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Sistema de clasificación Melvil Dewey DGME   516.152   F47  2007       Ferrari, Virginia                  ¡A girar! ¿Ángul...
Dos sorpresas para Nacho                 4ÍTodos a girar!                           8Tomados de las manos                 ...
Dos sorpresas para NachoMartín y Nacho llegaron de la escuela con Mariana, una compañerade clase de Martín. Cuando abriero...
Aún más confundido, Nacho se rascóla cabeza:  —No entiendo. ¿Qué es un ángulo?  Inmediatamente, Martín abrió sumochila y s...
Después de mirar los dibujos, Nacho noparecía satisfecho.Entonces Martín le explicó:  —Aquí en la casa también puedesencon...
Mariana, viendo que Nacho seguía sin comprender, se paró enfrentesuyo y ie dijo: —También podemos verlos en los movimiento...
¡Todos a girar!Apenas terminaron, Nacho fue el primero en salir. Era el más entusiasmado.Después de pensar un poco, Martín...
—¡Yo quiero girar con Vani! —dijo entusiasmada Carolina abrazando a              su muñeca.              —¡Sí, sí! ¡Todos ...
Tomados de las manos          —También podemos girar en parejas —propuso Martín cuando todos     completaron los cinco gir...
Mientras Nacho y Mariana giraban y contaban las vueltas en voz alta,                                         Martín se ace...
Un paseo en triciclo     —Sí —contestó Martín—, vamos a dar más vueltas, pero van a serdistintas. Vamos a cambiar el punto...
—¡A mí también me toca! —agregó Carolina—. Estasvueltas sí las puedo dar con Vani... ¡Y en mitriciclo!  Y empezó a girar a...
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—Ya entendí —dijo Nacho—. En este caso, las cuerdas soncomo las semirrectas. Para hacerlas girar las amarramos al poste.  ...
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—Ahora —continuó Mariana mientras dejaba su cuerda en el piso—, voy adar la otra media vuelta que me falta para completar ...
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El ejemplo de la hormiga  Una vez que tenemos los círculos trazados los recortamos —continuó Martín-Luego, con la regla tr...
—Ahora hacemos un doblez en esa línea y lo marcamos muy bien —siguió.    De pronto Nacho empezó a gritar, entusiasmado por...
Giros y caminos         Todos se quedaron un rato sentados mientras miraban los       dibujos con satisfacción. Nacho fue ...
—Para que veamos mejor una media vuelta —interrumpióMartín— podemos trazar un pequeño círculo alrededor delpunto y luego d...
Todas las vueltas se miden en vueltas          —Sí —dijo Mariana—, también se puede ver muy bien cómo,        en todos los...
La reacción de sus amigos animó a Nacho a seguir adelante:  —Lo importante es no confundir la parte de vuelta quedamos con...
Cuatro partes ¡guales                        Al día siguiente, poco después de desayunar, Martín y                       M...
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—También hay otra manera enque lo puedes ver —se apresuró aagregar Mariana sin soltar lacuerda—. Carolina, tú y yo nosqued...
Detectives de ángulos rectos                  •Sí, lo veo —dijo Nacho, contento—. En un cuarto de vuelta                  ...
—¿Lo ves? —preguntó Mariana—.Cada una de las cuatro partes igualesen que se dividió la vuelta completarecibe un nombre esp...
Era cierto. Carolina se acercó a tocar la punta de lamesa con atención. Polo olía las patas de la silla. Nachotocó la puer...
—Mira —continuó Martín—, si lo ponemos encima de     todos los ángulos rectos que hemos visto en la casa, verás        que...
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¿Qué tal me veo desde este ángulo?       —Ahora, podemos hacer ángulos agudos con nuestrasmanos —dijo Mariana—. Asi, miren...
—También podemos formarángulos agudos, rectos y obtusoscon las partes del cuerpo —agregóMariana—. Por ejemplo, con eltronc...
Cuando se incorporó, a Nacho le brillaban los ojos  de alegría y no podía dejar de expresar todas las            posibilid...
—Incluso podemos medir con la escuadra si formoexactamente un ángulo recto.  Luego le pidió a Martín:  —Toma la escuadra y...
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Una gran palabra y un giro muy pequeño     —Para eso se ha inventado una unidad de medida que permite medirgiros muy peque...
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Un poco de carpintería  —¡Ah! Y ya sé lo que podemos hacer —gritó Nacho, quetambién quería proponer ideas nuevas—. Para ve...
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Se quedó pensativo un momento y continuó:          — Y también podemos representar ángulos rectos, agudos,       obtusos, ...
—Perdón —dijo—. Ahora es tu turno, Mariana. ¿Qué tal si me explicas     para qué sirve cada uno de los clavitos?       —Co...
Un navio cargado de ángulos      Cuando terminó de marcar esos ángulos, se dio cuenta de que Mariana    y Martín nuevament...
—Sí, es cierto —dijo Nacho—. Así es mucho más fácil contar los             grados. ¿Y ahora ya puedo usarlo? —Nacho insist...
4) Levantas el transportador y, con la regla                                  o con el borde recto del transportador,     ...
2) Luego, haces lo mismo que para trazar ángulos: haces     coincidir el centro del transportador con el vértice del ángul...
Para transportarte en la red         A continuación, te sugerimos algunas páginas web sobre temas              de matemáti...
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¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta!se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos...
¡A girar! ¿ángulos_y_grados__¡dales_la_vuelta![1]
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¡A girar! ¿ángulos_y_grados__¡dales_la_vuelta![1]

  1. 1. ,- i S i BIBLIOTECA CENTRAL COORDINACIÓN ESTATAL DE FORMACIÓN CONTINUA S. E. E ¿Ángulos y grados? ;Dales la vuelta/ Virginia FerrariCORREOMAESTROla vasija Libros del Rincón
  2. 2. Sistema de clasificación Melvil Dewey DGME 516.152 F47 2007 Ferrari, Virginia ¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta! IVirginia Ferrari; ilus. de Beatriz Gaminde. - México : SEP : Correo del Maestro : La Vasija, 2007. 60 p. : il. - (Libros del Rincón) ISBN: 978-970-790-399-9 SEP 1. Ángulos (Geometría). - Literatura juvenil. 2. Ángulos (Geometría) - Medición - Literatura juvenil. I. Gaminde, Beatriz, il. II. t. III. Ser.© Correo del Maestro y Ediciones La Vasija.Primera edición SEP / Correo del Maestro / Ediciones La Vasija / Uribe y Ferrari Editores, 2007D.R. © Uribe y Ferrari Editores, S.A. de C.V., 2007 Av. Reforma núm. 7-403 Ciudad Brisa, 53280, Naucalpan, Estado de México.D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.ISBN: 978-970-756-267-7 Uribe y Ferrari EditoresISBN: 978-970-790-399-9 SEPProhibida su reproducción por cualquier medio mecánicoo electrónico sin la autorización escrita de los coeditores.Impreso en MéxicoDistribución gratuita-Prohibida su venta
  3. 3. Dos sorpresas para Nacho 4ÍTodos a girar! 8Tomados de las manos 10Un paseo en triciclo 12El juego del reloj 14Otro reto para Nacho 16El ejemplo de la hormiga 20&lro§ y caminos 22Todas las vueltas se miden en vueltas 24Cuatro partes iguales 26Detectives de ángulos rectos 29La prueba de las escuadras 33Dílo en griego 36¿Cuántas veces cabe? 37¿Qué tal me veo desde este ángulo? 41Por el llano 45Una gran palabra y un giro muy pequeño 46Un poco de carpintería 48Un rmío cargado de ángulos 53Para transportarte en la red 57
  4. 4. Dos sorpresas para NachoMartín y Nacho llegaron de la escuela con Mariana, una compañerade clase de Martín. Cuando abrieron la puerta, Polo los recibióladrando. Al oír los ladridos, Carolina, la menor de los tres hermanos,que estaba jugando en la sala, les sonrió. A la vez que dejaba lamochila en el sillón, Martín le anunció a su madre: —¡Mamá! ¡Mamá! Invité a Mariana a comerporque este fin de semana tenemos quehacer un trabajo en equipo. Hoy la maestranos enseñó a usar el transportador. Polo olió los zapatos de Mariana ydespués saludó a Nacho moviendo la cola. Nacho estaba un poco sorprendido. -¿Qué es un transportador? —preguntó—. ¿Un camión que transporta carga muy pesada? ¿Un barco? ¿Un avión? Mariana se rió. —No —contestó Martín—. Un transportador es un instrumento que sirve para trazar y medir ángulos.
