1. .
.
Sistemas com atraso temporal
Grupo 06
.
Disrael Camargo
Jefferson Stafusa E. Portela
Joaquim Manoel da Silva
Jo˜o Bosco de Siqueira
a
Robison Albano Sim˜oa
.
Instituto de F´
ısica Te´rica - UNESP
o
.
M´todos Matem´ticos em Biologia de Popula¸˜es
e a co
24 de fevereiro de 2008

2. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

3. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

4. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

5. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

6. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

7. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

8. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

9. Sum´rio
a
Sum´rio
a
1 O que ´ atraso
e
Equa¸˜es
co
2 Efeitos
3 Motiva¸˜o biol´gica
ca o
4 Aplica¸˜o
ca
5 Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso
Comportamento assint´tico
o
S´ries temporais
e
6 Uma aplica¸˜o adicional
ca
7 Presa-Predador com atraso
Modelos
S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 2
e
8 Alguns artigo n˜o utilizados
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29

10. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dx
= f (x)
dt
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

11. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dx
= f (x)
dt
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

12. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dx(t)
= f (x(t))
dt
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

13. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dN(t)
= f (N(t))
dt
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

14. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dN(t)
= f (N(t))
dt
com atraso:
dN(t)
= f (N(t − T ))
dt
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

15. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dN(t)
= f (N(t))
dt
com atraso:
dN(t)
= f (N(t), N(t − T ))
dt
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

16. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dN(t)
= f (N(t))
dt
com atraso:
dN(t)
= f (N(t), N(t − T ))
dt
.
Mapa: xn+1 = f (xn )
x 1 = f (x 0)
...
...
x0
x 2 = f (x1) x n = f (x n−1)
M
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

17. O que ´ atraso
e Equa¸˜es
co
O que ´?
e
Equa¸˜o diferencial
ca
sem atraso:
dN(t)
= f (N(t))
dt
com atraso:
dN(t)
= f (N(t), N(t − T ))
dt
.
Mapa
sem atraso:
un+1 = f (un )
com atraso:
un+1 = f (un , un−T )
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29

18. Efeitos
Conseq¨ˆncia da introdu¸˜o do atraso
ue ca
Oscila¸˜es
co
Solu¸˜es de uma eq. dif. 1-D (homogˆnea) nunca oscilam,
co e
demonstra¸˜o: Murray I, pg. 17;
ca
a introdu¸˜o de atraso possibilita solu¸˜es oscilat´rias.
ca co o
.
Exemplo
Equa¸˜o com atraso:
ca
dN π
=− N(t − T ),
dt 2T
solu¸˜o:
ca
πt
N = A cos .
2T
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29

19. Efeitos
Conseq¨ˆncia da introdu¸˜o do atraso
ue ca
Oscila¸˜es
co
Solu¸˜es de uma eq. dif. 1-D (homogˆnea) nunca oscilam,
co e
demonstra¸˜o: Murray I, pg. 17;
ca
a introdu¸˜o de atraso possibilita solu¸˜es oscilat´rias.
ca co o
.
Exemplo
Equa¸˜o com atraso:
ca
dN π
=− N(t − T ),
dt 2T
solu¸˜o:
ca
πt
N = A cos .
2T
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29

20. Efeitos
Conseq¨ˆncia da introdu¸˜o do atraso
ue ca
Oscila¸˜es
co
Solu¸˜es de uma eq. dif. 1-D (homogˆnea) nunca oscilam,
co e
demonstra¸˜o: Murray I, pg. 17;
ca
a introdu¸˜o de atraso possibilita solu¸˜es oscilat´rias.
ca co o
.
Exemplo
Equa¸˜o com atraso:
ca
dN π
=− N(t − T ),
dt 2T
solu¸˜o:
ca
πt
N = A cos .
2T
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29

21. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

22. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

23. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

24. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

25. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

26. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

27. Motiva¸˜o biol´gica
ca o
Raz˜es para incluir atrasos
o
Motiva¸˜o biol´gica
ca o
competi¸˜o intra-espec´
ca ıfica dependente da idade;
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2
= rN(t) − =⇒ = rN(t) −
dt K dt K
per´
ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o;
ca ca
dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2
= rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) −
dt K dt K
migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es;
ca a co
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29

28. Aplica¸˜o
ca
Aplica¸˜o
ca
Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´
ca ca ıstica com atraso):
dN(t) N(t − T )
= rN(t) 1 − .
dt K
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29

29. Aplica¸˜o
ca
Aplica¸˜o
ca
Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´
ca ca ıstica com atraso) normalizada:
dN(t)
= rT N(t)(1 − N(t − 1)).
dt
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29

30. Aplica¸˜o
ca
Aplica¸˜o
ca
Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´
ca ca ıstica com atraso) normalizada:
dN(t)
= rT N(t)(1 − N(t − 1)).
dt
Modelo usado (May, 1975) na descri¸˜o da popula¸˜o de “varejeiras das
ca ca
ovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11))
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29

