Sistema de ecuaciones lineales (suma o resta)

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Ejercicios donde ponemos en práctica la soluciòn de Sistemas de Ecuaciones de Primer grado por el mètodo suma o resta.

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Sistema de ecuaciones lineales (suma o resta)

  1. 1. Soluciòn de Sistemas de Ecuaciones dePrimer grado (mètodo suma o resta)Material de apoyo para el curso“Àlgebra y principios de Fìsica”
  2. 2. Soluciòn de Sistemas de Ecuaciones de Primer grado (mètodo suma o resta) Recuerda que nuestro primer objetivo es: Ahora, para hallar el valor de la otra Que al sumar o restar las ecuaciones variable, sustituìmos el valor obtenido ( x = planteadas en el sistema, podamos eliminar 2 ) en cualquiera de las dos ecuaciones una de las dos variables y obtener una iniciales ( ec.1 & ec.2), te sugiero que lo ecuaciòn con una incògnita, ¡ la cual ya hagas en la que te parezca màs sencilla. sabemos resolver ! Sustituyendo x = 2 en la ec.2EJERCICIO1.- El sistema de ecuaciones propuesto es el siguiente: 2x + y = 5 ------------------ec.22x – y = 3 ------------------ec.1 2(2) + y = 52x + y = 5 ------------------ec.2 4+y=5 y=1 Como puedes ver, ya tenemos los coeficientes simètricos para una de las variables, asì que simplemente sumamos las ¡ Hemos resuelto el sistema de ecuaciones ecuaciones. planteado ! La soluciòn a dicho sistema es el par : 2x – y = 3 x=2 & y=1+ Como recordaràs, representa las coordenadas 2x + y = 5 del punto (2,1), en el cual se cortan las 4x + 0 = 8 rectas asociadas a cada una de las x =2 ecuaciones pertenecientes al sistema que resolvimos.
  3. 3. Para verificar nuestros resultados, simplemente sustituìmos ambos valores en las ecuaciones iniciales y la igualdad debe cumplirse. 2x – y = 3 ------------------ ec.1 2x + y = 5 ------------------ ec.2Sustituyendo x=2 & y=1 en ec.12(2) – (1) = 3 4 – 1 =3 3 = 3 ¡ La igualdad se cumple !Sustituyendo x=2 & y=1 en ec.22(2) + (1) = 5 4 + 1 =5 5 =5 ¡ La igualdad se cumple !
  4. 4. Soluciòn de Sistemas de Ecuaciones de Primer grado (mètodo suma o resta) Recuerda que nuestro primer objetivo es: Que al Sustituìmos el valor obtenido ( x = 3 ) en cualquiera de sumar o restar las ecuaciones planteadas en el las dos ecuaciones iniciales ( ec.1 & ec.2), te sistema, podamos eliminar una de las dos variables sugiero que lo hagas en la que te parezca màs y obtener una ecuaciòn con una incògnita, sencilla.EJERCICIO2.- El sistema de ecuaciones propuesto es el Sustituyendo x = 3 en la ec.1 siguiente: 3 + 2y = 9 x + 2y = 9 ------------ ec.1 2y = 9 – 33x + 2y = 15 ------------ ec.2 2y = 6 y=3En esta ocasión NO tenemos coeficientes simètricos para alguna de las variables pero, puedo obtenerlo. ¡ Hemos resuelto el sistema de ecuaciones planteado !Multiplicando ec.1 por (-1) y dejando igual a ec.2 La soluciòn a dicho sistema es el par: x=3 & y=3- x - 2y = -9 ------------ ec.33x + 2y = 15 ------------ ec.2 Como recordaràs, representa las coordenadas del punto (3,3), en el cual se cortan las rectas asociadas a cada una de las ecuacionesAhora sì, sumàndolas lograrè eliminar a una de las pertenecientes al sistema que resolvimos. variables - x - 2y = - 9+ 3x + 2y = 15 2x + 0 = 6 x = 3
  5. 5. Para verificar nuestros resultados, simplemente sustituìmos ambos valores en las ecuaciones iniciales y la igualdad debe cumplirse. x + 2y = 9 ------------ ec.13x + 2y = 15 ------------ ec.2Sustituyendo x=3 & y=3 en ec.1 x + 2y = 9 ------------ ec.1(3) + 2(3) = 9 3 + 6 = 9 9 = 9 ¡ La igualdad se cumple !Sustituyendo x=3 & y=3 en ec.23x + 2y = 15 ------------ ec.23(3) + 2(3) = 15 9 + 6 = 15 15 = 15 ¡ La igualdad se cumple !
