Đáp án đề thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội 2013.

1. http://tracuudiemthi.sms.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2013 – 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,0 điểm)
Với x > 0, cho hai biểu thức
2 x
A
x
+
= và
x 1 2 x 1
B
x x x
− +
= +
+
.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để
A 3
B 2
> .
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B,
người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h.
Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc
đi từ A đến B.
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
3(x 1) 2(x 2y) 4
4(x 1) (x 2y) 9
+ + + =

+ − + =
2) Cho parabol (P) : y =
1
2
x2
và đường thẳng (d) : y = mx −
1
2
m
2
+ m +1.
a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2
sao cho 1 2x x 2− = .
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O)
tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2) Chứng minh AN2
= AB.AC.
Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.
3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ
hai T. Chứng minh MT // AC.
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K
thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc,
chứng minh: 2 2 2
1 1 1
3
a b c
+ + ≥

2. http://tracuudiemthi.sms.vn

3. http://tracuudiemthi.sms.vn
BÀI GIẢI
Bài I: (2,0 điểm)
1) Với x = 64 ta có
2 64 2 8 5
8 464
A
+ +
= = =
2)
( 1).( ) (2 1). 2 1 2
1
.( ) 1 1
x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x
− + + + + +
= = = + =
+ + + +
3)
Với x > 0 ta có :
3 2 2 3 1 3
:
2 2 21
2 2 3 2 0 4.( 0)
A x x x
B x x x
x x x x Do x
+ + +
> ⇔ > ⇔ >
+
⇔ + > ⇔ < ⇔ < < >
Bài II: (2,0 điểm)
Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là 9x + (km/h)
Do giả thiết ta có:
90 90 1
5
9 2x x
+ = −
+
10 10 1
9 2x x
⇔ + =
+
( 9) 20(2 9)x x x⇔ + = +
2
31 180 0x x⇔ − − = 36x⇔ = (vì x > 0)
Bài III: (2,0 điểm)
1) Hệ phương trình tương đương với:
    + + + = + = + = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔    
+ − − = − = − = − = = −    
3x 3 2x 4y 4 5x 4y 1 5x 4y 1 11x 11 x 1
4x 4 x 2y 9 3x 2y 5 6x 4y 10 6x 4y 10 y 1
2)
a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
21 3
2 2
x x= + 2
2 3 0x x⇔ − − = 1 hay 3x x⇔ = − = (Do a – b + c = 0)
Ta có y (-1)=
1
2
; y(3) =
9
2
. Vậy tọa độ giao điểm A và B là (-1;
1
2
) và (3;
9
2
)
b) Phươnh trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
2 21 1
1
2 2
x mx m m= − + + 2 2
2 2 2 0x mx m m⇔ − + − − = (*)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 1x , 2x thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân
biệt. Khi đó 2 2
' 2 2 0 1m m m m∆ = − + + > ⇔ > −
Khi m > -1 ta có 1 2 2x x− = 2 2
1 2 1 22 4x x x x⇔ + − = 2
1 2 1 2( ) 4 4x x x x⇔ + − =

4. http://tracuudiemthi.sms.vn
2 2
4 4( 2 2) 4m m m⇔ − − − =
1
8 4
2
m m⇔ = − ⇔ = −
Cách giải khác: Khi m > -1 ta có
1 2 2x x− =
' '
2 '
' '
b b
a a
− + ∆ − − ∆
⇔ − = ∆ 2 2 2m= +
Do đó, yêu cầu bài toán 2 2 2 2m⇔ + = 2 2 2m⇔ + =
1
2 2 1
2
m m⇔ + = ⇔ = −
Bài IV (3,5 điểm)
1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối
· 0
ANO 90=
· 0
AMO 90= nên là tứ giác nội tiếp
2/ Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng
nên ta có AB. AC = AM2
= AN2
= 62
= 36
2 2
6 6
AC 9(cm)
AB 4
⇒ = = =
BC AC AB 9 4 5(cm)⇒ = − = − =
3/ · · ·1
MTN MON AON
2
= = (cùng chắn cung
MN trong đường tròn (O)), và · ·AIN AON=
(do 3 điểm N, I, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 900
)
Vậy · · ·AIN MTI TIC= = nên MT // AC do có hai góc so le bằng nhau.
4/ Xét AKO∆ có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm
của OQ và AI thì H là trực tâm của AKO∆ , nên KMH vuông góc với AO. Vì MHN
vuông góc với AO nên đường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với
AO. Vậy K nằm trên đường thẳng cố định MN khi BC di chuyển.
Cách giải khác:
Ta có KB2
= KC2
= KI.KO. Nên K nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn tâm O
và đường tròn đường kính AO. Vậy K nằm trên đường thẳng MN là trục đẳng phương
của 2 đường tròn trên.
Bài IV: (0,5 điểm)
Từ giả thiết đã cho ta có
1 1 1 1 1 1
6
ab bc ca a b c
+ + + + + = . Theo bất đẳng thức Cauchy ta
có:
2 2
1 1 1 1
2 a b ab
 
