o número de sensores
  91. 91. Scanners N pontos/polegada Movimento do braço: ... M passos/polegada
  92. 92. Câmeras Digitais
  93. 93. Câmeras Digitais  Sensor de imagem: matriz de diodos fotosensíveis cobertos por filtros R, G e B  Diodos produzem carga elétrica proporcional à intensidade da luz refletida pelo objeto  Resolução espacial de câmeras: número de pontos (ou pixels), RxC (1 ponto = 3 sensores)
  94. 94. Câmeras Digitais ... ...
  95. 95. Qualidade dos Sensores  S9500 – ISO 1600  EOS350D – ISO 1600
  96. 96. Qualidade dos Sensores  EOS350D – ISO 1600  S9500 – ISO 1600
  97. 97. Câmeras Digitais  Exemplo: Sony DSC V1: 1944 x 2592 pixels = 5Mpixels. Digitalizar papel em formato carta com imagem da folha ocupando todo o sensor. Resolução (em dpi)? Comparar com scanner de 300 x 300 dpi, em qualidade, número de sensores e preço. Comparar com scanner de 2400 x 2400 dpi.
  98. 98. Câmeras Digitais  Solução:  1944 / 8,5 pol x 2592/11 pol = 228,7 dpi x = 235,6 dpi  Resolução espacial inferior à do scanner de 300 x 300 dpi, com 1944 x 2592 x 3 / 7650 = 1976 vezes mais sensores, 10 a 20 vezes mais caro, aberrações geométricas e de cor, etc.  Câmeras digitais têm escopo de aplicação maior e são mais rápidas  Scanner de 2400 x 2400 dpi = câmera de 500 Mpixels!
  99. 99. Dispositivos Gráficos  Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000 pontos (6 Mpixels), impressa em formato 15x10 cm, com o mesmo no. de pontos. Qual a resolução (dpi) no papel?
  100. 100. Dispositivos Gráficos  Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000 pontos (6 Mpixels). Imprimir em formato 15x10 cm, com o mesmo no. de pontos. Qual a resolução (dpi) no papel?  15x10 cm = 3,94 x 5,91 pol.  Resolução (dpi): 3000/5,91 = 2000/3,94 = 507x507 dpi
  101. 101. Dispositivos Gráficos  Ex: foto 10x15cm, scanneada a 1200x1200 dpi, 24 bits/pixel. Tamanho em bytes?  Dimensões impressa em 1440x1440 dpi?  Dimensões impressa em 720 x 720 dpi?  Dimensões em tela de 14 pol., resolução 1024x768? Resolução em dpi da tela?  Dimensões em tela de 17 pol., resolução 1024x768? Resolução em dpi da tela?
  102. 102. Dispositivos Gráficos  Solução:  Foto 10x15cm = 3,94 x 5,91 pol.  Tamanho em bytes: 3,94x1200 x 5,91x1200 pixels x 3 bytes/pixel = 4728 x 7092 x 3 = 100 milhões de bytes (96 MB)  Dimensões (pol) em impressora de 1440x1440 dpi: 4728/1440 x 7092/1440 = 3,3 x 4,9 pol.  Dimensões (pol.) em impressora de 720 x 720 dpi = 6,6 x 9,9 pol
  103. 103. Dispositivos Gráficos  Solução:  Dimensões em tela de 14 pol., em resolução de 1024x768 pontos? Resolução em dpi da tela? x2 + y2 = 142 x/y = 3/4 x = 8,4 pol; y = 11,2 pol.  Res. = 1024/11,2 x 768/8,4 = 91,4 x 91,4 dpi.  Dimensões = 4728 / 91,4 x 7092 / 91,4 =51,73 x 77,59 pol = 131,39 x 197,09cm (apenas parte da imagem será visível)
  104. 104. Dispositivos Gráficos  Solução:  Dimensões em tela de 17 pol., em resolução de 1024x768 pontos? Resolução em dpi da tela? y = 13,6 pol; x = 10,2 pol  Res. = 1024/13,6 x 768/10,2 = 75,3 x 75, 3 dpi (pior que no monitor de 14 pol)  Dimensões = 4728 / 75,3,4 x 7092 / 75,3 =62,79 x 94,18 pol = 159,49 x 239,22cm (apenas parte da imagem será visível)
  105. 105. Monitor CRT  A e C: Placas aceleradoras e defletoras  D: tela com pontos de fósforos RGB  F: Máscara de sombra ou grade de abertura
  106. 106. Monitor CRT
  107. 107. Monitor RGB
  108. 108. Monitor RGB Linha 0 Linha 1 Linha R-1
  109. 109. Operações com Imagens  Espaço / freqüência  Locais / pontuais  Unárias / binárias / ... / n-árias
  110. 110. Operações n-árias  Operação T sobre n imagens, f1, f2, ..., fn, produzindo imagem de saída g g = T[f1, f2, ..., fn]  Operações binárias: n = 2  Operações unárias ou filtros: n = 1 g = T[f]
  111. 111. Operações Pontuais  g(i, j) depende do valor do pixel em (i’, j’) das imagens de entrada  Se (i, j) = (i’, j’) e operação unária:s = T(r) r, s: nível de cinza de f e g em (i, j) s s (0,0) m r (0,0) m r
  112. 112. Operações Pontuais s s L-1 L-1 (r2, s2) (r1, s1) (0,0) (0,0) r L-1 r L-1
  113. 113. Operações Locais  g(i, j) depende dos valores dos pixels das imagens de entrada em uma vizinhança de (i’, j’) f g j j i i Vizinhança de (i, j)
  114. 114. Operações Locais  Exemplo: Filtro “Média” 1 g (i, j )  [ f (i  1, j  1)  f (i  1, j )  f (i  1, j  1)  9  f (i, j  1)  f (i, j )  f (i, j  1)   f (i  1, j  1)  f (i  1, j )  f (i  1, j  1)]  Operação sobre pixels da imagem original: resultado do filtro em um dado pixel não altera o resultado em outros pixels.  Primeira e última coluna/linha?
  115. 115. Filtros de suavização  Média, Moda, Mediana, Gaussiano...  Vizinhança m x n
  116. 116. Photoshop!
  117. 117. Photoshop!
  118. 118. Photoshop!
  119. 119. Photoshop!
