3 T&H Cuantitativas para
Gestionar la Incertidumbre
     en los Proyectos

           Parte I


                     Ing. ...
Agenda
Objetivo
El problema de la Incertidumbre
Incertidumbre y el PMBOK
Fundamentos de Probabilidad
◦   Probabilidad
◦   ...
Objetivo

Trabajar sobre el tema de la
incertidumbre en los
proyectos y analizar técnicas
y herramientas cuantitativas
(es...
Accidente TERAC 25
                                                3 pacientes muertos




                       Incertid...
Incertidumbre

 “Uncertainty is therefore imperfect knowledge and
 risk is uncertain consequences”


 “Hemos concluido que...
El Cono de Incertidumbre en los
              Proyectos de TI Las estimaciones
                                         te...
La Incertidumbre y la Estimación
“As you have no doubt experienced, a project’s
greatest uncertainty is its completion dat...
Breve historia de algunas T&H


    GANTT
   1910-1915                                                                    ...
Estimaciones como afirmaciones
probabilísticas
Las estimaciones
se expresan
normalmente
como un solo
punto, lo cual no
es ...
Distribuciones de probabilidad


           Posible




mas
realista




      Steve McConnell.2006
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Incertidumbre y el PMBOK
  28 veces aparece la palabra “uncertainty” (aunque no
  se define explícitamente) en el PMBOK (s...
T&H                          Costos


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Incertidumbre, Probabilidad y
Estadística
 “Los GP exitosos son aquellos que
 rápidamente comprenden la
 necesidad de eval...
Fundamentos de Probabilidad




                Julio 2010   Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP   14
Fundamentos de Probabilidad

1. Probabilidad
2. Eventos independientes y
   mutuamente excluyentes
3. Variables Aleatorias...
Ejercicio clásico
En la convergencia de caminos del ejemplo adjunto, si las
probabilidades de completar las actividades 1,...
Frecuencia relativa y Probabilidad
   Supongamos un experimento el cual tiene N posible
   resultados. Entonces la probabi...
Probabilidad
 La Probabilidad es una forma de expresar el
 conocimiento o la creencia que un evento va a ocurrir o
 ha ocu...
Ejemplo.
Ejemplo. Resultados del
lanzamiento de un dado




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Posibles resultados del
lanzamiento de un par de dados




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Probabilidades en el lanzamiento de
un par de dados
  ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1                               ...
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Diagramas de Venn


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Eventos mutuamente excluyentes
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 La intersección de dos eventos A y B, notados como
 A I B, es el...
¿Donde se usa?
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Eventos independientes
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Eventos Independientes y Mutuamente
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Variables Aleatorias
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  que mañana llueva lo cual puede ser r...
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 Probabilidad*




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Referencia en el PMBOK




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¿Qué es un Función de Distribución?

En teoría de la probabilidad, la
función de densidad de
probabilidad, función de dens...
Propiedades
La Función de Probabilidad tiene las siguientes
propiedades:

  Dado que las variables aleatorias continuas es...
Uniforme

 Todos los valores dentro del rango factible tienen la
 misma densidad de probabilidad

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Ejemplos y Uso de
distribución uniforme
  Lanzamiento de una moneda
  Lanzamiento de un dado
  Ruleta
  Lotería
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Triangular

 La bibliografía sugiere usar esta distribución cuando la
 distribución subyacente se desconce y todo lo que
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Triangular (cont.)


Sus propiedades estadísticas se derivan de su forma, no
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Función Triangular. Fórmulas




                    Julio 2010   Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP   38
Generación de una dist. Triangular
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a partir de una distr. Uniforme
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Triangular. Uso
 La Distribución Triangular es típicamente usada como
 una descripción subjetiva de una población para la ...
Distribución Beta

La distribución Beta es una familia de distribuciones
de probabilidad continua definidas en el interval...
Función de Probabilidad (fdp)
                        (fdp)




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Formulación completa de la Beta

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Relación entre la fórmula de PERT y la
distribución Beta
1. Otener las estimaciones para la tarea de los tiempos
   optimi...
Interpretación informal (extraído del
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Cont.
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         25 minutos tiene la mayor probabilidad, pero aún ...
Cont. II
       ◦ “…Cuanto mayor es la incertidumbre, mayor es el
          largo de la cola de la distribución




