Successfully reported this slideshow.
Upcoming SlideShare
×

# Modul 11 Model Matematika

793 views

Published on

Modul Kuliah Pemodelan Sistem

Published in: Engineering
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

### Modul 11 Model Matematika

1. 1. MODEL MATEMATIS 1
2. 2. Pernyataan Matematika (statement) Law Postulate Axiom Theorem Lemma Corollary Proposition Conjecture 2
3. 3. Pembuktian (proofing) Proof: A logical argument made up of statements that are supported by another statement that is accepted as true • Inductive Reasoning : Coming to a conclusion based off of specific examples and observations • Deductive Reasoning : Using facts, rules, definitions, and properties to reach a logical conclusion from given statements 3
4. 4. Inductive Reasoning Sequence atau series Boolean atau Logic • Negation dengan simbol “~” • Compound statement • Conjunction dengan kata “and” • Disjuntion dengan kata “or” atau “xor” • Conditional statement atau “If hypothesis Then conclusion” • Related conditional misalnya pq • Converse misalnya qp • Inverse misalnya ~p~q • Contrapositive misalnya ~q~p 4
5. 5. Deductive Reasoning Law of Detachment : If pq is a true statement and p is true, then q is true. Law of Syllogism : If pq and qr are true statements, then pr is a true statement. Paragraph Proof Algebraic Proof 5
6. 6. Algebraic Proof Properties of Equality Notes Additional property Jika a = b, maka a+c = b+c Subtraction property Jika a = b, maka a–c = b–c Multiplication property Jika a = b, maka aXc = bXc Division property Jika a = b dan c≠0, maka a÷c = b÷c Reflexive property a = a Symmetric property Jika a = b, maka b = a Transitive property Jika a = b dan b = c, maka a = c Substitution property Jika a = b, maka a dapat digantikan b dalam persamaan atau ekspresi lain Distributive property aX(b+c) = (aXb) + (aXc) Commutative property a+b = b+a serta aXb = bXa Associative property a+(b+c) = (a+b)+c serta aX(bXc) = (aXb)Xc 6
7. 7. Algebraic Proof Properties of Equality Notes Identity property of Additional a+0 = a Identity property of Subtraction a–0 = a Identity property of Multiplication aX1 = a Identity property of Division a÷1 = a Inverse property of Addition a+(-a) = 0 Inverse property of Multiplication aX(1 /a) = 1 Multiplication property of Zero aX0 = 0 7
8. 8. Algebraic Proof Properties of Inequality Notes Additional property Jika a > b, maka a+c > b+c Subtraction property Jika a > b, maka a–c > b–c Positive Multiplication property Jika a > b dan c>0, maka aXc > bXc Negative Multiplication property Jika a > b dan c<0, maka aXc < bXc Positive Division property Jika a > b dan c>0, maka a÷c > b÷c Negative Division property Jika a > b dan c<0, maka a÷c < b÷c Symmetric property Jika a > b, maka b < a Transitive property Jika a > b dan b > c, maka a > c 8
9. 9. Algebraic Proof Properties of Segment Congruence Notes Reflexive property AB ≅ AB Symmetric property Jika AB ≅ CD, maka CD ≅ AB Transitive property Jika AB ≅ CD dan CD ≅ EF, maka AB ≅ EF 9 Properties of Angle Congruence Notes Reflexive property ∠A ≅ ∠A Symmetric property Jika ∠A ≅ ∠B, maka ∠B ≅ ∠A Transitive property Jika ∠A ≅ ∠B dan ∠B ≅ ∠C, maka ∠A ≅ ∠C ++Other postulates + Theorem
10. 10. Kriteria Model Matematis Sederhana Sederhana dan mudah dipahami oleh stakeholder meski tidak mahir matematika Complete Mencantumkan semua aspek yang signifikan dalam situasi masalah terhadap ukuran kinerja keluaran Mudah dimanipulasi Memungkinkan dipergunakan untuk mencari solusi yang terbaik dan menjawab masalah 10
