Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Il Caos Deterministico

6,125 views

Published on

Tesina Il Caos Deterministico di Federico Indino

Published in: Education, Travel, Business
  • Be the first to comment

Il Caos Deterministico

  1. 1. Federico Indino<br />VD<br />IL CAOS DETERMINISTICO<br />Dalle origini <br />del concetto di caos <br />alle moderne applicazioni <br />di una nuova scienza<br />
  2. 2. Le radici del concetto<br /> di caos…<br />Casma<br />Cascw<br />(sto aperto, sto spalancato)<br />(voragine, apertura)<br />Caos<br />Caos<br />(baratro, abisso)<br />
  3. 3. …la Teogonia di Esiodo<br />Teogonia<br />vv. 116-123<br />“Dunque in principio fu Caos; poi subito<br />Gea dall’ampio seno, per sempre sicura dimora di tutti <br />gli immortali che possiedono la vetta dell’Olimpo nevoso, <br />e il Tartaro tenebroso negli abissi della terra dagli ampi cammini, <br />quindi Eros, il più bello tra gli dei immortali, <br />che scioglie le membra e di tutti gli dei e di tutti gli uomini<br />doma nei petti la mente e l’assennato consiglio. <br />Da Caos nacquero Tenebra e la nera Notte…”<br />Esiodo<br />
  4. 4. L’origine del caos:<br />i modelli matematici<br />Che cos’è un modello?<br />E qual è la sua funzione?<br /><ul><li>Un modello è una semplificazione della realtà ottenuta attraverso un processo di astrazione
  5. 5. Individua le proprietà più importanti del sistema in analisi
  6. 6. Trascura le caratteristiche secondarie
  7. 7. Permette di ottenere una simulazione più o meno fedele della realtà</li></li></ul><li>Dal determinismo classico…<br />“Un’intelligenza che, per un istante dato, conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse abbastanza vasta da sottoporre questi dati ad analisi abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell’Universo e quelli dell’atomo più leggero: per essa non ci sarebbe nulla di incerto, e il futuro come il passato sarebbe presente ai suoi occhi.<br />Lo spirito umano offre, nella perfezione che ha saputo dare dell’astronomia, solo un barlume di tale intelligenza.”<br />Determinismo<br />newtoniano<br />Pierre-Simon de Laplace<br />
  8. 8. …al pensiero di Poincaré<br />“[…]Ma pure se accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente.<br />Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.<br />Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile.”<br />Teoria del caos<br />Jules Henri Poincaré<br />(1903)<br />
  9. 9. L’evoluzione temporale<br /> del sistema<br />L’evoluzione temporale del sistema si ottiene applicando il modello<br />Applicazione modello = iterazione della funzione<br />xt+1 = f(xt)<br />xt+2 = f(xt+1)<br />xt<br />xt+1<br />xt+2<br />f<br />f<br />
  10. 10. Iterazione: metodo della scala<br />x0 – tratto verticale – grafico della funzione –tratto orizzontale –bisettrice (x1)<br />La funzione ha dei punti fissi (x*) caratteristici; questi corrispondono alle intersezioni del grafico della funzione con la bisettrice del 1° e 3° quadrante<br />punto fisso<br />=<br />situazione di equilibrio del sistema<br />
  11. 11. Natura dei punti fissi di una funzione<br />I punti fissi di una funzione possono avere due diverse nature:<br /><ul><li> convergente, se la traiettoria del sistema converge a quel punto
  12. 12. repulsiva, se la traiettoria del sistema si allontana dal punto fisso</li></ul>Esempio: f(x) = ax<br />Al variare di a si distinguono quattro situazioni:<br />Per -1&lt;a&lt;+1 il sistema converge a x*=0<br />Per a&lt;-1 v a&gt;+1 il sistema diverge da x*= 0<br />Per a=1 ogni x0 è un punto fisso<br />Per a=-1 per ogni x0 si crea un ciclo di periodo 2 <br />I valori a = 1 e a = -1 sono detti punti di biforcazione del sistema<br />
  13. 13. La mappa logistica<br />f(x)= ax(1-x)<br />Caratteristiche:<br /><ul><li> rappresenta una famiglia di parabole con concavità rivolta verso il basso e con le intersezioni con l’asse delle ascisse nei punti x=0 e x=1
  14. 14. presenta due punti fissi: p*(origine), indipendente del parametro, e x*, dipendente dal parametro</li></ul>x*<br />p*<br />
  15. 15. Analisi dei punti fissi della mappa logistica<br /><ul><li>Per 0<a<1 p* è attrattivo e x* è repulsivo
  16. 16. Per 1<a<3 p* è repulsivo e x* è attrattivo</li></ul>a = 3 : BIFORCAZIONE FLIP<br />RADDOPPIO DEL PERIODO (2)<br />
  17. 17. Per a=3,45<br />NUOVA BIFORCAZIONE FLIP<br />RADDOPPIO DEL<br />PERIODO (4)<br />Per a=3,56<br />NUOVA BIFORCAZIONE FLIP<br />RADDOPPIO DEL<br />PERIODO (8)<br />Per a &gt; 3,56994 <br />(Punto di Feigenbaum)<br />Caos<br />
