Apostila ef ii

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Apostila ef ii

  1. 1. Ensino Fundamental Roteiro geral 1. Dicionário de Matemática Elementar Pequeno dicionário de Matemática Elementar. 2. Origem dos números O surgimento do processo de numeração. Representação numérica. A capacidade humana de quantificar objetos. O ábaco. O sistema de numeração indo-arábico. Notação posicional e a criação do zero. O sistema de numeração. Observações sobre a numeração egípcia. O sistema de numeração romana. 3. Números naturais (primeira parte) Introdução, construção, igualdade, desigualdades e operações com números naturais. 4. Números naturais (segunda parte) Múltiplos e Divisores naturais. Números primos. Crivo de Eratóstenes. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o algoritmo para a sua obtenção. Máximo Divisor Comum (MDC) e o algoritmo para a sua obtenção. Relação entre MMC e MDC. Primos entre sí. Radiciação. 5. Critérios de divisibilidade Lista ímpar de Critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49. Certamente você não encontrará este material em livros comuns! Em todos os casos há exemplos para você praticar. 6. Exercícios sobre mmc, mdc e divisibilidade Exercícios Resolvidos sobre Números Naturais, Múltiplos e Divisores naturais. 7. Números inteiros Curiosidades com números inteiros. Introdução aos números inteiros. Sobre a origem dos sinais. O conjunto Z dos Números Inteiros. A Reta Numerada. Ordem e simetria no conjunto Z. Módulo de um número Inteiro. A soma de números inteiros e suas propriedades. A Multiplicação de números inteiros e suas propriedades. A propriedade distributiva. Potenciação e radiciação de números inteiros. 8. Frações O papel das frações e números Decimais. Elementos históricos sobre os números Decimais. Frações e números Decimais. Leitura de Números Decimais. Transformação de frações decimais em números decimais. Transformação de números decimais em frações decimais. Propriedades dos números decimais. Operações com números decimais. Expressões com números decimais. Comparação de números decimais. Porcentagem. 9. Frações decimais Frações: elementos históricos, conceito, construção, definição, leitura, tipos e a propriedade fundamental. A fração como classe de equivalência. Números mistos. Simplificação de frações. Representação gráfica. 10. Números racionais Relação entre números racionais e frações. Dízima periódica. A Conexão entre números racionais e números reais. Geratriz de uma dízima periódica. Números irracionais. Representação geométrica dos racionais. Ordem e simetria no conjunto Q. Módulo de um número racional. Adição e propriedades dos números racionais. Produto e propriedades dos números racionais. Propriedade distributiva em Q. Potenciação de números racionais. Radiciação de números racionais. Médias: Aritmética, Aritmética Ponderada, Geométrica e Harmônica. 11. Exercícios sobre frações e números decimais Exercícios resolvidos de frações decimais e números Decimais. 12. Equações do 1o. grau
  2. 2. Introdução as equações e sentenças matemáticas. Equações do primeiro grau (1 variável). Desigualdades do primeiro grau (1 variável). Desigualdades do primeiro grau (2 variáveis). Sistemas de equações primeiro grau. Desigualdades com duas equações. 13. Razões e proporções Razões. Proporções. Propriedade fundamental das proporções. Razões e Proporções de Segmentos. Polígonos e Figuras Semelhantes. Aplicações práticas das razões. 14. Aplicações das Razões e proporções Proporções com números e propriedades. Grandezas direta e inversamente proporcionais. Elementos históricos sobre a Regra de três. Regras de três simples direta e inversa. Regras de três composta. Porcentagem. Juros simples. 15. Divisão proporcional Decomposição de um número em n partes: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais, simultaneamente em n partes direta e inversamente proporcionais. Regras de Sociedade. 16. Expressões algébricas Expressões Numéricas e a sua importância. Elementos históricos. Expressões algébricas. Prioridade das operações numa expressão algébrica. Monômios e polinômios. Valor numérico de uma expressão algébrica. A regra dos sinais (multiplicação ou divisão). Regras de potenciação. Eliminação de parênteses em Monômios. Operações com expressões algébricas de Monômios. Alguns Produtos notáveis. 17. Equações do 2o.grau Equações do segundo grau. A fórmula de Sridara (conhecida como sendo de Bhaskara). Exercícios e algumas tabelas interessantes. 18. Funções quadráticas A função quadrática ou trinômia do segundo grau. Quatro importantes aplicações das parábolas nem sempre encontradas em livros básicos de Matemática até mesmo porque tais aplicações envolvem conhecimento de assuntos tratados num curso superior. 1- Ensino Fundamental: Mini Dicionário de Matemática Elementar A B C D E F G H I L M N O P Q R S T Vábaco Uma calculadora com várias hastes de metal, sustentandobolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizaroperações matemáticas.abscissa Ver coordenadasadição Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizadapara adicionar um número a outro. 3+2=(1+1+1)+(1+1)=(1+1+1+1+1)=5algarismo Símbolo utilizado para escrever os números. Em nossosistema de numeração de base 10, existem dez algarismos:
  3. 3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9algoritmo Um conjunto de regras necessárias à resolução de umproblema ou cálculo. Consideremos o problema: Sobre o conjuntodos números reais, resolver a equação a.x+b=0, sendo a constantea diferente de zero. Para resolver este problema, podemos utilizar o:Algoritmo 1. Escrever a equação a.x+b=0. 2. Somar o oposto de b, que é -b a ambos os membros da igualdade. 3. Usar o fato que b+(-b)=0, sendo que 0 é o elemento neutro da adição de números reais. 4. Verificar que: ax=-b. 5. Multiplicar ambos os membros da nova igualdade por a-1 que é o inverso multiplicativo de a que está garantido porque a é não nulo. 6. Usar o fato que a.a-1=1, sendo que 1 é o elemento neutro da multiplicação de números reais. 7. Obter a solução x=a-1.b.amostra Um conjunto escolhido para representar uma coleção oupopulação.ângulo Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ouduas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. Ainterseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominadavértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ousemi-retas).
  4. 4. ângulo agudo Um ângulo que mede menos do que 90 graus e maisdo que 0 graus.ângulo obtuso Um ângulo que mede mais do que 90 graus e menosdo que 180 graus.ângulo raso Um ângulo que mede exatamente 180 graus.ângulo reto Um ângulo que mede exatamente 90 graus ou umângulo formado pela interseção de duas retas perpendiculares.arco de curva Parte de uma curva situada entre dois pontosquaisquer da curva. Se A e B são dois pontos quaisquer de umacircunferência , existem dois arcos AB, estes arcos são decomprimentos diferentes se A e B não são pontos extremos dodiâmetro, o maior é designado arco maior e o outro, arco menor.área É a medida de uma superfície, muitas vezes mal denominadatambém como superfície.aresta A interseção de duas faces de um sólido. No desenho emanexo, é o segmento de reta que representa a interseção de duasfaces coloridas.