+ ≥ ÷
 
, 2 2
1 1 1 1
2 b c bc
 
+ ≥ ÷
 
, 2 2
1 1 1 1
2 c a ca
 
+ ≥ ÷
 
2
1 1 1
1
2 a a
 
+ ≥ ÷
 
, 2
1 1 1
1
2 b b
 
+ ≥ ÷
 
, 2
1 1 1
1
2 c c
 
+ ≥ ÷
 
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
A
O
B
C
N
M
I
T
K
Q
P
H

5. http://tracuudiemthi.sms.vn
2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 3 3 1 1 1 3 9
6 6
2 2 2 2 2a b c a b c
   
+ + + ≥ ⇔ + + ≥ − = ÷  ÷
   
2 2 2
1 1 1
3
a b c
 
⇔ + + ≥ ÷
 
(điều phải chứng minh)
 Để tra cứu điểm thi vào lớp 10 bạn soạn theo cú pháp sau:
Ví dụ: Nếu bạn là thí sinh ở Hà nội có mã tỉnh là 01, và có số báo danh là 11002266. Để
xem điểm thi lớp 10 bạn soạn tin: DTM 01 11002266 gửi 8785.
 Để đăng ký nhận điểm chuẩn vào lớp 10 bạn soạn tin theo cú pháp sau:
Ví dụ: Nếu bạn là thí sinh ở Hà nội có mã tỉnh là 01, và thi vào trường THPT Nguyễn
Huệ có mã trường là 162. Bạn soạn tin: DTM DC 01 162 gửi 8785
Danh sách mã tỉnh, Mã các trường THPT trên toàn quốc.
Mã tỉnhDanh mã các trường THPT tỉnh/
Thành phố
Mã tỉnh Tên Danh sách THPT tỉnh/ Thành phố
01 Danh sách THPT TP.Hà Nội 34 Danh sách THPT tỉnh Quảng Nam
02 Danh sách THPT TP Hồ Chí Minh 35 Danh sách THPT tỉnh Quảng Ngãi
03 Danh sách THPT TP Hải Phòng 36 Danh sách THPT tỉnh Kon Tum
04 Danh sácg THPT TP Đà Nẵng 37 Danh sách THPT tỉnh Bình Định
05 Danh sách THPT tỉnh Hà Giang 38 Danh sách THPT tỉnh Gia Lai
06 Danh sách THPT tỉnh Cao Bằng 39 Danh sách THPT tỉnh Phú Yên
07 Danh sách THPT tỉnh Lai Châu 40 Danh sách THPT tỉnh Đắk Lắk
08 Danh sách THPT tỉnh Lào Cai 41 Danh sách THPT tỉnh Khánh Hoà
09 Danh sách THPT tỉnh Tuyên Quang 42 Danh sách THPT tỉnh Lâm Đồng