E. Gol...
Aproximación de la Beta a la Normal
   El Teorema Central del Límite
"Winwood Reade is good upon the
subject," said Holmes...
Aproximación Normal a la Beta
  Cuando se trata el tema de la
  distribución Beta, se afirma
  que:

      ±σ ≈ 68% de los...
Teorema Central del Límite (TCL)
                                                                   muestra




          ...
Definición de TCL. Demostración práctica
 El Teorema Central del Límite (TCL) expresa que la media y la
 suma de una muest...
If you are the expert, the best distribution is
¿Qué distribución       the one that completely expresses your belief
usar...
Cont I.
4. Tener presente que la distribución Triangular tiene 0
   probabilidad en el Máximo, lo cual es improbable
   (r...
Cont. II
6. La distribución Triangular es mas pesimista que la PERT cuando el
   sesgo es positivo y mas optimista en caso...
Estadísticas para las Distribuciones
mas Comunes




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PERT Recargado




                 Julio 2010   Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP   56
Estimación de 3 Puntos
                   Media=

                   Optimista+ 4 *Mas probable + Pesimista
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Aproximaciones a PERT. Limitaciones.
• Los valores de media y desvío son aproximaciones
válidas y son exactas únicamente p...
Simulación Monte Carlo para el
análisis de la incertidumbre

“We balance
probabilities and
choose the most
likely. It is t...
Análisis Monte Carlo en el PMBOK
Gestión de Tiempos. Análisis de
Escenarios What-If.

“La técnica mas común es la del
Anál...
¿Qué es la simulación Monte Carlo?
 Método computacional usado para
 estudiar el comportamiento de
 sistemas matemáticos, ...
Introducción al Método Monte Carlo
  El método Monte Carlo básicamente
es una forma de resolver problemas
complejos median...
Ejemplo: Aproximación de                                          π por el MMC
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¿Qué podemos deducir?. Pasos
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1. Crear un modelo p...
Resumiendo..




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        James F. Wright, 2002   Julio 2010   Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP   65
Ejemplo práctico                                                      Problema…
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Hoja de Cálculo
    Hoja de cálculo
de Microsoft Office Excel




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Simulación con Distribución Triangular




    Hoja de cálculo
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Preguntas del GP. Lo importante…
  Williams (2003) indica que la simulación Monte Carlo
  ayuda al Gerente de Proyectos a ...
Análisis MC, cuestiones pendientes…

1.   ¿Cómo se simulan distribuciones Beta y Normales?

2.   ¿Cuándo N es suficiente?
...
Julio 2010   Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP   71
Bibliografía breve
PMBOK. 4th Edition (2008) . Project Management Institute

PMBOK. 4ta. Edición (2008). Project Managemen...
Bibliografía breve (cont)
                   (cont)
Wittwer, J.W., "Monte Carlo Simulation Example: Sales Forecast“,
http:...
Julio 2010   Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP   74
                El Cono de Incertidumbre
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3 Técnicas y Herramientas Cuantitativas para la Gestion de la Incertidumbre en los Proyectos-Parte I

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3 Técnicas y Herramientas Cuantitativas, especialmente modelos probabilsticos, para gestionar la incertidumbre. En esta Primera parte se plantea el problema, se introduce conceptos fundamentales de probabilidad y se tratan tres temas: distribuciones de probabilidad, PERT y análisis Monte Carlo

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3 Técnicas y Herramientas Cuantitativas para la Gestion de la Incertidumbre en los Proyectos-Parte I

