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Área de superfícies planas

      Define-se como área de superfícies planas a um número racional absoluto
      de tal forma que:
                                   1 - Há superfícies equivalentes está
                                   associado a áreas iguais;
       2 - A soma de superfícies está associada a uma
       área que é igual à soma das áreas das
       superfícies parcela;
                                   3 – Uma superfície está contida ou é igual à
                                   outra se, e somente se a área desta superfície
                                   for menor ou igual a da superfície dada;




      Em todo meu trajeto como estudante do ensino fundamental e médio me
      fiz esta pergunta: “Por que a área de um retângulo é igual ao produto da
      base pela altura?”
      Pois, meus professores somente apresentado a formula e não explicaram
      como ela foi obtida. A fórmula da área de um retângulo é consequência
      direta dos teoremas que apresentaremos abaixo:


                                    A razão entre duas superfícies retangulares
        TEOREMA I:                  cujas bases (ou alturas) são congruentes é
                                    igual à razão entre as alturas (ou bases).


                                    Demonstração:

                                    Sejam R1 e R2 duas superfícies retangulares
                                    de tal forma que:




                                    Sobrepondo R1 e R2 pelo transporte de
                                    segmento e pelo transporte de ângulos que:




prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
A razão entre duas superfícies retangulares
        TEOREMA II:             quaisquer é igual ao produto da razão entre as
                                alturas pela razão entre as bases.


                                Demonstração:

                                Sejam R1, R2 e R superfícies retangulares de tal
                                forma que R é uma superfície auxiliar. Além
                                disso, temos:




                                Do teorema anterior temos:




      Exemplos:

      Everton é um entregador e está com um pequeno problema. O fundo do
      furgão de seu caminhão têm a forma de um retângulo cuja altura mede 3
      m e a largura 2 m perfazendo uma área de 6 m². Sabendo que Everton
      deve colocar no interior do caminhão uma caixa cuja área (que ficará
      encostada no fundo do furgão) é de 3 m² e que a altura desta caixa é de
      1,5 m, então qual deve ser o tamanho da base desta caixa?

prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
Discutindo a solução:

      Para obtermos a solução do problema deveremos averiguar inicialmente:

         o   Quais são as informações que o problema nos fornece?

                    Everton está com problemas;
                    O fundo do furgão de seu caminhão têm a forma de um
                     retângulo cuja altura mede 3 m e a largura 2 m perfazendo
                     uma área de 6 m²;
                     A caixa que Everton colocar no interior do caminhão uma
                     caixa cuja área (que ficará encostada no fundo do furgão) é
                     de 3 m² ;
                    A altura desta caixa é de 1,5 m;

         o   O que o problema nos pergunta?

                    Qual deve ser o tamanho da base desta caixa

      Solução:

      Vamos chamar de R1 a área do retângulo formado no fundo do furgão e
      vamos chamar de R2 a área do retângulo da caixa que ficará sobreposta
      ao retângulo do furgão.
      Além disso, vamos chamar de h1 e b1 a altura e a base do retângulo do
      furgão e de h2 e b2 da caixa da caixa que ficará sobreposta ao retângulo
      do furgão.
      Donde temos:




      Do teorema II temos:




      Logo, a base da caixa deverá ser de 2 m.




prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
Seja um retângulo a superfície em estudo, então
    área de um retângulo             a área será igual ao produto dos lados não
                                     congruente.


    A                         B      Demonstração:

                                     Seja ABCD um retângulo (           ) de tal forma
                                     que:


        Q
    C                         D
                                     Suponhamos que existe uma superfície
                                     retangular de tal forma que suas medidas sejam
                                     unitárias, ou seja, suponhamos que exista um
                                     quadrado (        ) cuja medida dos lados é igual
                                     a uma unidade de medida de tal forma que esta
                                     superfície esteja contida um número A de vezes
                                     na região retangular, donde temos:




                                     Pelo teorema anterior temos:



                                     De (1) e (2) temos:
    Obs.: A é um número
    racional absoluto associado
    à superfície retangular, cuja
    unidade de medida de área
    é o quadrado unitário.




                                    Uma superfície plana triangular é equivalente a
    área de um triângulo            uma superfície retangular cuja altura deste
                                    retângulo é a metade da altura da superfície
                                    triangular.

                C
                                    Demonstração:

    P   N                M Q        Seja ABC um triângulo qualquer. Seja      a altura
                                    referente ao vértice C do     .
                                    Além disso, seja       a base média do triângulo,
                                    donde temos:
    A           D            B




prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
Os ângulos                  são opostos pelo
                          vértice. Como M é ponto médio de      , então
                                    (3).
                          De (1), (2) e (3), pelo caso ALA, temos que
                                         (4).




                          Os ângulos                  são opostos pelo
                          vértice. Como N é ponto médio de      , então
                                   (7).
                          De (5), (6) e (7), pelo caso ALA, temos que
                                        (8).

                          Donde    temos    que   o   quadrilátero   APQB     é
                          retângulo, pois                 e            (de (8) e
                          (4)). Logo:



                          Além disso, temos que               (11) e
                          (12), ou seja, temos que:



                          De (11) e (12) em (13) temos:




                          De (14) em (9) temos:




                         Seja um losango a superfície em estudo, então a
    área de um losango   área será igual à metade do produto das
                         diagonais.