6. http://tracuudiemthi.sms.vn
10 Danh sách THPT tỉnh Lạng Sơn 43 Danh sách THPT tỉnh Bình Phước
11 Danh sách THPT tỉnh Bắc Cạn 44 Danh sách THPT tỉnh Bình Dương
12 Danh sách THPT tỉnh Thái Nguyên 45 Danh sách THPT tỉnh Ninh Thuận
13 Danh sách THPT tỉnh Yên Bái 46 Danh sách THPT tỉnh Tây Ninh
14 Danh sách THPT tỉnh Sơn La 47 Danh sách THPT tỉnh Bình Thuận
15 Danh sách THPT tỉnh Phú Thọ 48 Danh sách THPT tỉnh Đồng Nai
16 Danh sách THPT tỉnhVĩnh Phúc 49 Danh sách THPT tỉnh Long an
17 Danh sách THPT tỉnh Quảng Ninh 50 Danh sách THPT tỉnh Đồng Tháp
18 Danh sách THPT tỉnh Bắc Giang 51 Danh sách THPT tỉnh An giang
19 Danh sách THPT tỉnh Bắc Ninh 52 Danh sách THPT tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu
21 Danh sách THPT tỉnh Hải Dương 53 Danh sách THPT tỉnh Tiền Giang
22 Danh sách THPT tỉnh Hưng Yên 54 Danh sách THPT tỉnh Kiên Giang
23 Danh sách THPT tỉnh Hoà Bình 55 Thành Phố Cần Thơ
24 Danh sách THPT tỉnh Hà Nam 56 Danh sách THPT tỉnh Bến Tre
25 Danh sách THPT tỉnh Nam Định 57 Danh sách THPT tỉnh Vĩnh Long
26 Danh sách THPT tỉnh Thái Bình 58 Danh sách THPT tỉnh Trà Vinh
27 Danh sách THPT tỉnh Ninh Bình 59 Danh sách THPT tỉnh Sóc Trăng
28 Danh sách THPT tỉnh Thanh Hoá 60 Danh sách THPT tỉnh Bạc Liêu
29 Danh sách THPT tỉnh Nghệ An 61 Danh sách THPT tỉnh Cà Mau
30 Danh sách THPT tỉnh Hà Tĩnh 62 Danh sách THPT tỉnh Điện biên
31 Danh sách THPT tỉnh Quảng Bình 63 Danh sách THPT tỉnh Đắk Nông
32 Danh sách THPT tỉnh Quảng Trị 64 Danh sách THPT tỉnh Hậu Giang
33 Danh sách THPT tỉnh Thừa Thiên
Huế
Danh sách Bổ túc THPT của Quân đội
Chúc các bạn thi đỗ vào trường mình mong muốn!

7. http://tracuudiemthi.sms.vn
10 Danh sách THPT tỉnh Lạng Sơn 43 Danh sách THPT tỉnh Bình Phước
11 Danh sách THPT tỉnh Bắc Cạn 44 Danh sách THPT tỉnh Bình Dương
12 Danh sách THPT tỉnh Thái Nguyên 45 Danh sách THPT tỉnh Ninh Thuận
13 Danh sách THPT tỉnh Yên Bái 46 Danh sách THPT tỉnh Tây Ninh
14 Danh sách THPT tỉnh Sơn La 47 Danh sách THPT tỉnh Bình Thuận
15 Danh sách THPT tỉnh Phú Thọ 48 Danh sách THPT tỉnh Đồng Nai
16 Danh sách THPT tỉnhVĩnh Phúc 49 Danh sách THPT tỉnh Long an
17 Danh sách THPT tỉnh Quảng Ninh 50 Danh sách THPT tỉnh Đồng Tháp
18 Danh sách THPT tỉnh Bắc Giang 51 Danh sách THPT tỉnh An giang
19 Danh sách THPT tỉnh Bắc Ninh 52 Danh sách THPT tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu
21 Danh sách THPT tỉnh Hải Dương 53 Danh sách THPT tỉnh Tiền Giang
22 Danh sách THPT tỉnh Hưng Yên 54 Danh sách THPT tỉnh Kiên Giang
23 Danh sách THPT tỉnh Hoà Bình 55 Thành Phố Cần Thơ
24 Danh sách THPT tỉnh Hà Nam 56 Danh sách THPT tỉnh Bến Tre
25 Danh sách THPT tỉnh Nam Định 57 Danh sách THPT tỉnh Vĩnh Long
26 Danh sách THPT tỉnh Thái Bình 58 Danh sách THPT tỉnh Trà Vinh
27 Danh sách THPT tỉnh Ninh Bình 59 Danh sách THPT tỉnh Sóc Trăng
28 Danh sách THPT tỉnh Thanh Hoá 60 Danh sách THPT tỉnh Bạc Liêu
29 Danh sách THPT tỉnh Nghệ An 61 Danh sách THPT tỉnh Cà Mau
30 Danh sách THPT tỉnh Hà Tĩnh 62 Danh sách THPT tỉnh Điện biên
31 Danh sách THPT tỉnh Quảng Bình 63 Danh sách THPT tỉnh Đắk Nông
32 Danh sách THPT tỉnh Quảng Trị 64 Danh sách THPT tỉnh Hậu Giang
33 Danh sách THPT tỉnh Thừa Thiên
Huế
Danh sách Bổ túc THPT của Quân đội
Chúc các bạn thi đỗ vào trường mình mong muốn!