Relaciones binarias

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Relaciones binarias

  1. 1. Ejercicios desarrollados Que propiedades de las relaciones binarias se cumplen? La relación R se puede escribir de la siguiente manera: R = { (a, b) ε Z x Z / a ≤ b + 1 } Reflexiva Para todo a ε Z, (a, a) ε R En efecto: a ≤ a + 1 es cierto siempre para cualquier valor que tome a ( Z = Entero) (a, a) ε R Por tanto R es reflexiva Lic. Martha Campos V. -1-
  2. 2. Simétrica Para todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R En efecto: Si (a, b) ε R a≤ b+1 b≥ a-1 (b, a) ε R Por tanto R no es simétrica Contraejemplo 2 ≤7+1 7 ≤2+1 a b b a Lic. Martha Campos V. -2-
  3. 3. Transitiva Si (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R En efecto: Si (a, b) ε R a≤ b+1 Si (b, c) ε R b≤ c+1 a+b≤ b+1+c+1 a ≤ c+2 ≤ c+ 1 (a, c ) ε R Por lo tanto R no es Transitiva Contraejemplo: (2, 1) ε R, pues 2 ≤1 + 1 (1, 0) ε R, pues 1 ≤0 + 1 Luego no es cierto que 2 ≤ 0 + 1, en consecuencia (2, 0) ε R Lic. Martha Campos V. -3-
  4. 4. Antisimétrica Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b En efecto: Si (a, b) ε R a≤ b+1 a=b b≤b+1 Si (b, a) ε R b≤ a+1 b=a a≤a+1 Ambas serán ciertas siempre que a = b Por lo tanto R es Antisimétrica Lic. Martha Campos V. -4-
  5. 5. La relación R se puede escribir de la siguiente manera: R = { (a, b) ε Z x Z / kεZ, a = bk } Reflexiva Para todo a ε Z, (a, a) ε R Como existe 1 ε Z, tal que a = a 1 (a, a) ε R Por lo tanto R es reflexiva Lic. Martha Campos V. -5-
  6. 6. Simétrica Para todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R En efecto: Si (a, b) ε R a=bk ,k ε Z b = a 1/ k ,pero como 1/k ε Z (b, a) ε R Por lo tanto R no es simétrica Lic. Martha Campos V. -6-
  7. 7. Transitiva Si (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R En efecto: Si (a, b) ε R a = b k1 ,k1 ε Z Si (b, c) ε R b = c k2 , k2 ε Z a = ( c k2 )k1 = c )k1. k2) , k = k1.k2 ε Z (a, c) ε R Por lo tanto R es transitiva Lic. Martha Campos V. -7-
  8. 8. Antisimétrica Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b En efecto: Si (a, b) ε R a = b k1 ,k1 ε Z Si (b, a) ε R b = a k2 , k2 ε Z a = ( a k2 )k1 = a )k1. k2) Para que la igualdad se cumpla k1= 1 y .k2 = 1 ε Z a=b Por lo tanto R es antisimétrica Lic. Martha Campos V. -8-
  9. 9. Relación Binaria Una relación binaria en un conjunto A se define como un subconjunto R del producto A x A. R = { (x, y) ε A x A / x ε A e y ε A } Propiedades: Reflexiva Simétrica Transitiva Antisimétrica Lic. Martha Campos V. -9-
  10. 10. Relación de Equivalencia Reflexiva Simétrica Transitiva Relación de Orden Reflexiva Antisimétrica Transitiva - Lic. Martha Campos V. 10-

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