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Logaritmos

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Logaritmos

  1. 1. UNIDAD 7: LOGARITMOS <ul><li>OBJETIVOS: </li></ul><ul><li>Al finalizar el estudio y práctica de esta unidad, el estudiante deberá ser capaz de: </li></ul><ul><li>Explicar la relación existente entre potenciación y logaritmación. </li></ul><ul><li>Destacar la importancia de los logaritmos como herramienta matemática para la simplificación de operaciones. </li></ul><ul><li>Determinar los principios generales de los logaritmos. </li></ul><ul><li>Establecer las propiedades de los logaritmos y aplicar en ejercicios. </li></ul><ul><li>Definir los logaritmos comunes y neperianos. </li></ul><ul><li>Encontrar el valor de un logaritmo en una base diferente de e o 10. </li></ul><ul><li>Aplicar las reglas de cálculo con logaritmos en la resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales. </li></ul><ul><li>Manejar adecuadamente la calculadora en la obtención de logaritmos y de antilogaritmos de números dados. </li></ul>
  2. 2. <ul><li>Introducción </li></ul><ul><li>Aunque el manejo de logaritmos ha venido perdiendo importancia, poco a poco, con la invasión en el mercado de las calculadoras de bolsillo y la ayuda de los computadores electrónicos, el conocimiento de esta técnica aún permite simplificar expresiones complicadas y es un poderoso instrumento par efectuar operaciones complicadas y es un poderoso instrumento para efectuar operaciones cuando no se dispone de una calculadora de bolsillo. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Por medio de logaritmos, que entraremos a definir, es posible convertir las operaciones producto y cociente a sumas y diferencias que son, naturalmente, más fáciles de calcular que las primeras. En la misma forma la potenciación se reduce a un producto que, evidentemente se calcula más fácilmente. </li></ul><ul><li>Por otro lado, el manejo de logaritmos tiene importancia teórica desde el punto de vista funcional, especialmente para aquellos estudiantes que desean seguir una carrera de ingeniería, por ejemplo. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Definición </li></ul><ul><li>El logaritmo de un número respecto a otro llamado base es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número. </li></ul><ul><li>Así, por ejemplo, si tenemos que, </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Diremos que siendo 2 la base en todos los casos. El logaritmo de 4 es 2 puesto que 2 es el exponente a que se debe elevar la base 2 para obtener el número 4. Análogamente, en base 2 el logaritmo de 8 es 3, el logaritmo de 16 es 4, el logaritmo de 32 es 5, etc. </li></ul><ul><li>Para expresar estos hechos haciendo uso de la notación logarítmica diremos que: </li></ul>
  6. 6. <ul><li>En general, si se cumple que bx =N , tendremos que x =logb N . Es decir, que la operación de extraer logaritmos, también llamada logaritmación, es una operación inversa de la potenciación puesto que mientras en la potenciación se trataba de encontrar un número llamado potencia conocidos por base y exponente, en la logaritmación se trata de hallar el exponente conocida la base y la potencia. </li></ul><ul><li>No obstante, en la práctica son dos los sistemas de logaritmos más utilizados, a saber, el sistema de logaritmos vulgares cuya base es 10 y fueron descubiertos por el matemático inglés Henry Briggs y el sistema de logaritmos naturales o neperianos descubiertos por el matemático escocés Jhon Neper, cuya base es el número inconmesurable e = 2,71828182845………….. </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbra omitir el subíndice 10. Así, por ejemplo, tendremos que si. </li></ul><ul><li>=10000 escribiremos log10 10000 = 4 o bien log 10000 = 4 </li></ul><ul><li>= 1000 escribiremos log10 1000 = 3 o bien log 1000 = 3 </li></ul><ul><li>= 100 escribiremos log10 100 = 2 o bien log 100 = 2 </li></ul><ul><li>= 10 escribiremos log10 10 = 1 o bien log 10 = 1 </li></ul><ul><li>= 1 escribiremos log10 1 = 0 o bien log 1 = 0 </li></ul><ul><li>= 0,1 escribiremos log10 0,1 =-1 o bien log 0,1 = -1 </li></ul><ul><li>= 0,01 escribiremos log10 0,01 =-2 o bien log 0,01 = -2 </li></ul><ul><li>= 0,001 escribiremos log10 0,001 =-3 o bien log 0,001 = -3 </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Cuando se utilizan los logaritmos naturales o neperianos, que se denota por , cuya forma más común es “ln”. Como ln y la función exponencial natural son funciones inversas, se tiene: </li></ul><ul><li>y = ln x si y sólo si x = </li></ul><ul><li>Obviamente, para que una base cualquiera el logaritmo de un número natural sea otro número natural es condición necesaria que el número dado sea una potencia exacta de la base. Así, por ejemplo, tendremos que: </li></ul><ul><li> 25 = 2 puesto que = 25 </li></ul><ul><li>27 = 3 puesto que = 27 </li></ul><ul><li>16 = 2 puesto que = 16 </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Ahora bien, 5 no será un número natural, puesto que 5 no es una potencia exacta de 4. De modo similar log 7, no es tampoco un número natural puesto que 7 no es potencia exacta de 10. </li></ul><ul><li>Principios generales </li></ul><ul><li>De la definición de logaritmo se puede desprender los siguientes principios generales sea cualquiera el sistema que se utilice: </li></ul><ul><li>1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es cero: 1 = 0, ya que = 1 </li></ul><ul><li>2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: b = 1, ya que = b </li></ul>
  10. 10. <ul><li>3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: </li></ul><ul><li>= n, ya que = </li></ul><ul><li>4. No existe el logaritmo en cualquier de un número negativo o cero. </li></ul><ul><li>5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, es estrictamente, 0 < N < 1, es negativo si la base “b” del logaritmo b>1 </li></ul><ul><li>Así por ejemplo, , ya que </li></ul><ul><li>6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, es estrictamente, 0 < N < 1, es positivo si la base “b” del logaritmo b<1 </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Por ejemplo, , ya que </li></ul><ul><li>7. El logaritmo de un número N > 1, es positivo si la base b > 1 </li></ul><ul><li>Así, 9 = 2; ya que = 9 </li></ul><ul><li>8. El logaritmo de un número N > 1, es negativo si la base b < 1 </li></ul><ul><li>Así, 25 = -2; ya que = 25 </li></ul><ul><li>9. El logaritmo de cero es igual a menos el infinito </li></ul>EJERCICIO 7.1 Expresar las siguientes igualdades en forma logarítmica 1. 2. 3.

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