  5. 5. aritmética É o ramo da Matemática dedicado ao estudo das regrasde cálculo com números.arredondar Fazer uma aproximação do valor de um número. 3,14 é um arredondamento de Pi=3,14159...associativa Lei que permite reagrupar os termos de uma adição oumultiplicação sem alterar o resultado. (A+B)+C = A+(B+C) (A×B)×C = A×(B×C)A multiplicação é associativa: a×(b×c) = (a×b)×c 2×(3×5) = (2×3)×5 =30A adição é associativa: a+(b+c) = (a+b)+c 2+(3+5) = (2+3)+5 =10atributo Uma qualidade ou característica de um objeto matemático.baricentro de um triângulo As três medianas de um triângulo seencontram num mesmo ponto, o baricentro, este ponto divide cadamediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é odobro da outra. Uma lamina triângular com densidade uniforme temeste ponto como centro de massa.
  6. 6. base de um triângulo É conveniente considerar um dos lados dotriângulo como sendo sua base, a distância entre a base e o vérticeoposto a base é a altura do triângulo.bilhão 109=1000000000. Número 1 seguido de 9 zeros.bissetriz É a semi-reta que divide um ângulo em dois ânguloscongruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔBpois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.biunívoca Correspondência de cada objeto a um único objeto. Porexemplo, uma pessoa para cada carteira de identidade.blocos lógicos Blocos utilizados em atividades didáticas declassificação e seriação gráfica. Tais objetos normalmente sãocoloridos e têm formas distintas.calcular Realizar uma operação, como por exemplo, a adição, asubtração, a multiplicação, a divisão ou potenciação, visando obterum resultado.capacidade É a quantidade que um recipiente pode conter, estaquantidade pode ser de óleo, água, etc. Normalmente a capacidadeé medida em litros.cilindro Uma região bidimensional no espaço tridimensional formadapor uma superfície curva e por duas superfícies planas que sãocongruentes. Um cilindro circular reto pode ser visto no cotidianocomo uma lata de óleo ou de ervilha.
  7. 7. círculo Uma figura plana formada pelo conjunto de todos os pontosdeste plano situados a uma distância menor ou igual que umamedida conhecida como raio do círculo, a partir de um ponto fixodenominado centro do círculo.circunferência Uma curva plana formada pelo conjunto de todos ospontos deste plano situados a uma distância exatamente igual auma medida conhecida como raio da circunferência, a partir de umponto fixo denominado centro da circunferência. É a linha queenvolve o círculo.classificação Forma de separar objetos ou números que possuemcertos atributos ou características.colinear Um número qualquer de pontos são colineares se todosestiverem sobre uma mesma reta.compensação Um modo de realizar uma estimativa onde se podeajustar um resultado subestimado (abaixo do valor) ousuperestimado (acima do valor), para chegar a um resultadoaproximado mais próximo da realidade.comutativa Lei que permite mudar a ordem dos termos de umaadição ou multiplicação sem alterar o resultado. A+B = B+A A×B = B×A
  8. 8. A multiplicação é comutativa: a×b = b×a 5×2 = 2×5 = 10A adição é comutativa: a+b = b+a 5+2 = 2+5 = 7concêntrico Figuras concêntricas são aquelas que possuem omesmo centro.cone Uma figura espacial tendo (em geral) uma base circulardelimitada por uma superfície curva obtida pela rotação de uma retaem torno de um eixo fixo, sendo que estas duas retas cruzam-se novértice do cone.congruência Característica do que é congruente.congruente Figuras congruentes são aquelas que têm a mesmaforma e a mesma medida.consecutivo Números consecutivos são números que se seguem.Por exemplo, 3, 4, 5 e 6 são números consecutivos.contar Associar objetos de uma forma unívoca aos númerosnaturais.coordenadas As coordenadas de um ponto no plano sãoidentificadas por um par ordenado P=(x,y) de números, que servempara determinar a posição deste ponto em relação ao sistema
  9. 9. considerado de eixos. A primeira coordenada×do par ordenado é aabscissa e a segunda coordenada y é a ordenada.As coordenadas de um ponto no espaço são identificadas por umterno ordenado P=(x,y,z) de números que servem para determinar aposição do ponto no espaço em relação ao sistema considerado deeixos. A primeira coordenada×de um terno ordenado é a abscissa, asegunda y é o afastamento e a terceira z é a cota.corda Dois pontos A e B pertencentes a uma curva definem umsegmento de reta AB denominado corda.criptograma Um jogo no qual os algarismos são trocados por letrasou outros símbolos de uma operação aritmética.cubo Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cadaconjunto de três arestas se encontra num ponto denominado vérticee duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. As seis facessão paralelas duas a duas.dados Elementos numéricos ou algébricos de informação de umproblema.decágono Um polígono com 10 lados.
  10. 10. denominador Na fração é o número que fica em baixo. É o númeroque indica em quantas partes iguais será dividido o número de cima. ueNa fração 3/4 o denominador é o número 4.desigualdade Desigualdade é uma expressão em uma das formas:a b, a<b, a<b, a>b, a b, onde a e b são quantidades ou b, a>b,expressões. Em desigualdades são usados os seguintes símbolos: são não é igual (diferente), < é menor do que, < é menor ou igual a, >é maior do que e > é maior ou igual a.diagonal Segmento de reta que liga dois vértices não consecutivosde um polígono.diâmetro No círculo, é a medida do segmento de reta que passa dopelo centro e que une dois pontos da circunferência do círculo.diferença O resultado de uma subtração.2 é a diferença entre 5 e 3, porque 2=5-3. 2=5
  11. 11. 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=(1+1)=2dígitos Símbolos usados para escrever números em representaçãodecimal ou alguma outra base. Em notação decimal os dígitosusados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em notação binária sãousados apenas dois dígitos 0 e 1.distributiva Lei que permite distribuir uma adição ou subtração emrelação ao produto, sem alterar o resultado. a×(b+c) = (a×b)+(a×c) a×(b-c) = (a×b)-(a×c)A multiplicação é distributiva sob a adição: 5×(10+2) = (5×10)+(5×2)A multiplicação é distributiva sob a subtração: 5×(10-1) = (5×10)-(5×1)dividendo O número que será dividido em uma operação de divisão.Na operação 18÷9=2, 18 é o dividendo.divisão Uma das quatro operações básicas da aritmética. Usadapara saber o número de vezes que um número está contido emoutro número. 6÷3 = (2+2+2)÷3 = 2divisor É o segundo termo da divisão. É o que divide o dividendo.Na operação 18÷9=2, 9 é o divisor.dodecaedro Um poliedro com 12 faces.dodecágono Um polí com com 12 lados.