  120. 120. Filtros de aguçamento e detecção de bordas  Efeito contrário ao de suavização: acentuam variações de intensidade entre pixels adjacentes.  Baseados no gradiente de funções bidimensionais.  Gradiente de f(x, y):  f   x   f 2 2 1 / 2      f  G[f(x, y)] = G[ f ( x, y )]         y     x      f       y 
  121. 121. Filtros de detecção de bordas  g(i, j): aproximação discreta do módulo do vetor gradiente em f(i, j).  Aproximações usuais: g(i, j) = {[f(i,j)-f(i+1,j)]2 + [f(i,j)-f(i,j+1)]2}1/2 g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j)| + |f(i,j)-f(i,j+1)| Gradiente de Roberts: g(i,j) = {[f(i,j)-f(i+1,j+1)]2+[f(i+1,j)-f(i,j+1)]2}1/2 g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j+1)| + |f(i+1,j)-f(i,j+1)|
  122. 122. Filtros de detecção de bordas Gradiente de Prewitt: g(i, j) = |f(i+1,j-1) + f(i+1, j) + f(i+1, j+1) - f(i-1, j-1) - f(i-1, j) - f(i-1, j+1)| +|f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1) - f(i-1, j-1) - f(i, j-1) - f(i+1, j-1)| Gradiente de Sobel: g(i, j) = |f(i+1, j-1) + 2f(i+1, j) + f(i+1, j+1) - f(i-1, j-1) - 2f(i-1, j) - f(i-1, j+1)| + |f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1) - f(i-1, j-1) - 2f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|
  123. 123. Gradiente de Roberts Limiares 15, 30 e 60
  124. 124. Processamento de Histograma  Se o nível de cinza l ocorre nl vezes em imagem com n pixels, então nl P(l )  n  Histograma da imagem é uma representação gráfica de nl ou P(l)
  125. 125. Histograma Histograma nl Imagem 7 6 1 0 0 3 3 5 4 0 0 3 3 3 3 1 1 1 3 3 2 1 0 0 1 2 3 l Imagem 3 x 5 (L = 4) e seu histograma
  126. 126. Histograma  O histograma representa a distribuição estatística de níveis de cinza de uma imagem nl nl nl 0 255 l 0 255 l 0 255 l
  127. 127. Histograma 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 50 100 150 200 250
  128. 128. Histograma 1500 1000 500 0 0 50 100 150 200 250
  129. 129. Expansão de Histograma  Quando uma faixa reduzida de níveis de cinza é utilizada, a expansão de histograma pode produzir uma imagem mais rica. nl nl nl A B C l l l m0=0 m1 L-1 0 m0 m1 L-1 0 m0 m1=L-1
  130. 130. Expansão de Histograma  Quando uma faixa reduzida de níveis de cinza é utilizada, a expansão de histograma pode produzir uma imagem mais rica:  r  rmin  s  T ( r )  round  r ( L  1)    max  rmin 
  131. 131. Expansão de Histograma 1500 1000 500 0 0 50 100 150 200 250 1500 1000 500 0 0 50 100 150 200 250
  132. 132. Expansão de Histograma  Expansão é ineficaz nos seguintes casos: nl nl nl A B C l l l 0 L-1 L-1 0 m0 m1 L-1 0 L-1
  133. 133. Equalização de Histograma  Se a imagem apresenta pixels de valor 0 e L-1 (ou próximos a esses extremos) a expansão de histograma é ineficaz.  Nestas situações a equalização de histograma pode produzir bons resultados.  O objetivo da equalização de histograma é gerar uma imagem com uma distribuição de níveis de cinza uniforme.
  134. 134. Equalização de Histograma  L 1 r  s  T (r )  round   nl   RC l 0  1500 1000 500 0 0 50 100 150 200 250 1500 1000 500 0 0 50 100 150 200 250
  135. 135. Equalização de Histograma  Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8 nl l nl 0 790 1200 1 1023 1000 2 850 800 3 656 600 4 329 400 5 245 200 6 122 0 7 81 0 1 2 3 4 5 6 7 l
  136. 136. Equalização de Histograma  Exemplo (cont.):  r=0s = round(790 x 7 / 4096) = 1  r=1s = round(1813 x 7 / 4096) = 3  r=2s = round(2663 x 7 / 4096) = 5  r=3s = round(3319 x 7 / 4096) = 6  r=4s = round(3648 x 7 / 4096) = 6  r=5s = round(3893 x 7 / 4096) = 7  r=6s = round(4015 x 7 / 4096) = 7  r=7s = round(4096 x 7 / 4096) = 7
  137. 137. Equalização de Histograma  Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8 l nl nk 0 0 1 790 1200 1000 2 0 800 3 1023 600 4 0 400 5 850 200 6 985 0 7 448 0 1 2 3 4 5 6 7 k
  138. 138. Equalização de Histograma nl Hist. Original nl Hist. Equal. (Ideal) nl Hist. Equal. (Real) 0 L-1 L-1 l 0 m0 m1 L-1 l 0 L-1 l
  139. 139. Equalização de Histograma  Expansão de histograma é pontual ou local? E equalização de histograma?  O que ocorre quando uma imagem com um único nível passa pela operação de equalização de histograma?  Melhor fazer equalização seguido por expansão de histograma, o inverso, ou a ordem não importa?
  140. 140. Equalização de Histograma Local  Para cada locação (i,j) de f • Calcular histograma na vizinhança de (i,j) • Calcular s = T(r) para equalização de histograma na vizinhança • G(i,j) = s
  141. 141. Controle de contraste adaptativo  c  (i, j )  [ f (i, j )   (i, j )]; (i, j )  0 g (i, j )    (i, j )  f (i, j ); (i, j )  0 
  142. 142. Controle de contraste adaptativo
  143. 143. Filtros baseados na função gaussiana  Função gaussiana:  Derivada:  Derivada segunda:
  144. 144. Filtros baseados na função gaussiana  Gaussiana, derivada e derivada segunda
  145. 145. Filtros baseados na função gaussiana  A máscara é construída pela amostragem de G(x), G’(x) e G’’(x)  x = -5σ, ...-2, -1, 0, 1, 2..., 5σ
  146. 146. Filtros gaussianos bidimensionais Com r = sqrt(x2 + y2)
  147. 147. Pseudo-cor Nível de R G B cinza 0 15 20 30 1 15 25 40 ... L-1 200 0 0
  148. 148. Outros filtros:  Curtose, máximo, mínimo etc.  Filtros de suavização + filtros de aguçamento  Laplaciano do Gaussiano (LoG)  “Emboss”  Aumento de saturação  Correção de gama  ...
  149. 149. Filtros Lineares e Invariantes ao Deslocamento  Filtro linear: T [af1 + bf2] = aT [f1] + bT [f2] para constantes arbitrárias a e b.  Filtro invariante ao deslocamento: Se g[i, j] = T [f[i, j]] então g[i - a, j – b] = T [f[i - a, j – b]].  Se i e j são coordenadas espaciais: filtros espacialmente invariantes.