  1. 1. 3 T&H Cuantitativas para Gestionar la Incertidumbre en los Proyectos Parte I Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP Julio de 2010
  2. 2. Agenda Objetivo El problema de la Incertidumbre Incertidumbre y el PMBOK Fundamentos de Probabilidad ◦ Probabilidad ◦ Eventos mutuamente excluyentes e independientes ◦ Variables aleatorias ◦ Distribuciones de Probabilidad ◦ El Teorema Central del Límite PERT recargado Análisis Monte Carlo Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 2
  3. 3. Objetivo Trabajar sobre el tema de la incertidumbre en los proyectos y analizar técnicas y herramientas cuantitativas (especialmente probabilísticas) que nos permitan gestionar la misma “You cannot be certain about uncertainty” Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 3
  4. 4. Accidente TERAC 25 3 pacientes muertos Incertidumbre Túnel del Canal de la Mancha Atraso > 2 años 140% sobrecosto Funciones recortadas Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 4
  5. 5. Incertidumbre “Uncertainty is therefore imperfect knowledge and risk is uncertain consequences” “Hemos concluido que la incertidumbre existente en cada proyecto es la principal causa subyacente de muchos de los problemas” E. Goldratt. Critical Chain YOU CAN’T IMPOSE CERTAINTY ON UNCERTAINTY YOU MUST LEARN TO MANAGE THE UNCERTAINTY Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 5
  6. 6. El Cono de Incertidumbre en los Proyectos de TI Las estimaciones tempranas en los proyectos son siempre ampliamente imprecisas [+50%;-33%] PMBOK tiene un enfoque similar pero asimétrico; S. McConnell- 2007 ROM [+75%;-25%]?? Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 6
  7. 7. La Incertidumbre y la Estimación “As you have no doubt experienced, a project’s greatest uncertainty is its completion date (which also affects cost). When the project plan is laid out in black and white with activities and times, it becomes a very deterministic view. The project manager must understand the effects of probability and educate the stakeholders concerning the challenges of accurate estimating and its effect on a predetermined schedule” Budd, C., y Budd C.S.. A practical guide to Earned Value Project Management, 2005 La mayoría del esfuerzo en la planificación de proyectos actualmente se realiza de una forma estrictamente determinista, donde las tareas del proyecto están asignadas y ejecutadas en un marco de tiempo bien definido Porqué?? Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 7
  8. 8. Breve historia de algunas T&H GANTT 1910-1915 GP 1981 CPM 1946 PERT 1957 Gerente de Proyecto Cadena Monte Crítica Carlo 1997 1949 Herramientas (GP-1963; pre-PC’s 70% 17% viable GP GP Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP >80’s) 8
  9. 9. Estimaciones como afirmaciones probabilísticas Las estimaciones se expresan normalmente como un solo punto, lo cual no es realista porque no se indica la probabilidad asociada al punto “Todos los puntos están asociados con una S. McConnell., 2006 probabilidad, explícita o implícitamente” Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 9
  10. 10. Distribuciones de probabilidad Posible mas realista Steve McConnell.2006 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 10
  11. 11. Incertidumbre y el PMBOK 28 veces aparece la palabra “uncertainty” (aunque no se define explícitamente) en el PMBOK (sin considerar figuras o el glosario) vinculado principalmente a las Gestión del Alcance siguientes Áreas de Conocimiento: Gestión de Gestión de Gestión de Tiempos Tiempos Costos Gestión de Costos Gestión de Riesgos Gestión de Gestión de Gestión de Calidad Calidad Riesgos Gestión del Alcance Específicamente vinculadas a las siguientes Ortiz, MSc, PMP Julio 2010 Ing. Pablo T&H: 11
  12. 12. T&H Costos Análisis de T Reservas i Estimación e 3 puntos m (PERT) Cadena Simulación p Crítica Monte Carlo Distribuciones (What-If) de Probabilidad o s Análisis de Valor Monetario Sensibilidad Esperado Riesgos Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 12
  13. 13. Incertidumbre, Probabilidad y Estadística “Los GP exitosos son aquellos que rápidamente comprenden la necesidad de evaluar la incertidumbre” “La Gestión de Riesgos es el proceso, pero la probabilidad y la estadística proveen el respaldo…” J. Googdpasture. Quantitative Methods in Project Management “Probability is the language of Teorema COX uncertainty” J.Schuyler, 2001 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 13