  12. 12. eixo de simetria A reta que separa uma figura de sua reflexão ourebatimento.elemento Um objeto de um conjunto é um elemento deste conjunto.eneágono Um polígono com 9 lados.enumerar Associar objetos de uma forma unívoca aos númerosnaturais.esfera Uma figura formada pelo conjunto de todos os pontos doespaço tridimensional, equidistantes de um ponto fixo denominadocentro da esfera, por uma distância fixa conhecida como o raio daesfera.estimativa Atitude de estimar um resultado numérico. É o resultadoaproximado de uma operação. Pode ser feito mentalmente ou porescrito. Embora saibamos que Pi=3,1415926535..., podemos fazeruma estimativa para o valor de Pi como sendo a divisão de 22 por 7.expressão numérica Uma expressão matemática que pode tambémconter termos não matemáticos.faces São os polígonos que delimitam um sólido.
  13. 13. fator Os números inteiros multiplicados em uma multiplicação são osfatores. Na equação 2×6 = 12, 2 e 6 são os fatores de 12.figura geométrica Um desenho serve para representar diversasnoções matemáticas. Uma figura geométrica pode ter dimensão: 0,1, 2, 3, ...,n. Por exemplo, o ponto é uma figura geométrica semdimensão, ou seja 0-dimensional, a reta é 1-dimensional, o triânguloé 2-dimensional e o cubo é 3-dimensional. Às vezes, simplesmenteescrevemos que o cubo é 3D.figura plana É uma figura em duas dimensões, como o círculo, oquadrado, o pentágono, o trapézio, etc.fração Representa as partes de um todo ou de um conjunto, a razãoentre dois números inteiros ou uma divisão.fração decimal Um numero fracionário que expressa uma formadecimal como 4,8 ou 7,23. 4,8=24/5 7,23 = 723/100fração irredutível Uma fração onde o numerador e o denominadornão têm um fator comum maior do que 1. A fração 3/4 é irredutível,mas 5/25 não é.fração ordinária É a fração que não é decimal. A fração 1/4 éordinária.
  14. 14. fração simplificada ver fração irredutívelfrações equivalentes São frações que representam a mesmaquantidade. As frações 1/2, 2/4 e 8/16 são equivalentes.fundo de um gráfico Geralmente é a região sobre a qual umdesenho é colocado.gabarito Um modelo que permite reproduzir figuras.geoplano Uma prancheta de madeira ou de plástico composta depregos ou metais disposta em quadrado, permitindo a construção devários polígonos e aprofundamento de uma variedade de conceitosgeométricos.gráfico Um quadro que permite representar os dados.gráfico de barras Um gráfico onde os dados são representados comfaixas verticais ou horizontais.gráfico de linha Um gráfico formado por uma linha construída pelaligação de segmentos de reta, unindo os pontos que representam osdados.
  15. 15. grau Unidade de medida de ângulo muito utilizada nos primeirosníveis educacionais. Ela é obtida pela divisão da circunferência em360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendoque a notação desta medida usa um pequeno º colocado comoexpoente do número, como 1º.heptágono Um polígono com 7 lados.hexaedro Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas.Cada conjunto de três arestas se encontra num ponto denominadovértice e duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. Asseis faces são paralelas duas a duas.hexágono Um polígono com 6 lados.
  16. 16. histograma Um diagrama com faixas representando valorescontínuos.icosaedro Um poliedro com 20 faces.inclinação de uma reta Se dois pontos de uma reta têm a mesmaabscissa, diz-se que a reta é vertical e se as abscissas sãodiferentes a reta é inclinada. Quando é possível, a inclinação éobtida pela divisão entre a diferença das ordenadas e a diferençadas abscissas de dois pontos quaisquer.infinito Que não é finito. O conjunto dos números naturais é infinito,pois sempre existirá um outro natural que supera o anterior.Significa algo tão grande que não pode ser contado.interseção A interseção de dois conjuntos é o conjunto de todos oselementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. Ainterseção dos conjuntos A e B é denotada por A B e lê-se "Ainterseção B". A interseção de conjuntos satisfaz as seguintespropriedades: 1. A A = A e A Ø=Ø 2. A B = B A (A interseção é comutativa) 3. (A B) C = A (B C) (A interseção é associativa).intervalo Um intervalo finito da reta real R é um subconjunto de Rque possui uma das seguintes formas: 1. [a,b]={x real: a<×< b}
  17. 17. 2. (a,b)={x real: a<×< b} 3. [a,b)={x real: a<×< b} 4. (a,b]={x real: a<×< b}linha Uma figura geométrica 1D ou seja unidimensional.linha de tempo Colocação de eventos em ordem cronológicajuntamente com os períodos ou datas das ocorrências dos fatos.losango Um paralelogramo com quatro lados iguais, dois a doisparalelos, sendo que os ângulos opostos obtidos a partir de umamesma diagonal são iguais.massa A massa de um objeto é a propriedade de ser mais oumenos pesada. A massa de um objeto depende de seu volume e damatéria de que o objeto é constituído. O peso de um objeto, alémdisso, depende do local onde se encontra (sobre a Terra ou sobre aLua, no Polo Sul ou sobre a Linha do Equador...): o peso mede aforça com a qual o objeto é arremessado.mil 10³=1000. 1 seguido de três zeros.milhão 106=1000000. Número 1 seguido de seis zeros.milhar 10³=1000. 1 seguido de três zeros.milheiro 10³=1000. 1 seguido de três zeros.modelo Ver motivo e motivo numérico.módulo Ver valor absolutomultiplicação Uma das quatro operações básicas da aritmética, querealiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. A
  18. 18. multiplicação é uma adição repetida: 8x4 é a mesma coisa que8+8+8+8=32.multiplicador O número pelo qual se multiplica. No produto 8x4=32,4 é o multiplicador.multiplicando O número que será multiplicado por outro. No produto8x4=32, 8 é o multiplicando.múltiplo Um múltiplo de um número inteiro é o produto deste númeropor um outro número inteiro. 0, 4, 8, 16... são múltiplos de 4.multívoca Correspondência de um objeto com vários. Por exemplo,um carro de $10.000,00 corresponde a dez motos de $1.000,00,pelo menos em termos monetários.numerador Indica o número de partes em consideração com o todo.Na fração é o número que fica em cima. É o número que é divididopelo número de baixo. Na fração 3/4 o numerador é o número 3.número Um símbolo que representa uma quantidade, umagrandeza, uma posição. Os símbolos utilizados podem ser dealgarismos (26), de letras (vinte e seis) ou outros (lA), sendo queeste último é uma mistura de letras e números e corresponde aonúmero 26 na base hexadecimal.número cardinal É o número de elementos de um conjunto. acaracterística associada ao número cardinal é a cardinalidade.número composto É um número que tem mais do que dois divisoresnaturais distintos, tais como 4, 6, 12, 15, 49.número decimal Número no qual a parte inteira é separada da partedecimal por uma vírgula.número ímpar Um número inteiro que não é múltiplo de 2. Exemplosde tais números são: ..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...
