Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Calculus of variation ตอนที่ 1

บทความทางคณิตศาสตร์

  • Login to see the comments

Calculus of variation ตอนที่ 1

  1. 1. ในบทความชุ ดนี้ ผู เขี ย นมีค วามตั้งใจแนะนําทา นผู อา นใหรู จักอีกแขนงหนึ่งของแคลคูลัส ที่เรี ย กว า“ แคลคูลัสของการแปรผัน (Calculus of Variations) ” โดยนําเสนอเปนตอนๆ มีทั้งหมด 3 ตอน แคลคูลัสของการแปรผัน อาศัย ความรูท างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ (Differential Calculus) และแคลคู ลัสเชิงปริพั นธ (IntegralCalculus) ซึ่งผูอานควรมีค วามรูแคลคูลัส พื้นฐานในเรื่อง การหาอนุพัน ธยอย (partial derivative) และเทคนิคการหาปริพันธ (technique of integration) มากอนบทนํา ประวัติศาสตรแคลคูลัสของการแปรผัน เริ่มตนมาจากปญหาของ Johann Bernoulli ในป ค.ศ.1696 ซึ่งทาทายผูคนในวงการคณิตศาสตร โดยเฉพาะอยางยิ่งสองพี่นองตระกูล Bernoulli คือ James Bernoulli (ค.ศ.1654-1705) และ John Bernoulli (ค.ศ.1667-1748) ในการแกปญหาการหารูปรางของเสนลวดที่วางอยูบนระนาบดิ่งที่ทําใหลู กปด เมื่อถูกปลอยจากจุด หยุดนิ่งแลวไถลลงมาตามเสนลวดโดยแรงโนมถวงในเวลาสั้นที่สุด ปญหานี้มีความสํา คัญกับแคลคูลัส ของการแปรผันเนื่องจาก James Bernoulli ไดตีพิมพผลงานในป ค.ศ.1697 และ ค.ศ.1701 ซึ่งเปนจุดเริ่มตนให Euler (ค.ศ.1707-1783) ผูเปนลูกศิษยของ Johann Bernoulli ไดศึกษางานของ Johannและ James Bernoulli สามารถแกป ญ หานี้ ไ ด สํ า เร็ จ นอกจากนั้ น แล ว Euler ยั ง พั ฒ นาวิ ธีก ารทั่ ว ไป(generalization) ในการแกปญหาการแปรผันอื่นๆ อีก ณ วันนี้ แคลคูลัสของการแปรผันไมเพียงใชเปนเครื่องมือสําหรั บกลศาสตรเ ชิงวิเคราะห (Analytical Mechanics) เทานั้น หากยังมีการนําแคลคูลัส ของการแปรผัน ไปประยุกตใชกับสาขาอื่นๆ ทางคณิตศาสตร ฟสิกส และวิศวกรรมศาสตร เชน ปญหา Sturm–Liouville ในสมการเชิงอนุพันธ ทฤษฎีการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control theory) วิธีการของ Rayleigh–Ritz และวิธีไฟไนต อิลลิเมนต (finite elements method) ในการหาผลเฉลยโดยประมาณของปญ หาค าขอบเขต (boundaryvalued problems) เปนตน ในวิ ชาแคลคูลัส เชิ งอนุพั นธ (differential calculus) เราทราบวาหนึ่ง ในปญหาของการนํา แคลคู ลัส มาประยุ กตใชคือ ปญหาคาสุ ดขี ด (extremal problems) ซึ่ งเปนการหาคา สูงสุด (maximum value) หรือ คาต่ําสุด(minimum value) ของฟงกชั่น y  f (x) ที่กําหนดมาให โดยพิจารณาจากจุดวิกฤต (critical points) x * ซึ่งทําให f ( x*)  0 เราเรียก x วาตัวแปรอิสระ (independent variable) ของฟงกชั่น y ซึ่งอาจมีไดมากกวา 1 ตัวแปรอิสระ (multivariables) และในบางปญหาอาจมีเงื่อนไขบังคับ (constraint) เขามาเกี่ยวของดวย