  14. 14. Fundamentos de Probabilidad Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 14
  15. 15. Fundamentos de Probabilidad 1. Probabilidad 2. Eventos independientes y mutuamente excluyentes 3. Variables Aleatorias 4. Distribuciones de Probabilidad 5. Teorema Central del Límite Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 15
  16. 16. Ejercicio clásico En la convergencia de caminos del ejemplo adjunto, si las probabilidades de completar las actividades 1,2, y 3 son 50%, 50% y 50%, respectivamente, ¿cuáles son las chances de comenzar la actividad 4 en el día 6? Porqué? a) 10% b) 13% c) 40% d) 50% Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 16
  17. 17. Frecuencia relativa y Probabilidad Supongamos un experimento el cual tiene N posible resultados. Entonces la probabilidad que un evento A ocurra es igual al número de veces que el evento pueda ocurrir, dividido el número total de posibles resultados. Número de veces que aparece A Frecuencia relativa de un evento A = N Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa del suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 17
  18. 18. Probabilidad La Probabilidad es una forma de expresar el conocimiento o la creencia que un evento va a ocurrir o ha ocurrido La probabilidad de un evento A es representado por un número real en el rango de 0 a 1 y es escrito como P(A), p(A) o Pr(A). Se asigna una probabilidad de 0 a los eventos que no pueden ocurrir y una probabilidad de 1 a aquellos que tienen certeza 0≤P(A)≤1 Wikipedia,2010 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 18
  19. 19. Ejemplo. Ejemplo. Resultados del lanzamiento de un dado Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 19
  20. 20. Posibles resultados del lanzamiento de un par de dados Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 20
  21. 21. Probabilidades en el lanzamiento de un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 2/36 y 3? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1/36 dos 6? ¿Cuál es la probabilidad de que 11/36 cualquiera de los dos sea un 3? http://gwydir.demon.co.uk/jo/probability/calcdice.htm Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 21
  22. 22. 2/36 Posibles resultados del 1/36 lanzamiento de un par de dados 11/36 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 22
  23. 23. Diagramas de Venn B B A B A S S A S A∩B: intersección de A y B A∪B: unión de A y B A y B mutuamente excluyente
  24. 24. Eventos mutuamente excluyentes Regla de la Suma La intersección de dos eventos A y B, notados como A I B, es el conjunto de todos los resultados que están tanto en A y en B, por ej, si A = {a, b, c, d} B = {b, d, f, g, h} entonces A I B = {b, d} Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen ningún resultado en común, o sea su intersección es vacía => no pueden ocurrir a la misma vez Se cumple entonces: si A I B = , P(AUB)=P(A)+P(B) Por ej. la probabilidad de obtener 1 ó 3 en un lanzamiento de un dado es: P(1)+P(3)= Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP Julio 2010 1/6+1/6= 2/6=1/3 24
  25. 25. ¿Donde se usa? usa? Valor Monetario Esperado. Arboles de Decisión P(1.1)*O1.1+P(1.2)*O1.2+P(1.3)*O1.3 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 25
  26. 26. Eventos independientes A Regla de la multiplicación B S Dos eventos A y B son llamados independientes si la ocurrencia de B no cambia la probabilidad de que A ocurra. Por ej. si se tiran dos monedas la probabilidad de obtener cara en ambas es P(obtener cara en la primera y la segunda)= ½ x ½ = ¼ P(A∩B) = P(A) · P(B) Otra forma de decirlo es que “no comparten información” Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 26
  27. 27. Eventos Independientes y Mutuamente Excluyentes Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces no pueden ser independientes y viceversa Problema planteado (d.17)… 1. ¿Son mutuamente 50% excluyentes o independientes? ¿porqué? 2. ¿Cuál es la probabilidad? 6? P(A1∩A2 ∩A3)=P(A1).P(A2).P(A3)=0,5x0,5x0,5=0,125≈ 0,13=13% Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 27
  28. 28. Variables Aleatorias En matemáticas una variable aleatoria (o estadística o estocástica) es una variable cuyo valor es una función del resultado de un experimento estadístico que da valor numérico a cada suceso en Ω (espacio muestral): fdp discreta Existen dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Nos importan estas fdp continua últimas. Una variable aleatoria tiene una distribución de probabilidad asociada y frecuentemente una función de densidad de probabilidad (fdp) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 28 Wikipedia, 2010