  19. 19. número inteiro Números inteiros são os números naturais e seusopostos, reunidos ao zero. ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...número irracional Um número que não pode ser escrito sob a formada divisão de dois números inteiros, tais como pi=3,1415926535... ee=2,71828...número misto É um número obtido pela soma de um número inteirocom uma fração ordinária, como: 2 2 6 =6+ 7 7número natural Números naturais são aqueles provenientes dosprocesso de contagem na natureza. Existe discussão sobre o fatodo 0 (zero) ser considerado um número natural uma vez que este foicriado pelos hindús para dar sentido à nulidade de algo. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...número ordinal O ordinal de um número exprime sua posição emuma sequência, tal como primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.número par Um número inteiro que é múltiplo de dois. Exemplos detais números são: ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...número primo Um número inteiro maior do que 1, que não é divisívelpor qualquer outro número exceto por ele e por 1. Um número primotem somente dois divisores naturais diferentes.número racional Um número que pode ser colocado sobre a formade uma fração, sendo que o numerador e o denominador devem serdois números inteiros, sendo que o denominador não pode ser zero(0).
  20. 20. octaedro Um poliedro com 8 faces.octógono Um polígono com 8 lados.ordem Arranjo ordenado que pode ser em ordem crescente oudecrescente. Existe um padrão de comportamento para os objetos.ordem crescente Arranjo de um grupo de números em ordem, demodo que um número menor é sempre colocado antes de um maior.Exemplo: 3, 6, 9, 12, 27.ordem decrescente Arranjo de um grupo de números em ordem, demodo que um número maior é colocado antes de um menor.Exemplo: 27, 12, 9, 6, 3.ordenada Ver coordenadas.padrão Um procedimento onde se utilisa as figuras congruentesrepetidas, seja para recobrir uma superfície ou para criar umaborda. É também uma regularidade, um modelo, uma sequência:quando se pode identificar o próximo evento ou objeto que virá, seencontrou um padrão.padrão numérico Uma regularidade, um modelo, uma sequência:quando se pode identificar o próximo número que virá, se seencontrou um padrão numérico.par Um número inteiro que é divisível por 2. Também entendidocomo um conjunto que contem dois elementos.
  21. 21. paralelepipedo Sólido geométrico com seis faces, sendo que asfaces opostas são paralelas. Este sólido se assemelha a uma caixade sapato.paralelogramo Um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.pentadecágono Um polígono com 15 lados.pentágono Um polígono com 5 lados.pentominó Todas as figuras em duas dimensões formadas pelacombinação de 5 quadrados congruentes adjacentes.perímetro O comprimento da curva em torno de uma figura fechadae limitada.
  22. 22. perímetro da circunferência É a medida do comprimento dacircunferência. Se esta tem o raio igual a r e Pi é a constante cujovalor é 3,1415926535..., então o perímetro P é calculado por: P = 2 × Pi × rpeso Ver massa.pictograma Um gráfico no qual os dados são representados pordesenhos ou imagens.pirâmide Um poliedro que tem como base um polígono e comolados, triângulos que se reunem em um ponto comum.plurívoca Correspondência de vários objetos com vários objetos.Quatro doces de $5,00 correspondem a cinco doces de $4,00, pelomenos no preço.poliedro Um sólido limitado por polígonos.polígono Uma região plana fechada limitada por segmentos deretas.
  23. 23. polígono circunscrito Um polígono é circunscrito a umacircunferência se todos os seus lados são tangentes àcircunferência. Neste caso pode-se dizer que a circunferência éinscrita no polígono.polígono inscrito Um polígono é inscrito a uma circunferência setodos os seus vértices são pontos da circunferência. Neste casopodemos dizer que a circunferência é circunscrita ao polígono.polígono regular Um polígono que tem todos os ângulos e ladoscongruentes.ponto Uma figura geométrica sem dimensão.ponto de referência Um dado conhecido que nos permite estimaruma quantidade desconhecida.predição A declaração de que se deve chegar, fundamentada noraciocínio ou experiência científica. Pode-se fazer previsões sobre ameteorologia, tremores de terra, resultados de competiçõesesportivas, etc.previsão Ver prediçãoprisma Um poliedro limitado por dois polígonos paralelos econgruentes reunidos por dois paralelogramos.prisma retangular Um prisma que tem polígonos quadriláterosparalelos e congruentes.
  24. 24. prisma triangular Um prisma que tem polígonos triangularesparalelos e congruentes.probabilidade É o quociente entre o número de casos favoráveis e onúmero total de casos possíveis em uma experiência. Aprobabilidade de obter o número 4 no lançamento de um dado semdefeito é 1/6.produto Uma das quatro operações básicas da aritmética, querealiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. Amultiplicação é uma adição repetida: 8x4 é a mesma coisa que8+8+8+8=32.quadrado Um quadrilátero que tem todos os quatro ângulos retos eos quatro lados congruentes, paralelos dois a dois.quadrado mágico Os números são dispostos em quadrados (3x3,4x4, 5x5, ...) de modo que a soma dos números na vertical, nahorizontal ou na diagonal é sempre a mesma. Apresentamos doisquadrados mágicos, o primeiro com os números 1, 2 e 3 e o outrocom os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. As tabelas foram postas aolado para aproveitar o espaço. 1 3 2 8 1 6 3 2 1 3 5 7 2 1 3 4 9 2quadrante Uma região do plano cartesiano delimitada por duassemi-retas. O plano cartesiano possui 4 quadrantes.
  25. 25. quadrilátero Um polígono com quatro lados.quociente O resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 oquociente é 2radiano É a unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional,o procedimento para obter um radiano é o seguinte: Tomamos umsegmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O eabertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que Bdeve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento doarco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que esteângulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).raio O segmento de reta que liga o centro do círculo a qualquerponto da circunferência do círculo.rede Obtém um padrão quando se desenvolve um sólido, isto é, seestende a superfície exterior de um sólido para obter uma superfícieplana.reflexão A formação dos pontos de um objeto de modo que a novafigura obtida se pareça como uma imagem refletida em um espelho.
