Precalculo

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Precalculo

  1. 1. Cap. 1.- Los números reales ( ℝ ) El primer paso en la creación de los números ℝ fue la invención de los números enteros positivos ( ℤ⁺ ) 1, 2, 3….. ( también llamados ℕ) , originados por la necesidad de contar objetos. Un conjunto numérico resulta inadecuado si al realizar ciertas operaciones el resultado no es un elemento de tal conjunto numérico. Las operaciones de (-, /) en general no se pueden aplicar a los ℤ⁺ . De ahí que surgió la necesidad de crear los enteros negativos ( ℤ⁻) . El conjunto de los números enteros ( ℤ ) esta formado por los ℤ⁺ ∪ ℤ⁻ ∪ {0} .
  2. 2. <ul><li>Un número racional ( ℚ ) es aquel número que se puede expresar como el cociente de dos números ℤ , siempre que el divisor sea diferente de cero. Como cualquier entero n se puede expresar como un cociente, esto es n = n /1, entonces el conjunto de los ℚ contiene a los ℤ . </li></ul><ul><li>Otros números son los irracionales 𝕀 , y son aquellos números que no se pueden representar como el cociente de dos ℤ , por ejemplo: el número л , el número ℯ, raíz de 2, etc. </li></ul><ul><li>Los ℚ ∪ 𝕀 constituyen el conjunto de los ℝ . </li></ul>
  3. 3. 1.2 Representación geométrica de los ℝ <ul><li>Interpretación de los números ℝ como distancias . Para ello se usarán la línea recta indefinida LL` (recta numérica), un punto O fijo sobre ella, y la unidad de distancia U. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Los números ℚ se encuentran colocados en huecos que hay entre los ℤ . Sin embargo aún quedan huecos vacíos así que éstos son ocupados por los 𝕀 . </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Los ℝ comúnmente se representan con letras minúsculas. </li></ul><ul><li>Se define el conjunto de los ℝ como el conjunto de los números r que se pueden asociar con puntos P situados sobre una línea recta, de tal manera que cada punto P está a una distancia r del punto fijo O. Si P esta a la derecha de O, r es positivo; si P esta a la izquierda de O, r es negativo; si P coincide con O, r es cero. Por esta correspondencia biunívoca entre los número ℝ y los puntos de un eje, es usual referirse indistintamente a un número ℝ o a un punto. </li></ul><ul><li>Cero no es positivo ni negativo y únicamente separa a los números positivos de los negativos. </li></ul>
  5. 5. 1.3.1.- Propiedades básicas de los ℝ (axiomas) <ul><li>A1 Para todo a y b en ℝ , a+b Є R (propiedad de cerradura) </li></ul><ul><li>A2 Para todo a y b en ℝ , a+b = b+a (ley conmutativa) </li></ul><ul><li>A3 Para todo a, b y c en ℝ , (a+b) + c = a + (b+c ) (ley asociativa </li></ul><ul><li>A4 Hay un elemento y solo uno al que denotamos por “0”, tal que para todo a Є ℝ , a+0 = a = 0+a (existencia y unicidad del elemento neutro aditivo) </li></ul><ul><li>A5 Para cada a Є ℝ , hay un y solo un elemento, al que denotamos por “-a ”, tal que a+(-a) = 0 = a – a (existencia y unicidad del inverso aditivo) </li></ul><ul><li>M1 Para todo a y b en ℝ , ab Є R (ley de cerradura) </li></ul><ul><li>M2 Para todo a y b en ℝ , ab = ba (ley conmutativa) </li></ul><ul><li>M3 Para todo a, b y c en ℝ , (ab)c = a(bc) (ley asociativa) </li></ul>