  29. 29. Variables Aleatorias. Ejemplo Supongamos que queremos representar la posibilidad que mañana llueva lo cual puede ser representado por la siguiente variable aleatoria: = {llueve, no llueve} 1 ; si llueve Esta variable X= es discreta o 0 ; si no llueve continua? si son igualmente probable cualquiera de los dos eventos se define la función de densidad de probabilidad (fdp): ½ ; si x= 1 f(x) = ½ ; si x= 0 0 ; de otra manera Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 29
  30. 30. Distribuciones de Probabilidad* *Funciones de Densidad de Probabilidad-fdp Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 30
  31. 31. Referencia en el PMBOK PMBOK, 4ta. Ed. ,p. 298 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 31
  32. 32. ¿Qué es un Función de Distribución? En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto. Wikipedia, 2010 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 32
  33. 33. Propiedades La Función de Probabilidad tiene las siguientes propiedades: Dado que las variables aleatorias continuas están definidas sobre un rango continuo de valores (llamado el dominio de la variable), la gráfica de la función de densidad deberá ser continua sobre ese rango El área debajo de la curva de la función es igual a 1 cuando es calculada sobre el dominio de la variable La probabilidad que la variable aleatoria asuma un valor entre a y b es igual al área bajo la función de densidad en el rango acotado por a y b Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 33
  34. 34. Uniforme Todos los valores dentro del rango factible tienen la misma densidad de probabilidad Parámetros : Uniforme (min,max) Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de los valores de todas las demás distribuciones de probabilidad en el muestreo aleatorio Excel: ALEATORIO.ENTRE(min;max); min +ALEATORIO()(max –min ) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 34
  35. 35. Ejemplos y Uso de distribución uniforme Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de un dado Ruleta Lotería Ej. min=1;max=3 Uso Cualquier valor entre el mínimo y el máximo tiene igual probabilidad Muchos lenguages de programación tienen la habilidad de generar números pseudo-aleatorios los cuales se distribuyen de acuerdo a la distribución uniforme Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 35
  36. 36. Triangular La bibliografía sugiere usar esta distribución cuando la distribución subyacente se desconce y todo lo que puede precisarse de la misma es el valor mínimo, el valor máximo y el valor mas probable (“an inspired guess as to what the modal value might be”) Parámetros: Triang (min, +prob, max) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 36
  37. 37. Triangular (cont.) Sus propiedades estadísticas se derivan de su forma, no de una teoría subyacente (no modela fenom. reales) Es de definición intuitiva y de gran flexibilidad en cuanto a geometrías posibles La forma de la distribución usualmente lleva a sobreestimar la densidad de las colas y a subestimar la densidad en el “tronco” de la distribución. Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 37
  38. 38. Función Triangular. Fórmulas Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 38
  39. 39. Generación de una dist. Triangular dist. a partir de una distr. Uniforme distr. Sea p una variable generada a partir de una distribución Uniforme en el intervalo (0,1), sea G(p) la función inversa de F (F-1(p))* con distribución triangular, se cumple: Excel * Método de Transformación Inversa. Lo explicaremos en detalle en la Parte II Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 39
  40. 40. Triangular. Uso La Distribución Triangular es típicamente usada como una descripción subjetiva de una población para la cual existe solamante un conjunto limitado de datos de muestra, y especialmente cuando las relaciones entre las variables es conocida pero son escasos (posiblemente debido al alto costo de recolectarlos) Es usada también cuando se quiere manejar una estimación mas pesimista que la Beta (ver justificación mas adelante) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 40