  5. 5. Aún más confundido, Nacho se rascóla cabeza: —No entiendo. ¿Qué es un ángulo? Inmediatamente, Martín abrió sumochila y sacó un cuaderno. Polo seacercó a olisquear. —Mira —le dijo a Nachos /Éstos son ángulos —y abrió laspáginas de su cuaderno—. Enla escuela dibujé muchos. má
  6. 6. Después de mirar los dibujos, Nacho noparecía satisfecho.Entonces Martín le explicó: —Aquí en la casa también puedesencontrar muchos ángulos—y empezó a señalar (para todas partes. /*
  7. 7. Mariana, viendo que Nacho seguía sin comprender, se paró enfrentesuyo y ie dijo: —También podemos verlos en los movimientos que hacemos con las partes de nuestro cuerpo. Y Nacho sonrió al ver cómo Mariana flexionaba el tronco, levantaba una pierna o un brazo. —¿Ya entendiste lo que es un ángulo? —preguntó la niña, un poco agitada por el ejercicio. —Miran... aaah... —refunfuñó Nacho moviendo la cabeza de un lado a otro. Mariana y Martín quedaron mirándose un rato ¿Cómo te explicarían a Nacho lo que era un ángulo? Mariana suspiró y, mirando el patio de la casa, continuó: —Bueno, mejor te lo explicamos paso a paso, como lo hizo la maestra con nosotros. Pero para eso tenemos que salir adonde tengamos más espacio. Además, vamos a necesitar un listón o un estambre. O quizá tu papá tenga una cuerda... —dijo mirando a Martín. —¡Seguro que sí!—. Luego volvió a quedarse callado, pensando. —Pero eso será después de comer, porque mamá nos está esperando. ¡Vamos a lavarnos las manos! Y todos salieron corriendo seguidos de Polo, que no dejaba de mover la cola.
  8. 8. ¡Todos a girar!Apenas terminaron, Nacho fue el primero en salir. Era el más entusiasmado.Después de pensar un poco, Martín propuso: —Vamos a jugar a girar. Cada uno da varias vueltas completas sobre símismo, como si tuviera un eje. Así, como un trompo o una perinola. —¡Sí! —agregó Mariana—. Como el planeta Tierra. Cuando Nacho estaba por empezar a girar, Martín le explicó: —Para saber que damos una vuelta completa —dijobuscando algo en el piso— cada uno tiene que fijar unpunto de partida. Cuando después degirar regresa a ese punto,significa que dio un girocompleto. —¡Sale! —gritó Nacho—. Mi punto de partida es la playera rayada que se está secando en el tendedero. La miro de frente, giro y, cuando la vuelvo a ver, cuento una vuelta. Así. Y dio una vuelta.8
  9. 9. —¡Yo quiero girar con Vani! —dijo entusiasmada Carolina abrazando a su muñeca. —¡Sí, sí! ¡Todos a girar! ¡Que cada uno cuente las vueltas completas que da! —propuso Nacho. Cuando vio que Nacho y Carolina empezaban a girar, Martín tuvo otra idea: —Podemos contar cinco giros completos en un sentido y luego cinco giros completos en el otro sentido. Uno,^rt-fci^^^n dos, tres, cuatro, cinco hacia la derecha y luego uno, dos, tres, cuatro, cinco hacia la izquierda. Todos empezaron a girar y a contar a coro: —Uno, dos... —¡Ay, ay! —se quejó Carolina—. Vani y yo nos estamos mareando.