  26. 26. relação de Euler (lê-se:"Óiler") Num poliedro convexo, a soma donúmero V de vértices com o número F de faces é igual ao número Ade arestas mais dois. V+F = A+2resto A quantidade que sobra após a divisão de um número inteiropor outro. Ao dividir 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1.reta (Conceito primitivo) É um conjunto infinito de pontos alinhadosde tal forma que os segmentos com extremidades em doisquaisquer desses pontos têm sempre a mesma inclinação.reta numerada Uma reta graduada que tem o número 0 (zero) comoponto inicial, um número 1 (unidade) como ponto de referência eoutros números em ordem crescente (por convençao: para adireita), relativamente à medida do segmento que começa em 0 etermina em 1.retângulo Um paralelogramo que tem 4 ângulos retos e os lados sãoparalelos e congruentes dois a dois.retas concorrentes Retas que se cruzam.
  27. 27. retas oblíquas Duas retas que se cortam com um ângulo nãoperpendicular.retas paralelas Retas que nunca se cruzam e que não estãosobrepostas.retas perpendiculares Retas que se cruzam formando um ânguloreto.revolução Um deslocamento no qual cada ponto do objeto sedesloca mantendo a mesma distância ao centro de rotação masformando ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda deuma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.rombo Ver losango.rotação Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se deslocamantendo a mesma distância ao centro de rotação mas formandoângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de umabicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.segmento de reta Uma parte de uma reta limitada entre dois pontos.semelhante Diz-se que duas figuras são semelhantes se ambas sãocongruentes ou uma delas é uma ampliação ou redução da outra.
  28. 28. sentença numérica Ver expressão numéricasimetria com respeito a um ponto Quando uma figura é rodada deum ângulo de 1140 graus, pode-se dizer que ela é simétrica comrespeito a um ponto.simetria de rotação Ver simetria com respeito a um pontosimetria com respeito a uma reta Quando uma figura é rebatida emrelação a uma reta, diz-se que ela é a reflexão de uma outra figuraou simétrica em relação a uma reta.
  29. 29. simétrico Uma figura em uma, duas ou três dimensões é ditasimétrica se ela possui um ente de simetria (ponto, eixo ou plano),de modo que do outro lado deste ente de simetria a figura sejasemelhante porem invertida como se tivesse sido colocada na frentede um espelho.sólido Uma figura em três dimensões. Exemplos de sólidos são:cubo, paralelepípedo, pirâmide.soma Uma das principais operações básicas da aritmética, queresulta na adição de números. 2+3=(1+1)+(1+1+1)=(1+1+1+1+1)=5subtração Uma das quatro operações básicas da aritmética, queobjetiva retirar um número de outro. É uma operação artificial criadaa partir da adição. 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=(1+1)=2superfície Um ente geométrico bidimensional suave (que não possuibicos ou autointerseções) que possui medida de área, isto é, umaregião que pode ser planificada (colocada sobre um plano) de modoque a nova região planificada tenha a área equivalente à de umquadrado.
  30. 30. tangram Conjunto de peças gráficas específicas que pode serreunido para montar figuras geométricas. Muito utilizado nasatividades práticas de Geometria.tentativa e erro, chute Uma estratégia de resolução de problemasonde se faz uma escolha para viabilizar o resultado e assim seprocede várias vezes até que que se chegue a alguma conclusãopróxima ao objetivo para a resolução do problema.termo Um dos objetos matemáticos em uma operação.tetraedro Um poliedro com 4 faces. Se o tetraedro for regular, eleterá 4 faces congruentes, 4 vértices e 6 arestas tambémcongruentes.total O resultado de uma adição ou de um produto.transferidor Um instrumento que serve para medir ângulos.translação O deslocamento paralelo em linha reta de um objeto oufigura. Um elevador realiza uma operação de translação.trapezóide Um quadrilátero que tem dois lados paralelos.triângulo Um polígono com três lados.valor absoluto O valor absoluto de um número real a tambémchamado "módulo de a" é denotado por |a| e definido como omáximo valor entre a e -a, isto é: |a|=max{a,-a}valor posicional O valor da posição de um algarismo depende desua posição no número. No número 728, o algarismo 7 ocupa a
  31. 31. posição das centenas, o 2 ocupa a posição das dezenas e o 8 aposição das unidades.vértice O ponto de junção de duas semi-retas de um ângulo, de doislados de um polígono ou de três (ou mais) faces de um sólido.vetor nulo Vetor nulo ou vetor zero de um esapaço vetorial,denotado neste trabalho por Ö.vírgula É um sinal matemático que separa a parte inteira da partedecimal de um número. Pi = 3,1415926535volume O volume de um objeto é definido como a medida do lugarocupado pelo objeto no espaço. Por exemplo, o volume de umacaixa é medido em cm³. No contexto das artes visuais, o volumerepresenta uma característica do objeto e não uma medida doespaço ocupado. 2- Ensino Fundamental: A origem dos números A origem dos números Sistema Indo-Arábico Início do processo de contagem Histórico: notação Posicional Representação numérica Histórico: criação do zero Alguns símbolos antigos Notação Posicional O ábaco Sistema numérico RomanoIntrodução sobre a origem dos númerosVocê já usou muitas vezes os números, mas será que já parou parapensar sobre: a. O modo como surgiram os números? b. Como foram as primeiras formas de contagem? c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
  32. 32. Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar umpouco da história humana e entender os motivos religiosos dessescriadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo quetenha gerado os números.Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como oestudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, oestudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento dediversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é apresença dos números.O Início do processo de contagemOs homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o quenecessitavam para a sua sobrevivência era retirado da próprianatureza. A necessidade de contar começou com odesenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foideixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se nosolo.