  2. 2. แคลคู ลัสของการแปรผัน (calculus of variations หรือ variational calculus) หรือ หลักการแปรผัน(variational principles) เปนอีกแขนงหนึ่งของแคลคูลัส ที่ศึกษาเกี่ยวกับปญหาคาสุดขีดของสิ่งที่เรียกวา ฟงกชั่นนัล (functional) กลาวคือ ฟงกชั่นนัลเปนรูป แบบของปริพัน ธที่มีตัว ถูกปริพั นธ (integrand) เปน ฟงกชั่น ในทํานองเดี ยวกัน ฟ งก ชั่นนั ลอาจประกอบดวยฟงก ชั่น มากกวา 1 ฟงก ชั่น เชน f ( x) , f x , g ( x) , g x , ...เปนตน ประเภทของฟงกชั่น การสงของฟงกชั่น การสงของฟงกชั่นนัล ฟงกชั่นของหนึ่งตัวแปร x  f (x)   f ( x)  I [ f ( x)]   ฟงกชั่นของหลายตัวแปร x1 ,...,xn  g(x1 ,...,xn )   f ( x ),..., g ( x )  I [ f ( x ),..., g ( x )]   : ตารางแสดงการเปรียบเทียบระหวางการสงของฟงกชั่นกับฟงกชั่นนัล แคลคูลัสของการแปรผันสนใจหารูปแบบของฟงกชั่นตอเนื่อง y ที่ทําใหคาปริพันธของฟงกชั่นนัลเป นคาสุ ดขี ด ตัวอยา งเชน การหารู ปรางของเสนโคง (ฟ งกชั่น y ) ที่เชื่อมระหวา งจุดสองจุดซึ่งทําใหปริพัน ธของฟงกชั่ นนั ล (แทนความยาวเส นโคง) มีคาต่ํ าที่ สุด ปญ หาที่กํา หนดความยาวเส นรอบรูป คงตัว (isoperimetricproblems) มาให รูป โค งปดชนิดใดจะมีพื้นที่มากที่สุด จนถึงการแกปญหาทางกลศาสตร ซึ่งนําไปสูกลศาสตรรูปแบบใหม ที่เรีย กวา กลศาสตรของลากรอนจ (Lagrangian mechanincs) โดยลากรอนจไ ดใชหลักแคลคูลั สของการแปรผัน มาสรางสมการการเคลื่อนที่ เรียกวา สมการการเคลื่อนที่ของลากรอนจ (Lagrange’s equationof motion) ซึ่งเราจะไดนํามาอธิบายกันตอไป เพื่อทําความเขาใจหลักการแปรผันดังกลาว เริ่มตนเรามาศึกษาปญหาการหารูปรางของเสนโคง ที่เชื่อมตอระหวางจุดสองจุด คือ x1 , y1  และ x2 , y 2  ซึ่งทําใหเสนโคงมีความยาวสั้นที่สุด สําหรับกรณีนี้ เราทราบในเบื้ องต นแลว วา ฟงกชั่ นที่ทํา ให ค าปริ พันธ ซึ่ งแทนความยาวของเส นโค งมี ค าต่ํา ที่สุ ด ก็ คือ สมการเส นตรง(linear equation) นั่นเอง แตการแสดงใหเห็นวา ขอสมมติฐานดังกลาวนั้นเปนจริง ตองอาศัยความรูแคลคูลัสของการแปรผัน เนื่อ งจากเสนโคงที่ เชื่อ มระหวางจุดสองจุ ด ที่เปนไปไดมีเ ปนอนัน ตเสน แตมีเ พียงเสนตรงเทานั้นเปนเสนที่สั้นที่สุด ดังรูปที่ 1
  3. 3. y ( x,  )  y * ( x)   ( x) y (x2,y2) y * ( x) (x1,y1)  (x) x รูปที่ 1 : เสนโคงใดๆ ที่เชื่อมตอระหวางจุดสองจุดบนระนาบ XY พิจารณาเสนโคงที่เปนไปไดทั้งหมด ซึ่งสามารถเขียนไดในรูปของ y ( x,  )  y * ( x )   ( x ) (1)โดยที่ y * ( x)แทน ฟงกชั่ นสุดขีด (extremum function) หรือ ฟงก ชั่น หยุด นิ่ง (stationary function) เทอม (x) แสดงถึง ปริ มาณการแปรผัน (variation) ของเสนโคงจาก เสน สุดขี ด (extremal หรือ stationary curve)ที่ ตํ า แหน ง x ใดๆ ค า คงที่  เป น พารามิ เ ตอร ใ ดๆ ไม เ จาะจง และ  (x) เรี ย กว า ฟ ง ก ชั่ น ที่ ย อมค า ได(admissible function) ซึ่งตอเนื่องภายในชวง [ x1 , x 2 ] และคาของ  (x) ที่จุดปลายทั้งสองจะขึ้นอยูกับเงื่อนไขขอบเขตของแตละปญหา โดยพิจารณาไดจากฟงกชั่น y(x)หมายเหตุ 1. สมการที่ (1) ไม เพี ย งแต ส ามารถใช กับ ป ญหาข างตน เทา นั้ น แต เ ปน รู ป แบบทั่ วไปสํ า หรั บ การแกปญหาอื่นๆ ที่เปนฟงกชั่นของ 1 ตัวแปร 2. จากรูปที่ 1 เราทราบแลววาเสนสุดขี ด หรือกราฟ y * ( x) ในปญหาขางตนเปนสมการเสนตรง แตสําหรับปญหาอื่นๆ เสนสุดขีดไมจําเปนที่จะตองเปนเสนตรงเสมอไป ดังที่แสดงในรูปที่ 2 เปนคาสุดขีดฟงกชั่นทั่วไปที่มี 1 ตัวแปร