  150. 150. Convolução  Convolução de s(t) e h(t):  g (t )  s (t ) * h (t )   s( )h(t   )d 
  151. 151. Convolução  g (t )  s (t ) * h (t )   s( )h(t   )d  h ( ) s(t) t3  (0,0) t0 t1 t 0 t2 h (t   ) h (  ) -t3 -t2 0   -t3+t -t2+t
  152. 152. Convolução  Observe que g(t) = 0 para t  [t0  t2 , t1  t3 ]
  153. 153. Convolução Discreta Linear  Convolução linear entre s[n] e h[n]  g[n]  s[n ] * h[n]   s[ ]h[n   ]     Se s[n] e h[n] têm N0 e N1 amostras, respectivamente => extensão com zeros: N 1 g[n]  s[n] * h[n]   s[ ]h[n   ]  0 com N = N0 + N1 – 1.
  154. 154. Convolução Discreta Linear 6 s ( ) 6 h ( ) 4 4 2 2 0 1 2 3 4 5  6 0 1 2 3 4 5  6 h (  ) 6 h(n   ) 4 4 2 2  -5 -4 -3 -2 -1 0 1 n 
  155. 155. Convolução Discreta Linear 6 s ( ) 4 2 0 1 2 3 4 5  6 6 h (  ) 4  g[0] = 3 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 
  156. 156. Convolução Discreta Linear 6 s ( ) 4 2 0 1 2 3 4 5  6 6 h (1   ) 4  g[0] = 3 2   g[1] = 8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
  157. 157. Convolução Discreta Linear 6 s[n] 6 h[n] 4 4 2 2 0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 n 30 g[n] = s[n]* h[n] 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n
  158. 158. Convolução Discreta Linear s[n] Filtro g[n] h[n]  g[n]  s[n ] * h[n]   s[ ]h[n   ]   
  159. 159. Impulso Unitário  Delta de Dirac ou (t) impulso unitário 1 contínuo  Duração = 0  Área = 1 0 t [n]  Delta de Kronecker ou impulso unitário 1 discreto 0 n
  160. 160. Sinais = somatório de impulsos  Delta de Kronecker A[n-n0] A 0 n0 n s[n]  s[0] [n]  s[1] [n  1]  .... s[ N  1] [n  ( N  1)] N 1 s[n]   s[ ] [n   ]  0
  161. 161. Resposta ao impulso  Resposta de um filtro a s[n]: N 1 N 1 g[ n]   s[ ]h[n   ]   h[ ]s[n   ]  0  0  Resposta de um filtro ao impulso N 1 N 1 g[ n]   [ ]h[n  ]   [n   ]h[ ]  0  0 N 1 h[n]   [n   ]h[ ]  0
  162. 162. Resposta ao impulso  h[n]:  Resposta ao impulso  Máscara convolucional  Kernel do filtro  Vetor de coeficientes do filtro
  163. 163. Filtros FIR  Finite Impulse Response N 1 y[n]   ak x[n  k ] k 0 ak  h[k ]
  164. 164. Filtros IIR  Infinite Impulse Response N 1 M 1 y[n]   ak x[n  k ]   bk y[n  k ] k 0 k 1  Filtros recursivos
  165. 165. Filtros IIR (exemplo)  Encontre a resposta ao impulso do seguinte sistema recursivo. Supor que o sistema está originalmente relaxado (y[n] = 0 para n < 0) y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]
  166. 166. Filtros IIR (exemplo)  Exemplo:  y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]  y[0] = delta[0]–delta[-1]–0,5y[-1] = 1  y[1] = delta[1]–delta[0]–0,5y[0] = -1,5  y[2] = delta[2]–delta[1]–0,5y[1] = 0,75  y[3]= delta[3]–delta[2]–0,5y[2] = -0,325  y[n] = -0,5y[n-1], n > 1
  167. 167. Filtros IIR (exemplo 2)  Exemplo: encontre a resposta ao impulso do seguinte sistema recursivo. Supor que o sistema está originalmente relaxado (y[n] = 0 para n < 0) y[n] - y[n-1] = x[n] - x[n-4]
  168. 168. Filtros IIR (exemplo 2)  Exemplo (Solução)  y[n] = y[n-1] + x[n] - x[n-4]  y[0] = y[-1] + delta[0] - delta[-4] = 1  y[1] = y[0] + delta[1] - delta[-3] = 1  y[2] = y[1] + delta[2] - delta[-2] = 1  y[3] = y[2] + delta[3] - delta[-1] = 1  y[4] = y[3] + delta[4] - delta[0] = 0  y[5] = y[4] + delta[5] - delta[1] = 0  y[6] = y[7] = ... = 0
  169. 169. Convolução Discreta Circular  Sinais s[n] e h[n] com N0 e N1 amostras, respectivamente => extensão com zeros: s[n ], 0  n  N 0 h[n ], 0  n  N1 s e [n ]   he [n ]   0, N 0  n  N 0, N1  n  N  Extensão periódica: considera-se que se[n] e he[n] são períodos de sp[n] e hp[n]  Convolução circular: N 1 g p [n]  s[n]  h[n]   s p [ ]h p [n   ]  0
  170. 170. Convolução Circular x Linear  Fazendo-se N = N0 + N1 – 1 s[n]  h[n]  s[n] * h[n]
  171. 171. Convolução de Imagens  f[i, j] (R0xC0) e h[i, j] (R1xC1): extensão por zeros R 1 C 1 g[i, j ]  f [i, j ] * h[i, j ]    f [ ,  ]h[i   , j   ]  0  0 R 1 C 1 g p [i, j ]  f [i, j ]  h[i, j ]    f p [ ,  ]h p [i   , j   ]  0   0  Iguais se R=R0+R1–1 e C=C0+C1–1
  172. 172. Máscaras Convolucionais 1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 1 0 -1 -1 8 -1 -1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 -1 1/9 1/9 1/9 0.025 0.1 0.025 1/9 1/9 1/9 0.1 0.5 0.1 1/9 1/9 1/9 0.025 0.1 0.025
  173. 173. Operador de Bordas de Kirsch 5 5 5 -3 5 5 -3 -3 5 -3 0 -3 -3 0 5 -3 0 5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 ... -3 0 5 -3 0 -3 -3 5 5 5 5 5  Filtragem sucessiva com cada máscara  Pixel de saída recebe o valor máximo