  10. 10. Tomados de las manos —También podemos girar en parejas —propuso Martín cuando todos completaron los cinco giros—. Mariana y Nacho giran juntos, tomados de las manos, pero cruzándolas. La unión de las manos es el punto de referencia alrededor del cual van a girar. Yo iré con Carolina. —De acuerdo —dijo Mariana—. Yo cuento las vueltas así: cuando estamos quietos, yo estoy mirando de frente la ventana de la cocina. Luego comenzamos a girar y cuando vuelvo a ver la ventana es que ya dimos una vuelta completa. —¡Sale! —gritó Nacho—. ¡Es muy divertido! :10
  11. 11. Mientras Nacho y Mariana giraban y contaban las vueltas en voz alta, Martín se acercó a Carolina. —Ven —le dijo—, vamos a girar juntos nosotros también, tomados de las manos. —¡Sííí! —exclamó Carolina—. Pero despacito para que no me caiga. —No te preocupes, lo vamos a hacer de manera distinta a la de ellos —la tranquilizó—. Nos tomamos de las manos, pero sin cruzarlas. Luego yo giro sobre mí mismo sin salirme de este mosaico y tú das vueltas alrededor mío. Carolina miró a la muñeca y le dijo a Martín: —Bueno, pero entonces voy a dejar a Vani. Y tú cuentas las vueltas. —De acuerdo —contestó Martín—. Una, dos, tres, cuatro... Así estuvieron girando un buen rato. Como Nacho y Mariana iban más rápido, giraron más veces. Cuando se cansaron, se quedaron parados mirando a Martín y Carolina completar sus vueltas. Al final, también Carolina se detuvo. —¡Qué padre! ¿Podemos seguir dando vueltas? —preguntó. 11
  12. 12. Un paseo en triciclo —Sí —contestó Martín—, vamos a dar más vueltas, pero van a serdistintas. Vamos a cambiar el punto alrededor del cual vamos a girar.Estuvo mirando un momento alrededor suyo y siguió: —Vamos a necesitar el poste que sostiene el tendedero y una piedrita—dijo mientras tomaba una piedra del suelo—. El poste representael punto alrededor del cual giramos; la piedrita indicará el puntodonde iniciamos el giro —y la dejó a los pies de Mariana—. Cuandocada uno regrese a ella después de haber caminadoalrededor del poste, habrá dado una vueltacompleta, un giro completo. Primerolo hará Mariana, para que Carolinay Nacho vean cómo —y Marianaempezó a caminar alrededordel poste. Una vez que Mariana hubo terminado de dar una vuelta completa les dijo a Nacho y Carolina: —Ya regresé a la piedrita, al punto de salida. El punto de partida y el punto de llegada coinciden después de dar una vuelta completa... Antes de que pudiera terminar de hablar, Nacho ya quería tomar su turno, y estaba junto a la piedra: —Ahora me toca a mí. Voy a dar una vuelta completa alejándome lo más posible del poste hasta casi tocar los muros de los vecinos.12
  13. 13. —¡A mí también me toca! —agregó Carolina—. Estasvueltas sí las puedo dar con Vani... ¡Y en mitriciclo! Y empezó a girar andando en su triciclo, seguida de Polo. —Pero mira —dijo Nacho señalando con el dedo—, Carolina no da la vuelta en círculo. A veces se aleja mucho del poste y a veces se acerca mucho. No trata de mantener siempre la misma distancia al poste. ¿Se vale hacerlo así? —¡Claro que sí! —se adelantó Mariana—. Lo importante es que dé una vuelta completa alrededor de un punto determinado, que en este caso es el poste. 13
  14. 14. El juego del relojNacho no estaba conforme. —Pero, además, Carolina no dio la vuelta para el mismo ladoque nosotros: la dio al revés —dijo mirando a Martín. —No, no se dice "al revés". Se dice "en sentido horario". Para saber cómo vamos a hacer el giro, locomparamos con las manecillas del reloj: el sentido enque avanzan se llama "sentido horario" y el sentidoinverso se llama "sentido antihorario"—dijo Martín mostrando su reloj a los demás. Nacho pensó un poco más y agregó: —¡Ah! ¡Para eso queríamos las cuerdas de papá! Podemos hacer de cuenta que son las manecillas del reloj, ¿no? —¡Claro! —contestó Mariana—. Con ellas ya tendremos todos los elementos que la maestra dijo que necesitamos para trazar un ángulo: dos semirrectas —una que permanece fija y otra que gira— y un centro de giro, o punto de referencia, que es el punto donde se unen las semirrectas y que en el ángulo se llama vértice del ángulo.14
  15. 15. —Ya entendí —dijo Nacho—. En este caso, las cuerdas soncomo las semirrectas. Para hacerlas girar las amarramos al poste. —Sí —continuó Mariana—. kntonces el poste es como si fuerael vértice, el centro de giro. Y ya no vamos a necesitar lapiedra para marcar el punto de salida. La cuerdaque permanece fija lo indicará. —¡Muy bien! —dijo Martín—. Practiquemos. Que cada uno de nosotros dé otra vuelta completa llevando una cuerda tirante en la mano y que deje la otra cuerda en el suelo para mostrar donde inicia el giro. —Está bien —dijo Mariana—. Pero antes de partir, cada uno debe decir a los demás en qué sentido va a girar.—¡Sale! —gritó Nacho—. Yo soy primero. A ver... Dejo una cuerda en el suelo, sujeto la otra bien firme y voy a girar en sentido... mmm... ¡antihorario! 15
  16. 16. Otro reto para Nacho Cuando todos terminaron de dar una vuelta completa, se quedaron mirando a Martín con ganas de seguir jugando. Entonces Martín propuso: —Bueno, llegó el momento de hacer algo un poquito diferente. Ahora, en lugar de regresar al punto de partida dando vueltas completas, sólo vamos a girar partes de vuelta. De esta forma, el punto de salida y el punto de llegada no van a coincidir. —¡Vamos a hacerlo! —gritó Nacho. Y cada uno dio un giro alrededor del poste, sin completar una vuelta. Luego Martín continuó: —Y ahora vamos a avanzar sólo hasta la mitad del giro. Como sólo vamos a recorrer la mitad de la vuelta, la llamamos media vuelta o medio giro. Mientras se rascaba la cabeza mirando las cuerdas en el suelo, Nacho preguntó: —Sí, pero... ¿cómo vamos a saber cuándo hemos recorrido la mitad de la vuelta? ¿Tenemos que contar los pasos de una vuelta completa y después dividir entre dos? —¡Muy buena pregunta! —dijo Martín—. Pero lo que propones no es correcto, porque en ese caso estarías contando los pasos que mide la trayectoria que vas recorriendo, pero no los giros. Tú tienes que contar las vueltas que das alrededor del poste. Nacho parecía entender; sin embargo, no se veía del todo satisfecho: —Entonces —dijo—, ¿cómo vamos a saber cuándo hemos recorrido media vuelta? Martín parecía estar preparado para esta pregunta: —¡Ah! Mariana y yo sabemos una manera muy fácil de darnos cuenta de que hemos llegado a la mitad de la vuelta —dijo mirándola. Después miró a Nacho—. Con las cuerdas lo vas a ver enseguida. Tú sostienes el extremo de una de las cuerdas mirando de frente al poste. Mariana sostiene el extremo de la otra cuerda y se coloca acá, en el punto de partida, junto a ti. De este modo, las cuerdas están una sobre la otra, en el mismo lugar del inicio. Entonces Mariana comienza a girar llevando la cuerda y mirando hacia el poste, hasta que te vea a ti de frente. Cuando los dos se estén mirando frente a frente y las dos cuerdas estén sobre una misma línea recta, en ese momento Mariana habrá girado media vuelta. —Bueno, yo comienzo a girar para que lo veas —dijo Mariana—. Voy a caminar en sentido antihorario... Nacho, muy serio, sujetaba su cuerda mientras veía cómo Mariana se alejaba dando una curva. Cuando Mariana terminó de dar la media vuelta, sostuvo su cuerda muy tirante, formando una línea recta con la cuerda de Nacho.