  4. 4. y y2 y * ( x) y1 y ( x,  )  y * ( x)   ( x)  (x) x x1 x2 รูปที่ 2 : รูปแบบทั่วไปของฟงกชั่น 1 ตัวแปรที่มีการแปรผัน ในกรณีของเสนโคงจากรูปที่ 1 จะเห็นวาปลายสุดทั้งสองดาน ซึ่งกําหนดใหเสนโคงตางๆ ถูกตรึงไวดวยคา y ( x1 ,  )  y1 และ y ( x2 ,  )  y 2 สําหรับทุกคา    (หรือทํา ให y * ( x) และ y ( x,  ) ทุกเสนทับกันที่จุดปลาย) เราเรียกรูปแบบของเงื่อนไขขอบเขตดังกลาว ที่ กําหนดคาแนนอน (specified) มาใหนี้วา เงื่อนไขขอบเขตทางเรขาคณิต (geometric boundary conditions) หรือ เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่ห นึ่ง (boundaryconditions of the first kind) เปนผลใหการแปรผันของเสนโคงที่จุดปลายมีคา  ( x1 )   ( x 2 )  0 (2)ความยาวทั้งหมดของเสนโคง พิจารณาจากการรวมสวนโคงยอย ๆ (ดูรูปที่ 3) ตั้งแต x1 จนถึง x2 S L y x รูปที่ 3 : สวนของความยาวเสนโคง ซึ่งแนบกับดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
  5. 5. จากทฤษฎีบทของพิธากอรัส (L) 2  (x) 2  (y ) 2เมื่อพิจารณาเปนปริมาณเชิงอนุพันธ (dL) 2  (dx) 2  (dy ) 2  (dS ) 2 2  dy จะได dS  1    dx  dx นั่นคือ ความยาวทั้งหมดสวนโคง กําหนดโดย x2 2  dy  S   1    dx (3) x1  dx สมการที่ (3) เรียกวา “ ปริพันธของฟงกชั่นนัล (integral functional ) ” ซึ่งแทนความยาวของเสนโคงจากจุดx1 , y1  ถึง x2 , y 2  ในตําราสวนใหญจะนิยมเขียนปริพันธของฟงกชั่นนัล แทนดวย I [ y] กรณีทั่วไปปริพันธของฟงกชั่นนัลที่ประกอบดวย 1 ฟงกชั่นและ 1 ตัวแปรอิสระอยูในรูปแบบ F  x , y , y  dx (4) x2 I [ y]   x1เราตองการหาฟงกชั่นซึ่งแทนเสนโคงเสนโคง ที่ทําใหปริพันธของฟงกชั่นนัลมีคาต่ําที่สุดดังนั้น ฟงกชั่นดังกลาวจะตองสอดคลองกับเงื่อนไข ดังตอไปนี้ 1. S   จะเปนปริพันธของฟงกชั่นนัลที่ทําใหเสนโคงมีคาสั้นที่สุด เมื่อ   0 d  2. S   จะใหคาสุดขีด (หรือคาต่ําที่สุด) เมื่อ  d S  y *    0   0แทนคาสมการ (1) ใน (3) จะได dS d  1   y  x,    dx  1   y *  x    x   dx x2 x2   2 2  d d x1 x1  x2   x  y *  x     x   x2   x  y x,     x1 1   y *  x     x   2 dx   x1 1   y x,    2 dxจากเงื่อนไขขางตน S   จะเปนคาสุดขีด ก็ตอเมื่อ   0 dS y x    x  dx  0 x2 d  0  x1 1   y x   2โดยการหาปริพันธทีละสวน (integration by parts) y x  d  y เลือก u   du    dx และ dv    x  dx  v   x  1   y  x   dx  1   y 2  2  
  6. 6. =0 x2 y  x  y  x  d  y  x   x2 x2จะได    x  dx   x   1 dx  1   y x  2    x  dx 1   y  x   1   y  x     2 2 x1 x1 x     =0 y  d  y  x   x2 y1  2  x2     x1   1 dx  1   y x  2    x  dx  1   y 2 2  1   y1   2      x  ดังนั้น ปริพันธขางตนจึงเขียนไดวา d  y  x   x2 1 dx  1   y x  2    x  dx  0 (5)   x  เราสามารถสรุปผลลัพธของการหาปริพันธ ในสมการ (5) ไดจากบทตั้งที่จะกลาวถึงในหัวขอถัดไปเงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีดของฟงกชั่นนัล ( Necessary Conditions for an Extremum )บทตั้ง 1 ( Fundamental Lemma of the Calculus of Variations ) กําหนดให Gx  เปนฟงกชั่นตอเนื่องในชวง [ x1 , x 2 ] ซึ่งทําใหคาปริพันธ x2  Gx  x  dx x1  0สํ า หรั บ ทุ ก ฟ งก ชั่ น ราบเรี ย บ (smooth function)  x  ที่ ส อดคล องกับ เงื่อ นไขขอบเขต  x1   0 และ x 2   0 แลวจะไดวา G  x   0 สําหรับทุกคา x  [ x1 , x 2 ] □การพิ สู จ น โดยอาศั ย การพิ สู จ น แ บบข อ ขั ด แย ง (contradiction) สมมติ ใ ห G x   0 สํ า หรั บ บางค าx0  [ x1 , x 2 ] เนื่อ งจากสมมติฐานที่ว า G  x  เป นฟง กชั่น ตอเนื่อง ในช วง [ x1 , x 2 ] ดั งนั้นจึ งมีชว งยอย [u , v]ของ [ x1 , x2 ] กําหนดฟงกชั่น  x  0 , x1  x  u    x    x  u 2  x  v 2 , uxv 0 , v  x  x2 เปนฟงกชั่นตอเนื่องในชวง [ x1 , x 2 ] และสอดคลองกับเงื่อนไขที่จุดปลาย  x1    x2   0 x2 vพิจารณา  Gx  x  dx   x  u  x  v  dx  0 จึงเกิดขอขัดแยง ดังนั้น G x   0 2 2 x1 uสําหรับทุกคา x  [ x1 , x2 ] ในอีกกรณีคือ G x   0 สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกัน ■
  7. 7. ตัวอยาง ระยะทางสั้นที่สุดระหวางจุดคงที่สองจุด d  y  x  วิธีทํา อาศัยบทตั้ง 1 และจากสมการ (4) จะไดวา G x      0 dx  1   y  x  2   นั่นคือ y  x  = C1   y x 2  C12  y  x   C12  C2 1   y x   1   y  x   1  C12 2 2โดยการหาปริพันธ จะได yx   C2 x  C3 เมื่อ C3 เปนคาคงที่ของการหาปริพันธ ดังนั้น ฟงกชั่นที่เชื่อมระหวางจุดคงที่สองจุด ซึ่งทําใหความยาวสวนโคงมีคาต่ําที่สุดคือ สมการเสนตรงนั่นเอง ‡ เมื่อพิจารณาฟงกชั่นนัลในรูปแบบทั่วไป จากสมการ (4) กําหนดให ปริพันธของฟงกชั่นนัลสําหรับ F ที่มีหนึ่งตัวแปรอิสระอยูในรูป I    F  x, y x,  , y  x,   dx x2  x1 F  x, y *  x     x , y *  x    x  dx x2  x1 x2 dI d d  d  F x, y * x    x , y * x    x  dx x1 x2     F x, y * x    x , y * x    x  dx x1  F x F y   x2 F y    x   y   y    dx x1  x y  y เนื่องจาก  0 ,   y * ( x)   ( x)   x  และ   y * ( x)   ( x)   x       dI x2  F F เมื่อนํามาแทนคา จะได d    y  x   y   x  dx x1 พิจารณาปริพันธในพจนที่ 2 โดยเทคนิคการหาปริพันธทีละสวน =0 x2 F F x 2 d  F  x 2 d  F   x  dx  x   y      x1 dx  y    x  dx  x  dx x2 x1 y      y    x1 dx         dv  x1    v u uv du dI x2  F d  F  จะไดวา d  0    y  x   dx  y   x  dx = 0 x1      
  8. 8. x2  F d  F หรือ   y  dx  y   x  dx x1      = 0ดังนั้น จากบทตั้ง 1 จึงสรุปวาเงื่อนไขจําเปน สําหรับคาสุดขีดของฟงกชั่นที่มีหนึ่งตัวแปรอิสระ คือ F d  F     = 0 (6) y dx  y    เราเรียกเงื่อนไขนี้วา “ สมการออยเลอร-ลากรอนจ ( Euler-Lagrange equation ) ”หมายเหตุ 1. สมการออยเลอร-ลากรอนจเปนผลมาจาก เงื่อนไขจําเปน (necessary condition) ที่ทําใหปริพันธของฟงกชั่นนัลมีคาต่ําสุดแตไมใช เงื่อนไขเพียงพอ (sufficient condition) สําหรับคาสุดขีดของฟงกชั่น y กลาวคือคาสุดขีดของฟงกชั่น y หรือ y * อาจสอดคลองกับสมการอื่นที่ไมไดมาจากสมการออยเลอร-ลากรอนจก็ได 