31. Aplica¸˜o
ca
Aplica¸˜o
ca
Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´
ca ca ıstica com atraso) normalizada:
dN(t)
= rT N(t)(1 − N(t − 1)).
dt
Modelo usado (May, 1975) na descri¸˜o da popula¸˜o de “varejeiras das
ca ca
ovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11))
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29

32. Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico
o
Equa¸˜o equa¸˜o log´
ca ca ıstica com atraso
Estabilidade de N(t) = 1
Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso (Hutchinson)
dN(t)
= rTN(t)(1 − N(t − 1)).
dt
. t
Sendo R ≡ lim r (s)ds:
t→∞ t−1
Estabilidade da solu¸˜o N = 1, com r = r (t)
ca
RT ≤ 1,5 −→ N = 1 est´vel – provado
a
1,5 < RT ≤ π/2 −→ N = 1 est´vel – conjectura
a
π/2 < RT −→ N = 1 inst´vel – ?
a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 7 / 29

33. Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso S´ries temporais
e
Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso (rT < 1,5)
dN(t)
= rTN(t)(1 − N(t − 1)).
dt
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 8 / 29

34. Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso S´ries temporais
e
Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso (rT = 1,5)
dN(t)
= rTN(t)(1 − N(t − 1)).
dt
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 9 / 29

35. Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso S´ries temporais
e
Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso (rT > π/2)
dN(t)
= rTN(t)(1 − N(t − 1)).
dt
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 10 / 29

36. Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso S´ries temporais
e
Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso (rT > π/2)
dN(t)
= rTN(t)(1 − N(t − 1)).
dt
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 11 / 29

37. Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso S´ries temporais
e
Equa¸˜o log´
ca ıstica com atraso (rT > π/2)
dN(t)
= rTN(t)(1 − N(t − 1)).
dt
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 12 / 29

38. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Artigo:
W.W. Murdoch et al. (2002)
“Single-species models for many-species food webs” Nature 417: 541–543.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 13 / 29

39. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Artigo:
W.W. Murdoch et al. (2002)
“Single-species models for many-species food webs” Nature 417: 541–543.
Resultados:
Te´rico: por meio do per´
o ıodo de oscila¸˜es em popula¸˜es (c´
co co ıclicas),
´ poss´ distinguir o mecanismo que as causam: se intra-espec´
e ıvel ıfico
ou inter-espec´
ıfico;
Observacional: dado isto, mostra-se estatisticamente que esp´cies
e
generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´
e a ıfica.
O tempo de matura¸˜o (atraso τ ) e per´
ca ıodo de oscila¸˜o (T ) da esp´cie
ca e
devem ser conhecidos.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 13 / 29

40. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
Por meio do per´ ıodo T de oscila¸˜o em popula¸˜es e seu tempo de
ca co
matura¸˜o τ , ´ poss´ distinguir o mecanismo que as causam:
ca e ıvel
se intra-espec´
ıfico ou inter-espec´
ıfico.
“Lemas”:
ind´
ıcios matem´ticos e num´ricos
a e
para dinˆmica c´
a ıclica tipo presa- =⇒ T ≥ 4τP + 2τV ;
predador, i. e., inter-espec´ıfica
dinˆmica intra-espec´
a ıfica, como de
gera¸˜o-´nica ou com retorno atra-
ca u =⇒ T 4τ .
sado (delayed feedback)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29

41. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
Por meio do per´ ıodo T de oscila¸˜o em popula¸˜es e seu tempo de
ca co
matura¸˜o τ , ´ poss´ distinguir o mecanismo que as causam:
ca e ıvel
se intra-espec´
ıfico ou inter-espec´
ıfico.
“Lemas”:
ind´
ıcios matem´ticos e num´ricos
a e
para dinˆmica c´
a ıclica tipo presa- =⇒ T ≥ 4τP + 2τV ;
predador, i. e., inter-espec´ıfica
dinˆmica intra-espec´
a ıfica, como de
gera¸˜o-´nica ou com retorno atra-
ca u =⇒ T 4τ .
sado (delayed feedback)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29

42. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
dinˆmica inter-espec´
a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinˆmica intra-espec´
a ıfica =⇒ T 4τP
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29

43. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
dinˆmica inter-espec´
a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinˆmica intra-espec´
a ıfica =⇒ T 4τP
Resultados observacional:
Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´
e e a ıfica.
Dados:
mais de 100 popula¸˜es claramente c´
co ıclicas (de 40 esp´cies);
e
s´ries temporais de ao menos 25 anos, com per´
e ıodos bem definidos;
papel tr´fico bem conhecido: especialistas × (predadores)
o
generalistas;
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29

44. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
dinˆmica inter-espec´
a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinˆmica intra-espec´
a ıfica =⇒ T 4τP
Resultados observacional:
Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´
e e a ıfica.
Dados:
mais de 100 popula¸˜es claramente c´
co ıclicas (de 40 esp´cies);
e
s´ries temporais de ao menos 25 anos, com per´
e ıodos bem definidos;
papel tr´fico bem conhecido: especialistas × (predadores)
o
generalistas;
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29

45. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
dinˆmica inter-espec´
a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinˆmica intra-espec´
a ıfica =⇒ T 4τP
Resultados observacional:
Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´
e e a ıfica.
Tratamento:
per´
ıodos normalizados pelos respectivos atrasos: T /τ ;
dados divididos em dois grupos: T 4τ ou n˜o;
a
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46. Uma aplica¸˜o adicional
ca
Uma aplica¸˜o adicional
ca
Resultado te´rico:
o
dinˆmica inter-espec´
a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinˆmica intra-espec´
a ıfica =⇒ T 4τP
Resultados observacional:
Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´
e e a ıfica.
Resultado:
95% das popula¸˜es tiveram seu papel tr´fico corretamente
co o
identificado pelo crit´rio te´rico.
e o
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47. Presa-Predador com atraso Modelos
Presa-Predador com atraso
Modelos
Para nossas simula¸˜es num´ricas adotamos:
co e
Modelo 1
dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ),
dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − r /K P(t − τ )2 ,
Modelo 2
dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ),
dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − λP(t − τ ),
sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos),
e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2).
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48. Presa-Predador com atraso Modelos
Presa-Predador com atraso
Modelos
Para nossas simula¸˜es num´ricas adotamos:
co e
Modelo 1
dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ),
dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − r /K P(t − τ )2 ,
Modelo 2
dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ),
dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − λP(t − τ ),
sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos),
e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29

49. Presa-Predador com atraso Modelos
Presa-Predador com atraso
Modelos
Para nossas simula¸˜es num´ricas adotamos:
co e
Modelo 1
dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ),
dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − r /K P(t − τ )2 ,
Modelo 2
dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ),
dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − λP(t − τ ),
sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos),
e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29

50. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,0)
e
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51. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,2)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 17 / 29

52. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,4)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 18 / 29

53. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,6)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 19 / 29

54. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1
e
S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,7)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 20 / 29

55. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2
e
S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,0)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 21 / 29

56. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2
e
S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,1)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 22 / 29

57. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2
e
S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,2)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 23 / 29

58. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2
e
S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,3)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 24 / 29

59. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2
e
S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,4)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 25 / 29

60. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2
e
S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,5)
e
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 26 / 29

61. Alguns artigo n˜o utilizados
a
Alguns artigo n˜o utilizados
a
G.E. Hutchinson (1948) “Circular Causal Systems in Ecology”
Annals of the New York Academy of Sciences 50: 221–246.
• http://www.wku.edu/∼smithch/biogeog/HUTC1948.htm
R.M. May (1973)
“Time-Delay Versus Stability in Population Models with Two and Three
Trophic Levels” Ecology 54(2): 315–325
• Carn´
ıvoros estabilizando sistema herb´
ıvoro-vegeta¸˜o com atraso.
ca
R.M. May (1973) “Time delays are not necessarily destabilizing”
Mathematical Biosciences 27(1-2): 109–117.
• Atraso estabilizando equil´
ıbrio inst´vel.
a
L.R. Nie et al. (2007)
“Noise and time delay: Suppressed population explosion of the mutualism
system” EuroPhysicsLetters 79: 20005.
• Mais estabiliza¸˜o – modelo tipo Lotka-Volterra para mutualismo.
ca
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 27 / 29

62. Alguns artigo n˜o utilizados
a
Alguns artigo n˜o utilizados
a
S. Chatterjeea, K. Dasb, J. Chattopadhyay (2007)
“Time delay factor can be used as a key factor for preventing the outbreak
of a disease – Results drawn from a mathematical study of a one season
eco-epidemiological model”
Nonlinear Analysis: Real World Applications 8(5): 1472–1493.
• Atraso (por matura¸˜o) em presas suscept´
ca ıveis evita epidemia.
W.-T. Li, S. Ruan, Z.-C. Wang (2007)
“On the Diffusive Nicholson’s Blowflies Equation with Nonlocal Delay”
Journal of Nonlinear Science 17(6): 505–525.
• Atraso espa¸o-temporal (n˜o-local) no sistema das varejeiras.
c a
M. M¨nster-Swendsen, A. Berryman (2005) “Detecting the causes of
u
population cycles by analysis of R-functions: the spruce needle-miner,
Epinotia tedella, and its parasitoids in Danish spruce plantations”
Oikos 108(3): 495–502.
• Separando oscila¸˜es for¸adas pelo ambiente das dinˆmicas.
co c a
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 28 / 29

63. Alguns artigo n˜o utilizados
a
J.W.-H. So, J.S. Yu (1995) “Global Attractivity for a Population Model
with Time Delay” Proceedings of the American Mathematical Society,
123(9): 2687–2694.
(estabilidade do pto fixo de Hutchinson)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 29 / 29