  33. 33. O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas,proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmospara obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos,o que trouxe profundas modificações na vida humana.As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foramcriadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominadaOriente Médio.A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, dasestações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir asprimeiras formas de calendário.No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seurebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava aofinal da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido dorebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro aorebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cadacarneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em umsaco.No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto demanhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco decouro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, erafeita a correspondência inversa, onde, para cada animal que
  34. 34. retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do diasobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e sealgum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais umapedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavralatina calculus, que significa pedrinha.A correspondência unidade a unidade não era feita somente compedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nasparedes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos demarcação.Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcarquantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII naInglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamosainda a correspondência unidade a unidade.Representação numéricaCom o passar do tempo, as quantidades foram representadas porexpressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povotinha a sua maneira de representação.A faculdade humana natural de reconhecimento imediato dequantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este sensonumérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma
  35. 35. coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seuconhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que éum atributo exclusivamente humano que necessita de um processomental."Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmoquatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dosnúmeros." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóise os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecemquantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades.Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade dereconhecer quantidades.Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matarum corvo que fez seu ninho na torre de observaçãode sua mansão. Por diversas vezes, tentousurpreender o pássaro, mas em vão: à aproximaçãodo homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, eleesperava atentamente até que o homem saísse da torre e só entãovoltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homensentraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Maso pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro
  36. 36. homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos diassubsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso.Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todosentraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outrosquatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta.Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente aoninho.Alguns símbolos antigosNo começo da história da escrita de algumas civilizações como aegípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiroseram anotados pela repetição de traços verticais: I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII 1 2 3 4 5 6 7 8 9Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contarmais do que quatro termos: IIII IIII IIII IIII IIII I II III IIII IIII I II III IIII I 1 2 3 4 5 6 7 8 9Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é oegípcio. É um sistema de numeração de base dez e era compostopelos seguintes símbolos numéricos:
  37. 37. Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia,criado a aproximadamente 4 mil anos.Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com aspartes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias osindivíduos chegavam a contar até o número 33.O ábacoO ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileirasde arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente,nas quais correm pequenas bolasNo princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos,logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi oábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais.
  38. 38. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan,que significa bandeja de calcular.O Sistema de numeração Indo-ArábicoNosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos noVale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem esua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família,a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. Acuriosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso. Inglês Francês Latim Grego Italiano Espanhol three trois tres treis tre tres Sueco Alemão Russo Polonês Hindu Português tre drei tri trzy tri trêsNotas históricas sobre a atual notação posicionalFoi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, quenasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que écomprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes(a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrionalusaram por muito tempo uma numeração rudimentar que apareceem muitas inscrições do século III antes de Cristo.Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seusnove primeiros algarismos eram sinais independentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9o que significava que um número como o 5 não era entendido como5 unidades mas como um símbolo independente.
  39. 39. Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismosarábicos, de uma forma errada.Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hinduspassaram a usar a notação por extenso para os números, pois nãopodiam exprimir grandes números por algarismos.Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.Cada algarismo tinha um nome: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 eka dvi tri catur pañca sat sapta asta navaQuando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cadacentena e cada milhar, recebeu um nome individual:10 = dasa100 = sata1.000 = sahasra10.000 = ayuta100.000 = laksa1.000.000 = prayuta10.000.000 = koti100.000.000 = vyarbuda1.000.000.000 = padmaAo invés de fazer como hoje, de acordo com as potênciasdecrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordemcrescente das potências de 10 por volta do século IV depois donascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades,
  40. 40. depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número3.709 ficava: 9 700 3000 nove sete centos três mil nava sapta sata tri sahasraPoderiamos escrever o número 12.345 comopañca caturdasa trisata dvisahasra ayutapois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:5 = pañca40 = catur dasa300 = tri sata2.000 = dvi sahasra10.000 = ayutapañca caturdasa trisata dvisahasra ayutaEsta já era uma forma especial.Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10,por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo, osmatemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notaçãoretirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes,assim o número 12.345 que era escrito como:pañca caturdasa trisata dvisahasra ayutapassou a ser escrito apenas:54321 = pañca catur tri dvi dasa
  41. 41. 12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicionalexcelente para a época, mas começaram a acontecer algunsproblemas como escrever os números 321 e 301.321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100321 = dasa dvi tri301 = 1 + 3 x 100301 = dasa triÉ lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:31 = 1 + 3 x 1031 = dasa triNo número 301 faltava algo para representar as dezenas.Para construir este material, usamos algumas partes do excelentelivro: "Os números: A história de uma grande invenção", GeorgesIfrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a permissão da Editora.Notas históricas sobre a criação do zeroTendo em vista o problema na construção dos números como 31 e301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio(ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem umacento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismopara representar as dezenas no número 301 e assim passaram aescrever: 301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya tri
  42. 42. Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para osnúmeros, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bemcomo o atual sistema de notação posicional.Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é umtratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na datade 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimentoreligioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidadescientíficas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713escrito claramente: triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam três um sete seis três dois quatro umEscrever tais números na ordem invertida, fornece: um quatro dois três seis sete um três 1 4 2 3 6 7 1 3Números como 123.000 eram escritos como:sunya sunya sunya tri dvi dasaque significa:zero zero zero três dois umque escrito na ordem invertida fornece:um dois três zero zero zeroNo texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "porordem de posição".
  43. 43. Observamos que tal notação posicional já era então conhecida noquinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistase matemáticos.Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelentelivro: "Os números: A história de uma grande invenção", GeorgesIfrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.Notação PosicionalO sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta doséculo V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nossistemas dos egípcios e chineses.No sistema de numeração indiana não posicional que aparece noséculo I não existia a necessidade do número zero.Notação (ou valor) posicional é quando representamos um númerono sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo temum determinado valor, de acordo com a posição relativa que eleocupa na representação do numeral.Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valordo número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando asposições dos algarismos teremos 21. 12 = 1 × 10 + 2 21 = 2 × 10 + 1O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemáticoparece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos maisantigos conhecidos onde aparece o número zero, não sãoanteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os númeroscontinham no máximo três algarismos.Um dos grandes problemas do homem começou a ser arepresentação de grandes quantidades. A solução para isto foiinstituir uma base para os sistemas de numeração. Os numeraisindo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam
  44. 44. a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu emcorrespondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena,que é formada pelo número um e o número zero: 10.A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360 grausem um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e 60 é umdos menores números com grande quantidade de divisores, comopor exemplo: D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}Os indianos reuniram as diferentes características do princípioposicional e da base dez em um único sistema numérico. Estesistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes epor isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição queum número se encontra seu valor é diferente.O Sistema Romano de NumeraçãoO sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja,sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje emrepresentações de séculos, capítulos de livros, mostradores derelógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos derepresentações oficiais em documentos. Estas eram as primeirasformas da grafia dos algarismos romanos.Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não sedestinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representarquantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelosromanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:
  45. 45. Letra I V X L C D M Valor 1 5 10 50 100 500 1000 Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos MilEstas letras obedeciam aos três princípios: 1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior. VI = 5 + 1 = 6 XII = 10 + 1 + 1 = 12 CLIII = 100 + 50 + 3 = 153 2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior. IX = 10 - 1 = 9 XL = 50 - 10 = 40 VD = 500 - 5 = 495 3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão. 3- Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira parte Introdução aos Nos. Naturais Propriedades da A construção dos Nos. Naturais multiplicação Igualdade e Desigualdades Propriedade Distributiva Operações com Nos. Naturais Divisão de Números Naturais Adição de Números naturais Potenciação de Nos. Naturais Propriedades da Adição Propriedades da Potenciação Curiosidade: Tabela de adição Números grandes
  46. 46. Multiplicação de Nos. Naturais Exercícios Introdução aos Números Naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenhasido proveniente de objetos de contagens naturais, iremosconsiderá-lo como um número natural uma vez que ele tem asmesmas propriedades algébricas que os números naturais. Naverdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistemaposicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Parasaber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ouNotação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja obelíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II,Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.Na sequência consideraremos que os naturais têm início com onúmero zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N.As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim.N é um conjunto com infinitos números.Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto serárepresentado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}A construção dos Números Naturais 1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
  47. 47. Exemplos: Seja m um número natural. (a) O sucessor de m é m+1. (b) O sucessor de 0 é 1. (c) O sucessor de 1 é 2. (d) O sucessor de 19 é 20.2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: (a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
  48. 48. Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. (a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1. (c) O antecessor de 56 é 55. (d) O antecessor de 10 é 9.O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos númerosnaturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objetomatemático denominado função, algumas vezes utilizaremos adenominação sequência dos números naturais pares pararepresentar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos númerosnaturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dosnúmeros ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}Igualdade e DesigualdadesDiremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somentese, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B estácontido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita,escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeitadenotaremos tal fato por:(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos,vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.