11. 11. Kriteria Model Matematis Adaptif Perubahan struktur pada situasi masalah dapat dengan mudah diadopsi model dengan modifikasi relatif minor untuk adaptasi Mudah dikomunikasikan Pemikiran system analyst dalam model mudah dimengerti dan interaktif dengan pengguna untuk mempersiapkan, memperbarui, mengubah dan memperbaiki secara cepat. 11
12. 12. Kriteria Model Matematis Layak sesuai tujuan studi masalah Pengembangan model membutuhkan waktu tidak lebih dari batas pengambilan keputusan, dan mempergunakan biaya tidak lebih dari penghematan yang diperoleh. Menghasilkan informasi yang bermanfaat Keluaran dari model dengan lugas menggambarkan solusi yang dapat dijadikan dasar pengambilan keputusan. 12
13. 13. Karakteristik Model Matematis BerdasarkanTujuan (purpose) • Optimasi Model yang digunakan untuk mencari nilai optimal (terbaik = maksimasi/minimasi) • Eksplanasi Model yang digunakan untuk menunjukkan interaksi variabel yang mempengaruhi perilaku sistem • Deskripsi Model yang digunakan untuk menggambarkan perilaku sistem 13
14. 14. Karakteristik Model Matematis Berdasarkan cara analisa (mode of analysis) • Analitik Model yang menggunakan teknik matematika dan statistika untuk menghasilkan informasi yang optimal. • Numerik Model yang menggunakan iterasi numerik untuk menghasilkan informasi yang mendekati optimal (estimation / heuristic) 14
15. 15. Karakteristik Model Matematis Berdasarkan perlakuan keacakan (treatment of randomness) • Deterministik Model yang tidak mengandung nilai keacakan, sehingga perilaku sistem dapat diperkirakan secara pasti • Probabilistik Model yang mengandung nilai keacakan, sehingga perilaku sistem tidak dapat diperkirakan secara pasti. • Stokastik Model yang mengandung nilai keacakan yang dipengaruhi oleh waktu, sehingga perilaku sistem tidak dapat diperkirakan secara pasti. 15
16. 16. Karakteristik Model Matematis Berdasarkan penerapan (generality of application) • Untuk semua kasus homogen Model yang dapat digunakan untuk kasus-kasus yang mempunyai kemiripan • Untuk kasus tertentu. Model yang dibuat untuk kasus tertentu saja 16
17. 17. Klasifikasi Formulasi Matematis Berdasarkan interaksinya dengan waktu, • Fungsi statis (stationary or time-invariant) • Fungsi dinamis (time-variant) Berdasarkan ketergantungan dinamikanya pada waktu, • Fungsi diskrit • Fungsi kontinyu • Fungsi gabungan (hybrid) 17
18. 18. Klasifikasi Formulasi Matematis Berdasarkan korelasi dengan variabel bebasnya, • Fungsi Linier • Fungsi Nonlinier Berdasarkan banyaknya variabel bebasnya, • Regresi sederhana • Regresi berganda 18
19. 19. Klasifikasi Formulasi Matematis Berdasarkan interaksi variabel bebasnya terhadap fungsi, • Distributed parameter Masing-masing variabel memberikan interaksi terhadap fungsi secara terpisah • Lumped parameter Variabel-variabel memberikan interaksi terhadap fungsi secara bersama-sama. 19
20. 20. Klasifikasi Formulasi Matematis Berdasarkan tingkat derivatif fungsi diferensial, • Homogenous • Heterogenous Berdasarkan tingkat probabilitas variabel bebasnya, • Deterministik • Stokastik/probabilistik 20
21. 21. Klasifikasi Formulasi Matematis Berdasarkan keberadaan konstanta faktor pengali variabel bebasnya, • Definisional (Definitional Equation) Persamaan hanya menunjukkan fungsi interaksi variabel bebasnya saja tanpa adanya penambahan konstanta lain • Empiris (Empirical Based Equation) Persamaan menunjukkan fungsi interaksi variabel bebas yang berkaitan pula dengan adanya konstanta lain yang memberikan bobot fungsi interaksinya. Konstanta yang disertakan dalam persamaan diperoleh dari analisa regresi. 21