  17. 17. v-W i 17
  18. 18. —Ahora —continuó Mariana mientras dejaba su cuerda en el piso—, voy adar la otra media vuelta que me falta para completar la vuelta entera, pero lovoy a hacer de otra manera. Como me gusta hacer variaciones, en lugar decaminar en círculo, voy a hacer de cuenta queestoy recorriendo la orilla de un lago;entonces por momentos me acercaréy por momentos me alejaré delcentro de giro.18
  19. 19. Nacho dio un suspiro. La decisión de Mariana de caminar de esa formavolvió a confundirlo. Algo desanimado, le preguntó a Martín: —Sí; pero, ¿cómo podemos estar seguros de que Mariana gira mediavuelta? Martín no contestó esta vez. Parecía estar concentrado en algo. FueMariana la que respondió finalmente: —Porque la media vuelta es el único punto en que, si bien estamosfrente a frente, apenas te veo, porque estás justo detrás del poste. El posteestá exactamente entre nosotros dos. Y tu cuerda y la mía están sobre unamisma recta. Tú y yo somos los extremos de un segmento de recta quepasa por el poste. Nacho no terminaba de comprender y volvió a mirar a Martín, queseguía pensando en algo. Se hizo un breve silencio. —Mmm... ¡Ya sé! —Martín parecía tener una idea,pero inmediatamente se metió en la casa y todosse quedaron mirando. ¿Adonde habría ido? No había pasado un minuto cuando Martín volviótrayendo trozos de papeles de color que desparramó enel suelo. Luego sacó un compás y unas tijeras de subolsillo y empezó a explicarles a todos,que se sentaron alrededor de los papeles: —Ahora tracemos círculos de diferentes tamaños con este compás. No olvidemos que, antes que nada, tenemos que marcar los centros sobre los cuales vamos a hacer girar el compás con dos pequeñas líneas cruzadas. Así: 19
  20. 20. El ejemplo de la hormiga Una vez que tenemos los círculos trazados los recortamos —continuó Martín-Luego, con la regla trazamos, en cada uno,una línea recta que pase por el centroy que toque a la circunferenciacon sus extremos. Así:20
  21. 21. —Ahora hacemos un doblez en esa línea y lo marcamos muy bien —siguió. De pronto Nacho empezó a gritar, entusiasmado por primera vez en mucho tiempo.—¡Ya sé! ¡Ya lo veo! —decía señalando el dibujo—. El círculo, queda dividido en dos partes iguales, entonces cada parte es una mitad del círculo.—¡Claro! —exclamó Martín—. Entonces, si imaginamos que una hormiguita camina sobre la circunferencia empezando en un extremo de la línea, ¿qué parte de la vuelta recorrería al llegar al otro extremo? Nacho no demoró en contestar. —¡Media vuelta! —¡Bravo! —festejaron Martín y Mariana. Carolina hacía mover los brazosde Vani como si estuviera saludando. Polo ladraba mientras iba y venía corriendo. 21
  22. 22. Giros y caminos Todos se quedaron un rato sentados mientras miraban los dibujos con satisfacción. Nacho fue el primero en hablar: —Bueno, ya entendí: cualquier línea recta que atraviesa el círculo pasando por el centro lo divide a la mitad. Entonces, girar media circunferencia es dar una media vuelta y la otra mitad también es media vuelta. Se quedó pensando un instante. Después le dijo a Mariana: —Pero eso no fue lo que tú hiciste alrededor del poste del tendedero. Tú no dabas vueltas en círculos. Dabas vueltas acercándote y alejándote del poste. Entonces, ¿cómo puedes saber cuándo llegaste a la mitad? Mariana estuvo un rato en silencio buscando las palabras que quería usar y entonces le explicó: —Sí, es cierto. La trayectoria que yo hacía no era circular. Pero en ése caso tienes que saber que el giro alrededor de un punto y la trayectoria no son lo mismo. El giro es la vuelta alrededor de un punto. La trayectoria es el camino, el recorrido que se hace al dar la vuelta alrededor de un punto. —No entiendo -—dijo Nacho, y se volvió a rascar la cabeza. Mariana señaló entonces unos papeles de colores: —Por ejemplo, mira las trayectorias que recorté en estos papeles. Todas tienen marcado el punto de referencia, el punto de partida y una flechita que indica el sentido de giro. Sin embargo, las trayectorias son distintas entre sí. Ahora —siguió—, recorre las trayectorias con el dedo empezando por el punto de partida. Cuando regreses a ese punto habrás dado una vuelta completa, ¿no? —Sí —dijo Nacho—. Déjame hacerlo en cada trayectoria. Voy a suponer que mi dedo es la hormiguita que va recorriendo estos caminos. ¡Uf! Algunos son muy largos y tienen muchas curvas... f22
  23. 23. —Para que veamos mejor una media vuelta —interrumpióMartín— podemos trazar un pequeño círculo alrededor delpunto y luego dibujar una línea recta que pase porel punto de partida y por el centro.Así: 23
  24. 24. Todas las vueltas se miden en vueltas —Sí —dijo Mariana—, también se puede ver muy bien cómo, en todos los casos, las vueltas y las medias vueltas son iguales, al poner los papelitos uno arriba del otro de manera que los centros de giro y las líneas rectas coincidan. Incluso podemos atravesar todos los centros de giro con una tachuela —dijo sacando una tachuela de una caja que Martín le alcanzaba—. Así, ¿lo ven? —Ya entendí —dijo Nacho incorporándose. Luego empezó a hablar dándole mucha importancia a lo que estaba diciendo, para que todos se dieran cuenta que había comprendido—. No importa el tamaño del papel ni qué tan largo sea nuestro recorrido alrededor del punto ni tampoco qué forma tenga. Lo importante es que las medias vueltas son todas de la misma medida, de media vuelta, aunque los recorridos sean muy diferentes. —¡Bravo! Lo explicaste muy bien —dijeron a dúo Mariana y Martín mientras aplaudían. Carolina también hacía aplaudir las manos de Vani.24
  25. 25. La reacción de sus amigos animó a Nacho a seguir adelante: —Lo importante es no confundir la parte de vuelta quedamos con el recorrido que hacemos —dijo sentándose denuevo. Polo se le subió; quería jugar con él. —Exactamente —dijo Mariana—. Hay un caso en que esto seve muy bien. Cuando la Tierra da una vuelta completa alrededordel Sol, también estamos usando la misma unidad de medida:una vuelta completa. El tiempo que demora la Tierra en dar esavuelta completa se llama año. —Sí —agregó Martín—. Y lo mismo sucede con las mediasvueltas. Todas miden lo mismo, sin importar el tiempo quetardemos en recorrerlas. Alrededor del poste tardamos sólo unossegundos, pero la Tierra demora aproximadamente 182 díaspara dar media vuelta alrededor del Sol. Lo que estamosmidiendo es cuánto gira, o sea, el ángulo. —¡Ya entendí! —dijo Nacho mientras acariciaba a Polo—.Ahora vamos a descansar un rato y mañana me enseñan a usarel transportador; así, cuando sea grande como ustedes, ya voy asaber usarlo. Todos se metieron en la casa, excepto Carolina y Polo que sequedaron jugando en el patio. Carolina llevó a Vani a dar vueltasen su triciclo, mientras Polo corría detrás de ella, ladrando. 25