  41. 41. Distribución Beta La distribución Beta es una familia de distribuciones de probabilidad continua definidas en el intervalo (0, 1) con dos parámetros positivos que determinan la forma, típicamente notados como α y β La distribución Beta puede tomar muchas formas, según los valores de α y β Es generalmente usada cuando no existen datos históricos sólidos en los cuales basar la estimación de las actividades Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 41
  42. 42. Función de Probabilidad (fdp) (fdp) Wikipedia,2010 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 42
  43. 43. Formulación completa de la Beta Beta genérica Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 43
  44. 44. Relación entre la fórmula de PERT y la distribución Beta 1. Otener las estimaciones para la tarea de los tiempos optimistas, mas probable y pesimista 2. Estimar la media y desviación estándar usando las ecuaciones (iii) y (iv): 3. Use las ecuaciones (v) y (vi) para calcular los parámetros que son consistentes con la media y desviación estándar Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 44
  45. 45. Interpretación informal (extraído del Libro “Cadena Crítica” de E.Goldratt) E.Goldratt) ◦ ¿Cuánto tiempo le lleva llegar a la Universidad? pregunto ◦ “Alrededor de 25 minutos”, contesta Brian ◦ “Qué significa alrededor”, pregunta ◦ “A veces 30 minutos, a veces menos, depende el tráfico” E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 45
  46. 46. Cont. ◦ “…Precisamente, ….5 minutos tiene 0 probabilidad, 25 minutos tiene la mayor probabilidad, pero aún 3 horas tienen una probabilidad positiva” E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 46
  47. 47. Cont. II ◦ “…Cuanto mayor es la incertidumbre, mayor es el largo de la cola de la distribución E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 47
  48. 48. Aproximación de la Beta a la Normal El Teorema Central del Límite "Winwood Reade is good upon the subject," said Holmes. "He remarks that, while the individual man is an insoluble puzzle, in the aggregate he becomes a mathematical certainty. You can, for example, never foretell what any one man will do, but you can say with precision what an average number will be up to. Individuals vary, but percentages remain constant. So says the statistician. A. Conan Doyle- The Sign of the Four (1890-Sherlock Holmes) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 48
  49. 49. Aproximación Normal a la Beta Cuando se trata el tema de la distribución Beta, se afirma que: ±σ ≈ 68% de los valores ±2σ ≈ 95% de los valores ±3σ ≈ 99% de los valores Pero esto aplica a la Distribución Normal, ¿porqué es válido? • El uso de las propiedades de la Distribución Normal está basado en la aplicación del Teorema Central del Límite el cual afirma que la suma (o promedio) de actividades independientes es normalmente distribuida si el número de actividades es grande (no importa cual sea la distribución de estas variables) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 49
  50. 50. Teorema Central del Límite (TCL) muestra … … El lanzamiento de un dado La suma o promedio de una tiene una en muestra (por ej. el Distribución cambio…. lanzamiento de 12 dados) Uniforme tiene una Distribución Normal Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 50
  51. 51. Definición de TCL. Demostración práctica El Teorema Central del Límite (TCL) expresa que la media y la suma de una muestra suficientemente grande (usualmente n>30 o 25) de una (escencialmente) distribución arbitraria tiene una distribución aproximadamente normal. Dada una muestra de variables aleatorias X1, . . . ,X n con µ = E(Xi) y σ2= Var(Xi), se cumple: 1. La suma de la muestra: es aprox. normal 2. La media de la muestra: es aprox. normal A.J. Hildebrand Hoja de cálculo de Microsoft Office Exce Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 51
  52. 52. If you are the expert, the best distribution is ¿Qué distribución the one that completely expresses your belief usar? about the uncertainty, J. Schuyler 1. La distribución Triangular, tiene una media que es igual al promedio de los 3 parámetros, estos es, (Min+Moda+Max)/3. La media es igualmente sensitiva a cada parámetro. 2. La distribución Beta tiene una media que es igual a (Min+4*Moda+Max)/6, en otras palabras es el promedio de los tres parámetros pero con un peso 4 veces mayor en la Moda. 3. a= tiempo optimista P(finalizar≤ a)= ≈.01, 1%=> Percentil 10 b = tiempo pesimista P(finalizar ≥b) < ≈.01 => P 90 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 52