  174. 174. Máscaras Convolucionais  Em geral:  Máscaras de integração somam para 1  Máscaras de diferenciação somam para 0
  175. 175. Transformada z  Transformada z de x[n]:  Z{x[n]}  X [ z ]   x[n] z  n n   z: variável complexa
  176. 176. Propriedades da Transformada z  Linearidade: Se x[n] = ax1[n] + bx2[n], (a e b: constantes arbitrárias), então: X [ z]  aX1[ z]  bX 2 [ z]
  177. 177. Propriedades da Transformada z  Deslocamento: Z{x[n+k]} = zkX[z], k inteiro  Prova:  Z{x[n  k ]}   x[n  k ]z  n n    Fazendo m = n+k:   Z{x[n  k ]}   x[m]z  (n  k )  z k  x[m]z  n  z k X [ z ] m   m  
  178. 178. Propriedades da Transformada z  Convolução:  y[n]  h[n] * x[n]   h[k ]x[n  k ]  Y [ z]  H [ z] X [ z] k    Se h[n] é a resposta ao impulso de um filtro, H[z] é a função de transferência do filtro
  179. 179. Propriedades da Transformada z  Convolução (Prova)     n Z{h[n] * x[n]}     h[k ]x[n  k ] z n   k           h[k ]x[n  k ]z  n k   n       h[k ]z  k  x[n]z  n k   n    H [ z] X [ z]
  180. 180. Função de Transferência  Equação de diferenças de um filtro N 1 M 1 y[n]   ak x[n  k ]   bk y[n  k ] k 0 k 1 M 1 N 1  bk y[n  k ]   ak x[n  k ] k 0 k 0 b0  1
  181. 181. Função de Transferência  Transformada Z da Equação de diferenças M 1     N 1    Z   bk y[n  k ]  Z   a k x[n  k ]  k 0     k 0    M 1 N 1  bk Z{ y[n  k ]}   ak Z{ x[n  k ]} k 0 k 0 M 1 N 1  bk z  k Y [ z ]   ak z  k X [z ] k 0 k 0
  182. 182. Função de Transferência  Aplicando a transformada z em ambos os lados e simplificando: N 1  ak z  k Y [ z] k 0 H [ z]   X [ z] M 1 1  bk z  k k 1  Pólos: raízes do denominador  Zeros: raízes do numerador  Pólos e zeros: estabilidade
  183. 183. Função de Transferência  BIBO: Bounded-input, bounded- output  Sistemas BIBO-estáveis: sistemas causais tais que:   | h[k ] |   k 0
  184. 184. Estimação da Resposta em Freqüência  Resposta em freq. a partir de H[z]  H [ z]   h[n]z  n n    H [ e j ]   h[n]e  jn , 0    2 n    Comparar com N 1 j 2un 1  F [u ]  N  s[n]e N n 0
  185. 185. Estimação da Resposta em Freqüência  Exemplo: encontre a resposta em freqüência do filtro y[n] = (x[n] + x[n-1])/2 utilizando a transformada Z Y[z] = (X[z] + z-1X[z] )/2 = X[z](1+z-1)/2 H[z] = (1+z-1)/2 H[ejw] = (1+e-jw)/2 = e-jw/2 (ejw/2 + e-jw/2)/2 = e-jw/2cos(w/2)  |H[ejw]| = cos(w/2), -pi< w < pi
  186. 186. Estimação da Resposta em Freqüência  Exemplo: encontre a resposta em freqüência do filtro y[n] = (x[n] - x[n-1])/2 utilizando a transformada Z Y[z] = (X[z] - z-1X[z] )/2 = X[z](1-z-1)/2 H[z] = (1-z-1)/2 H[ejw] = (1-e-jw)/2 = e-jw/2 (ejw/2 - e-jw/2)/2 = je-jw/2sen(w/2)  |H[ejw]| = |sen(w/2)|, -pi< w < pi
  187. 187. Correlação  Convolução:  g[n]  s[n ] * h[n]   s[ ]h[n   ]     Correlação:  g[n]  s[n]  h[n]   s[ ]h[  n]     Quando um dos sinais é par, correlação = convolução
  188. 188. Correlação  Exemplo: h[-1] = 3; h[0] = 7; h[1] = 5; s[0..15] = {3, 2, 4, 1, 3, 8, 4, 0, 3, 8, 0, 7, 7, 7, 1, 2}  Extensão com zeros
  189. 189. Correlação  Exemplo: g[1]  s[0]h[1]  15 1 g[0]   s[ ]h[ ]  s[0]h[0]  s[1]h[1]  31  0 2 g[1]   s[ ]h[  1]  s[0]h[1]  s[1]h[0]  s[2]h[1]  43  0 3 g[2]   s[ ]h[  2]  s[1]h[1]  s[2]h[0]  s[3]h[1]  39  1 ...
  190. 190. Correlação  Exemplo: g[0..15] = 31, 43, 39, 34, 64, 85, 52, 27, 61, 65, 59, 84, 105, 75, 38, 27  Observe que g[5] é elevado, pois é obtido centrando h em s[5] e calculando a correlação entre (3, 7, 5) e (3, 8, 4)  Mas g[12] é ainda maior, devido aos valores elevados de s[11..13]
  191. 191. Correlação Normalizada  A correlação normalizada elimina a dependência dos valores absolutos dos sinais:   s[ ]h[  n] g[n]  s[n]  h[n]        ( s[ ]) 2  (h[  n]) 2      
  192. 192. Correlação Normalizada  Resultado para o exemplo anterior:  g[0..15] = .??? .877 .934 .73 .81 .989 .64 .59 .78 .835 .61 .931 .95 .83 .57 .???  Valor máximo: g[5]
  193. 193. Detecção e estimação Fonte: http://www.dspguide.com/ch7/3.htm
  194. 194. Detecção e estimação  Gaivota, “filtro casado” (olho) e imagem de correlação normalizada (máximo no olho) Fonte: http://www.dca.fee.unicamp.br/dipcourse/html-dip/c6/s5/front-page.html
  195. 195. Estimação Espectral  O cálculo direto do espectro de amplitudes e fases não é fidedigno  O espectro pode variar muito em diferentes seções de um mesmo sinal.  Variância é um indicador de qualidade  O problema pode ser causado por ruído, escassez de dados, comportamento não estacionário etc.