  26. 26. Cuatro partes ¡guales Al día siguiente, poco después de desayunar, Martín y Mariana volvieron a reunirse en casa de Martín para hacer la tarea. Mientras despejaban la mesa, hablaban de la escuela y de otros amigos. Y aunque Nacho no tenía tarea que hacer, era el más inquieto. Finalmente preguntó: —Hoy sí me van a enseñar a usar el transportador, ¿verdad? —Sí, claro —contestó Martín—. Pero antes tienes que saber algunas cosas más. Todavía no estás preparado para usar el transportador. ¡Pobre Nacho! Creía que todo lo aprendido el día anterior ya era suficiente. —¿Todavía no? ¿Qué más me falta? —preguntó desilusionado mirando afuera el poste del tendedero. —Poco y muy fácil —lo tranquilizó Martín con una mano en el hombro—. Mira, ya aprendiste a dar vueltas enteras y a contarlas. También aprendiste a reconocer cuándo has dado media vuelta. Vamos a seguir con giros más pequeños, de un cuarto (1/4) de vuelta. Entonces escucharon que, en el patio, Polo ladraba y corría de un lado a otro. Le ladraba a Carolina, que estaba jugando con Vani. Martín siguió: —Vamos de nuevo al jardín a trabajar con las cuerdas amarradas al poste. Pero ahora, en lugar de dos, vamos a necesitar cuatro cuerdas. Carolina y Vani nos pueden ayudar —dijo en voz alta para que Carolina lo escuchara desde afuera. —¡Sí! ¡Sí! —gritó Carolina que había escuchado perfectamente—. A Vani y a mí nos encanta ayudar. El último en salir esta vez fue Nacho, que salió diciendo: —¡Me parece que esto va a ser muy divertido! Una vez en el jardín, los niños amarraron dos cuerdas más al poste. Martín explicó: —Primero vamos a repetir el ejercicio que hicimos ayer. Tú, Carolina, sujetas la cuerda en el punto de partida, como lo hizo Nacho ayer. Tú, Mariana, avanzas hasta dar una media vuelta, también como hiciste ayer. Mariana se puso en posición. —Y tú, Nacho —siguió—, sólo vas a avanzar hasta la mitad de lo que haya avanzado Mariana; es decir, un cuarto de vuelta, ¿entendido?26
  27. 27. Nacho empezó a caminar, entreconfundido y divertido, mientrasdecía: —Un cuarto de vuelta es la mitadde la mitad de la vuelta entera.Entonces debe ser... más o menos...por acá, ¿verdad? —y se detuvoen un punto. Miró el suelo, luegomiró a Mariana y preguntó: —Pero ahora, ¿cómo podemosestar seguros de que es un cuartode vuelta? Mariana estaba distraída con Carolina, dando pasitos a un lado y otro para que sus cuerdas quedaran sobre una misma recta. Entonces Martín fue quien contestó: —Bueno, en este caso no podemos estar seguros de que sea exactamente un cuarto de vuelta. Es, aproximadamente, un cuarto de vuelta. Luego vamos a medir cuartos de vuelta con mayor precisión, con la escuadra y el transportador. A Nacho le brillaron los ojos al oír mencionar el tan esperado instrumento.
  28. 28. —También hay otra manera enque lo puedes ver —se apresuró aagregar Mariana sin soltar lacuerda—. Carolina, tú y yo nosquedamos así, sujetando nuestrascuerdas. Martín tiene que tomarla cuarta cuerda y avanzar con ellahasta la mitad de la otra media vuelta. Cuando Martín llegó a la mitad de sumedia vuelta, Mariana siguió: —Hacemos de cuenta que las cuerdas de Carolina y la mía forman una sola línea recta y que la tuya y la de Martín forman otra. Esas dos líneas, cruzarse, dividen la vuelta completa en cuatroregiones iguales. Claro, en este las regiones sonapTr^iínadarnanJ Cada una de esas partes es un cuarto de vuelta. Así, ¿lo ves?28
  29. 29. Detectives de ángulos rectos •Sí, lo veo —dijo Nacho, contento—. En un cuarto de vuelta las cuerdas se ven como las manecillas del reloj cuando marcan las tres en punto, o las nueve en punto. —Esa comparación está muy bien —comentó Martín—. También lo podemos ver en los círculos y las formas divertidas que ayer recortamos en papel —continuó diciendo, mientras caminaba hacia la casa, seguido por los demás. Una vez dentro, tomó los papeles de colores que aún estaban sobre la mesa y explicó: —Sólo tenemos que doblarlos nuevamente a la mitad y ponerlos uno sobre otro haciendo coincidir los puntos de giro y las líneas, como lo hicimos ayer. 29
  30. 30. —¿Lo ves? —preguntó Mariana—.Cada una de las cuatro partes igualesen que se dividió la vuelta completarecibe un nombre especial. Se llamaángulo recto y las semirrectas que loforman son perpendiculares. Nacho se quedó pensando en loque decían. —Sí —dijo Martín—, es un ánguloespecial porque lo usamos frecuentemente.Lo podemos encontrar en muchas de lascosas que nos rodean, ¡miren! —yempezó a señalar hacia todos lados—:las esquinas de las paredes, de lasventanas, de las puertas, de losmosaicos del piso, de las mesas, delos libros, de los cuadernos, de las *-sillas... ¡por todas partes vemosángulos rectos! i30
  31. 31. Era cierto. Carolina se acercó a tocar la punta de lamesa con atención. Polo olía las patas de la silla. Nachotocó la puerta y dijo: —Ya veo. Algunos ángulos rectos son muy grandes yotros son chiquitos, como los cuadritos de las hojas de milibreta de matemáticas. Mariana se llevó las manos a la cabeza. Martín se dejócaer en un sillón mientras decía: —¡No! ¡No! ¡No! Nacho también se dejó caer en el sillón, con los brazoscruzados, visiblemente enojado. Entonces Martín explicó: —No hay ángulos rectos grandes y ángulos rectos chicos.En tu cuaderno, lo que ves chiquito son los cuadritos, perotodos los ángulos rectos miden lo mismo porque todos sonun cuarto (1/4) de vuelta completa, ¿recuerdas? Nacho no contestaba y tampoco lo miraba. Seguía conlos brazos cruzados. Martín insistió: —Lo que tienes que observar es la parte de vuelta quegiraste, pero no el tamaño de los lados del ángulo. Mira,en los papelitos que doblamos se ve claramente. —Es más —agregó Martín—, podemos cortar uno de esos cuartos.de vuelta y usarlo como a instrumento de medida de ángulos rectos. BIBLIOTECA CENTRAL COORDINACIÓN ESTATAL DE FORMACIÓN CONTINUA SEÍ31