                         Demonstração:

                         Seja ABCD um losango de tal forma que pelas
                         propriedades do losango temos:

prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
A


                                Além disso, temos:

    B           O       C



                D

    .




                                Seja um trapézio a superfície em estudo, então a
    área de um trapézio         área será igual à metade do produto da altura pela
                                soma das bases.


                                Demonstração:

                                Seja ABDE um trapézio de tal forma que:
        A           B   C


                                E, temos:

    D       F               E

                                Além disso, temos:




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áRea de superfícies planas

  • 1. Área de superfícies planas Define-se como área de superfícies planas a um número racional absoluto de tal forma que: 1 - Há superfícies equivalentes está associado a áreas iguais; 2 - A soma de superfícies está associada a uma área que é igual à soma das áreas das superfícies parcela; 3 – Uma superfície está contida ou é igual à outra se, e somente se a área desta superfície for menor ou igual a da superfície dada; Em todo meu trajeto como estudante do ensino fundamental e médio me fiz esta pergunta: “Por que a área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura?” Pois, meus professores somente apresentado a formula e não explicaram como ela foi obtida. A fórmula da área de um retângulo é consequência direta dos teoremas que apresentaremos abaixo: A razão entre duas superfícies retangulares TEOREMA I: cujas bases (ou alturas) são congruentes é igual à razão entre as alturas (ou bases). Demonstração: Sejam R1 e R2 duas superfícies retangulares de tal forma que: Sobrepondo R1 e R2 pelo transporte de segmento e pelo transporte de ângulos que: prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
  • 2. A razão entre duas superfícies retangulares TEOREMA II: quaisquer é igual ao produto da razão entre as alturas pela razão entre as bases. Demonstração: Sejam R1, R2 e R superfícies retangulares de tal forma que R é uma superfície auxiliar. Além disso, temos: Do teorema anterior temos: Exemplos: Everton é um entregador e está com um pequeno problema. O fundo do furgão de seu caminhão têm a forma de um retângulo cuja altura mede 3 m e a largura 2 m perfazendo uma área de 6 m². Sabendo que Everton deve colocar no interior do caminhão uma caixa cuja área (que ficará encostada no fundo do furgão) é de 3 m² e que a altura desta caixa é de 1,5 m, então qual deve ser o tamanho da base desta caixa? prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
  • 3. Discutindo a solução: Para obtermos a solução do problema deveremos averiguar inicialmente: o Quais são as informações que o problema nos fornece?  Everton está com problemas;  O fundo do furgão de seu caminhão têm a forma de um retângulo cuja altura mede 3 m e a largura 2 m perfazendo uma área de 6 m²;  A caixa que Everton colocar no interior do caminhão uma caixa cuja área (que ficará encostada no fundo do furgão) é de 3 m² ;  A altura desta caixa é de 1,5 m; o O que o problema nos pergunta?  Qual deve ser o tamanho da base desta caixa Solução: Vamos chamar de R1 a área do retângulo formado no fundo do furgão e vamos chamar de R2 a área do retângulo da caixa que ficará sobreposta ao retângulo do furgão. Além disso, vamos chamar de h1 e b1 a altura e a base do retângulo do furgão e de h2 e b2 da caixa da caixa que ficará sobreposta ao retângulo do furgão. Donde temos: Do teorema II temos: Logo, a base da caixa deverá ser de 2 m. prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
  • 4. Seja um retângulo a superfície em estudo, então área de um retângulo a área será igual ao produto dos lados não congruente. A B Demonstração: Seja ABCD um retângulo ( ) de tal forma que: Q C D Suponhamos que existe uma superfície retangular de tal forma que suas medidas sejam unitárias, ou seja, suponhamos que exista um quadrado ( ) cuja medida dos lados é igual a uma unidade de medida de tal forma que esta superfície esteja contida um número A de vezes na região retangular, donde temos: Pelo teorema anterior temos: De (1) e (2) temos: Obs.: A é um número racional absoluto associado à superfície retangular, cuja unidade de medida de área é o quadrado unitário. Uma superfície plana triangular é equivalente a área de um triângulo uma superfície retangular cuja altura deste retângulo é a metade da altura da superfície triangular. C Demonstração: P N M Q Seja ABC um triângulo qualquer. Seja a altura referente ao vértice C do . Além disso, seja a base média do triângulo, donde temos: A D B prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
  • 5. Os ângulos são opostos pelo vértice. Como M é ponto médio de , então (3). De (1), (2) e (3), pelo caso ALA, temos que (4). Os ângulos são opostos pelo vértice. Como N é ponto médio de , então (7). De (5), (6) e (7), pelo caso ALA, temos que (8). Donde temos que o quadrilátero APQB é retângulo, pois e (de (8) e (4)). Logo: Além disso, temos que (11) e (12), ou seja, temos que: De (11) e (12) em (13) temos: De (14) em (9) temos: Seja um losango a superfície em estudo, então a área de um losango área será igual à metade do produto das diagonais. Demonstração: Seja ABCD um losango de tal forma que pelas propriedades do losango temos: prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática
  • 6. A Além disso, temos: B O C D . Seja um trapézio a superfície em estudo, então a área de um trapézio área será igual à metade do produto da altura pela soma das bases. Demonstração: Seja ABDE um trapézio de tal forma que: A B C E, temos: D F E Além disso, temos: prefedenilson@hotmail.com ▬ Matemática