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Incerteza das Epidemias

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são tão imprevisíveis?


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Incerteza das Epidemias

  1. 1. Por que as Epidemias são tão imprevisíveis? Ecologia de Populações Prof. Dr. Harold Gordon Fowler popecologia@hotmail.com
  2. 2. Uma Pergunta Obvia Quando um surto de uma doença infecciosa é constatado (SARS, Influenza Aviaria, Influenza Suína, Ebola, e outras.), uma das perguntas mais importantes é: “Qual tamanho alcançará”? Podemos também fazer uma uma pergunta análoga para as epidemias existentes (HIV, TB, Malaria) Porém, a epidemiologia matemática ainda não tem meios de responder essas perguntas
  3. 3. A Epidemiologia Matemática Começou com a análise da epidemia de varíola de 1760 de Daniel Bernoulli Se desenvolveu extensivamente desde 1920 (Kermack e McKendrick) Atualmente centenas de modelos lidam com variações de doenças humanas, animais e vegetais Diversidade inacreditável dos modelos, que podem ser muito complexos, mas a maioria são variantes do original
  4. 4. O Modelo Padrão (SIR) (1) Os indivíduos passam entre três estados: Susceptíveis, (2) Mistura e uniformemente Infectados, e Recuperados aleatória Perda de Infecção imunidade Recuperação (ou morte)
  5. 5. Número Reprodutivo Básico R0 A premissa de mistura uniforme implica que as epidemias dependem somente do número total de infecciosos (I) e susceptíveis (S) Condição para uma epidemia é simples: R0 >1 R0 e o “Número Reprodutivo Básico” – Número médio de indivíduos infecciosas gerados por um único indivíduo infectado numa população susceptível R0 depende de – Grau de infecção da doença – Período de latência da infecção – Densidade de indivíduos susceptíveis próximo ao surto Prevenção de uma epidemia implica manter R0<1
  6. 6. Número Reprodutivo Básico R0=lp l= freqüência de contatos por dia (“lambda”) p= probabilidade de transmitindo uma infecção após contato
  7. 7. Os modelos padrão implicam que os surtos são bi-modais Quando R0 < 1 as epidemias nunca acontecem Quando R0 > 1, somente existem dois resultados possíveis: – O surto não chega a ser uma “epidemia” (pico a esquerdo) – O surto vira uma epidemia, infectando uma fração significante da população intera (pico a direto)
  8. 8. O tamanho da epidemia deve ser previsível Fração da população infectada Juntos, R0 e N no estágio final (tamanho populacional) determinam completamente o número esperado de casos Taxa reprodutiva
  9. 9. Também, as epidemias devem ter somente um “pico” Número de casos novos Uma vez que decola uma epidemia, segue a “curva logística” clássica (novos casos por dia)
  10. 10. As epidemias reais, porém… Diferem dramaticamente em tamanho – 1918-19 “Gripe Espanhola” – 1957-58 “Gripe Asiática” – 1968-69 “Gripe de Hong Kong” – 2003 SARS Epidemia Todas essas doenças tem valores quase iguais de R0! Quanto diferencia em tamanhos as epidemias de tamanho parecido têm? Desafortunadamente, os dados históricos sobre epidemias grandes são difíceis coletar.. Por isso, as distribuições verdadeiras do tamanho são desconhecidas
  11. 11. As Epidemias Aparentem Ser “multi-modais” Distribuição de tamanhos das epidemias de (A) sarampo e (B) pertusa na Islândia, 1888-1990
  12. 12. As Epidemias Reais também são “Resurgentes” Número de casos novos Data do começo Casos Diários Globais para a Epidemia de SARS em 2003: a epidemia tinha vários picos, separados por incidências baixas
  13. 13. Resultado é imprevisível As distribuições multi-modais de tamanho implicam qualquer surto da mesma doença pode ter restados dramaticamente distintos O reaparecimento implica que ainda para epidemias que aparente estão se apagando podem se regenerar ao invadir populações novas
  14. 14. O que torna imprevisível as epidemias? Insight chave da literatura sobre redes sociais: populações exibem estrutura Que tipo de estrutura? – A distribuição não homogênea da população – Redes de transporte e infra-estrutura – Redes sociais, organizacionais, e sexuais Resultado é – A mistura uniforme ocorre somente em contextos pequenos e relativamente confinados (onde o modelo padrão se aplica) – As epidemias grandes não são eventos únicos: são resultados de várias epidemias pequenas
  15. 15. Pandemia de Influenza de 1957
  16. 16. O entendimento das epidemias grandes requer a modelagem da estrutura populacional global Presume que o modelo padrão se aplica aos “contextos locais” (escolas, hospitais, prédios de apartamentos, povoados, ...) Porém, esses contextos locais são embutidos numa serie de contextos sucessivamente maiores (vizinhanças, cidades, regiões, estados, países, continentes…) As populações globais são “aninhadas” Os indivíduos podem “escapar” o contexto local atual e se mudar a outro A facilidade de mudar dos contextos “distantes” versus “próximos” depende da tecnologia
  17. 17. Um modelo aninhado simples de população
