Este documento resume as respostas para três questões de uma prova pré-olímpica. A primeira questão tem cinco alternativas com pontuação de 4 pontos para acertos e -1 para erros. As questões 2 e 3 valem 10 pontos cada. A segunda questão pede o perímetro de uma figura que é igual a cinco vezes o lado de um quadrado dentro da figura, resultando em uma área de 144 mm2. A terceira questão pede o número de números éticos de três algarismos pares que somam 14, chegando ao total de 16 números.

1. XXXIII OPM ­12.11.2014
­Pr
e­Olimp
´´ıadas OES
­5
o ano Quest ao ˜1:
cada opc¸ ao ˜correta: 4 pontos
cada opc¸ ao ˜errada: ­1
ponto
Questoes ˜2, 3: 10 pontos cada
˜SOLUC¸ Sugest˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas
1. (a) Opc¸ ˜ao B.
(b) Opc¸ ˜ao C.
(c) Opc¸ ˜ao E.
(d) Opc¸ ˜ao C.
(e) Opc¸ ˜ao E.
2. O per´ımetro da figura preta ´e constitu´ıdo por trˆes lados do quadrado e quatro lados dos triˆangulos. Como dois
lados do triˆangulo tˆemo mesmo comprimento que um lado do quadrado, conclui­se
que o per´ımetro da figura
´e igual a cinco vezes o comprimento de um lado do quadrado. Assim o lado do quadrado mede 60/5 = 12
mm, pelo que a sua ´area ´e 12 × 12 = 144 mm2.
3. Num n´umero s ´etico de trˆes algarismos, a soma dos algarismos pode ser 7, 14 ou 21, pois 28 > 27 = 3 × 9.
Tendo em atenc¸ ˜ao que os algarismos s ˜ao todos pares, a soma dos algarismos no nosso caso s ´o pode ser 14.
Apresentamos na seguinte tabela as diferentes escolhas de algarismos que somam 14 e fazemos a contagem
dos respetivos n´umeros s ´eticos.
algarismos n´umeros s ´eticos contagem
0, 6, 8 608, 680, 806, 860 4
2, 4, 8 248, 284, 428, 482, 824, 842 6
2, 6, 6 266, 626, 662 3
4, 4, 6 446, 464, 644 3
H´a portanto 4 + 6 + 3 + 3 = 16 n´umeros s ´eticos de trˆes algarismos, com os algarismos todos pares.
spm