22. 22. Variabel atau Peubah 22
23. 23. Variabel atau Peubah Variabel eksternal (external variable) Variabel yang tidak dapat dikendalikan, namun mempengaruhi perilaku sistem. Terkadang disebut juga dengan exogenous, environmental atau uncontrollable variable. Variabel kebijaksanaan / asumsi (policy variable) Variabel yang dapat dikendalikan bahkan dapat ditentukan dengan asumsi. Terkadang disebut juga dengan decision atau controllable variable. 23
24. 24. Variabel atau Peubah Variabel acak (random variable) Variabel yang menggambarkan keacakan / probabilitas perilaku sistem Variabel pasti (deterministic variable) Variabel yang mengarahkan perilaku sistem agar dapat diprediksikan. 24
25. 25. Variabel atau Peubah Variabel respon (response variable) Variabel yang merupakan keluaran dari sistem yang menunjukkan state yang menjadi fokus pemodelan. Terkadang disebut juga dengan dependent variable. Variabel umpan balik (feedback variable) Variabel yang merupakan keluaran dari sistem yang berbalik dan mempengaruhi perilaku sistem pada waktu selanjutnya. 25
26. 26. Formulasi Matematis Deterministik Analisa Regresi • Regresi Linier • Regresi Nonlinier • Regresi Polinomial • Regresi Berganda Optimasi • Turunan atau pendekatan Differensial • Maksimasi/minimasi dengan batasan kendala Aljabar linier • Vektor • Matriks 26
27. 27. Formulasi Matematis Probabilistik Variabel Acak dan distribusi • Probabilitas • Probabilitas kumulatif • Ekspektasi Pendekatan kalkulus • Differensial • Integral Pendekatan rantai markov • Probability on node • Probability on arrow 27
28. 28. Pendekatan Heuristik Pendekatan algoritma atau prosedur yang berdasarkan logika berpikir yang rasional dan sistematis dalam menyelesaikan permasalahan dan menemukan solusi alternatif • Trial & error  Metode delphi • Tabel  Metode transportation • Penelusuran  Simulasi annealing • Batu pijakan  Theory of constraint • Metode Numerik  Interpolasi 28
29. 29. Kasus Divisi Minyak Pelumas 29
30. 30. Identifikasi Variabel Independent Variable (input) Uncontrollable variable • di : customer order pattern • s: production setup cost per batch • v: unit product value • h : product handling cost per unit • r: investment holding cost /\$ per year 30
31. 31. Identifikasi Variabel Independent Variable (input) Controllable variable • dc : cutoff for big or small order • Q : stock replenishment size 31
32. 32. Identifikasi Variabel Dependent Variable Component variable (intermediate) • C1 : order pattern by special production runs • C2 : order pattern met from stock • : • : • C14 : value of annual demand 32
33. 33. Identifikasi Variabel Dependent Variable Performance variable (output) • TC(Q): total annual operating cost 33
34. 34. Pemodelan Matematis C1 : order pattern by special prod. runs [order pattern by special production runs] merupakan [customer order pattern] yang melebihi [cutoff for big or small order] C1 ⊂ di Where C1 ∩ di = C1 if di > dc C1 ∩ di = ∅if di < dc 34
35. 35. Pemodelan Matematis C2 : order pattern met from stock [order pattern met from stock] merupakan [customer order pattern] yang kurang dari [cutoff for big or small order] C2 ⊂ di Where C2 ∩ di = C2 if di < dc C2 ∩ di = ∅if di > dc 35