  6. 6. <ul><li>M4 Hay un y solo un elemento, al que denotamos por “1”, diferente de cero, tal que para todo a en ℝ , a (1) = a = 1( a ) (existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo). </li></ul><ul><li>M5 Para cada a en ℝ , diferente de 0, hay un y solo un elemento, al que denotamos por a -1 tal que a ( a -1 ) = 1 = a -1 ( a ) (existencia y unicidad del inverso multiplicativo). </li></ul><ul><li>D Para todo a , b y c en ℝ , a ( b+c ) = ab + ac (ley distributiva) </li></ul><ul><li>O1 Para cualesquiera dos elementos a y b en ℝ , una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: a<b , a=b , b<a (ley de tricotomía) </li></ul><ul><li>02 Si a<b y b<c , entonces a<c (ley transitiva) </li></ul><ul><li>03 Si a<b entonces para todo c en ℝ , a+c < b+c </li></ul><ul><li>O4 Si a<b y 0<c , entonces ac < bc, Si a >b y c<0 => a c<bc </li></ul>
  7. 7. 1.3.2 Consecuencias <ul><li>Sean a, b, c y d números ℝ </li></ul><ul><li>a+b = a+c => b= c </li></ul><ul><li>a(0) = 0 </li></ul><ul><li>ab = ac y a≠0 => b=c </li></ul><ul><li>ab = 0 => a = 0 o bien b = 0 </li></ul><ul><li>Definimos: </li></ul><ul><li>1) a – b = a + (-b), 2) a/b = a (b)¯¹ con b ≠ 0 </li></ul><ul><li>3) 1/a = a¯¹ si a ≠ 0 </li></ul><ul><li>a – b = 0  a = b, a/b = 1  a = b con b ≠ 0 </li></ul>
  8. 8. <ul><li>-0 = 0, 1¯¹ = 1, -(-a) = a </li></ul><ul><li>(a¯¹)¯¹ = a con a ≠ 0 </li></ul><ul><li>-(a+b) = -a-b, (ab)¯¹ = a¯¹ b¯¹ </li></ul><ul><li>a(-b) = (-a)b = -(ab), (a-b)c = (ac) – (bc) </li></ul><ul><li>(-a)(-b) = ab a/b = c/d  ad = bc y bd≠0 </li></ul><ul><li>a/b ± c/d = [(ad) ± (bc)]/(bd) </li></ul><ul><li>(a/b) (c/d) = ac/bd, </li></ul><ul><li>a/(-b) = -(a/b) = (-a)/b, -a/-b = a/b </li></ul><ul><li>ab/ad = b/d </li></ul>
  9. 9. Leyes de los exponentes (algunas) <ul><li>Si n es ℕ se define: </li></ul><ul><li>a si n = 1 </li></ul><ul><li>aⁿ = { </li></ul><ul><li>aⁿ¯¹ a si n>1 </li></ul><ul><li>a° = 1 con a ≠ 0, a¯ⁿ = (a¯¹)ⁿ = (aⁿ)¯¹ = 1/aⁿ </li></ul><ul><li>ⁿ√ a = b => bⁿ = a (si n es par entonces a ≥ 0) </li></ul><ul><li>Si n es impar y bⁿ = a => ⁿ√a = b </li></ul><ul><li>ⁿ√ (a ͫ ) = a ͫ′ ⁿ si m/n ϵ ℚ </li></ul><ul><li>ⁿ√ (ab) = ⁿ√a ⁿ√b, ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b </li></ul><ul><li>(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ aⁿ a ͫ = aⁿ⁺ ͫ </li></ul><ul><li>(aⁿ) ͫ = (a ͫ ) ⁿ = a ⁿ ͫ aⁿ/a ͫ = a ⁿ ¯ ͫ </li></ul>
  10. 10. 1.3.3.- Factorización (productos notables) <ul><li>Por factorizar una expresión algebraica se entiende escribirla como un producto de varios términos. </li></ul><ul><li>Sacar factor común: ax ± bx = (a±b) x </li></ul><ul><li>Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b) </li></ul><ul><li>Factorizar un trinomio: x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) </li></ul><ul><li>Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a ± b)² </li></ul><ul><li>Cubo perfecto: a³± 3a² b ± 3ab² ± b³ = (a ± b)³ </li></ul><ul><li>aⁿ - bⁿ = (a-b)(aⁿ¯¹ b°+aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b²+….+a²bⁿ¯³+a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) </li></ul><ul><li>aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ¯¹ b°- aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b² -….+a²bⁿ¯³-a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) </li></ul><ul><li>(2a - 3b) ² - (c+d)²= [(2a -3b) + (c+d)] [(2a - 3b)-(c+d)]= (2a – 3b+c+d)(2a - 3b – c - d). </li></ul><ul><li>x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³ = (x²+y²)((x²)² (y²)⁰ - (x²)¹(y²)¹ + (x²)⁰(y²)²) = (x²+y²)(x⁴ - x²y² + y⁴). </li></ul>