  18. 18. Il Caos Deterministico<br />Proprietà del caos<br /><ul><li> Sensitività rispetto alle condizioni iniziali
  19. 19. Transitività o mixing, le traiettorie occupano densamente lo spazio sovrapponendosi senza mai ripetersi (zone nere nel grafico)
  20. 20. Esistenza di infiniti cicli repulsivi
  21. 21. Autosomiglianza interna o omotetia</li></li></ul><li>Qual è il significato del<br /> caos deterministico?<br />BIFORCAZIONE<br />Possibile evoluzione del sistema in due diversi modi<br />Ma quale dei due???<br />CRISI DELLE PREVISIONI DETERMINISTICHE<br />TEORIA DEL CAOS DI POINCARE’<br />
  22. 22. La riscoperta del caos:<br />Edward Lorenz<br />Nel 1961 Lorenz elaborò un modello matematico di 12 equazioni (derivate da quella di Navier-Stokes) che fosse in grado di prevedere l’evoluzione delle condizioni atmosferiche: si accorse che la minima variazione nelle condizioni iniziali poteva causare cambiamenti enormi negli effetti finali<br />“Il battito d’ali di una farfalla in Brasile può causare un uragano in Texas”<br /> Edward Lorenz<br />
  23. 23. Sistema di equazioni non lineari elaborato la Lorenz per descrivere il moto di convezione<br />ATTRATTORE STRANO DI LORENZ<br />La traiettoria descrive una doppia spirale tridimensionale senza mai ripetersi in modo uguale<br />Il passaggio da un’ala all’altra della spirale indica l’inversione del moto del fluido<br />
  24. 24. La teoria delle catastrofi<br />RenèThom<br />STRUTTURE NATURALI CAOTICHE<br />MUTAMENTI CATASTROFICI NEI <br />PUNTI DI BIFORCAZIONE<br />
  25. 25. MODELLO A CUSPIDE<br />Modello tridimensionale:<br /><ul><li> una variabile di stato (asse z)
  26. 26. due variabili di controllo (assi x e y)</li></ul>Diagramma di fase dell’acqua (passaggio stato liquido-aeriforme)<br />Acqua riscaldata oltre il punto di ebollizione<br />Sospensione (isteresi)<br />Ebollizione ritardata catastrofica (cuspide)<br />
  27. 27. Una nuova interpretazione:<br /> il crollo della borsa<br />Variabili di controllo:<br /><ul><li> azioni possedute da chi agisce sulla base di informazioni economiche
  28. 28. azioni possedute da chi agisce solo a fini speculativi</li></ul>Variabile di stato:<br /><ul><li> modificazione del listino</li></ul>Speculazione eccessiva<br />Brusche variazioni dell’indice di borsa (crollo nella cuspide)<br />
  29. 29. Le applicazioni mediche<br />Schizofrenia<br />Osservazione:<br />Gli schizofrenici non riescono a seguire il movimento di un pendolo in oscillazione<br />Bernardo Huberman elabora un modello con equazioni non lineari che descrive il movimento oculare<br />Disordine nel movimento dei muscoli oculari<br />
  30. 30. La fisiologia cardiaca<br />NORMALITA’<br />(elasticità cardiaca)<br />CAOS<br />MALATTIA<br />(fibrillazione)<br />PERIODICITA’<br />
  31. 31. IL CAOS E LA VITA<br />“Non può essere che la patologia matematica, cioè il caos, sia salute?<br />E che la salute matematica, che sono la predicibilità e la differenziabilità di questo tipo di struttura, sia malattia?”<br />Arnold Mandell<br />
  32. 32. Perché studiare il caos?<br />NATURA ESTREMAMENTE ARMONICA E COMPLESSA<br />NECESSITA’ DI NUOVI STRUMENTI PER STUDIARLA<br />TEORIA DEL CAOS E NON LINEARITA’<br />“Il nostro universo fisico non ha più come simbolo il moto regolare e periodico dei pianeti, moto che è alla base della meccanica classica. E’ invece un universo di instabilità e fluttuazioni, che sono all’origine dell’incredibile ricchezza di forme e strutture che vediamo nel mondo intorno a noi. Abbiamo quindi bisogno di nuovi concetti e nuovi strumenti per descrivere una natura in cui evoluzione e pluralismo sono divenute le parole fondamentali.”<br />Il’jaRomanovičPrigožin<br />
  33. 33. Bibliografia:<br /> G. I. BISCHI, R. CARINI, L. GARDINI, P. TENTI, Sulle orme del caos, comportamenti complessi in modelli matematici semplici, ed. Bruno Mondadori, 2004<br />F. CRAMER , Caos e ordine, la complessa struttura del vivente, ed. Bollati Boringhieri, 1994<br />ESIODO, Teogonia, ed. Oscar Mondadori, 2004<br />J. GLEICK, Caos, la nascita di una nuova scienza, ed. BUR, 2000<br />P. N. OVIDIO, Metamorfosi, ed. Einaudi, 1994<br />D. RUELLE, Caso e caos, ed. Bollati Boringhieri, 1992<br />R. THOM, Stabilità strutturale e morfogenesi, saggio di una teoria generale dei modelli, ed. Einaudi, 1980<br />Sitografia:<br />www.emsf.rai.it/scripts/interviste (intervista a RenèThom)<br />www.dti.unimi.it<br />www.matematica.unibocconi.it/thom/teoria<br />www.sicap.it<br />www.wikipedia.org/Attrattore<br />www.wikipedia.org/Flusso_turbolento<br />

×