  49. 49. Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos queos elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjuntoB. Neste caso, A=B.Consideraremos agora uma situação em que os elementos dosconjuntos A e B serão distintos.Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos doconjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos doconjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar queum conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso,afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cadalinha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <,> ou =? 159 170 852 321 587 587Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, atravésde alguma propriedade e depois por extensão, apresentando oselementos: a. Conjunto N dos números Naturais b. Conjunto P dos números Naturais Pares c. Conjunto I dos números Naturais Ímpares d. Conjunto E dos números Naturais menores que 16 e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11 f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
  50. 50. g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10Operações com Números NaturaisNa sequência, estudaremos as duas principais operações possíveisno conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemáticaé construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.A adição de números naturaisA primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidadereunir em um só número, todas as unidades de dois ou maisnúmeros. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adiçõespodiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxíliode pedras ou por meio de ábacos.Propriedades da Adição 1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N. 2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido
  51. 51. somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. 3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. 4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.Curiosidade: Tabela de adiçãoPara somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outroem uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundonúmero na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas,obtemos a soma dos números. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
  52. 52. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e onúmero 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está nocruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.Multiplicação de Números NaturaisÉ a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro númerodenominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são asunidades do segundo número denominado multiplicador.Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36O resultado da multiplicação é denominado produto e os númerosdados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos osinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.Propriedades da multiplicação 1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na
  53. 53. literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N. 2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m.n).p = m.(n.p) (3.4).5 = 3.(4.5) = 60 3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1.n = n.1 = n 1.7 = 7.1 = 7 4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m.n = n.m 3.4 = 4.3 = 12Propriedade DistributivaMultiplicando um número natural pela soma de dois númerosnaturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma dasparcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
  54. 54. m.(p+q) = m.p + m.q 6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48Divisão de Números NaturaisDados dois números naturais, às vezes necessitamos saberquantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeironúmero que é o maior é denominado dividendo e o outro númeroque é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamadoquociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos odividendo.No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, poisnem sempre é possível dividir um número natural por outro númeronatural e na ocorrência disto a divisão não é exata.Relações essenciais numa divisão de números naturais 1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
  55. 55. n÷0=q e isto significaria que: n=0xq=0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma dodobro de X pelo triplo de Y.Potenciação de Números NaturaisPara dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto den fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m m aparece n vezesO número que se repete como fator é denominado base que nestecaso é m. O número de vezes que a base se repete é denominadoexpoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais,como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 43 = 4 × 4 × 4 = 64Propriedades da Potenciação 1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1. Exemplos: a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1 b. 13 = 1×1×1 = 1
  56. 56. c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1 2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo: 3. (a) nº = 1 4. (b) 5º = 1 5. (c) 49º = 1 6. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero? 7. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo: 8. (a) n¹ = n 9. (b) 5¹ = 5 10. (c) 64¹ = 64 11. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a. 103 = 1000 b. 108 = 100.000.000 c. 10o = 1Números grandesNo livro "Matemática e Imaginação", o matemático americanoEdward Kasner apresentou um número denominado googol quepode ser representado por 1 seguido de 100 zeros. 1 Googol = 10100
  57. 57. Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa quepassasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisaque pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um poucomaior do que o número total de partículas elementares conhecidasno universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estaspartículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons,este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10elevado ao googol. 1 Googolplex = 10GoogolExercícios 1. Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10. 2. Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse: 3. Olá minhas 100 pombinhas. 4. Uma delas respondeu: 5. Não somos 100 não meu caro gavião, 6. seremos 100, nós, mais dois tantos de nós 7. e mais você meu caro gavião. 8. Quantos pombos há neste grupo?
  58. 58. 9. Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar? 10. Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15. 4- Ensino Fundamental: Números Naturais: Segunda parte Múltiplos de Nos. naturais Máximo Divisor Comum Divisores de Nos. naturais Método para obter o MDC Números primos Relação entre o MMC e MDC Crivo de Eratóstenes Primos entre si Mínimo Múltiplo Comum Radiciação de Nos. naturais Método para obter o MMCMúltiplos de números NaturaisDiz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, seexiste um número natural k tal que: a=k×bExemplos:(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k,como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35=7×5
  59. 59. Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremosobter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos osnúmeros naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, osnúmeros da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os númerosnaturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará: 0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitosmúltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural,o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Porexemplo: M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... } M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }Observação: Como estamos considerando 0 como um númeronatural, então o zero será múltiplo de todo número natural.Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Porexemplo: 0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo. a = 1 × b se, e somente se, a=bPor exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 paraobter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.Divisores de números NaturaisA definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Umnúmero natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.
  60. 60. Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 etambém é múltiplo de 5.Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Porexemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, poistrabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir6 por um número maior do que ele.Os divisores de um número y também formam um conjunto finito,aqui denotado por D(y).Exemplos:(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural ealém disso, zero não divide qualquer número natural, exceto elepróprio.Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que: 6=0xbmas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja iguala 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa quepode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentidoseguinte:
  61. 61. Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que: 0÷0=X÷1Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção,deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dosextremos nesta proporção e assim: 0×1=0×X=0que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real,razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.Números primosUm número primo é um número natural com exatamente doisdivisores naturais distintos.Exemplos:(a) 1 não é primo pois D(1)={1}(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo númeronatural pode ser escrito como o produto de números primos, deforma única.