  196. 196. Periodograma  O quadrado do módulo do espectro de amplitudes: densidade espectral de potência (PSD), ou espectro de potência  Periodograma: dividir sinal em K seções adjacentes (com ou sem intersecção) de mesmo tamanho; obter PSD de cada seção; obter média das PSDs  Variância se reduz por fator K1/2  Resolução espectral diminui
  197. 197. Janelamento (windowing)  Todo sinal discreto obtido a partir de um sinal analógico é resultado da multiplicação de um sinal discreto de duração infinita por um pulso, ou janela, retangular: 1 0  n  N wn   0 caso contrário
  198. 198. Janelamento (windowing)  A janela retangular pode gerar grandes descontinuidades na forma de onda original
  199. 199. Janelamento (windowing)  Multiplicação no tempo equivale a convolução na freqüência (Fourier)  DFT da janela retangular: função sinc (sine cardinal, kernel de Dirichlet, função de amostragem): 1 x0  sinc( x)   sen x  x caso contrário 
  200. 200. Janelamento (windowing)  A convolução com um sinc introduz distorções no espectro  Janelas mais “suaves” reduzem estas distorções, mas distorcem mais as amostras centrais-> Compromisso  Dezenas dessas janelas tem sido avaliadas e utilizadas em diversas aplicações
  201. 201. Janela de Hamming   2n  0,54  0,46 cos  0nN wn    N 1 0 caso contrário 
  202. 202. Janela de Hamming  Seno multiplicado por janela retangular e de Hamming
  203. 203. Janela de Hamming  DFT de seno multiplicado por janela retangular e de Hamming
  204. 204. Outras Janelas  Blackman-Harris, Dolph-Chebyshev, Kaiser-Bessel (superiores?)  Tukey, Poisson, Hanning etc
  205. 205. Dissolve Cruzado  ht (i, j)= (1 - t) f(i, j) + t g(i, j)  t é um escalar no intervalo [0, 1]
  206. 206. Dissolve Cruzado t = 0,3 t = 0,5 t = 0,7
  207. 207. Dissolve Cruzado Não- Uniforme  ht(i, j)= [1 - t(i, j)] f(i, j) + t(i, j) g(i, j)  t é uma matriz com as mesmas dimensões de f e g cujos elementos assumem valores no intervalo [0, 1]
  208. 208. Dissolve Cruzado Não- Uniforme t(i,j)=(i+j)/(R+C-2) t(i,j)=j/(C-1) t(i,j)=i/(R-1)
  209. 209. Detecção de Movimento L  1, se | f1  f 2 | Lt g 0, caso contrario f1 f2 g
  210. 210. Redução de Ruído por Média de Imagens  f[i, j] imagem sem ruído  nk(i, j) ruído de média m  gk[i,j] = f[i,j] + nk(i,j) M  1 g [i, j ]  g k [i, j ] M k 1
  211. 211. Redução de Ruído por Média de Imagens M  1 g [i, j ]  ( f [i, j ]  nk (i, j )) M k 1 M  1 g [i, j ]  f [i, j ]  nk (i, j ) M k 1  Para M grande: g[i, j ]  f [i, j ]  m
  212. 212. Operações Topológicas  Rígidas  Translação  Rebatimento  Rotação  Mudança de Escala  Não rígidas (Warping)
  213. 213. Rotação  Rotação em torno de (ic, jc) i'  (i  ic ) cos   ( j  jc ) sen   ic j '  (i  ic ) sen   ( j  jc ) cos   jc
  214. 214. Rotação e Rebatimento Imagem original Rebatimento pela Rotação de 90 diagonal graus em torno de (R/2,C/2)
  215. 215. Ampliação (Zoom in)  Por replicação de pixels Original Ampliação por fator 3 10 10 10 10 10 10 10 10 20 30 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 20 30 30 30 20 20 20 30 30 30 20 20 20 30 30 30
  216. 216. Ampliação (Zoom in)  Por interpolação bilinear Original Ampliação por fator 3 10 10 10 10 10 10 10 10 20 30 Interpolação nas linhas Passos de níveis de cinza: 20 23 27 30 33 37 10 a 10: 0 20 a 30: (30-20)/3 = 3,3
  217. 217. Ampliação (Zoom in)  Por interpolação bilinear Original Ampliação por fator 3 10 10 10 10 10 10 10 10 20 30 13 14 16 17 18 19 Interpolação nas colunas 17 19 21 23 25 28 Passos de níveis de cinza: 20 23 27 30 33 37 10 a 20: (20-10)/3 = 3,3 10 a 23: (23-10)/3 = 4,3 23 27 33 37 41 46 10 a 27: (27-10)/3 = 5,7 27 32 38 43 48 55 ...
  218. 218. Ampliação (Zoom in)  Exemplo: Ampliação por fator 10 Original Replicação Interpolação
  219. 219. Redução (Zoom out)  Por eliminação de pixel  Por Média Original Redução por fator 3 10 10 10 10 10 10 14 18 13 14 16 17 18 19 28 41 17 19 21 23 25 28 20 23 27 30 33 37 23 27 33 37 41 46 27 32 38 43 48 55
  220. 220. Reconstrução de Imagens  Zoom por fatores não inteiros  Ex: F = 3,75432  Operações elásticas, etc.  Técnicas mais avançadas devem ser utilizadas  Uma dessas técnicas é a reconstrução de imagens
  221. 221. Reconstrução de imagens  Dados f(i,j), f(i,j+1), f(i+1,j), f(i+1,j+1) (i, j) (i, y) (i, j+1)  Reconstrução: Encontrar f(x,y), (x,y) x em [i, i+1] y em [j, j+1] (i+1, j) (i+1, y) (i+1, j+1)
  222. 222. Reconstrução de imagens por interpolação bilinear  f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]  f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]  f(x, y) = f(i, y) + (x – i) [f(i+1, y) - f(i, y)] (i, j) (i, y) (i, j+1) (x,y) (i+1, j) (i+1, y) (i+1, j+1)
  223. 223. Reconstrução de imagens  Ex: f(10.5, 15.2)=?  f(10, 15) = 10; f(10, 16) = 20; f(11,15) = 30; f(11, 16) = 30
  224. 224. Reconstrução de imagens Solução: x = 10.5; y = 15.2 => i = 10; j = 15 f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)] f(10, 15.2)=f(10,15)+(15.2-15)*[f(10,16)-f(10,15) = 10 + 0.2*[20 – 10] = 12 f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)] f(11, 15.2)=f(11,15)+(15.2-15)*[f(11,16)-f(11,15) =30 + 0.2*[30 – 30] = 30 f(x, y) = f(i, y) + (x–i) [f(i+1, y) - f(i, y)] f(10.5, 15.2)=12+(10.5-10)*[30-12] =21
  225. 225. Zoom por reconstrução de imagens Ex: Ampliação por fator 2.3 Passo para as coordenadas: 1/2.3 = 0.43 x = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04... y = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04... g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 0.43); g(0,2) = f(0, 0.87); g(0,3) = f(0, 1.30);... Ex: Redução por fator 2.3 x = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8... y = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8... g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 2.3); g(0,2) = f(0, 4.6); g(0,3) = f(0,6.9);...