  11. 11. Teorema del residuo <ul><li>Si P(x) es un polinomio de grado n y r es una raíz (es decir P(r)= 0) entonces P(x) = (x-r)Q(x) </li></ul><ul><li>Sea P(x) = x³-6x²+11x-6; sea x=1 una raiz; P(1)= 1³-(6)(1)²+(11)(1)-6=1-6+11-6=0, luego P(x) es divisible entre (x-1). </li></ul><ul><li>Haciendo la división </li></ul><ul><li>(X ³-6x²+11x-6)/(x-1) </li></ul><ul><li>obtenemos como resultado x²-5x+6 </li></ul><ul><li>Por lo tanto, el polinomio x³-6x²+11x-6 se puede factorizar como (x-1)(x²-5x+6), es decir </li></ul><ul><li>x³-6x²+11x-6 = (x-1)(x²-5x+6). </li></ul>
  12. 12. 1.4.- Orden de los números ℝ <ul><li>Cualquier expresión que contenga uno de los cuatro símbolos >, <, ≥, ≤ se llama desigualdad. </li></ul><ul><li>Un número a que pertenece a los ℝ es positivo si esta a la derecha del cero y negativo si esta a la izquierda, esto se denota así: a >0 o bien o< a y a <0 o bien 0> a , respectivamente. </li></ul><ul><li>a >0  -a < 0 </li></ul><ul><li>Si a >b y c<0 => a c<bc </li></ul><ul><li>Si a >b y c>d => a +c>b+d </li></ul><ul><li>Si a >b y b>c => a >c </li></ul><ul><li>Si a ≠0 => a ²>0 </li></ul><ul><li>a ² +1 > 0 para todo a en los ℝ </li></ul><ul><li>Si a < 0 => a ⁿ > 0 si n es par. </li></ul><ul><li>Si a < 0 => a ⁿ < 0 si n es impar. </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Si 0<a<b => 0<aⁿ<b ⁿ </li></ul><ul><li>aⁿ>bⁿ>0 si n es par </li></ul><ul><li>Si a<b<0 => { </li></ul><ul><li>aⁿ<bⁿ<0 si n es impar </li></ul><ul><li>Si 0<a<b => 0<ⁿ√a<ⁿ√b para n un ℕ </li></ul><ul><li>Si a<b<0 => ⁿ√a<ⁿ√b<0 si n Є ℕ impar </li></ul><ul><li>Si ab>0 y a>0 => b>0 </li></ul><ul><li>Si a>0 => a¯¹ >0, Si a<0 => a¯¹<0 </li></ul><ul><li>Si a>0 y b>0 => a/b>0 </li></ul><ul><li>m/n ≤ p/q <=> mq≤np </li></ul>
  14. 14. Conjuntos <ul><li>Un conjunto es una colección de objetos de cualquier tipo y a dichos objetos se les denomina elementos del conjunto. En nuestro caso todos los elementos serán ℝ . </li></ul><ul><li>Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C D,……etc., y a sus elementos por letras minúsculas a, b, c, d,…. etc. </li></ul><ul><li>x є A = x es elemento (pertenece a) de A </li></ul><ul><li>x ∉ A = x no es elemento (no pertenece a) de A </li></ul><ul><li>Un conjunto puede ser expresado por extensión A = {-1, 0, 1….}, por comprensión: A = {todos los x tales que x³ = x} que también se puede expresar simbólicamente A = {x |x³ = x} lo cual se lee A es el conjunto de los elementos x tales que x³ = x. </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Un conjunto no se modifica si se cambia el orden de sus elementos. </li></ul><ul><li>Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota con el símbolo Ø. </li></ul><ul><li>Si A y B son dos conjuntos, y sucede que todo elemento de A es también elemento de B, se dice que A es un subconjunto de B o bien que A está contenido en B y se escribe A ⊂ B </li></ul><ul><li>Cuando A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B </li></ul><ul><li>El conjunto A es un subconjunto propio de B si A ⊂ B y además B ⊄ A </li></ul><ul><li>Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos y se escribe A = B </li></ul>
  16. 16. Operaciones con conjuntos <ul><li>La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos. Esto es A ⋃ B = { x | x є A o bien x є B} </li></ul><ul><li>La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez. Esto es A ⋂ B = { x | x є A y x є B} </li></ul><ul><li>La diferencia de dos conjuntos A menos B se define como el conjunto de todos los elementos que están en A y que no están en B. </li></ul><ul><li>Esto es A – B = { x | x є A y x ∉ B} </li></ul><ul><li>Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, esto es A ⋂ B = Ø </li></ul><ul><li>Si A es un conjunto y Ø el conjunto vacío, entonces </li></ul><ul><li>A ⋃ Ø = A y A ⋂ Ø = Ø </li></ul><ul><li>Si A y B son conjuntos tales que A ⊂ B, entonces </li></ul><ul><li>A ⋃ B = B y A ⋂ B = A </li></ul>