36. 36. Pemodelan Matematis C3 : annual volume by special prod. run [annual volume by special prod. run] merupakan total jumlah [order pattern by special production run] C3 = Sum (C1) 36
37. 37. Pemodelan Matematis C4 : annual number of special prod. run [annual number of special prod. run] merupakan banyaknya kejadian [order pattern by special production run] C4 = Count(C1) 37
38. 38. Pemodelan Matematis C5 : annual volume met from stock [annual volume met from stock] merupakan total jumlah [order pattern met from stock] C5 = Sum (C2) 38
39. 39. Pemodelan Matematis C6 : annual number stock replenishment [annual number stock replenishment] merupakan [annual volume met from stock] dibagi dengan [stock replenishment size] C6 = C5 / Q 39
40. 40. Pemodelan Matematis C7 : average stock level [average stock level] merupakan rata-rata stock level dengan stock maksimum sebesar [stock replenishment size] yang terjadi setelah stock habis dan perubahan stock dipengaruhi oleh [order pattern met from stock] [next stock] = [previous stock] – C2 (changing overtime) If [next stock] < 0 then [next stock] = Q Appproximation : C7 = Q / 2 40
41. 41. Pemodelan Matematis C8 : average stock investment [average stock investment] merupakan [average stock level] dikalikan dengan [unit product value] sebagai modal yang diam atau stagnan C8 = C7 . v ⇔ C8 = (Q / 2) . v ⇔ C8 = (Q.v) / 2 41
42. 42. Pemodelan Matematis C9 : annual handling cost for big cust. [annual handing cost for big customer] merupakan [annual volume by special production run] dikalikan dengan [product handling cost per unit] C9 = C3 . h ⇔ C9 = Sum (C1) . h ⇔ C9 = Sum (di) . h for di > dc 42 D1
43. 43. Pemodelan Matematis C10 : annual setup cost for spec.prod.run [annual setup cost for special production run] merupakan [annual number of special production run] dikalikan dengan [production setup cost per batch] C10 = C4 . s ⇔ C10 = Count (C1) . s ⇔ C10 = Count (di) . s for di > dc 43 N1
44. 44. Pemodelan Matematis C11 : annual handling cost for small cust. [annual handing cost for small customer] merupakan [annual volume met from stock] dikalikan dengan [product handling cost per unit] C11 = C5 . h ⇔ C11 = Sum (C2) . h ⇔ C11 = Sum (di) . h for di < dc 44 D2
45. 45. Pemodelan Matematis C12 : annual setup cost for stock repl. [annual setup cost for stock replenishment] merupakan [annual number stock replenishment] dikalikan dengan [production setup cost per batch] C12 = C6 . s ⇔ C12 = (C5 / Q) . s ⇔ C12 = (Sum (C2) / Q). s ⇔ C12 = (Sum (di) / Q). s for di < dc 45 D2
46. 46. Pemodelan Matematis C13 : annual stock holding cost [annual stock holding cost] merupakan [average stock investment] dikalikan dengan [investment holding cost /\$ per year] C13 = C8 . r ⇔ C13 = (C7 . v) . r ⇔ C13 = ((Q / 2) . v). r ⇔ C13 = (Q.v.r) / 2 46
47. 47. Pemodelan Matematis C14 : value of annual demand [value of annual demand] merupakan total [annual volume by special production] dan [annual volume met from stock] dikalikan dengan [unit product value] C14 = (C3 + C5) . v ⇔ C14 = (Sum(C1) + Sum(C2)) . v ⇔ C14 = (Sum{di>dc}+Sum{di<dc}).v ⇔ C14 = Sum(di) . v 47 DALL
48. 48. Pemodelan Matematis TC(Q) : Total annual operating cost [total annual operating cost] merupakan total semua biaya operasional TC(Q) = C9 + C10 + … + C14 ⇔ TC(Q) = (D1.h) + (N1.s) + (D2.h) + ((D2/Q).s) + ((Q / 2).v.r) + (DALL . v) ⇔ TC(Q) = ((D1+D2).h) + ((N1+(D2/Q)).s) + ((Q/2).v.r) + (DALL . v) ⇔ TC(Q) = (DALL.h) + ((N1+(D2/Q)).s) + ((Q/2).v.r) + (DALL . v) 48 DALL
49. 49. End of Slides ... Modul Pemodelan Sistem 49