Taller aplicaciones de las integrales

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Taller aplicaciones de las integrales

  1. 1. FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASASIGNATURA: MATEMÁTICAS 2TALLER DE REFUERZO SOBRE LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALÁREAS1. Encuentre El área de la región limitada arriba por y = e x abajo por y = x y a 3 los lados por x = 0 y x = 1 . Gráfica explicativa. Rta: e − 22. Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas y = x 2 y y = 2 x − x 2 .Socializa el ejercicio con tus compañeros. Gráfica explicativa.3. Encuentre el área encerrada por la recta y = x − 1 y la parábola y 2 = 2 x + 64. Encuentre el área de la región sombreada de la figura dada.5. Esquematice la región encerrada por las curvas dadas. Decida si integra con respecto a x o y : Dibuje un rectángulo típico de aproximación y marque su altura y su ancho. A continuación, halle el área de la región. a) y = x + 1, y = 9 − x 2 x = −1 x = 2 π b) y = senx, y = e x x = 0 x = 2 1 1 c) y = , y = 2 , x = 2 x x d) y = x , y = x 2 2 e) y = x y = x 2 − 26. Use el cálculo para hallar el área del triángulo cuyos vértices son A ( 0,5 ) , B ( 2, −2 ) y C ( 5,1)
  2. 2. • Solicite al estudiante que consulte sobre: Si conocemos las coordenadas de los vértices del triangulo el área se calcula por medio del x1 y1 1 1 Determinante: A = x2 y2 1 2 x3 y3 1 • Solicite al estudiante que consulte sobre: distancia de un punto a una recta que para nosotros sería aplicar el concepto sobre el área de un base.altura triangulo A = . La base sería la longitud del segmento 2 ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) 2 2 AB = y la altura sería la distancia del punto a la Ax + By + C recta así: d = . Este tipo de problema es sumamente A2 + B 2 importante porque se conjugan varios conceptos matemáticos y producen en el estudiante motivación.VOLÚMENES1. Mediante el método de los cascarones (corteza, envolvente, capas etc.) Determine el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región definida por las curvas dadas. Dibuje la región y un cascaron, así como también el respectivo sólido. 1 a) y = , y = 0 , x = 1, x = 2 Rta. 2π x b) y = 4 ( x − 2 ) , y = x 2 − 4 x + 7 Rta: 16π 2 c) y = 3 + 2 x − x 2 , x + y = 32. Mediante el método de los cascarones, determine el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la región definida por las curvas dadas. Dibuje la región y un cascaron como también el respectivo sólido. π a) x = 1 + y 2 , x = 0, y = 1, y = 2 Rta 21 2 b) x = y , x = 0, y = 1 π c) y = x 3 , y = 8, x = 0 Rta: 768 73. Utilizar cualquier método para calcular el volumen del sólido limitado por la región R al girar alrededor del eje especificado. Gráfica de la región y del sólido de revolución. π a) y = 4 x − x 2 , y = 3 alrededor de x = 1 Rta: 8 3
  3. 3. π b) y = x 3 , y = 0, x = 1 alrededor de y = 1 Rta: 5 144. Plantee pero no evalúe una integral para calcular el volumen del sólido que se genera al hacer rotar la región que definen las curvas dadas alrededor del eje especificado. a) y = ln x, y = 0, x = 2 alrededor del eje y b) y = x, y = 4 x − x 2 alrededor de x = 7 c) x − y = 7, x = 4 2 2 alrededor de y = 55. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región bajo la curva y = x en el intervalo [0,1] . Realice la gráfica de la región y del sólido correspondiente. a) Alrededor del eje x b) Alrededor del eje y c) Alrededor del eje x = −2 d) Alrededor del eje y = 46. Utilice su imaginación para calcular los siguientes volúmenes de sólidos conocidos por Uds. desde el Bachillerato. Socialice con sus compañeros el ejercicio. • Volumen del cilindro • Volumen del cono • Volumen de la esfera7. Calcular el volumen del sólido cuya región plana es la que se muestra en la figura. ¿El resultado del cálculo será igual, girando alrededor del eje x y luego girando alrededor del eje y? Elabore el diagrama del sólido y concluya.8. Dibujar el sólido cuando la región acotada por las gráficas de y = x 2 + 1, y = 0 x = 0 , y x = 1 al girar alrededor del eje y. Indique cuál método es más conveniente desde el punto de vista operativo para calcularlo.9. En ocasiones las integrales que se utilizan en el cálculo del volumen de un sólido y dependiendo de la rotación, esta puede ser de cuidado para su desarrollo. Veamos el siguiente ejercicio:
  4. 4. Calcular el volumen del sólido de revolución cuando la región plana limitada por la gráfica de la función y = ln x , el eje x desde x = 1 hasta x = 2 al girar alrededor del eje x. Ver figuraLONGITUD DE ARCOEjercicios del texto guíaPágina 530Números: 1 – 2 – 3 – 4 – 6 - 12 – 19 – 22 Además resolver los siguientes: • Importante y como motivación que el estudiante verifique que la longitud de una circunferencia de radio r es: L = 2π r (ver figura 1) • Calcular la longitud del arco en rojo correspondiente a la figura 2INTEGRALES IMPROPIAS ∞ex π1. Evaluar ∫−∞ 1 + e 2 x dx Respuesta: 2 1 1 32. Evaluar ∫ 3 dx Respuesta: 0 x 2 ∞ −x3. Evaluar ∫ 0 x 2e dx Respuesta: 2 ∞ 1 π4. Evaluar ∫0 e + e−x x dx Respuesta: 45. Encontrar el área de la región comprendida por y ≤ e − x ; y ≥ 0, x ≥ 0 Ayuda: trace la grafica de la función y = e − x y forme la integral impropia. Respuesta: 1 ∞ 16. Determine si la integral ∫ dx es convergente o divergente Rta: divergente 1 x
  5. 5. 7. Explique por qué cada una de las siguientes integrales es impropia. π 2 c) ∫ ln( x − 1) dx a) ∫ 2 0 sec x dx 1 2 x b) ∫ 0 x − 5x + 6 2 dx −y ∞ 8. Determine si la integral ∫ 4 e 2 dy es convergente o divergente ∞ x2 9. Determine si la integral ∫ xe − dx es convergente o divergente −∞ ∞ 110. Determine si la integral ∫ x x2 − 4 2 dx es convergente o divergente11. Demostrar que el área de la región R es 2 3 El ejercicio sirve para evaluar la integral impropia. MOMENTOS Y CENTROS DE MASA Ejercicios del texto guía Página 548 Números: 21 – 22 - 23 – 24 – 25 – 26 – 29 – 32 ____________________________________________________________________

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