  17. 17. Igualdades <ul><li>El símbolo (=) se lee “es igual a” y divide a la expresión (igualdad) en dos partes llamadas miembros: lo que esta antes del signo igual es el primer miembro y lo que esta después se llama segundo miembro. </li></ul><ul><li>A su vez, si una igualdad en la que aparecen números y letras es cierta para cualquier valor de las letras, decimos que se trata de una identidad; en caso contrario decimos que se trata de una ecuación. </li></ul><ul><li>El símbolo ≠ se lee “no es igual a” o bien “es diferente de”. </li></ul><ul><li>En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es: a=b => b=a </li></ul><ul><li>Dos números iguales a un tercero son iguales entre sí: </li></ul><ul><li>a=b y b=c => a=c </li></ul>
  18. 18. 1.5.- Intervalos <ul><li>Abierto: (a,b) = {x є ℝ |a<x<b} = {x є ℝ |x>a y x<b} </li></ul><ul><li>Cerrado: [a,b] = {x є ℝ |a≤x≤b} = {x є ℝ |x≥a y x≤b} </li></ul><ul><li>Semiabiertos o semicerrados </li></ul><ul><li>Semi abierto por la derecha [a,b) = {x є ℝ |a≤x<b} = {x є ℝ |x≥a y x<b} </li></ul><ul><li>Semi abierto por la izquierda (a,b] = {x є ℝ |a<x≤b} = {x є ℝ |x>a y x≤b} </li></ul><ul><li>Infinitos </li></ul><ul><li>(a,∞) = { x є ℝ | x>a }, [a,∞) = { x є ℝ | x≥a } </li></ul><ul><li>(-∞,a) = { x є ℝ | x<a } , (-∞,a] = { x є ℝ | a≤x } </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Debido a que los intervalos son conjuntos (de números) podemos realizar con ellos las operaciones que se efectúan con cualquier par de conjuntos. Por ejemplo: la unión, la intersección y la diferencia. </li></ul><ul><li>Si A y B son dos intervalos cualesquiera, entonces </li></ul><ul><li>Unión de A ⋃ B = { x є ℝ | xєA o bien xєB} </li></ul><ul><li>Intersección de A ⋂ B = { x є ℝ | xєA y xєB} </li></ul><ul><li>Diferencia de A y B = { x є ℝ | xєA y x no pertenece a B} </li></ul><ul><li>Sea A = (-5,4) y B = [-3,8]. La diferencia A-B será (-5, -3) </li></ul><ul><li>Si A es un intervalo cualesquiera, entonces: </li></ul><ul><li>A ⋃ Ø = A A ⋂ Ø = Ø </li></ul><ul><li>A ⋃ ℝ = ℝ A ⋂ ℝ = A ****** </li></ul>
  20. 20. 1.6.- Valor absoluto <ul><li>Sobre la recta numérica, la distancia de un número a al origen, que se denota mediante d( a ,0), se conoce como valor absoluto y se expresa de la siguiente manera: d( a ,0) = | a |. </li></ul><ul><li>Propiedades: </li></ul><ul><li>- a si a < 0 </li></ul><ul><li>| a | = { </li></ul><ul><li>a si a > 0 </li></ul><ul><li>| a | ≥ 0, | a | = 0  a = 0, √( a )² = a, | a | = |- a | </li></ul><ul><li>- | a | ≤ a ≤ | a |, | a∙b | = | a | ∙ | b |, | a |ⁿ = | aⁿ | para n є ℤ </li></ul><ul><li>| a/b | = | a |/| b | con b ≠ 0, </li></ul><ul><li>| a+b | ≤ | a | + | b | desigualdad del triángulo </li></ul><ul><li>| a-b | ≤ | a | + | b | , | a-b | ≥ | a | - |b| Corolarios de la des. del T </li></ul>
  21. 21. Demostraciones <ul><li>1.- |a-b| = |a+(-b)| ≤ |a|+|-b| Por la des. del triángulo </li></ul><ul><li>=> |a-b| ≤ |a|+|b| Por def. de valor absoluto </li></ul><ul><li>2.- |a| = |a-b+b| = |(a-b) + b| ≤ |a-b| + |b| </li></ul><ul><li>Por la desigualdad del triángulo </li></ul><ul><li>⇒ |a| - |b| ≤ |a-b|+|b| - |b| Restando |b| en ambos lados </li></ul><ul><li>⇒ |a| - |b| ≤ |a-b| ⇒ |a-b| ≥ |a| - |b| </li></ul><ul><li>Para la clase: </li></ul><ul><li>Si | a | ≤ c y |b| ≤ d => | a+b | ≤ c + d </li></ul>