  6. 6. Soluciòn de Sistemas de Ecuaciones de Primer grado (mètodo suma o resta) Sumàndolas lograrè eliminar a una de las variables. Recuerda que nuestro primer objetivo es: Que al sumar o restar las ecuaciones 6x –2 y = 14 planteadas en el sistema, podamos eliminar + una de las dos variables y obtener una x + 2y = 14 ecuaciòn con una incògnita, 7x + 0 = 28 x = 4EJERCICIO3.- El sistema de ecuaciones propuesto es el siguiente: Sustituyendo x = 4 en la ec.2 (4)+ 2y = 143x – y = 7 ------------ec.1 2y = 10x + 2y = 14 -----------ec.2 y=5 ¡ Hemos resuelto el sistema de ecuaciones planteado !NO tenemos coeficientes simètricos para alguna La soluciòn a dicho sistema es el par : de las variables pero, puedo obtenerlo. x=4 & y=5Multiplicando ec.1 por ( 2 ) y dejando igual a ec.2 Representa las coordenadas del punto (4,5), en el cual se cortan las rectas asociadas a cada una de las6x –2 y = 14 -------------ec.3 ecuaciones pertenecientes al sistema que x + 2y = 14 -------------ec.2 resolvimos.
  7. 7. Para verificar nuestros resultados, simplemente sustituìmos ambos valores en las ecuaciones iniciales y la igualdad debe cumplirse. 3x – y = 7 ------------ec.1x + 2y = 14 -----------ec.2Sustituyendo x=4 & y=5 en ec.13x – y = 7 ------------ec.13(4) – 5 = 7 12 – 5 = 7 7=7 ¡ La igualdad se cumple !Sustituyendo x=4 & y=5 en ec.2 x + 2y = 14 -----------ec.2(4)+ 2(5) = 14 4 + 10 = 14 14 = 14 ¡ La igualdad se cumple !
  8. 8. Soluciòn de Sistemas de Ecuaciones de Primer grado (mètodo suma o resta) Recuerda que nuestro primer objetivo es: Que al El resultado de estas multiplicaciones serà: sumar o restar las ecuaciones planteadas en el sistema, podamos eliminar una de las dos variables 15x - 6y = 15 y obtener una ecuaciòn con una incògnita, 4x + 6y = 42EJERCICIO4.- El sistema de ecuaciones propuesto es el siguiente: Y ahora sì, al sumar a las ecuaciones equivalentes5x - 2y = 5 -------------ec.1 obtenidas, lograrè eliminar a la variable elegida2x + 3y = 21 ------------ec.2 15x - 6y = 15NO tenemos coeficientes simètricos para alguna de las + variables pero, puedo obtenerlo. 4x + 6y = 42 19x + 0 = 57Primeramente, observa que los coeficientes de las x = 3 variables NO son mùltiplos . Sustituyendo x = 3 en la ec.2Elegí tratar de eliminar a “y”, 2x + 3y = 21 ------------ec.2Para tener coeficientes que sean mùltiplos relizo lo 2(3) + 3y = 21 siguiente: 6 + 3y = 21 3y = 15Multiplico la ec.1 por el coeficiente de “y” en la ec.2, en y=5 este caso “3” ¡ Hemos resuelto el sistema de ecuaciones planteado !Y multiplico la ec.2 por el coeficiente de “y” en la ec.1, en este caso “2” La soluciòn a dicho sistema es el par : x = 3 & y = 53 ( 5x - 2y = 5 )2 (2x + 3x = 21 )
  9. 9. Representa las coordenadas del punto (3,5), en el cual se cortan las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones pertenecientes al sistema que resolvimos..Para verificar, simplemente sustituìmos ambos valores en las ecuaciones iniciales y la igualdad debe cumplirse.Sustituyendo x=3 & y=5 en ec.15x - 2y = 5 -------------ec.15(3) – 2(5) = 5 15 – 10 = 5 5=5 ¡ La igualdad se cumple !Sustituyendo x=3 & y=5 en ec.22x + 3y = 21 ------------ec.22(3) + 3(5) = 21 6 + 15 = 21 21 = 21 ¡ La igualdad se cumple !
  10. 10. Soluciòn de Sistemas de Ecuaciones de Primer grado (mètodo suma o resta)EJERCICIO5.-Realicemos este mismo ejemplo eligiendo Sustituyendo y = 5 en la ec.1 y despejando. primero eliminar a la variable “x” 5x - 2y = 5 -------------ec.15x - 2y = 5 -------------ec.1 5x – 2(5) = 52x + 3y = 21 ------------ec.2 5x - 10 = 5 5x = 15Multiplico la ec.1 por el coeficiente de “x” en la ec.2, en x = 3 este caso “2” ¡¡¡ Obtuvimos los mismos valores para “x” & “y” !!!Y multiplico la ec.2 por el coeficiente de “x” en la ec.1, en este caso “5” x=3 & y=52( 5x - 2y = 5 )5( 2x + 3y = 21 )¡ Y obtengo el sistema de ecuaciones equivalente ! Recuerda que los pasos anteriores NO son una receta, tu puedes intentar realizàndolos de manera10x - 4y = 10 --------------ec.1” distinta; eliminando otra variable, sustituyendo el10x + 15y = 105 --------------ec2” valor obtenido para la variable en la otra ecuación, etc. y tus resultados seràn los mismos. ¡Multiplico la segunda ec. por (-1) y sumo ambas Intèntalo ! ecuaciones. 10x - 4y = 10+ -10x - 15y = - 105 Saludos!!! Espero sus comentarios… 0 - 19y = - 95 y=5

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