  226. 226. Operações Topológicas Não Rígidas (warping)  Warping = distorção  Zoom por fator F(i, j)  Rotação por ângulo teta(i,j)  Translação com deslocamento d(i,j)  Warping especificado pelo usuário
  227. 227. Warping baseado em Campos  Entretenimento  Efeitos especiais, morphing  Correção de distorções óticas  Alinhamento de elementos correspondentes em duas ou mais imagens (registro)  Modelagem e visualização de deformações físicas
  228. 228. Warping baseado em Campos 1. Características importantes da imagem são marcados por segmentos de reta orientados (vetores de referência) 2. Para cada vetor de referência, um vetor alvo é especificado, indicando a transformação que se pretende realizar
  229. 229. Warping baseado em Campos 3. Para cada par de vetores referência-alvo, encontra-se o ponto X’ para onde um ponto X da imagem deve migrar, de forma que as relações espaciais entre X’ e o vetor alvo sejam idênticas àquelas entre X e o vetor de referência 4. Parâmetros para as relações espaciais : u e v
  230. 230. Warping baseado em Campos
  231. 231. Warping baseado em Campos  u: representa o deslocamento normalizado de P até O no sentido do vetor PQ (Normalizado: dividido pelo módulo de PQ)  |v|: distância de X à reta suporte de PQ
  232. 232. Warping baseado em Campos  Se O=P, u = 0  Se O=Q, u = 1  Se O entre P e Q, 0<u<1;  Se O após Q, u>1  Se O antes de P, u<0
  233. 233. Warping baseado em Campos  Encontrar u e v: norma, produto interno, vetores perpendiculares, projeção de um vetor sobre outro.  Vetores a = (x1, y1) e b = (x2, y2)  Norma de a: || a ||  x  y 2 1 2 1  Produto interno: a.b = x1x2 +y1y2
  234. 234. Warping baseado em Campos  “Norma” da projeção de a sobre b (o sinal indica o sentido em relação a b) a a.b || c ||  || b || b c
  235. 235. Warping baseado em Campos  Vetor b = (x2, y2) perpendicular a a = (x1, y1) e de norma igual à de a: b a  Perpendicularidade: x1x2 +y1y2 = 0  Mesma norma: x22 + y22 = x12 + y12
  236. 236. Warping baseado em Campos  Soluções: x2 = y1, y2 = -x1 x2 = -y1, y2 = x1 b a b’
  237. 237. Warping baseado em Campos  Parâmetro u: “norma” da projeção de PX sobre PQ, dividido pela norma de PQ PX .PQ u 2 || PQ ||
  238. 238. Warping baseado em Campos  P = (xp,yp), Q = (xq, yq), X = (x,y) PX .PQ u 2 || PQ || u = (x - xp).(xq - xp) + (y -yp)(yq – yp) (xq-xp)2 + (yq-yp)2
  239. 239. Warping baseado em Campos  Parâmetro v: distância de X à reta suporte de PQ PX .  PQ v || PQ ||  v: vetor perpendicular a v e de mesma norma que este.
  240. 240. Warping baseado em Campos  PQ = (Xq-Xp, Yq-Yp) PQ1 = (Yq–Yp, Xp-Xq) PQ2 = (Yp–Yq, Xq-Xp)  Vamos usar PQ1
  241. 241. Warping baseado em Campos  Parâmetro v: PX .  PQ v || PQ || v = (x-xp)(yq-yp) + (y-yp)(xp–xq) [(xq-xp)2 + (yq-yp)2]1/2
  242. 242. Warping baseado em Campos  Cálculo de X’: v.  P ' Q' X '  P'u.P' Q' || P' Q' ||
  243. 243. Warping baseado em Campos PX .PQ u 2 || PQ || PX .  PQ v || PQ || v.  P ' Q' X '  P'u.P' Q' || P' Q' ||
  244. 244. Warping baseado em Campos  Quando há mais de um par de vetores referência-alvo, cada pixel sofre a influência de todos os pares de vetores  Será encontrado um ponto Xi’ diferente para cada par de vetores referência-alvo.  Os diferentes pontos para os quais o ponto X da imagem original seria levado por cada par de vetores referência-alvo são combinados por intermédio de uma média ponderada, produzindo o ponto X’ para onde X será efetivamente levado.
  245. 245. Warping baseado em Campos
  246. 246. Warping baseado em Campos  Peso da coordenada definida pelo i-ésimo par de vetores de referência-alvo: di: Distância entre X e o segmento PiQi li: ||Pi Qi|| a, b e p : Parâmetros não negativos
  247. 247. Warping baseado em Campos  Relação inversa com a distância entre a reta e o ponto X  Parâmetro a : Aderência ao segmento  a = 0 (Peso infinito ou aderência máxima)
  248. 248. Warping baseado em Campos  Parâmetro p controla a importância do tamanho do segmento  p = 0: independe do tamanho do segmento
  249. 249. Warping baseado em Campos  Parâmetro b controla a forma como a influência decresce em função da distância  b = 0: peso independe da distância
  250. 250. Warping baseado em Campos  Bons resultados são obtidos com: a entre 0 e 1 b=2 p = 0 ou p = 1.