  18. 18. As populações aninhadas geram distribuições “chatas”de tamanhos de epidemias Resultados muito diferentes possíveis para o mesmo valor de R0 Distribuições similares para valores diferentes de R0
  19. 19. Número de casos novos A mesma doença pode ter trajetórias diferentes Resurgência pode ser causada por “eventos raros”
  20. 20. O tamanho da epidemia depende da freqüência e amplitude de viagens O tamanho médio da epidemia O tamanho médio da versus P0 (o número esperado epidemia versus x de infecciosos “escapando” o (“distancia típica viajada) contexto local)
  21. 21. Importância de Redes As populações grandes exibem estruturas de redes – Social, sexual, infra-estrutura, transporte As epidemias grandes precisam ser compreendidas como várias epidemias pequenas ligadas por redes Incorporando uma estrutura “multi-escala” do mundo em modelos de epidemias pode explicar a multi- modalidade e a resurgencia das epidemias Conhecimento de uma doença (R0) não ajuda prever o tamanho ou duração de uma epidemia Razão é que os “eventos raros” (como uma pessoa num avião) podem ter conseqüências imensas A estrutura populacional pode ser usada como medida de controle (como fechamento de escolas)
  22. 22. A Equação Demográfica
  23. 23. Exemplos da Demografia em Ambientes Constantes
  24. 24. Crescimento limitado assintomaticamente A equação demográfica (1) com taxa constante Λ com a condição inicial de N(0) leva a solução seguinte  N(t+1)= N(t)+Λ, N(0)=N0 Porque N(1)= N0 +Λ, N(2)=2 N0 +(+1) Λ, N(3)=3 N0 +(2 ++1) Λ, ..., N(t)=t N0 +(t-1+t-2+...++1) Λ
  25. 25. Crescimento Limitado num Ambiente Constante   N 0  t se  1,  N (t)  t           N0   se  1.      1  1 Porque 0   1, N(t)  1   como t   . 
  26. 26. Crescimento Geométrico (ambiente constante) Se recrutas novas chegam a uma taxa per capita positiva  por geração, ou seja ,se f(N(t))=N(t) então N(t+1)=( + )N(t). Ou seja, N(t)= ( +)t N(0). O número reprodutivo básico demográfico é Rd=/(1-) Mas R estima o número médio de descendentes produzidos por uma população colonizador pequena (N(0)) durante sua vida. Rd>1 implica que a população invada a uma taxa geométrica. Rd<1 leva a extinção.
  27. 27. Taxa de Crescimento Dependente da Densidade Se f(N(t))=N(t)g(N(t)), então Ou seja, N(t+1)=N(t)(g(N(t))+). O número reprodutivo básico demográfico é Ro=g(0)/(1-)
  28. 28. O Modelo de Beverton-Holt: Dinâmica Compensatória
  29. 29. O Modelo de Beverton e Holt: Dinâmica Compensatória Equilíbrio estável estável estável
  30. 30. Modelo de Beverton e Holt com o Efeito de Allee O efeito de Allee, um fenômeno biológico nomeado em homenagem a W. C. Allee, descreve uma relação positiva entre a densidade populacional e a taxa per capita de crescimento.
  31. 31. Efeito de Allee sobre estoques explorados
  32. 32. O Modelo de Ricker: Dinâmica de Sobre-compensação g(N)=exp(p-N)
  33. 33. O Modelo de Ricker: Dinâmica de Sobre-compensação
  34. 34. Os ciclos populacionais são estáveis globalmente? Em ambientes constantes, os ciclos populacionais não são estáveis globalmente (Elaydi-Yakubu, 2002).
  35. 35. Constant Recruitment In Periodic Environments
  36. 36. Constant Recruitment In Periodic Environment
  37. 37. Periodic Beverton-Holt Recruitment Function
  38. 38. Geometric Growth In Periodic Environment
  39. 39. SIS Epidemic Model
  40. 40. Disease Persistence Versus Extinction
  41. 41. Asymptotically Cyclic Epidemics
  42. 42. Exemplo Premissa de processo Poisson para modelar infecções. E Deixe Com
  43. 43. Example
  44. 44. Epidemias e Demografia Geométrica
  45. 45. Persistence and Geometric Demographics
  46. 46. Cyclic Attractors and Geometric Demographics
  47. 47. Multiple Attractors
  48. 48. Question Are disease dynamics driven by demographic dynamics?
  49. 49. S-Dynamics Versus I-Dynamics (Constant Environment)
  50. 50. SIS Models In Constant Environments In constant environments, the demographic dynamics drive both the susceptible and infective dynamics whenever the disease is not fatal.
  51. 51. Periodic Constant Demographics Generate Chaotic Disease Dynamics
  52. 52. Periodic Beverton-Holt Demographics Generate Chaotic Disease Dynamics
  53. 53. Periodic Geometric Demographics Generate Chaotic Disease Dynamics
  54. 54. Conclusion • We analyzed a periodically forced discrete-time SIS model via the epidemic threshold parameter R • We also investigated the relationship between pre-disease invasion 0 population dynamics and disease dynamics • Presence of the Allee effect in total population implies its presence in the infective population. • With or without the infection of newborns, in constant environments the demographic dynamics drive the disease dynamics •Periodically forced SIS models support multiple attractors • Disease dynamics can be chaotic where demographic dynamics are non-chaotic
  55. 55. S-E-I-S MODEL
  56. 56. Doenças de Animais Doenças em populações de peixes, camarões e outros Malaria em mosquitos Doenças em vacas, ovelhas, frangos, camelos, antas e outros.

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