3. Inicio
Aprendizajes esperados:
• Clasificar Cuadriláteros.
• Identificar las propiedades de los
cuadriláteros
• Aplicar las propiedades de los
cuadriláteros en la resolución de
ejercicios.
4. Inicio
Presentación
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco
ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente
práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada,
como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los
egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los
griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o,
mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular
volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se
pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra,
para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el
nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γ ῆ (gê) 'tierra'
más μετρία (metría), 'medición').
5. Inicio
CUADRILÁTEROS
Son polígonos que tienen cuatro lados.
Los cuadriláteros convexos se clasifican en: paralelogramos,
trapecios y trapezoides. Cada uno de ellos tienen sus propias
características.
6. Inicio
PARALELOGRAMOS
Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Se
llama base a cualquiera de sus lados, y su altura es la distancia
que existe entre dos lados opuestos.
PROPIEDADES:
1.- Los lados opuestos son congruentes: AB = DC ; AD = BC.
2.- Los ángulos opuestos son congruentes: < A ≅ < C; < D ≅ < B
3.- Las diagonales se intersecan en su punto medio.
4.- Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios
7. Inicio
• Área =base ∙ altura
Ejemplo:
D C
h = 4 cm
A B
base = 12 cm
Área =12 ∙ 4 = 48 cm2
8. Inicio
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
A.- RECTÁNGULOS
• 2 pares de lados iguales
• 4 ángulos interiores iguales a 90°
• Las diagonales son congruentes
y se dimidian.
• AC =BD, AE =EC =DE = EB
• Área = largo ∙ ancho
A = a∙b
• Perímetro = suma de sus 4 lados
P = 2(a + b)
• diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
d= a2 + b2
9. Inicio
Ejercicios de aplicación:
Calcular la diagonal de un rectángulo cuyo largo y ancho miden
12 cm y 5 cm respectivamente.
Solución:
diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
⇒ d= 52 + 122
⇒ d= 25 + 144
⇒ d= 169
⇒ d = 13 cm
10. Inicio
2. Determinar el perímetro de la zona achurada del
rectángulo ABCD de la figura.
Solución:
Por las características de la zona achurada, su perímetro es
igual al perímetro del rectángulo.
Luego, el perímetro de la zona achurada es:
P = 2( 21 + 12) cm
P = 2·(33) cm
P = 66 cm
11. Inicio
B.- CUADRADO
a
• 4 lados iguales d
• 4 ángulos interiores iguales a 90° a a
• diagonal = lado ∙ 2
a
d=a 2
• Perímetro = 4a
• Área = (lado)2
Área = a2
• Área = (diagonal)2
2
Área = d2
2
12. Inicio
Propiedades de las diagonales del
cuadrado:
• Son iguales: AC = BD
• Son perpendiculares: AC BD
• Se dimidian: AE = EC = DE = EB
• Son bisectrices
Ejercicios de aplicación:
1. Determinar el área de un cuadrado cuya diagonal mide
10 cm.
Solución
Como Área := (diagonal)2 ⇒ Área = (10)2
2 2
⇒ Área = 50 cm2
13. Inicio
2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide
3 2 cm.
Solución:
diagonal = lado ∙ 2
⇒ diagonal = 3 2 ∙ 2 cm
⇒ diagonal = 3 ∙ 2 cm
⇒ diagonal = 6 cm
14. Inicio
C.- ROMBO
• 4 lados iguales
• ángulos opuestos iguales
• Perímetro = suma de sus 4 lados
P = 4a
• Área = lado ∙ altura
Área = a ∙ h
• Área = producto de diagonales
2
Área = d1 ∙ d2
2
15. Inicio
Propiedades de las diagonales del rombo
• Son perpendiculares: AC ⊥BD
• Se dimidian: AE = EC y DE = EB
• Son bisectrices.
Ejemplo:
16. Inicio
C.- ROMBOIDE
• 2 pares de lados iguales
• Ángulos opuestos iguales
• Área = base ∙ altura
Área = a ∙ h
• Perímetro = suma de sus 4 lados
P = 2a + 2b
17. Inicio
Propiedades de las diagonales
• Se dimidian: AE = EC y DE = EB
18. Inicio
TRAPECIOS
Son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos que se llaman
bases y dos lados no paralelos.
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
A.-TRAPECIO RECTO.- Uno de los lados no
paralelos es perpendicular a las bases.
B.- TRAPECIO ISÓSCELES.- Los lados no
´paralelos son congruentes.
Los ángulos adyacentes a sus bases son
congruentes y sus diagonales también son
congruentes.
C.- TRAPECIO ESCALENO.- Los
lados no paralelos no son congruentes.
19. Inicio
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
En un trapecio, el segmento que une los puntos
B C
medios de los lados no paralelos es paralelo a las
bases y su longitud es igual a la semisuma de las
longitudes de las bases. Este segmento recibe el
nombre de mediana, base media, paralela media.
M N
MN // BC ; MN // AD D
A
BC + AD
MN = A
2
B C
El segmento que une los puntos medios de las
diagonales de un trapecio es paralelo a las
bases y su longitud es igual a la semidiferencia
P Q
e las bases. Este segmento es un parte de la
mediana del trapecio.
A D
PQ // BC ; PQ // AD
AD − BC
PQ =
2
20. Inicio
TRAPEZOIDE
Son cuadriláteros convexos que no tienen ningún par de lados
paralelos. Cuando una de sus diagonales es mediatriz de la otra
diagonal, el trapezoide se llama trapezoide simétrico o bisósceles.
21. Inicio
PROBLEMAS
1.- En un paralelogramo ABCD, las medidas de los ángulos consecutivos A y B
son: 7x – 30° y 3x +10° respectivamente. Calcular el complemento de B.
B C
Como se sabe que dos ángulos consecutivos 3x +10°
de un paralelogramo son suplementarios,
entonces:
7x – 30 + 3x +10 = 180
7x -30
10x = 200 A D
X = 20.
Luego:
Angulo A = 7(20) – 30
A = 140 – 30
A = 110°
Angulo B = 3(20) + 10
B = 60 + 10
B = 70°
RESPUESTA.- El complemento del ángulo B
mide 20°
22. Inicio
2.- Las bases de un trapecio isósceles están en relación de 3 es a 5. Si la
suma de sus lados no paralelos es de 50 m y su perímetro de 82 m. Calcular
la mediana del trapecio.
AB + CD + BC + AD = 82
Pero: AB = CD = 25 B C
25 + 25 + BC + AD = 82
BC + AD = 32 M N
BC 3 3AD
Pero: = BC =
AD 5 5
A D
Luego: 3 AD + AD = 32
5
3AD + 5AD = 160
8AD = 160
AD = 20 m.
Luego: BC = 12 m. RESPUESTA.- La mediana
La mediana: 20 + 12 del trapecio es 16 m.
MN = = 16
2
23. Inicio
3.- En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales
es 9 m y la suma de las bases es 30 m. Hallar las bases.
1
9= ( AD − BC )
2 C
B
18 = AD – BC
Luego: P Q
AD + BC = 30
AD − BC = 18 A
D
2AD = 48
AD = 24
Luego:
BC = 6. RESPUESTA.- Las bases miden 24 m y
6 m.