  32. 32. —Mira —continuó Martín—, si lo ponemos encima de todos los ángulos rectos que hemos visto en la casa, verás que todos miden lo mismo: un cuarto (1 /4) de vuelta. Nacho volvió a entusiasmarse con la explicación. Había olvidado su reciente malhumor. —Sí, es cierto —dijo—. Entonces podemos decir que el ángulo recto es uno, pero que hay muchos en las cosas que nos rodean. —¡Exactamente! ¡Muy bien dicho! —exclamaron Martín y Mariana. ^ Nacho sonreía pensando que, en poco tiempo más, ya sabría usar el transportador.32
  33. 33. La prueba de las escuadras Mientras Mariana ayudaba a Carolina a sentar a su muñeca, agregó: —También se puede ver con la escuadra, un instrumento especial con elque rápidamente puedes comprobar si un ángulo es o no recto. —Sí, ya sé lo que son las escuadras —contestó Nacho orgulloso—. Ayervi dos distintas entre tus útiles de geometría. Allí están. Todos se acercarona la mesa y se sentaron alrededor. —Es cierto —dijo Martín tomando una—, son distintas. Sin embargo, tienen algo en común. ¿Lo ves? —Ya sé —dijo nuevamente Nacho—. Las dos tienen un ángulo recto. Luego de mirar las dos escuadras un rato, preguntó: —¿Qué tal si comprobamos con la escuadra si el ángulo que hicimos en papel es recto? N " 33
  34. 34. —¡Sí! —exclamó Martín entusiasmado con la idea—. Ytambién podemos seguir buscando más ángulos rectos por lacasa, como en la unión de las paredes con el piso, de las paredesentre sí... —decía mientras señalaba. —Las escuadras sirven, además, para trazar ángulos rectosrápidamente. Sólo hay que tener cuidado de sujetarla firmementecontra el papel y deslizar el lápiz contra ella, sin levantarlo —dijoMariana mientras empezaba a dibujar. Nacho estuvo mirando muy decerca cómo ella dibujaba unángulo recto.34
  35. 35. Se quedó pensativo un rato y luego preguntó: —Si las escuadras sirven para trazar y medir rápidamenteángulos rectos, ¿para qué queremos dos escuadras que sondistintas? Con una alcanza. —Lo que dices es lógico --respondió Martín—. ¿Ves estosotros ángulos que tienen las escuadras? Compáralos con el ángulorecto. ¿Qué notas? ¿Son mayores o menores que el ángulo recto? Nacho dudó un instante: —Son menores que el ángulo recto —dijo al final. —Así es —continuó Martín—. Los ángulos que sonmenores que el ángulo recto se llaman ángulos agudos. —¡Ah, entonces las escuadras tienen un ángulorecto y dos ángulos agudos! —exclamó Nacho. —Claro; pero ahora compara los ángulosagudos de las dos escuadras. ¿Cómo sonentre sí? —insistió Martín. Nacho tocaba los ángulos con los dedosmientras pensaba. Luego dijo hablandomuy despacio: —En esta escuadra los dos ángulosparecen ser iguales... —no parecía muyseguro—. Y en la otra uno es«iásamplio que el otro. —¡Muy bien! Eres muyobservador —intervino Marianaaplaudiendo. y 35
  36. 36. Di lo en griego —Ahora vamos a investigar —continuó Mariana ^-qué parte del ángulo recto es cada uno de estos ángulos. Para eso necesitamos juntar las escuadras de nosotros tres. Vamos a poner una letra en cada ángulo agudo para no confundirnos —dijo llevándose el lápiz a los labios, pensativa—. La maestra nos enseñó que los ángulos se nombran con letras griegas. Ya aprendimos algunas: alfa (a), beta (P), gamma (y), delta (6)... —y ponía las letras en los ángulos—. A los ángulos que sean iguales les ponemos la misma letra. Así: P a36
  37. 37. ¿Cuántas veces cabe? —Veamos cuántas veces cabe el ángulo p en el ángulo recto (a) —siguió Mariana. Y levantando las cejas dijo: —Miren, cabe dos veces. Nacho y Carolina se acercaron a la mesa para ver mejor. • a P X P P p 37
  38. 38. —Entonces —dijo Martín— eso quiere decir que el ángulo p es la mitad de un cuarto de vuelta, o sea un octavo (1/8) de vuelta. Quiere decir que en una vuelta completa caben 8 de estos ángulos agudos... —¡Sí, lo veo! —interrumpió Nacho incorporándose más sobre la mesa y casi subido en ella—. Y ya sé cómo podemos comprobarlo —y se puso a buscar entre las hojas—. Sobre un papel podemos ir marcando uno a continuación del otro hasta obtener una vuelta completa. Así —dijo y miró a Martín.38
  39. 39. -Y ahora vamos a hacer el mismo proceso con los ángulos y —sugirió Mariana—. ¿Sale? —¡Sale! —contestaron todos a una. Cuando terminaron, Nacho dijo: —El ángulo y cabe seis veces. 39
  40. 40. —Y el 6 cabe doce veces —continuó Nacho. —Eso quiere decir que el ángulo y es un sexto (1/6) de vuelta completa y el ó es un doceavo (1/12) de vuelta completa —agregó Martín.40
  41. 41. ¿Qué tal me veo desde este ángulo? —Ahora, podemos hacer ángulos agudos con nuestrasmanos —dijo Mariana—. Asi, miren. Con las manos —continuó— se ve claramente que,mientras el ángulo recto es uno solo, los ángulos agudosson muchos. iíacho parecía entender y Mariana siguió: —Miren, cada vez que acerco un poquito las manos,formo un nuevo ángulo agudo. —¡Sí, es cierto! —gritó Nacho—. Y también se puedenhacer ángulos más grandes que el ángulo recto.Así: —Los ángulos que son más grandes que el ángulo recto se llaman ángulos obtusos —dijo Martín mirando a Carolina—. Y al igual que con los agudos, puedes formar muchos. —¡Sí, es cierto!—volvió a gritar Nacho. Mientras tanto, Carolina intentaba que Vani hiciera ángulos con sus manos de muñeca. 41
  42. 42. —También podemos formarángulos agudos, rectos y obtusoscon las partes del cuerpo —agregóMariana—. Por ejemplo, con eltronco y uno de los brazos. Hagamosde cuenta que la axila es el centro degiro, el tronco la semirrecta quequeda inmóvil, y el brazola semirrecta que gira, así: —¡Claro! Y también podemos hacerlos con nuestro tronco, flexionando la cintura, así —exclamó Nacho, y empezó a inclinar el tronco hacia delante, con las piernas muy estiradas y firmes, y la espalda muy recta. Martín, Mariana y los papas de los niños, que los habían estado observando, no podían dejar de sonreír ante el entusiasmo de Nacho y la idea de que aquello parecía una clase de educación física.42
  43. 43. Cuando se incorporó, a Nacho le brillaban los ojos de alegría y no podía dejar de expresar todas las posibilidades de hacer ángulos con las distintas partes del cuerpo que se le venían a la mente. "¡Son muchas!" —pensó, y finalmente se decidió por una y dijo: —¡Sí! ¡Sí! ¡Qué padre! Y también podemos formar ángulos rectos, agudos y obtusos con un brazo solo. El codo es el punto de giro. ¡Miren! 43
  44. 44. —Incluso podemos medir con la escuadra si formoexactamente un ángulo recto. Luego le pidió a Martín: —Toma la escuadra y ponía en la parte interior de mi brazo. —¡Excelente idea! —dijeron Martín y Mariana a la vez. I 44