  251. 251. Warping baseado em Campos  Exemplo: P0 = (40, 10); Q0 = (20, 5) P0’ = (35, 15); Q0’ = (25, 20) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 P1 = (20, 30); Q1 = (10, 35) 0 Q1‟ P1’ = (25, 50); Q1’ = (5, 40) 5 Q1 X = (20, 25) 10 u0 = [(20-40) (20-40) + (25- 15 10)(5-10)] / [(20-40)2+ X (5-10)2] = 0.76 20 Q0 P1 v0 = [(20-40) (5-10) + (25- 25 Q0‟ P1‟ 10)(40-20)] / [(20-40)2+ 30 (5-10)2]1/2 = 19.40 35 X0’ = (35, 10) + 0.76 (25-35, P0‟ 20-15) + 19.4 (20-15, 35- 40 P0 X0‟ 25) / [(25-35)2 + (20- 45 15)2]1/2 X0’ = (36.03, 31.17) 50
  252. 252. Warping baseado em Campos  Exemplo (cont): u1 = [(20-20) (10-20) + (25-30)(35-30)] / [(10- 20)2+ (35-30)2] = - 0.2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 v1 = [(20-20) (35-30) + 0 (25-30)(20-10)] / [(10- 5 Q1‟ 20)2+ (35-30)2]1/2 = - 10 Q1 4,47 15 X1’ = (25, 50) - 0.2 (5-25, X 40-50) -4,47 (40-50, 20 Q0 25-5) / [(25-5)2 + (40- 25 Q0‟ P1 50)2]1/2 P1‟ X1’ = (25, 50) + (4.6, 2) + 30 (2, -3.99) = (31.6, 35 X1‟ 48,01) 40 P0‟ X0‟ P0 45 50
  253. 253. Warping baseado em Campos  Exemplo (cont): Dados a = 0.1; b = 2; p= 0 wi = 1/[0.1+di]2 d0 = v0 = 19.4 => w0 = 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 0.0026 0 5 Q1‟ d1 = distância de X a P1 = Q1 [(20-20)2 + (25-30)2]1/2 10 = 5 =>: w1 = 0.0384 15 X’ = [0.0026* (36.03, 20 Q0 X 31.17) + 0.0384*(31.6, P1 48,01)]/( 0.0026+ 25 Q0‟ P1‟ 0.0384) 30 X‟ X’ = (31.88, 46,94) X1‟ 35 P0‟ X0‟ 40 P0 45 50
  254. 254. Morphing  Interpolação de formas e cores entre duas imagens distintas (f0 e fN-1)  Encontrar imagens f1, f2, ..., fN-2: transição gradual de f0 a fN-1  Efeitos especiais na publicidade e na indústria cinematográfica; realidade virtual; compressão de vídeo; etc.
  255. 255. Morphing
  256. 256. Morphing Warping de f0 cki f0 fN-1 ai bi “+” Warping de fN-1 cki
  257. 257. Morphing ai c1i c2i c3i c4i c5i c6i c7i c8i c9i bi
  258. 258. Morphing
  259. 259. Técnicas no Domínio da Freqüência  Conversão ao domínio da freqüência: transformadas  Processamento e análise no domínio da freqüência  Fourier, Cosseno Discreta, Wavelets, etc.
  260. 260. Cosseno Analógico  f: freqüência x(t )  A cos2ft     T=1/f: período A   : fase  A: amplitude  Gráfico para fase nula e A>0 T
  261. 261. Uma Família de Funções Cosseno Analógicas xk (t )  Ak cos2f k t   k , k  0, 1, ..., N  1  fk: freqüência do k-ésimo cosseno  Tk =1/fk: período do k-ésimo cosseno   k : fase do k-ésimo cosseno  Ak: amplitude do k-ésimo cosseno
  262. 262. Uma Família de Funções Cosseno Discretas x k [n]  Ak cos2f k n   k , n  0,1,...,N  1 k = 0,1,...N-1
  263. 263. Uma Família de Funções Cosseno Discretas 1/ 2 2 Ak    ck X k N 1/2 1/2  para k  0 ck  1  para k  1, 2, ... N - 1 k 2N k fk  Tk  k  2N k 2N 1/ 2 2  (2n  1)k  x k [n ]    c k X k cos  , n  0,1,...,N  1 N  2N 
  264. 264. Uma Família de Funções Cosseno Discretas 1/ 2 2  (2n  1)k  x k [n ]    c k X k cos  , n  0,1,...,N  1 N  2N   f0  0 1/ 2  2  1 1/ 2 k 0  x0[n]      X 0 , n  0,1,...,N  1  0  0  N  2 1 k  1  f1   T1  2 N (meio-período em N amostras) 2N N 1 2N k  N  1  f N 1   TN 1  2N N 1
  265. 265. Uma Família de Funções Cosseno Discretas  xk[n] (N = 64, Xk = 10). 2 1 0 -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 k=1 Meio-ciclo
  266. 266. Uma Família de Funções Cosseno Discretas 2 1 k=2 0 1 ciclo -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 2 1 k=3 0 1,5 ciclo -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70
  267. 267. Uma Família de Funções Cosseno Discretas 2 k=32 1 16 ciclos 0 -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 2 1 Para 0 visualização -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70
  268. 268. Uma Família de Funções Cosseno Discretas 2 k=63 1 31,5 ciclos 0 -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 2 1 Para 0 visualização -1 -2 0 10 20 30 40 50 60 70
  269. 269. Uma Família de Funções Cosseno Discretas  Amostragem de um sinal periódico não necessariamente produz um sinal de mesmo período (ou mesmo periódico).
  270. 270. Somando Cossenos Discretos  Criar um sinal x[n] somando-se os sinais xk[n], k = 0...N-1, amostra a amostra: N 1 x[n]   x k [n], n 0,1,...,N  1 k 0 1 / 2 N 1 2  (2n  1)k  x[n ]     ck X k cos  2 N , n  0,1,...,N  1 N k 0  
  271. 271. Somando Cossenos Discretos  Exemplo:  N = 8; X0 = 10; X1 = 5; X2 = 8,5; X3 = 2; X4 = 1; X5 = 1,5; X6 = 0; X7 = 0,1. 5 1/ 2 11 4 x 0 [n ]    10 22 3 =3.5355 2 0 2 4 6 8
  272. 272. Somando Cossenos Discretos  X1 = 5 4 5  (2n  1)  x1 [n ]  cos  2 2  16   0 =2.4520; 2.0787; 1.3889; -2 0.4877; -0.4877; -1.3889; -4 0 2 4 6 8 -2.0787; -2.4520 6 4 x0[n]+x1[n] 2 0 0 2 4 6 8
  273. 273. Somando Cossenos Discretos  X2 = 8,5 8.5  (2n  1)2  x 2 [n ]  4 cos   2 2  16  0 = 3.9265; 1.6264; -1.6264; -2 -3.9265; -3.9265; -1.626; -4 0 2 4 6 8 1.6264; 3.9265 10 5 x0[n]+x1[n] +x2[n] 0 -5 0 2 4 6 8
  274. 274. Somando Cossenos Discretos  X3 = 2 1 2  (2n  1)3  x 3 [n ]  cos   0.5 2  16  0 = 0.8315; -0.1951; -0.9808; -0.5 -0.5556; 0.5556; 0.9808; -1 0 2 4 6 8 0.1951; -0.8315 15 10 5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] 0 -5 0 2 4 6 8