  53. 53. Cont I. 4. Tener presente que la distribución Triangular tiene 0 probabilidad en el Máximo, lo cual es improbable (recordar ejemplo de Goldratt) 5. En la vida real, somos capaces de dar una estimación mas confiable de la Moda (el valor mas frecuente) que el de los extremos. Por ej. si se nos pregunta “¿cuál es el costo máximo de este proyecto?” empezamos a imaginar todas las cosas que pueden salir mal, lo cual dificulta una respuesta definitiva Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 53
  54. 54. Cont. II 6. La distribución Triangular es mas pesimista que la PERT cuando el sesgo es positivo y mas optimista en caso que es negativo. En el ejemplo de la izquierda ambas tienen el valor mas probable igual (30), pero el área a la derecha es 65% para la Beta y 78% para la Triangular. La de la derecha con valor mas probable de 35 tienen un área de 44% para la Beta y 38% para la Triangular Kyritopolus, K, et al., 2008 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 54
  55. 55. Estadísticas para las Distribuciones mas Comunes J. Goodpasture- Quantitative Methods in Project Management, p. 53 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 55
  56. 56. PERT Recargado Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 56
  57. 57. Estimación de 3 Puntos Media= Optimista+ 4 *Mas probable + Pesimista ________________________________ 6 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 57
  58. 58. Aproximaciones a PERT. Limitaciones. • Los valores de media y desvío son aproximaciones válidas y son exactas únicamente para valores particulares de α y β, específicamente: α =3- √2 ≈ 1,6 ó 3+√2 ≈ 4,4 β =3+ √2 ≈ 4,4 ó 3-√2 ≈ 1,6 Grubbs, 1962 • El camino crítico comprende pocas tareas, menos de la que las que el teorema central del límite requiere (n~25) • Enfoque excesivo en el camino crítico, ignorando caminos casi críticos (near critical path) que pueden volverse críticos (Williams, 2005) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 58
  59. 59. Simulación Monte Carlo para el análisis de la incertidumbre “We balance probabilities and choose the most likely. It is the scientific use of the imagination” A. Conan Doyle. The Hound of the Baskervilles (1902) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 59
  60. 60. Análisis Monte Carlo en el PMBOK Gestión de Tiempos. Análisis de Escenarios What-If. “La técnica mas común es la del Análisis Monte Carlo (Sección 11.4.2.2), en el cual se define una distribución de duraciones posibles para cada actividad, que es usada para calcular una distribución de posibles resultados para todo el proyecto ” (p.156 Ing., p.137 Esp.) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 60
  61. 61. ¿Qué es la simulación Monte Carlo? Método computacional usado para estudiar el comportamiento de sistemas matemáticos, físicos o de cualquier índole, a partir del uso de muestreo estadístico, números aleatorios y pseudo-aleatorios. Es iterativo -> requiere cálculos por computador. Las técnicas de Monte Carlo pueden ser usadas para encontrar soluciones aproximadas a problemas cuantitativos, con o sin incertidumbre. Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 61
  62. 62. Introducción al Método Monte Carlo El método Monte Carlo básicamente es una forma de resolver problemas complejos mediante aproximaciones usando gran cantidad de números aleatorios Desarrollado por S. Ulam y N. Metropolis en 1949 Modelo básico: 1. Un conjunto de variables de entrada generadas aleatoriamente a partir de determinadas distribuciones de probabilidad Fuente: 2. Elección de un modelo http://www.vertex42.com/ExcelArticl es/mc/MonteCarloSimulation.html 3. Resultado de la simulación Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 62
  63. 63. Ejemplo: Aproximación de π por el MMC Área Círculo = π r2 = π L=2 1 Área Cuadrado= L2= 4 Área Círculo = π 0.5 Área Cuadrado 4 r=1 4 * Área Círculo = π Área Cuadrado 0 Si n es grande podemos -0.5 pensar que es válida la aprox.: -1 -1 -0,5 0 0,5 1 4 *puntos_en_el_circulo = π n (total de ptos.) Referencia: http://twtmas.mpei.ac.ru/mas/Worksheets/approxpi.mcd Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 63
  64. 64. ¿Qué podemos deducir?. Pasos 4 *puntos_en_el_circulo = aprox π 1. Crear un modelo paramétrico n y = f(x1,…,x n) Se generan nros. randómicos 2. Generar un conjunto de con distribución uniforme para números randómicos xi1, ….xin x => g(xi1) ; g(xi2) ; …. g(xin) ; 3. Evaluar el modelo y guardar el aprox_π = resultado como yk yk = f(g(xki)) 4. Repetir los pasos 2 a 3 para i= 1 a n 5. Analizar los resultados usando histogramas, intervalos de err= | aprox_π – π| confianza, etc. Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP Julio 2010 64