  22. 22. Distancia entre dos puntos <ul><li>Definimos la distancia entre dos puntos a y b como: d( a ,b) = | a-b | </li></ul><ul><li>Propiedades de la distancia </li></ul><ul><li>d( a ,0) = | a-0 | = | a |, d( a,a ) = 0, d( a ,b) ≥ 0 </li></ul><ul><li>d( a ,b) = d(b, a ), </li></ul><ul><li>Desigualdad del tríangulo en notación de distancia </li></ul><ul><li>d( a ,c) ≤ d( a ,b) + d(b,c) </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Si el número x es igual a M o bien a –M, entonces, la distancia de x al origen es M. </li></ul><ul><li>|x|= M  x = ± M </li></ul><ul><li>El conjunto de números cuya distancia al origen es menor que M consta de aquellos puntos x que están a la derecha de –M y a la izquierda de M. </li></ul><ul><li>d(x,0) < M  |x|<M  -M < x < M  x є (-M,M) *** </li></ul><ul><li>El conjunto de números x cuya distancia al origen es mayor que M consta de aquellos puntos que están a la izquierda de –M o bien a la derecha de M. </li></ul><ul><li>d(x,0) > M  |x| > M  x < -M o bien x > M </li></ul><ul><li> x є (-∞,-M) ⋃ (M, ∞) </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que están a la derecha de b-M y a la izquierda de b+M . </li></ul><ul><li>d(x,b) < M  | x-b |< M  -M < x-b < M </li></ul><ul><li> b-M < x < b+M  x є (b-M, b+M) </li></ul><ul><li>Los puntos cuya distancia a b es mayor que M son aquellos que están a la izquierda de b-M o a la derecha de b+M </li></ul><ul><li>d(x,b) > M  | x-b |> M  x-b < -M o bien x-b > M  x < b-M o bien x > b+M  x є (-∞, b-M) ⋃ (b+M, ∞) </li></ul>
  25. 25. 1.7.- Resolución de desigualdades <ul><li>Resolver una desigualdad con una incógnita (x) significa hallar los ℝ tales que la desigualdad se cumple. Llamaremos conjunto solución al conjunto de tales x . </li></ul><ul><li>Para resolver una desigualdad son útiles las siguientes propiedades: </li></ul><ul><li>1.- Para pasar un término de un miembro al otro, se le cambia de signo, es decir, si es + pasa al otro miembro con – y viceversa. </li></ul><ul><li>a +b ≥ c  a ≥ c-b </li></ul><ul><li>Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro al otro poniéndolo como divisor y viceversa, tomando en consideración lo siguiente: </li></ul><ul><li>A) Si el factor es + el sentido de la desigualdad se mantiene </li></ul><ul><li>a ∙b ≥ c y b > 0  a ≥ c/b y b > 0 </li></ul>
  26. 26. <ul><li>2.- Si el factor es negativo el sentido de la desigualdad se invierte </li></ul><ul><li>a∙b ≥ c y b < 0  a ≤ c/b y b < 0 </li></ul><ul><li>Desigualdades del tipo a x+b ≥ 0 con a ≠ 0 y b є ℝ </li></ul><ul><li>a x+b ≥ 0 => a x ≥ 0-b  a x ≥ - b, tenemos dos casos: </li></ul><ul><li>Si a >0 entonces x ≥ -b/ a , Conj. Solución = [-b/ a , ∞) </li></ul><ul><li>Si a <0 entonces x ≤ -b/ a , CS = (-∞, -b/ a ] </li></ul><ul><li>Geométricamente resolver la desigualdad ax+b ≥ 0 con a≠0 significa hallar las x tales que la recta y= a x+b corta a la recta y=0 o bien esta situada por encima de ella. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Resolver la desigualdad 2x-5 ≥ 0 </li></ul><ul><li>2x-5 ≥ 0  2x ≥ 0+5  2x ≥ 5, como 2 > 0, entonces </li></ul><ul><li>2x ≥ 5  x ≥ 5/2, el CS = [5/2,∞) </li></ul>