  45. 45. Por el llano —Y si ahora dejas el brazo estirado —continuó Martín— el ángulo que se forma es un ángulo llano y es igual a dos rectos; es decir, a media vuelta. Lo podemos comprobar fácilmente con dos escuadras, así: —Sí —intervino Mariana, que los estaba mirando—. Un ángulo llano es igual a media vuelta. ¿Lo ves, Nacho? Nacho se sorprendió mucho ante esta observación y miraba de lado su brazo estirado. ¡Claro!¡Lo veo! —respondió—. Mi hombro y mi mano son los extremos... bueno, aproximadamente..., de una misma línea recta. —¿Y qué tal si yo formo ahora un ángulo con mis dedos índice y mayor y los abro tan poquito que no lo puedo medir con ninguna de las escuadras? —Nacho preguntó un poco divertido—. ¿Cómo voy a saber qué parte de vuelta es? Martín y Mariana quisieron responder al mismo tiempo, pero finalmente Martín contestó. 45
  46. 46. Una gran palabra y un giro muy pequeño —Para eso se ha inventado una unidad de medida que permite medirgiros muy pequeñitos. Es la trescientosesentava (1/360) parte de una vueltacompleta. —¡¿La qué...?! ¡¿Cómo dijiste?! —Nacho no salía de su asombro anteuna palabra tan complicada. —Mira, en lugar de repetirte esa palabra, mejor vamos a leer la historiade cómo se inventó. Así entiendes lo que es y no se te olvidará—. Estainvestigación la hicimos en internet, y la maestra nos dijo que lainformación es correcta, que es probable que la historia haya sido así. Mariana abrió su cuaderno de matemáticas y leyó: __ Cuando Mariana terminó, dijo: —Entonces, el grado es una unidad de medida de ángulos. Nacho se quedó mirándola un rato y luego exclamó: —¡Qué difícil de imaginar! Un giro que es trescientos sesenta veces más pequeño que una vuelta completa debe ser un giro muy pequeño. ¿Lo podemos ver a simple vista?46
  47. 47. —¡Sí, claro! —dijo Mariana—. Aquí, en este cartel que nos regaló lamaestra, están todos y cada uno de ellos. Mira, ¡los 360 grados! —¡Ah! —exclamó Nacho—. Y aquí hay uno sólito que está pintado demorado. —Sí —dijo Martín— y también están marcados, en rojo, los múltiplosde 10: 20, 30, 40, 50... 360 grados. Todos y cada uno
  48. 48. Un poco de carpintería —¡Ah! Y ya sé lo que podemos hacer —gritó Nacho, quetambién quería proponer ideas nuevas—. Para ver mejor eltamaño de un giro pequeño podemos clavar con una tachuelados trocitos de hilo en el centro del cartel. Los sostenemosfirmemente y, mientras dejamos uno quieto para que indiqueel inicio, giramos el otro. —Pero es más sencillo hacerlo en el geoplano circular—intervino Mariana. Nacho se desconcertó. Otra palabra queno conocía. —¡¿El geo...qué?! —El geoplano, una tabla con clavosdonde se pueden hacer ángulos demanera muy rápida. La maestra nosprestó uno en el salón de clase, perodijo que, si queremos, cada unopuede construir el suyo. Aquí tengolas instrucciones que copié delpizarrón y la guía de dónde clavarcada clavo —dijo Marianadesplegando un papel—. ¿Quétal si hacemos uno en equipo? Nacho suspiró. "¡Otra cosamás para aprender, antes deltransportador!", pensó. Como si con sólo ver sucara Mariana le hubieseadivinado el pensamiento,dijo: —No te preocupes, estegeoplano circular sirvecomo entrenamientopara el uso deltransportador. —¡Qué alivio!—volvió a suspirarNacho—. Entoncesvamos a hacerlo.Como a mi papá le gustamucho la carpintería, tiene muchospedazos de madera; él nos puede ayudar.48
  49. 49. 90°Plantilla para construirtu geoplano circular -»O°!360° 270° 49
  50. 50. 90° r i r r í f t ? Y r f f t T T 270° Una vez que tuvieron el geoplano, Mariana explicó: —En este geoplano, tú puedes trabajar con ligas de colores. Al. empezar tienes dos ligas juntas; por ejemplo, una roja abajo y una verde arriba, aquí donde está el cero, parecido a lo que hacíamos con las cuerdas, en el jardín. Dejas la liga roja en ese lugar para que indique el inicio y giras la verde, en sentido antihorario, que es el más frecuente. —¡Ah, ya sé! —exclamó Nacho—. En este geoplano puedo hacer los mismos giros que estuvimos haciendo con las cuerdas y con las partes de nuestro cuerpo. Puedo girar vueltas completas, medias vueltas, cuartos de vueltas...50
  51. 51. Se quedó pensativo un momento y continuó: — Y también podemos representar ángulos rectos, agudos, obtusos, llanos, y las mismas partes de vuelta que con las escuadras: octavos de vuelta, sextos de vuelta, doceavos de vuelta... Déjenme probar a mí primero. Voy a hacer muchos ángulos con ligas de distintos colores. Así:180° OW 270° Nacho estaba tan entusiasmado haciendo giros con las ligas y decidiendo dónde debía colocar cada una para construir distintos ángulos, que no se dio cuenta de que los demás estaban esperando para jugar con el geoplano. Cuando levantó la vista, vio que Mariana y Martín lo miraban cruzados de brazos. 51
  52. 52. —Perdón —dijo—. Ahora es tu turno, Mariana. ¿Qué tal si me explicas para qué sirve cada uno de los clavitos? —Con mucho gusto —contestó Mariana, contenta de que Nacho le pidiera tal explicación—. Mira, cada clavo indica un giro de 5°. Si quieres marcar en el geoplano un ángulo de, por ejemplo, 60°, primero tienes que dejar una liga donde está el cero. Luego, cuentas de 5 en 5 o de 10 en 10 grados hasta llegar a 60° y ahí colocas la segunda liga. Si quieres girar un ángulo de 155°, es más fácil si giras primero un cuarto de vuelta, con lo que ya tendrás 90°, y después vas contando de 10 en 10 hasta llegar a 150°, para luego únicamente avanzar un clavo más y llegar a 155°. ¿Entendiste? 270° —¡Sí! —exclamó Nacho dando un brinco—. Por favor déjame a mí primero, ¿sí? Mariana y Martín no pudieron negarse. Nacho ya estaba moviendo ligas y contando en voz alta: "Un cuarto de vuelta y ya tenemos 90 grados, y luego... 100,110,120... "52
