Métodos Matemáticos em Biologia de POpulações

1. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Métodos Matemáticos em Biologia de Glórias e Misérias Vegetação em Populações regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Roberto André Kraenkel Histerese Glóris e Misérias Instituto de Física Teórica-UNESP São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Aula IV

2. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias 1 Epidemias Vegetação em Histórias... regiões Semi-áridas Modelos Regiões semi-áridas e áridas Glórias e Misérias Modelo Histerese Glóris e Misérias

3. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias 1 Epidemias Vegetação em Histórias... regiões Semi-áridas Modelos Regiões semi-áridas e áridas Glórias e Misérias Modelo Histerese Glóris e Misérias 2 Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

4. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

5. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte.

6. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada.

7. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive.

8. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.

9. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos.

10. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos. • A epidemia aparentemente veio se alastrando a partir da África.

11. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos. • A epidemia aparentemente veio se alastrando a partir da África.

12. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis. Modelo Histerese Glóris e Misérias

13. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias

14. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos.

15. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inﬂamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos.

16. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inﬂamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea.

17. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inﬂamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.

18. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inﬂamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.Antibióticos são eﬁcientes contra a peste .

19. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inﬂamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.Antibióticos são eﬁcientes contra a peste . • Devem ser ministrados em poucas horas...

20. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

21. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

22. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea.

23. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia.

24. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia.

25. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica.

26. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica. Entre 1987 e 2001 houve 2847 mortes por peste no mundo.

27. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica. Entre 1987 e 2001 houve 2847 mortes por peste no mundo.

28. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.

30. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.

31. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.

33. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

34. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (inﬂuenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

35. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (inﬂuenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese Glóris e Misérias

36. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (inﬂuenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias

37. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (inﬂuenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.

38. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (inﬂuenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa.

39. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (inﬂuenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.

40. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava.

41. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!

42. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola.

43. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola. • Fim da Grande Guerra.

44. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola. • Fim da Grande Guerra. • Tudo de bom!.

45. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

46. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

47. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias

48. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, deﬁnimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo.

49. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, deﬁnimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias:

50. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, deﬁnimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis;

51. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, deﬁnimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados;

52. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, deﬁnimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados; • R recuperados (imunes ou falecidos)

53. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simpliﬁcações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, deﬁnimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados; • R recuperados (imunes ou falecidos)

54. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional ao Modelo Histerese número de infectados: Glóris e Misérias dS = −rSI dt sendo r a taxa de infecção .

55. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e número de infectados menos a taxa de remoção (recuperados áridas Modelo imunes ou mortos). Histerese Glóris e Misérias dS = −rSI dt dI = −rSI − aI dt

56. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A taxa de variação per capita dos recuperados é constante. regiões Semi-áridas dS Regiões semi-áridas e áridas = −rSI Modelo dt Histerese Glóris e Misérias dI = −rSI − aI dt dR = aI dt

57. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Temos portanto três equações para três variáveis: Vegetação em regiões Semi-áridas dS Regiões semi-áridas e = −rSI áridas Modelo dt Histerese Glóris e Misérias dI = −rSI − aI dt dR = aI dt A NALISEMOS - LAS !

58. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

59. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

60. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas =0 Modelo Histerese dt Glóris e Misérias

61. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante.

62. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:

63. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos:

64. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 ,

65. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e

66. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 .

67. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ).

68. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia.

69. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.

70. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.

71. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

72. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

73. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias

74. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese • Se S0 < a/r então Glóris e Misérias

75. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias

76. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então

77. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então ˆ dI ˜ dt 0 >0

78. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então ˆ dI ˜ dt 0 > 0 (Epidemia!)

79. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.

80. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r

81. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

82. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt

83. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.

84. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia. • Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0). ˆ ˜ dt

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