  27. 27. Resolver la desigualdad ¾ x + 2/5 < 0 <ul><li>¾ x + 2/5 < 0  ¾ x < 0 – 2/5  3/4x < -2/5, </li></ul><ul><li>Como ¾ > 0, entonces ¾ x < -2/5  x < -(2/5)(4/3) </li></ul><ul><li> x < -8/15, CS = (-∞, -8/15) </li></ul><ul><li>Desigualdades del tipo ax + b ≥ cx + d </li></ul><ul><li>Resolver este tipo de desigualdades significa hallar otra desigualdad equivalente, esto es, que tenga el mismo conjunto solución, pero donde x aparezca solo en uno de los miembros. </li></ul><ul><li>ax + b ≥ cx + d  ax-cx ≥ d-b  (a-c)x ≥ d-b </li></ul><ul><li>Nuevamente tenemos dos casos: </li></ul><ul><li>Si a-c > 0, entonces x ≥ (d-b)/(a-c), CS = [(d-b)/(a-c), ∞) </li></ul><ul><li>Si a-c < 0, entonces x ≤ (d-b)/(a-c), CS = (-∞, (d-b)/(a-c)] </li></ul>
  28. 28. Geométricamente resolver la desigualdad a x + b ≥ cx + d significa hallar las x tales que la recta y = a x + b corta a la recta y = cx + d o bien está por encima de ella. <ul><li>Resolver la desigualdad 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2. </li></ul><ul><li>5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2  5/4 x - 8/3 x > 2/3 – 3/2  </li></ul><ul><li>-17/12 x > -5/6  x < 10/17, CS = (-∞, 10/17]. </li></ul><ul><li>Desigualdades del tipo a ₁x + b₁ ≥ a ₂x + b₂ ≥ a ₃x + b₃ </li></ul><ul><li>Geométricamente, resolver este tipo de desigualdades significa hallar las x tales que la recta y = a ₂x + b₂ se encuentra entre las rectas y = a ₁x + b₁ y y = a ₃x + b₃. </li></ul>
  29. 29. <ul><li>Resolver la desigualdad 18-5x > 2x + 3 ≥ 4-3x. </li></ul><ul><li>18-5x > 2x + 3 y 2x + 3 ≥ 4-3x </li></ul><ul><li>Resolviendo la primera desigualdad </li></ul><ul><li>18-5x > 2x + 3  -5x -2x > 3-18  -7x > -15 </li></ul><ul><li> x < 15/7  CS₁ = (-∞, 15/7) </li></ul><ul><li>Resolviendo la segunda desigualdad </li></ul><ul><li>2x + 3 ≥ 4-3x  2x + 3x ≥ 4-3  5x ≥ 1 </li></ul><ul><li> x ≥ 1/5  CS₂ = [1/5, ∞) </li></ul><ul><li>El conjunto solución de la doble desigualdad es: </li></ul><ul><li>CS = CS₁ ⋂ CS₂ = (-∞, 15/7) ⋂ [1/5, ∞) </li></ul><ul><li>= [1/5, 15/7) </li></ul>
  30. 30. Desigualdades del tipo | ax + b| ≤ M con M>0 <ul><li>Por la definición tenemos que –M ≤ ax + b ≤ M </li></ul><ul><li>y se cumple cuando ax + b ≥ -M y ax + b ≤ M </li></ul><ul><li>Resolver la desigualdad |3x – 5| ≤ 4 </li></ul><ul><li>3x – 5 ≥ - 4 y 3x – 5 ≤ 4 </li></ul><ul><li> 3x ≥ -4 + 5 y 3x ≤ 4 + 5 </li></ul><ul><li> x ≥ 1/3 y x ≤ 3 </li></ul><ul><li> CS₁ = [1/3, ∞) y CS₂ = (-∞, 3] </li></ul><ul><li>CS = CS₁ ⋂ CS₂ = [1/3, ∞) ⋂ (-∞, 3] = [1/3, 3]. </li></ul><ul><li>Es posible usar otro método: </li></ul><ul><li>-4 ≤ 3x-5 ≤ 4  -4+5 ≤ 3x ≤ 4+5  1 ≤ 3x ≤ 9 </li></ul><ul><li> 1 (1/3) ≤ (1/3) 3x ≤ (1/3) 9  1/3 ≤ x ≤ 3 </li></ul><ul><li>Por lo que el CS = [1/3, 3] </li></ul>
  31. 31. Desigualdades del tipo |ax + b| ≥ M con M >0 <ul><li>Resolver la desigualdad | 5/3 x + ¾ | > 2/5 </li></ul><ul><li>Esta desigualdad se cumple cuando </li></ul><ul><li>5/3 x + ¾ < -2/5 o bien cuando 5/3 x + ¾ > 2/5 </li></ul><ul><li>Resolviendo la primera ecuación </li></ul><ul><li>5/3 x + ¾ < -2/5  5/3 x < - 2/5 - 3/4 </li></ul><ul><li> 5/3 x < - 23/20  x < -23/20 (3/5) </li></ul><ul><li> x < -69/100  CS₁ = (-∞, -69/100) </li></ul><ul><li>Resolviendo la segunda desigualdad </li></ul><ul><li>5/3 x + ¾ > 2/5  5/3 x > 2/5 – ¾ </li></ul><ul><li> 5/3 x > -7/20  x > 3/5 (-7/20) </li></ul><ul><li> x > -21/100  CS₂ = (-21/100, ∞) </li></ul><ul><li>CS = CS₁ ∪ CS₂ = (-∞, -69/100) ∪ (-21/100, ∞) </li></ul><ul><li>= ℝ - [-69/100, -21/100]. </li></ul>
