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1ºdt tema 1 t fundamentales en el plano1 v.7

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trazados fundamentales en el plano. bajar el power point para ver mejor

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1ºdt tema 1 t fundamentales en el plano1 v.7

  1. 1. Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la misma propiedad. ¿Cuántos?: existen muchos lugares geométricos. Su conocimiento es fundamental para estudiar la geometría.
  2. 2. perpendicularidad
  3. 3. Paralelismo y perpendicularidad Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Perpendicularidad (I) 1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos de circunferencia. 2. Con centro en B y el mismo radio se trazan dos arcos de circunferencia. 3. La recta s que une los puntos D y E es la perpendicular al segmento por el punto medio C 1. Con centro en el punto A y radio arbitrario se traza un arco 2. Con centro en el punto B y el mismo radio se traza un arco 3. Con centro en el punto C y el mismo radio se traza un arco 4. Con centro en el punto D y el mismo radio se traza un arco 5. La recta s que une el punto E con el A es la perpendicular a r Trazado de la Mediatriz de un segmento Trazado de la Perpendicular a una semirrecta por su extremo la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los extremos del segmento
  4. 4. Paralelismo y perpendicularidad Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Perpendicularidad (II) 1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos 2. Con centro en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos 3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada 1. Con centro en A y radio arbitrario se traza un arco 2. Con centros en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos 3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada Trazado de la Perpendicular a una recta por un punto de la misma Trazado de la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella
  5. 5. Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
  6. 6. Trazados geométricos básicos • Construcción de perpendiculares Trazar perpendiculares con escuadra y cartabón
  7. 7. paralelismo
  8. 8. Paralelismo Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato 1. Se elige un punto B cualquiera de la recta r y se traza la semicircunferencia de centro B y radio BA 2. Con centro en D y radio CA se traza un arco 3. La recta s que une los puntos A y E es la paralela buscada Trazado de la Paralela a una recta por un punto 1. Se elige un punto cualquiera A de la recta r y se traza la perpendicular t a r 2. Sobre la recta t se traslada el segmento AE = l 3. La recta s que se traza por el punto E es la paralela buscada Trazado de la Paralela a una recta a una distancia dada
  9. 9. Trazados geométricos básicos • Construcción de paralelas Trazar paralelas con escuadra y cartabón
  10. 10. Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
  11. 11. segmentos
  12. 12. Trazados geométricos RESTA operaciones OPERACIONES CON SEGMENTOS PRODUCTO SUMA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN DOS PARTES IGUALES A B C D A B C D AB + CD = AD A B C D AB - CD = DB A B C A B D E F AB x 3 = AF A B M N MEDIATRIZ B C D A
  13. 13. Segmentos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • División de un segmento en partes iguales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.
  14. 14. Segmentos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • División de un segmento en partes proporcionales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ 3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t. 4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I
  15. 15. Segmentos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados • Producto y división entre dos segmentos 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados Producto entre dos segmentos División entre segmentos E 1 C B D C D A B C B E r A s 1 D A C A B A r s
  16. 16. • Proporcionalidad: Teorema de la altura En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD 2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = BF es la media media proporcional buscada a x x b = Dados dos segmentos que sumados constituyen la hipotenusa de un triángulo rectángulo A x a B-CE b D r F C b D A a B
  17. 17. • Proporcionalidad: Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro el mayor de ellos. 2. Por el punto D se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada a x x b = a b A-C x E D F C Db B r A a B Dada la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo
  18. 18. Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig. 97. Sobre el segmento suma A C (s), sitúese el segmento diferencia A D (d) con orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A B y B C. RAZONAMIENTO
  19. 19. Según la construcción, la mitad del segmento S - D es el segmento menor, puesto que S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2 Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia RAZONAMIENTO
  20. 20. ALICACIONES DE LO ANTERIOR  Hallar dos segmentos conocida su suma y su media proporcional. Fig. 98
  21. 21. Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media proporcional entre ambos   Tomando como diámetro la diferencia de segmentos M N conocida, trazar una circunferencia así como una tangente (perpendicular a M N), por uno de los extremos M del diámetro, transportando sobre la misma la longitud A M de la media proporcional conocida. La recta que une el extremo A con el centro O de la circunferencia queda interceptada por la misma en los puntos B y C, siendo A C y A B los segmentos pedidos.