  65. 65. Resumiendo.. gi(x) James F. Wright, 2002 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 65
  66. 66. Ejemplo práctico Problema… Actividad A 12 Actividad B 15 días Actividad C 10 Actividad D 5 Actividad E 22 A Actividad F 6 B “distribución de C duraciones posibles para cada actividad “ D (Uniforme) E 700 1 F Se puede definir la distribución mas 200 0,5 adecuada a la duración de cada TAREA y -300 0 no necesariamente al PROYECTO entero “una distribución de posibles resultados Nota: la cantidad de tareas debe ser >25, para todo el proyecto “ recordar TCL, este es un ejemplo simplificado Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 66
  67. 67. Hoja de Cálculo Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel Monte Carlo Determinista PERT Tamaño de la muestra (n) 10.000 Duración Media 73,78 del 70 72,50 Desvío Estándar 4,58 Proyecto Desvío Estándar de la Pablo Ortiz, MSc, PMP Media 0,046 Julio 2010 Ing. 67
  68. 68. Simulación con Distribución Triangular Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel Determinista PERT Duración del 70 72,50 Proyecto Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 68
  69. 69. Preguntas del GP. Lo importante… Williams (2003) indica que la simulación Monte Carlo ayuda al Gerente de Proyectos a responder preguntas tales como: Probabilidad Objetivo ¿Cuál es la probabilidad de Días Probalidad Éxito 60 0,0% alcanzar una fecha 62 0,3% (duración) determinada del 64 1,2% proyecto? 66 4,2% 68 10,6% 70 21,2% ¿Cuál es duración del 72 34,7% proyecto con un confianza 74 51,4% 76 67,7% del 90%? 78 81,1% 80 90,9% Conociendo la probabilidad de 82 96,4% terminar en una fecha 84 99,0% determinada el GP puede 86 99,9% 90 100,0% establecer una reserva en el crono para el proyecto Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 69
  70. 70. Análisis MC, cuestiones pendientes… 1. ¿Cómo se simulan distribuciones Beta y Normales? 2. ¿Cuándo N es suficiente? 3. Gestión del Riesgo. Técnicas de Análisis y Modelación del Riesgo. Modelación y Simulación. “La simulación de un proyecto en un modelo que traduce los detalles de incertidumbre del proyecto en su potencial impacto en los objetivos del proyecto. Las simulaciones iterativas son realizadas típicamente usando la técnica Monte Carlo” (p. 299) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 70
  71. 71. Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 71
  72. 72. Bibliografía breve PMBOK. 4th Edition (2008) . Project Management Institute PMBOK. 4ta. Edición (2008). Project Management Institute Goodpasture, J. (2004). Quantitative Methods in Project Management. Ed. J. Ross Publishing Anbari, F. (1997). Quantitative Methods for Project Management. International Institute for Learning Inc. Williams, T. (2003). The Contribution of Mathematical Modeling to the Practice of Project Management. IMA Journal of Management Mathematics. 14(1), p.3 Referencias de Internet Priano, M., Ochkov, V. http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/MonteCarloSimulation.html (consultado 25 de marzo de 2010) Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_carlo_simulation (consultado 15 de marzo de 2010) Riskglossary.com. http://www.riskglossary.com/link/monte_carlo_method.htm (consultado 08 de abril de 2010) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 72
  73. 73. Bibliografía breve (cont) (cont) Wittwer, J.W., "Monte Carlo Simulation Example: Sales Forecast“, http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/SalesForecast.html (consultado 26 de julio de 2010) Software Libre SimTools. http://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm (consultado 3 de mayo de 2010) MonteCarlito. www.montecarlito.com (consultado 13 de mayo de 2010) Monte Carlo Analysis for MS Project. http://sourceforge.net/projects/montecarloprj/ (consultado 13 de mayo de 2010) Otras Presentaciones El Dilema del Prisionero y la GP. http://www.slideshare.net/p.ortiz.bochard/dilema-del-prisionero (Diciembre 2009) Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 73
  74. 74. Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 74 El Cono de Incertidumbre

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