  62. 62. Crivo de EratóstenesÉ um processo para obter números primos menores do que umdeterminado número natural n. Devemos construir uma tabelacontendo os primeiros n números naturais. Para determinar osnúmeros primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos. 1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo. 2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela. 3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela. 4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela. 5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo. 6. Os números que não foram eliminados são os números primos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicandocom a cor mais forte os números primos e com a cor clara osnúmeros que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto25 não é primo, pois é múltiplo de 5.
  63. 63. No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes. P={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83, 89,97}Mínimo Múltiplo ComumDiz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se mé múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja. m=k×a e m=w×bonde k e w números naturais.Exemplos: Múltiplos comuns(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplocomum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de18. 18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18 18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9 18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para issodenotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) oconjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre osconjuntos M(a) e M(b).
  64. 64. Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5. M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...} M(3) M(5)={0,15,30,45,...}Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele iráfazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturaise será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, oMínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais éo menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero.Logo, no conjunto: M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notaçãoMMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre osnúmeros naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplocomum deve ser diferente de zero. Por exemplo: M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...} M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...} MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dosmúltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5: M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...} M(3) M(5)={0,15,30,45,...} M(15)={0,15,30,45,60,...}
  65. 65. Observe que M(15)=M(3) M(5)Método prático para obter o MMCDo ponto de vista didático, o processo acima é excelente paramostrar o significado do MMC mas existe um método prático pararealizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos. 1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço. | | | 2. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2. 12 22 28 | 2 | | 3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos. 12 22 28 | 2
  66. 66. 6 11 14 | | | 4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um. 12 22 28 | 2 6 11 14 | 2 3 11 7 | 3 1 11 7 | 7 1 11 1 | 11 1 1 1 | 924 5. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso: MMC(12,22,28)=924.Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela: 12 15 | | |e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelosnúmeros primos (quando a divisão for possível), criando novas listassob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos osnúmeros primos que colocamos do lado direito do traço. 12 15 | 2 6 15 | 2 3 15 | 3
  67. 67. 1 5 | 5 1 1 | 60Máximo Divisor ComumPara obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceitode divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisorcomum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e ddivide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2naturais tal que: a = k1 × d e b = k2 × dExemplos: Divisores comuns.(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. Oconjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois oconjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dosdivisores de um número natural y, será denotado por D(y).Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é,obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24). D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 } D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1,assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisorque pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.
  68. 68. Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre osnúmeros naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos dedivisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então: MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8Método prático para obter o MDCDe forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também umprocedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre doisnúmeros naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cadanúmero pode ser trabalhoso. Para introduzir este método,determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título deexemplo. 1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor. 72 30 2. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha. 2 72 30 12 3. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.
  69. 69. 2 72 30 12 12 4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30. 2 2 72 30 12 12 6 5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12. 2 2 2 72 30 12 6 12 6 0 6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por: MDC(30,72) = 6Exercícios:
  70. 70. a. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números? Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a- 18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.b. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números? Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, e assim, temos várias opções. Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60 Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120 Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180 Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240 Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300 Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360c. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números? Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim:
  71. 71. (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o problema, são: Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75 Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150 Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225Relação entre o MMC e MDCUma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é ofato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produtode a por b, isto é: MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC dedois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiropasso é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300,basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer: 5 × MMC(15,20) = 300de onde se obtém que MMC(15,20)=60.Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplocomum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é omáximo divisor comum entre eles?Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem serdivisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):
  72. 72. {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Osnúmeros que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600e MDC(200,120)=40.Primos entre siDois números naturais são primos entre si quando o MDC entre elesé igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 tambémnão é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si poisMDC(16,21)=1.Radiciação de números naturaisRadiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um númeronatural a devemos determinar um número natural b tal que: bn = aonde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n),que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comumno meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (nãosomente natural) é um outro número não negativo b tal que: b2 = a
  73. 73. A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valornumérico de b de forma que: b2 = b × b = 36Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente 36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a éum número b tal que: b3 = b . b . b = aA raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter umnúmero b de forma a obter b3=b×b×b=64Por tentativa, temos: 1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64Portanto 4 é raiz cúbica de 64.
  74. 74. Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raizquadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamentenatural, com qualquer precisão que se queira. 5- Ensino Fundamental: Critérios de Divisibilidade Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por 5 10 19 Sobre a Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por divisibilidade 6 11 23 Divisibilidade por 2 Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por 7 13 29 Divisibilidade por 3 Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por 4 8 16 31 Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por 9 17 49Sobre a divisibilidadeEm algumas situações precisamos apenas saber se um númeronatural é divisível por outro número natural, sem a necessidade deobter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regrasconhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regrasde divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23,29, 31 e 49.Alguns critérios de divisibilidadeDivisibilidade por 2Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2,4, 6 ou 8.
  75. 75. Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu últimoalgarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um númeroterminado com o algarismo 5 que não é par.Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos édivisível por 3.Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 nãoé divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.Divisibilidade por 4Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus doisúltimos algarismos é divisível por 4.Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.Divisibilidade por 5Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou5.Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero)nem 5.Divisibilidade por 6
  76. 76. Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos édivisível por 3.Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seusalgarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6,pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma deseus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.Divisibilidade por 7Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,subtraído do número sem o último algarismo, resultar um númerodivisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se oprocesso até que se possa verificar a divisão por 7.Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois: 16592 Número sem o último algarismo -16 Dobro de 8 (último algarismo) 16576 DiferençaRepete-se o processo com este último número. 1657 Número sem o último algarismo -12 Dobro de 6 (último algarismo) 1645 DiferençaRepete-se o processo com este último número. 164 Número sem o último algarismo -10 Dobro de 5 (último algarismo) 154 DiferençaRepete-se o processo com este último número. 15 Número sem o último algarismo
  77. 77. -8 Dobro de 4 (último algarismo) 7 DiferençaA diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmentetambém é divisível por 7.Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois: 426 Número sem o último algarismo -2 Dobro do último algarismo 424 DiferençaRepete-se o processo com este último número. 42 Número sem o último algarismo -8 Dobro do último algarismo 34 DiferençaA última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número4261 dado inicialmente não é divisível por 7.Divisibilidade por 8Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus trêsúltimos algarismos é divisível por 8.Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é umnúmero divisível por 9.
  78. 78. Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisívelpor 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não édivisível por 9.Divisibilidade por 10Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas6342 não termina em 0 (zero).Divisibilidade por 11Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordempar Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é umnúmero divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou seSi-Sp=0, então o número é divisível por 11.Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois: Número 1 3 5 3 Ordem ímpar par ímpar parO primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é:Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a suasoma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Spé igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número édivisível por 11.Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois: Número 2 9 4 5 8

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