  22. 22. Segmentos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada 1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC 2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC 3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E 4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB Dado el segmento AB DA B C 1 E A B
  23. 23. • Sección áurea de un segmento: Definición: Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que: La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b a x x b = Dados un segmento b = AC b ax BA C A C
  24. 24. Dado un segmento, hallar su división áurea Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado 1. Por B se traza la perpendicular a r 2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco 3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco 4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea • Sección áurea de un segmento
  25. 25. ángulos
  26. 26. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato Ángulo alternos internos: 3-5 y 4-6 • Definiciones de ángulos Ángulo agudo: mide menos de 90º d) a) b) e) c) 7 6 s t r 8 4 5 3 2 1 Ángulo externos: 1,2,7 y 8 Ángulo recto: mide 90º Ángulo convexo: es el menor de los dos ángulos que determinan sus lados Ángulo obtuso: mide mas de 90º Ángulo cóncavo: es el mayor de los dos ángulos que determinan sus lados Ángulo llano: mide 180º Ángulo internos: 3,4,5 y 6 Ángulo adyacentes externos: 1-2 y 7-8 Ángulo adyacentes internos: 3-4 y 5-6 Ángulo alternos externos: 1-7 y 2-8 Ángulo entre rectas Ángulo entre semirrectas
  27. 27. B A c OPERACIONES CON ÁNGULOS C c SUMA C c RESTA
  28. 28. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Propiedades de los ángulos Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos son iguales Dos ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares son iguales r s A r' s' A' A s r s' r' A'
  29. 29. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Construcción de un ángulo igual a otro 1. Sobre una recta r se toma un punto B arbitrario 2. Con centros en A y B, y radio arbitrario, se trazan dos arcos 3. Con centro en E y radio CD se describe un arco 4. La recta s que une los puntos B y F forma con r el ángulo buscado
  30. 30. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato 1. Sobre una recta r se toma un punto C arbitrario 2. Con centros en A, B y C, y radio arbitrario, se trazan arcos iguales 3. Con centro en H y radio DE se describe un arco • Suma y diferencia de ángulos La recta s que une los puntos C y J forma con r el ángulo buscado Suma: Con centro en I y radio FG se describe otro arco en el mismo sentido Diferencia: Con centro en I y radio FG se describe otro arco en sentido contrario al anterior
  31. 31. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Trazado de la bisectriz de un ángulo 1. Se traza un arco de centro A y radio arbitrario 2. Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario 3. La recta que une A y D es la bisectriz del ángulo 1. Se traza una recta arbitraria que corte a r y s 2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que se forman 3. La recta que une C y D es la bisectriz del ángulo
  32. 32. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato Trazado de rectas concurrentes que se cortan fuera del dibujo 1. Se traza una recta cualquiera que corte a r y s. Los puntos B y C de intersección se unen con P definiendo un triángulo 2. Se traza otra recta arbitraria paralela a BC obteniendo E y F como puntos de intersección 3. Se trazan por dichos puntos rectas paralelas a los lados del triángulo BCP obteniendo D como intersección 1. Con centro el vértice A se traza arco de radio arbitrario obteniendo los puntos B y C 2. Con el mismo radio se trazan arcos con centros B y C obteniendo los puntos D y E 3. Las rectas AD y AE dividen al ángulo recto en tres partes iguales r E F C B D t s P 4. La recta PD es la solución A B E s C r D División del ángulo recto en tres partes iguales
  33. 33. ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS.  Un ángulo rectilíneo es el formado por dos líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el formado por dos líneas curvas; por ejemplo, dos arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el formado por una línea recta y una línea curva
  34. 34. Ángulos Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Ángulos mixtilíneos y curvilíneos 1. Por un punto B se traza la perpendicular a r, se llevan magnitudes iguales y se trazan paralelas 2. Por un punto C se traza el radio, se llevan magnitudes iguales a las anteriores y se trazan arcos concéntricos 3. La bisectriz es la curva que une los puntos de intersección correspondientes 1. Por un punto B se traza el radio, se llevan magnitudes iguales y se trazan arcos concéntricos 2. Por un punto C se traza el radio, se llevan magnitudes iguales a las anteriores y se trazan arcos concéntricos 3. La bisectriz es la curva que une los puntos de intersección correspondientes
  35. 35. CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON COMPÁS
  36. 36. Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón
  37. 37. circunferencia
  38. 38. Circunferencia Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Definiciones Radio (r): Segmento que une el centro con un punto A cualquiera de la circunferencia Diámetro (d): Segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia y pasa por el centro Cuerda (c): Segmento que une dos puntos D y E cualesquiera sin pasar por el centro Tangente (t): Recta que solo tiene un punto común con la circunferencia O Circunferencia: conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto O Arco: segmento de circunferencia Círculo: parte del plano interior a la circunferencia Segmento circular: parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco Sector circular: parte del círculo comprendida entre dos radios
  39. 39. Trazados geométricos TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS 0 r r CONOCIDO EL RADIO º º A B C O A C B A PARTIR DE TRES PUNTOS DADOS radio
  40. 40. 4 Trazados geométricos 6 La circunferencia II. TÉRMINOS RELATIVOS A LA CIRCUNFERENCIA POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUFERENCIAS O Circunferencia O O O O ARCO SEMICIRCUNFERENCIA CÍRCULO SEMICÍRCULO ÁNGULO CENTRAL A B O O’ O O’ O O’ OO EXTERIORES INTERIORES O O’ P TANGENTES EXTERIORES TANGENTES INTERIORES O O’ SECANTES CONCÉNTRICAS
  41. 41. Ángulos en la circunferencia Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia. Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite. El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende. La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto. Ángulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo. Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.