  53. 53. Un navio cargado de ángulos Cuando terminó de marcar esos ángulos, se dio cuenta de que Mariana y Martín nuevamente estaban esperando cruzados de brazos. —¿Y cómo podemos construir ángulos que no terminan en 5 o 0? —preguntó Nacho, algo apenado. —En este geoplano no podemos hacerlo —le explicó Martín—. Pero podemos trazarlos sobre una hoja de papel usando un transportador A Nacho se le iluminó la cara. —¡Por fin! ¡Ahora sí voy a aprender a usar el transportador! —exclamó levantando los brazos como si hubiese metido un gol—. Déjame verlo, por favor. ¿Cómo es? ¿Cómo se usa? Martín tomó el transportador de su mochila y se lo enseñó: —Es este instrumento que sirve para trazar y medir ángulos con mucha precisión. Es la mitad de una vuelta completa y por eso está dividido en 180 partes iguales, es decir, la mitad de 360. Nacho se inclinó por encima de la mesa y estiró las dos manos. —A ver... ¿me lo prestas? Quiero ver sin son 180 grados. —¡Ah! No va a ser necesario que cuentes los grados de uno en uno. Mira, este transportador tiene dos escalas: una por fuera y otra por dentro. ¡Cuidado, nunca debes confundirlas! Sólo vas a usar una a la vez. Las dos escalas están graduadas de 0 a 180, pero en sentido inverso: una en sentido horario, y otra en sentido antihorario. A partir del cero, para facilitarnos la lectura, están escritos los múltiplos de 10 debajo de las rayas más largas; las rayas que son un poco más cortas indican los números terminados en 5, y los más cortitas de todas indican los demás grados. ¿Ves? 53
  54. 54. —Sí, es cierto —dijo Nacho—. Así es mucho más fácil contar los grados. ¿Y ahora ya puedo usarlo? —Nacho insistía en apurarse. Pero todavía faltaban más indicaciones: —Todavía te faltan dos explicaciones más —le dijo Martín. —¿Todavía? —preguntó Nacho con mucha ansiedad—. Bueno, explícame rapidito, ¿no? Martín y Mariana se miraron y sonrieron. Martín continuó con calma. —Mira, el transportador tiene dos usos: puedes utilizarlo para construir ángulos de una medida determinada, o puedes usarlo para medir ángulos que ya están trazados. Primero te voy a mostrar cómo construir ángulos, paso a paso: 1) Trazas, con la regla, uno de los lados del ángulo, el que marca el inicio, como la liga roja en el geoplano. 2) Este paso es muy importante y tienes que poner mucha atención en él. Haces coincidir el centro del transportador con uno de los extremos de la línea recta y, a la vez, tienes que apoyar la raya que ^- • * indica el cero 8-~~ sobre esa línea, así: iiziM A 3) Luego, haces de cuenta que en la punta del lápiz tienes el lado que va girando y con él avanzas hasta llegar a la medida del ángulo que deseas trazar. Por ejemplo, si quieres trazar un ángulo de 78 grados, vas con la punta del lápiz —sin tocar el papel— hasta el 70, luego pasas por la rayita que indica 5 grados más, entonces ya tienes 75; luego cuentas 3 rayitas más y llegas al 78. Ahí haces una pequeñísima marca con la ^^3 punta del lápiz. SL-e 77~ gS54
  55. 55. 4) Levantas el transportador y, con la regla o con el borde recto del transportador, trazas una semirrecta qtie, partiendo del vértice del ángulo, pase por el punto que acabas de marcar. Y ya quedó trazado un ángulo de 78°. Sólo te falta ponerle una letra griega y marcar el sentido del giro. —¡Ya entendí! ¡Ya entendí! —dijo Nacho brincando y aplaudiendo almismo tiempo—. Ahora déjenme hacer uno a mí. Voy a construir unángulo de... de... ¡133 grados! Martín y Mariana se volvieron a mirar. No les quedaba de otra quevolver a esperar. Una vez que hubo terminado de trazar su ángulo de133 grados, Nacho quería que los demás lo retaran a construir ángulos demedidas que a él le parecían muy difíciles, como 6o, 81° y 169°. PeroMartín y Mariana lo convencieron de que eso lo harían más tarde. —Bueno, ahora sólo te falta aprender a medir ángulos que ya estántrazados, cómo éstos —dijo Martín, y con la regla dibujó rápidamentealgunos ángulos sobre la hoja de papel. Luego, volvió a mirar a Nacho y le dijo: —También te lo voy a explicarpor pasos, para que sea más fácil: 1) Antes que nada, tienes que fijarte si el ángulo que vas a medir esagudo u obtuso, para que, con sólo mirarlo, ya sepas si va a medir menoso más de 90 grados. Por ejemplo, en estos que acabo de dibujar hay unorecto, dos agudos y un obtuso. ¿Cuál quieres que midamos primero? —yNacho señalo el obtuso con el dedo. Martín continuó: 55
  56. 56. 2) Luego, haces lo mismo que para trazar ángulos: haces coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo, y que la raya que indica cero grados quede sobre ese lado. En caso de que el lado sea muy corto y que esa raya no quede sobre la línea, tienes que prologar el lado con la regla, hacerlo más largo. 3) A continuación, con mucho cuidado de que el transportador no se mueva de esa posición, y sin confundirte de escala, te fijas dónde corta el otro lado al transportador. Ése punto es la medida del ángulo. Este ángulo mide 122°. —¡Es facilísimo! —exclamó Nacho con lo ojos que le brillaban de alegría. —¿Qué tal si practicamos? —propuso Mariana muy sonriente—. Ésa es la tarea. ¿Quieres ayudarnos? —¡Sale! —gritó Nacho, ya con el transportador en una mano y el lápiz en la otra.56
  57. 57. Para transportarte en la red A continuación, te sugerimos algunas páginas web sobre temas de matemáticas correspondientes a tu grado escolar. Es importante que siempre te asesores con tus maestros sobre el material consultado. http://www.universum.unam.mx/ http://www.conacyt.mx/comunicacion/revista/180/articulos.html http://www.ilce.edu.mx/ http://edusat.ilce.edu.mx/home.htm http://redescolar.ilce.edu.mx/ http://www.amc.unam.mx/ http://kan.ajusco.upn.mx/miayudante/marcoip.html http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_Buscador?q=matematicasás=10 http://sepiensa.org.mx/ http://puemac.matem.unam.mx/index_f lash.html http://www.f ciencias.unam.mx:8085/servlets/ciencias http://www.dgsca.unam.mx/ http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/rn/Paginas/ligas/home.htm http://www.smm.org.mx/SMMP/html/ http://www.iimas.unam.mx/ 57
  58. 58. En la serie astro labio encontrarás: • * Inmundicias. Del cerebro a las tripas #* Cuéntame un cuadro 0 Antes de la tele 0 El berrinche de Moctezuma y otros poemas ¿Qué son los sentimientos? Biblioteca _- ,, .... ,. de aula pueblo wixanka y sus dioses % El libro de las cochinadas El libro de los valores * El sol alrededor del parque • Pies para la princesa Contaminación. La Tierra agredida El libro de los animales misteriososEl rey poeta. Biografía de Nezahualcóyotl Miguel Hernández para niños El Hijo del Viento Biblioteca escolar El último pájaro, la última piedra El nombre del juego es Cervantes Vivir en el circo , Gandhi •
  59. 59. ¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta!se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres deReproducciones Fotomecánicas, S.A. de C.V., con domicilio en Democracias núm. 116, Col. San Miguel Amantla, Azcapotzalco, C.P. 02700, México, D.F., México en el mes de noviembre de 2007. El tiraje fue de 96,079 ejemplares.

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