  32. 32. Desigualdades del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ 0 <ul><li>Resolver la desigualdad: (3x+4)/(2x-5) ≥ 0 ***** </li></ul><ul><li>Puede suceder que 2x -5 > 0 o que 2x – 5 < 0. </li></ul><ul><li>Si 2x-5 > 0 entonces 3x+4 ≥ 0, así que </li></ul><ul><li>2x-5 > 0 y 3x + 4 ≥ 0  2x > 5 y 3x ≥ -4 </li></ul><ul><li> x > 5/2 y x ≥ -4/3  x є (5/2, ∞) y x є [-4/3, ∞) </li></ul><ul><li> x є [-4/3, ∞) ⋂ (5/2, ∞) = (5/2, ∞) => CS₁ = (5/2, ∞) </li></ul><ul><li>Si 2x - 5 < 0, entonces </li></ul><ul><li>2x – 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0  2x < 5 y 3x ≤ -4 </li></ul><ul><li> x < 5/2 y x ≤ -4/3  x є (-∞, 5/2) y x є (-∞, -4/3]  x є (-∞, 5/2) ⋂ (-∞, -4/3] = (-∞, -4/3] => CS₂ = (-∞, -4/3] . </li></ul><ul><li>Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es </li></ul><ul><li>CS = CS₁ ⋃ CS₂ = (5/2, ∞) ⋃ (-∞, -4/3] = ℝ – (-4/3, 5/2). </li></ul>
  33. 33. Desigualdades del tipo (ax + b)/(cx + d)≥k <ul><li>Resolver la desigualdad (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 </li></ul><ul><li>Tenemos dos casos: </li></ul><ul><li>Si 4x-5 < 0 entonces (la desigualdad se invierte) </li></ul><ul><li>(2x+3)/(4x-5) ≥ -6 </li></ul><ul><li> [(2x+3)/(4x-5) ]∙ (4x-5) ≤ -6 (4x-5) </li></ul><ul><li> 2x+3 ≤ -24x+30  2x+24x ≤ 30 -3 </li></ul><ul><li> 26 x ≤ 27  x ≤ 27/26 </li></ul><ul><li>Pero 4x – 5 < 0  4x < 5  x < 5/4. </li></ul><ul><li>Se debe cumplir entonces que </li></ul><ul><li>x < 5/4 y x ≤ 27/26. </li></ul><ul><li>Ambas desigualdades se cumplen cuando x ≤ 27/26 </li></ul><ul><li>Por lo tanto el CS₁ = (-∞, 27/26]. </li></ul>
  34. 34. <ul><li>Si 4x -5 es > 0 entonces (la desigualdad no cambia de sentido) </li></ul><ul><li>(2x+3)/(4x-5) ≥ -6 </li></ul><ul><li> [(2x+3)/(4x-5)]∙ (4x-5) ≥ -6(4x-5) </li></ul><ul><li> 2x+3 ≥ -24x+30  2x+24x ≥ 30-3 </li></ul><ul><li> 26 x ≥ 27  x ≥ 27/26 </li></ul><ul><li>Pero 4x-5 > 0  4x > 5  x > 5/4. </li></ul><ul><li>Se debe cumplir que x > 5/4 y x ≥ 27/26. </li></ul><ul><li>Ambas desigualdades se cumplen cuando </li></ul><ul><li>x > 5/4. </li></ul><ul><li>Se tiene en este caso CS₂ = (5/4, ∞) </li></ul><ul><li>Finalmente CS = CS₁ ⋃ CS₂ = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4] </li></ul>
  35. 35. Otras desigualdades <ul><li>Desigualdades de la forma |(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6 </li></ul><ul><li>Esta desigualdad no es del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ k pero se puede reducir a resolver dos desigualdades de este tipo usando las propiedades de valor absoluto. </li></ul><ul><li>|(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6  -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 </li></ul><ul><li> -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 </li></ul><ul><li>El CS de la desigualdad original será la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades </li></ul><ul><li>(2x+3)/(4x-5) ≥ -6 (1) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 (2) </li></ul><ul><li>(para hallar el CS ver transparencia anterior) </li></ul><ul><li>CS₁ = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4] </li></ul><ul><li>CS₂ = (-∞, 5/4) ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – [5/4, 3/2). </li></ul><ul><li>Finalmente realizamos la intersección de CS₁ y CS₂ </li></ul><ul><li>CS= CS₁ ⋂ CS₂ = ℝ – (27/26, 5/4] ⋂ ℝ – [5/4, 3/2) </li></ul><ul><li>= ℝ – (27/26, 3/2) </li></ul>
