Ideas fundamentales del MAS

1. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Movimientos Periódicos
Son todos aquellos que se repiten cada cierto intervalo de tiempo
(por ejemplo, un MCU).
En ellos se pueden definir dos características:
• Período (𝜏): tiempo invertido por el fenómeno en repetirse (en
segundos
• Frecuencia (𝜐): número de repeticiones por unidad de tiempo (s-1
o Hz)
Siendo la relación entre ambas magnitudes:
𝜐 =
1
𝜏
En un movimiento oscilatorio, un cuerpo se desplazará a uno y otro
lado de una posición de equilibrio (claro está, de manera periódica),
como en el movimiento de un péndulo.
El movimiento vibratorio, por su parte, se caracteriza porque la
trayectoria seguida es una recta, como sucede en la vibración de un
resorte.
Eric Calvo Lorente 1 2ºBachillerato

2. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Movimiento Armónico Simple
El movimiento se debe a la acción de una fuerza restauradora que
intenta hacer retornar al cuerpo a su posición de equilibrio.
Esta fuerza es directamente proporcional a la separación del cuerpo
respecto de su posición de equilibrio:
𝐹 = −𝐾. Δ𝑥
Se denomina OSCILADOR ARMÓNICO a toda partícula que se mueva
con MAS.
Eric Calvo Lorente 2 2ºBachillerato

3. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Cinemática del Movimiento Armónico Simple
El MAS puede hacerse corresponder con la proyección de un MCU
sobre uno de sus diámetros:
Analíticamente:
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
,donde:
x: elongación o estiramiento (m)
A: amplitud o estiramiento máximo (m)
𝜔: frecuencia angular (rad/s)
𝜙0: ángulo inicial o desfase (rad)
La ecuación puede tomar estas otras formas:
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝜐𝑡 + 𝜙0
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
𝜏
𝑡 + 𝜙0
O ser expresada en forma cosenoidal: 𝑥 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0 ±
𝜋
2
Eric Calvo Lorente 3 2ºBachillerato

4. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Ecuación de la Velocidad en el MAS
Puesto que la posición del cuerpo varía con el tiempo, podremos determinar la
rapidez de esa variación; es decir, podremos conocer la velocidad de la
partícula en cada una de las posiciones por las que pasa.
Así:
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
v =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0 → v = 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0
Velocidad y posición pueden relacionarse, teniendo en cuenta que:
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0 =
𝑥
𝐴
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0 =
v
𝐴𝜔
𝑠𝑒𝑛2
𝜔𝑡 + 𝜙0 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜔𝑡 + 𝜙0 = 1
→
𝑥
𝐴
2
+
v
𝐴𝜔
2
= 1
Por lo que:
𝑥2
. 𝜔2
+ v2
= 𝐴2
. 𝜔2
→ v2
= 𝜔2
𝐴2
− 𝑥2
v = 𝜔 (𝐴2 − 𝑥2) Como vemos, la velocidad es máxima para x=0, y
nula para x=A.
Eric Calvo Lorente 4 2ºBachillerato

5. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Ecuación de la Aceleración en el MAS
Puesto que la velocidad del cuerpo también varía con el tiempo, podremos
determinar la rapidez de esa variación; es decir, podremos conocer la
aceleración de la partícula en cada una de las posiciones por las que pasa.
Así:
v = 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0
𝑎 =
𝑑v
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0 → 𝑎 = −𝐴. 𝜔2
. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
Aceleración y posición pueden relacionarse, teniendo en cuenta que:
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
𝑎 = −𝐴. 𝜔2
. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
→ 𝑎 = −𝜔2
. 𝑥
Eric Calvo Lorente 5 2ºBachillerato

6. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Dinámica del MAS
La fuerza restauradora, dada por la Ley de Hooke, es la fuerza causante de
la oscilación del cuerpo alrededor de la posición de equilibrio. Si tenemos en
cuenta el 2º Principio de la Dinámica:
𝐹 = −𝐾. 𝑥
𝐹 = 𝑚. 𝑎
→ −𝐾. 𝑥= 𝑚. 𝑎
Recordando ahora que:
𝑎 = −𝜔2
. 𝑥
Resultará la siguiente expresión:
−𝐾. 𝑥 = −𝑚. 𝜔2
. 𝑥 → 𝐾 = 𝑚. 𝜔2
𝐾 = 𝑚.
2.𝜋
𝜏
2
𝜏 = 2. 𝜋.
𝑚
𝐾
Eric Calvo Lorente 6 2ºBachillerato

7. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Péndulo Simple
Llamamos así a una masa puntual que pende de un hilo inextensible y sin masa
La fuerza restauradora que provoca el
movimiento oscilatorio es la componente
del peso tangencial a la trayectoria del cuerpo.
𝑃𝑡𝑔 = −𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜙
Si se consideran desplazamientos pequeños,
𝑠𝑒𝑛𝜙 ≅ 𝜙 =
𝑠
𝐿
=
𝑥
𝐿
, por lo que:
𝑃𝑡𝑔 = −𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜙=-m.g.
𝑥
𝐿
Y, por ser la causante del movimiento:
𝐹 = 𝑚. 𝑎 = −𝑚. 𝜔2
. 𝑥
De modo que: −𝑚. 𝜔2
. 𝑥 =-m.g.
𝑥
𝐿
→ 𝜔2
=
𝑔
𝐿
→
2.𝜋
𝜏
2
=
𝑔
𝐿
→ 𝜏 = 2. 𝜋.
𝐿
𝑔
, independiente de la masa y de la amplitud de la oscilación.
Eric Calvo Lorente 7 2ºBachillerato

8. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Energía del MAS (I)
Al desplazarse el cuerpo por acción de una fuerza, podremos
determinar el trabajo realizado por ella cuando el cuerpo se desplaza
desde un punto A hasta otro B:
𝑊𝐴→𝐵 =
𝐴
𝐵
𝐹. 𝑑 𝑟 =
𝐴
𝐵
−𝐾. 𝑥. 𝑑𝑥
𝑊𝐴→𝐵 = −
1
2
𝐾𝑥 𝐵
2
−
1
2
𝐾𝑥 𝐴
2
Que, como vemos, depende tan solo de las posiciones inicial y final
del cuerpo. Por lo tanto, LA FUERZA RECUPERADORA que origina
el MAS ES UNA FUERZA CONSERVATIVA.
En consecuencia es posible definir una magnitud escalar que asocie a
cada posición un valor de energía. Es decir, podemos asociar a cada
punto una ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA:
𝐸 𝑝,𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 =
1
2
𝐾𝑥2
=
1
2
𝐾 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
2
Eric Calvo Lorente 8 2ºBachillerato

9. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Energía del MAS (II)
, de forma que:
𝑊𝐴→𝐵 = −∆𝐸 𝑝,𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
Por otro lado, y puesto que el cuerpo tiene una determinada
velocidad, poseerá también un contenido energético en forma
de ENERGÍA CINÉTICA:
𝐸 𝐾 =
1
2
𝑚v2
=
1
2
𝑚 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0
2
La energía mecánica del sistema será igual a:
𝐸 𝑀 =
1
2
𝑚 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0
2
+
1
2
𝐾 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0
2
𝐸 𝑀 =
1
2
𝒎𝝎 𝟐
𝐴2
𝑐𝑜𝑠2
(𝜔𝑡 + 𝜙0) +
1
2
𝐾𝐴2
𝑠𝑒𝑛2
(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝐸 𝑀 =
1
2
𝐾𝐴2
𝑐𝑜𝑠2
(𝜔𝑡 + 𝜙0) +
1
2
𝐾𝐴2
𝑠𝑒𝑛2
(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝐸 𝑀 =
1
2
𝐾𝐴2
Eric Calvo Lorente 9 2ºBachillerato

10. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Energía del MAS (III)
Podremos entonces encontrar una ecuación para la energía cinética
más simple,
𝐸 𝐾 = 𝐸 𝑀 − 𝐸 𝑃
𝐸 𝐾 =
1
2
𝐾𝐴2
−
1
2
𝐾𝑥2
→ 𝐸 𝐾 =
1
2
𝐾 𝐴2
− 𝑥2
Eric Calvo Lorente 10 2ºBachillerato

11. Tema:MovimientoArmónicoSimple
Oscilaciones Forzadas. Resonancia
Los osciladores armónicos vibran con una frecuencia que depende tan
sólo de sus características propias. Es la FRECUENCIA NATURAL DEL
OSCILADOR.
En un oscilador real, las pérdidas de energía provocan una paulatina
disminución de la amplitud, hasta la detención total. Si se pretende
que el oscilador se comporte como un armónico, se le deberá aplicar
una fuerza periódica, convirtiéndolo en lo que se conoce como un
OSCILADOR FORZADO.
En el caso en el que se aplique una fuerza oscilante, con una
frecuencia igual a la natural del oscilador, se producirá el fenómeno
conocido como RESONANCIA, por el cual el oscilador sufre un
acusado aumento en su amplitud.
Link
Eric Calvo Lorente 10 2ºBachillerato