2. ผลเฉลยของสมการออยเลอร-ลากรอนจ จะสอดคลองกับ เงื่อนไขขอบเขต yx1   y1 และ y  x 2   y 2 ซึ่ง อาจไมทํ าใหเ กิด คา สู งสุด หรือ ต่ํา สุด สัม พัท ธ ก็ไ ด เนื่อ งจาก เราพิจ ารณาเฉพาะค าอนุพั นธอันดับหนึ่ง dI d  0 โดยที่   0 เทานั้น ซึ่งอาจใหคาสุดขีด (extremum) ที่เปน จุดเปลี่ยนเวา (inflexionpoint) ก็ได 3. เนื่องจาก F y  อาจปรากฏตัวแปร x อยางชัดแจง (explicit) แตในฟงกชั่น y และ y  จะมีตัวแปร x แฝงอยู (implicit) เสมอ จากสมการออยเลอร-ลากรอนจ เมื่อพิจารณาอนุพันธ รวมเทียบกับ x มีคาเทากับ d  F    F    F    F   y    x  y    y  y   y   y   y   y   dx               แทนคาในสมการ (6) จะได สมการที่สมมูลกันกับสมการออยเลอร-ลากรอนจ ในรูปแบบดังนี้ F   F    F    F     y    y  y   y   y   y   y   0 y x           หรือ Fy  Fyx  Fyy y   Fyy y   0 (7)นั่นคือ สมการออยเลอร-ลากรอนจ เปนสมการเชิงอนุพันธยอยเชิงเสนอันดับสองในตัวแปร y สํา หรั บฉบั บนี้ เราได แสดงใหเ ห็นวาค าสุ ดขี ดของปริพั นธของฟ งก ชั่นนัล สามารถหาไดจ ากสมการออยเลอร-ลากรอนจ ซึ่งไดแสดงตัวอยาง กรณีของเสนที่เชื่อมตอระหวางจุดสองจุด โดยมีความยาวสั้นที่สุดนั้นเปน เส นตรง ในฉบับหนาซึ่งเปนตอนที่ 2 เราจะไดกลาวถึง กรณีเฉพาะของสมการออยเลอร -ลากรอนจ และ
  9. 9. แสดงตัวอยางของการหาคาฟงกชั่นสุดขีด โดยอาศัย ผลลัพธของสิ่งที่เรียกวา “ คาปริพันธแรก (first integral) ”รวมถึงปญหาที่มีความสําคัญในอดีต เชน The Brachistochrone Problem ซึ่งเปนการหารูปรางของเสนลวดที่ทําใหลูกปดสามารถเคลื่อนที่ลงมาตามเสนลวดนั้นภายในเวลานอยที่สุด แลวคอยพบกันในฉบับหนานะครับเอกสารอางอิง1. Daviid J. Logan , Applied Mathematics a Contemporary Approach., John Wiley, 1987.2. Donald A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers., 2003.3. Leonid P. Lebedev & Michael J. Cloud, The Calculus of Variations and Functional Analysis withOptimal Control and Applications in Mechanics., volume 12 in Series on stability, vibration andcontrol of systems, World Scientific Publishing, Singapore, 2003, ISBN 981-238-581-9.4. Peter V. O Neil, Advanced Engineering Mathematics (3rd editions)., Thomson InformationPublishing, 1991.5. R. Weinstock, Calculus of Variations., Dover Publications, New York, 1974.6. C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics (6theditions)., McGraw-Hill, Inc.,New York.ขอมูลผูเขียน : นายอิทธิเดช มูลมั่งมี นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกลคณะวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรีE-mail: profittidej@gmail.comชื่อบัญชี นายอิทธิเดช มูลมั่งมี เลขที่บัญชี 029-0-06107-5 ประเภทออมทรัพย ธนาคารกรุงไทย สาขาถนนสุขสวัสดิ์ ที่อยู 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม เขตบึงกุมกทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103

×