  36. 36. Cómo graficar la función ax²+bx+c <ul><li>La función representa una curva llamada parábola. Si a>0 entonces sus ramas se abren hacia arriba (Concavidad hacia arriba) y si a<0 entonces se abren hacia abajo (Concavidad hacia abajo). </li></ul><ul><li>El vértice de la parábola es el punto mas bajo de la curva si ésta se abre hacia arriba y es el punto mas alto si se abre hacia abajo. Para hallarlos se usa el método de completar un cuadrado. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Halle el máximo o mínimo de la función </li></ul><ul><li>y = 2x²-4x+10 = 2[(x²-2x)+5] = 2[(x²-2x+1)+5-1] = 2[(x-1)²+4]. </li></ul><ul><li>Como a>0 entonces las ramas se abren hacia arriba y por lo tanto lo que buscaremos será un mínimo. Si la primera expresión dentro de los corchetes no es cero entonces es positiva. Por consiguiente, el valor de y crece según el valor numérico de x-1 y el valor de y será mínimo cuando esta expresión sea cero, esto es, cuando x=1. Por tanto el valor mínimo de y es y = 2[(1-1)²+ 4] = 8 </li></ul><ul><li>Los ceros de una función de segundo grado son las abscisas de los puntos en donde la gráfica cruza el eje de las x, es decir cuando y = 0. Como se pueden hallar? </li></ul>
  37. 37. Breviario cultural <ul><li>ax² + bx + c = 0 </li></ul><ul><li>x=-b/2a ± [√b²-4(a)(c)]/2a </li></ul><ul><li>Sea r= =-b/2a + √b²-4(a)(c)/2a y </li></ul><ul><li>s = -b/2a - √b²-4(a)(c)/2a </li></ul><ul><li>r + s = -b/a y rs = c/a </li></ul><ul><li>=> b=-a(r+s) y c = ars. Por otro lado </li></ul><ul><li>ax²+bx+c = ax²- a(r+s)x + ars = a[x²-(r+s)x+rs]= </li></ul><ul><li>a(x-r)(x-s) </li></ul><ul><li>Este método es apropiado cuando los coeficientes son números grandes. </li></ul>
  38. 38. Desigualdades de la forma ax²+bx+c ≥ 0 con a ≠ 0 <ul><li>Resolver la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0 </li></ul><ul><li>Primero hallamos las raíces de la ecuación 2x²+x-6=0 </li></ul><ul><li>x=-1/4 ± √1²-4(2)(-6)/4= (-1±7)/4 </li></ul><ul><li>x₁ = 3/2 x₂ = -2, con las raíces factorizamos el trinomio </li></ul><ul><li>2x²+x-6 = 2 (x-3/2)[x-(-2)] = 2(x-3/2)(x+2). </li></ul><ul><li>Luego resolvemos la desigualdad </li></ul><ul><li>2x²+x-6 ≥ 0  2(x-3/2)(x+2) ≥ 0  (x-3/2)(x+2) ≥ 0 </li></ul><ul><li> x-3/2 ≤ 0 y x+2 ≤ 0 o bien x-3/2 ≥ 0 y x+2 ≥0 </li></ul><ul><li> x ≤ 3/2 y x ≤ -2 o bien x ≥ 3/2 y x ≥ -2 </li></ul><ul><li> x є (-∞, 3/2] y x є (-∞, -2] o bien x є [3/2, ∞) y x є [-2,∞) </li></ul><ul><li> x є (-∞, 3/2] ⋂ (-∞,-2] o bien x є [3/2,∞) ⋂ [-2,∞) </li></ul><ul><li>=> x є (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞). Por lo tanto, el conjunto sol. de la desigualdad es CS = (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – (-2, 3/2) </li></ul>
  39. 39. Desigualdades de la forma a ₁x²+b₁x+c₁≥ a ₂x²+b₂x+c₂ con a ₁ ≠ a ₂ <ul><li>a ₁x²+b₁x+c₁ ≥ a ₂x²+b₂x+c₂ => a ₁x²+b₁x+c₁-( a ₂x²+b₂x+c₂) ≥ o </li></ul><ul><li>=> ( a ₁- a ₂) x² + (b₁-b₂)x + (c₁-c₂) ≥ 0 </li></ul><ul><li>Esta es una desigualdad del tipo anterior y por lo tanto se resuelve de la misma manera. </li></ul><ul><li>Ejemplo, resolver la siguiente desigualdad: 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10 </li></ul><ul><li>3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10  3x²-4x+5-(9x-3x²+10) ≤ 0 </li></ul><ul><li> 6x²-13x-5 ≤ 0. Resolviendo la ecuación 6x²-13x-5 = 0 </li></ul><ul><li>como antes, obtenemos las raíces x₁ = 5/2 y x₂ = -1/3. </li></ul><ul><li>La factorización del trinomio nos da 6(x-5/2)(x+1/3) </li></ul><ul><li>Resolviendo la desigualdad </li></ul><ul><li>6x²-13x-5 ≤ 0  6(x-5/2)(x+1/3) ≤ 0  (x-5/2)(x+1/3) ≤ 0  </li></ul><ul><li>x-5/2 ≤ 0 y x+1/3 ≥ 0 o bien x-5/2 ≥ 0 y x+1/3 ≤ 0 </li></ul><ul><li>x ≤ 5/2 y x ≥ -1/3 o bien x ≥ 5/2 y x ≤ -1/3 </li></ul><ul><li>x є (-∞, 5/2] ∩ [-1/3, ∞) o bien x є [5/2, ∞) ∩ (-∞, -1/3] </li></ul><ul><li>CS = [ -1/3, 5/2] ∪ ∅ = [-1/3, 5/2] </li></ul>

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