  275. 275. Somando Cossenos Discretos  X4 = 1 0.4 1  (2n  1)4  x 4 [n ]  cos     0.2 2 16 0 = 0.3536; -0.3536; -0.3536; -0.2 0.3536; 0.3536; -0.3536; -0.4 0 2 4 6 8 -0.3536; 0.3536 15 10 5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] 0 +x4[n] -5 0 2 4 6 8
  276. 276. Somando Cossenos Discretos  X5 = 1,5 1 1.5  (2n  1)5  x 5 [n ]  cos     0.5 2 16 0 -0.5 = 0.4167 -0.7356 0.1463 0.6236 -0.6236 -0.1463 -1 0 2 4 6 8 0.7356 -0.4167 15 10 5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] 0 +x4[n]+x5[n] -5 0 2 4 6 8
  277. 277. Somando Cossenos Discretos  X6 = 0 0  (2n  1)6  x 6 [n ]  cos  1 0.5 2  16   =0 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 15 10 5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] 0 +x4[n]+x5[n]+x6[n] -5 0 2 4 6 8
  278. 278. Somando Cossenos Discretos  X7 = 0,1 0.1  (2n  1)7  x 7 [n ]  0.05 cos   2  16  0 = 0.0098; -0.0278; 0.0416; -0.0490’; 0.0490; -0.0416; -0.05 0 2 4 6 8 0.0278; -0.0098 15 10 5 x[n]=x0[n]+x1[n]+x2[n]+ 0 x3[n] +x4[n]+x5[n]+x6[n] -5 +x7[n] 0 2 4 6 8
  279. 279. Somando Cossenos Discretos  X[k] é um sinal digital: X[k]= X0, X1,...XN-1  Exemplo: X[k]=10;5;8.5;2;1;1.5;0;0.1  Dado X[k] pode-se obter x[n]  X[k]: representação alternativa para x[n] X[k] x[n] 10 15 10 5 5 0 0 -5 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
  280. 280. Somando Cossenos Discretos  xk[n]: cosseno componente de x[n], de freqüência fk = k/2N; ou  xk[n]: componente de freqüência fk = k/2N;  X[k]: Diretamente relacionado com a amplitude da componente de freqüência fk = k/2N  X[k] representa a importância da componente de freqüência fk = k/2N
  281. 281. Transformada Cosseno Discreta (DCT)  DCT de x[n]: 1/ 2 N 1 2  (2n  1)k  X [k ]    ck  x[n] cos  , k  0,1,...,N  1 N n 0  2N   Transformada DCT inversa (IDCT) de X[k]: 1 / 2 N 1 2  (2n  1)k  x[n]     ck X [k ] cos  2 N , n  0,1,...,N  1 N k 0  
  282. 282. Transformada Cosseno Discreta (DCT)  X[k]: coeficientes DCT  X: representação de x no domínio da freqüência  X[0]: coeficiente DC (Direct Current)  X[1]...X[N-1]: coeficientes AC (Alternate Current)  Complexidade  Algoritmos eficientes: FDCT
  283. 283. DCT – Exemplo 1 g1 0.1 0 -0.1 -0.2 0 20 40 60 80 100 120 g3 g1+ g3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120
  284. 284. DCT – Exemplo 1 (Cont.) g10 g1+g3+g10 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 g118 g1+g3+g10+g118 + 2 0.1 1 0 0 -0.1 -1 -2 -0.2 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120
  285. 285. DCT – Exemplo 2 60  1 π  f1[n]  29.99 cos 2 π n  40  2N 2N  20 0 -20 -40 -60 0 10 20 30 40 50 60 60  2 π  150 f1  f 2 f 2 [n]  48.54 cos 2 π n  40  2N 2N  100 20 50 0 -20 0 -40 -50 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
  286. 286. DCT – Exemplo 2 (Cont.) 60  3 π  150 f1  f 2  f 3 f 3 [n]  34.23 cos 2 π n  40  2N 2N  100 20 50 0 -20 0 -40 -50 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 1000 10 20 30 40 50 60 60  4 π  150 f1  f 2  ...  f 4 f 4 [n]  -35.19 cos 2π n  40  2N 2N  100 20 50 0 -20 0 -40 -50 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
  287. 287. DCT – Exemplo 2 (Cont.) 150 60  5 π  f 1  f 2  ...  f 6 f 5 [n]  -34.55 cos 2π n  40  2N 2N  100 20 50 0 0 -20 -50 -40 - -60 100 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 150 60  6 π  f 1  f 2  ...  f 6 f 6 [n]  -33.29 cos 2 π n  40  2N 2N  100 20 50 0 0 -20 -50 -40 -60 - 100 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
  288. 288. DCT – Exemplo 2 (Cont.) 200 60  7 π  f 1  f 2  ...  f 7 f 7 [n]  -63.42 cos 2π n  150 40  2N 2N  100 20 50 0 0 -20 -40 -50 -60 - 1000 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 60  8 π  f1  f 2  ...  f 8 f 8 [n]  -42.82 cos 2π n  200 40  2N 2N  150 20 100 0 50 -20 0 -40 -50 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 100
  289. 289. DCT – Exemplo 2 (Cont.) 60  9 π  f1  f 2  ...  f 9 f 9 [n]  -10.31cos 2 π n  200 40  2N 2N  150 20 100 0 50 -20 0 -40 -50 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 1000 10 20 30 40 50 60 60  10 π  f1  f 2  ...  f10 f10 [n]  7.18 cos 2 π n  200 40  2N 2N  150 20 100 0 50 -20 0 -40 -50 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 1000 10 20 30 40 50 60
  290. 290. DCT – Exemplo 2 (Cont.) 600 60  20 π  f 1  f 2  ...  f 20 f 20 [n]  -62.24 cos 2π n  40  2N 2N  400 20 0 200 -20 0 -40 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 2000 10 20 30 40 50 60 60  40 π  100 f1  f 2  ...  f 40 f 40 [n]  35.54 cos 2 π n  40  2N 2N  0 800 20 600 0 400 -20 200 -40 0 -60 - 200 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
  291. 291. DCT – Exemplo 2 (Cont.) 60  60 π  120 f1  f 2  ...  f 60 f 60 [n]  -6.73 cos 2π n  0 40  2N 2N  100 0800 20 600 0 400 -20 200 -40 0 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 2000 10 20 30 40 50 60 60  63 π  120 f1  f 2  ...  f 63 f 63 [n]  -1.51cos 2 π n   2N 2N  0 100 40 0800 20 600 0 400 -20 200 -40 0 -60 - 0 10 20 30 40 50 60 2000 10 20 30 40 50 60
  292. 292. DCT – Exemplo 3 1250 1200 Sinal 1150 1100 eletrocardiográfico, 1050 2048 amostras 1000 950 900 850 0 500 1000 1500 2000 400 DCT do sinal 200 eletrocardiográfico 0 (sem termo DC) -200 -400 0 500 1000 1500 2000

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