  42. 42. Circunferencia Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Ángulos de una circunferencia (I) Ángulo central El vértice es el centro de la circunferencia π ϕ º180 ⋅= r a Ángulo inscrito El vértice es un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas 2 α ϕ =
  43. 43. Circunferencia Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Ángulos de una circunferencia (II) Ángulo semiinscrito El vértice es un punto de la circunferencia, un lado es secante y el otro tangente 2 α ϕ = Ángulo interior El vértice es un punto interior de la circunferencia 2 βα ϕ + =
  44. 44. Circunferencia Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico 1.º Bachillerato • Ángulos de una circunferencia (III) Ángulo exterior El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados secantes 2 βα ϕ − = Ángulo circunscrito El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados tangentes 2 βα ϕ − =
  45. 45. Enlace de interés Angulos inscritos 1 Angulos inscritos 2 Angulos inscritos 3 Cuadrilatero inscrito Angulos inscritos 4 Angulos semiinscritos Angulos interiores a una circunferencia Angulos exteriores a una circunferencia Angulos interiores y exteriores en la circunferencia
  46. 46. Arco capaz. Recordemos: Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición común: La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidista de uno fijo lamado centro Se llama Arco Capaz de un ángulo α dado respecto a un segmento también conocido , al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado bajo el ángulo α.
  47. 47. Dado el segmento AB y el angulo @. Trazar el Arco Capaz A B @
  48. 48. Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es de 90-@ A B @ @ 90-@
  49. 49. A B @ @ 90-@ o´ o´´ Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado
  50. 50. APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al lado a. Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  son los triángulos ABC en todas sus variantes los cuales se obtienen haciendo centro en C y con radio r cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro O y radio OB = OC
  51. 51. Los datos del triángulo son el lado a (AB) Y el ángulo  opuesto al lado a. A B A
  52. 52. Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  A B A A B A 90-A
  53. 53. Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  A B A A B A 90-A
  54. 54. Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  B C A B C A 90-A A
  55. 55. Trazados fundamentales en el plano Hallar los puntos desde donde se ven dos segmentos bajo dos ángulos conocidos • Arco capaz (II) Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados 1. Se dibuja el arco capaz de α respecto de AB 2. Se dibuja el arco capaz de β respecto de BC 3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo α y BC con un ángulo β
  56. 56. 2 Trazados fundamentales en el plano 8 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO Rectificación de arcos de circunferencia • Rectificación de arcos de circunferencia Rectificación de un arco menor de 90º 1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales 2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro 3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E Rectificación de un arco de 90º 1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia. 2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC 3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia 4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º E D F C O B A
  57. 57. 2 Trazados fundamentales en el plano 9 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO Rectificación de la semicircunferencia y la circunferencia • Rectificación de circunferencias Rectificación de una semicircunferencia 1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un arco hasta cortar en E a la circunferencia. 2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a la circunferencia en el propio punto A 3. El segmento FG es la solución buscada Rectificación de una circunferencia 1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales 2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo F O DC G A B E
  58. 58. Potencia de un punto respecto de una circunferencia
  59. 59. Potencia de un punto respecto de una circunferencia  Concepto de potencia  Aparentemente parece no existir ninguna relación entre un punto y una circunferencia (Fig 26)
  60. 60. Potencia de un punto respecto de una circunferencia  Si partiendo del punto P se traza un haz de rectas, unas serán secantes, otras tangentes, otras no cortarán a la circunferencia. (Fig. 27)
  61. 61. Potencia de un punto respecto de una circunferencia  Las rectas que no corten a la circunferencia no tienen ninguna relación con ella, pero las que sean secantes o tangentes determinarán unos puntos intersección con ella y, por tanto, cada recta quedará dividida en magnitudes, segmentos o distancias desde el punto P a los puntos intersección con la circunferencia. El producto de distancias de dicho punto a los pun­ tos de la circunferencia, determina una constante PA*PA' = K que es la potencia de un punto respecto de una circunferencia (Fig. 28)
  62. 62. Potencia de un punto respecto de una circunferencia  Esta constante K es la misma para todas las rectas que partiendo del punto P sean secantes o tangentes a la circunferencia.
  63. 63. Potencia de un punto respecto de una circunferencia  En el caso límite en que una secante se transforme en tangente el punto T es doble pues cumple una doble alineación con P , por tanto, PT = PT' (Fig. 30)
  64. 64. Trazados fundamentales en el plano Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias Definición: Potencia de un punto Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante Definición: Eje radical Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD
  65. 65. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS Dadas dos circunferencias de centros 01 y O2 (fig. 14), El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.
  66. 66. Trazados fundamentales en el plano Eje radical de dos circunferencias Propiedad: Eje radical de dos circunferencias secantes: es la recta que une los puntos A y B de intersección de las circunferencias El eje radical es siempre una recta perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias Eje radical de dos circunferencias tangentes: es la recta tangente común a ambas circunferencias Eje radical de dos circunferencias exteriores: 1. Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a ambas. Se hallan los ejes radicales de esta con las otras dos obteniendo r y s 2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2 desde E, intersección de r y s B A r s D C O e E A e e B A O1 O2 O1 2O 1O O2
  67. 67. Trazados fundamentales en el plano Centro radical de tres circunferencias Definición: Centro radical Es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias 1. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O2 y O3 3. El punto O de intersección de e y e’ es el centro radical

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