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Ecologia de Populações  Prof. Dr. Harold Gordon Fowler     popecologia@hotmail.comMudança Geométrica de    Populações
ObjetivosCrescimento em ambientes sem limitações    Crescimento Aritmético   dn/dt = c                             Nt+1 = ...
Populações crescem de       formas diferentes:Crescimento Aritmético (?)Crescimento Exponencial (iteroparidade)Crescimento...
“Uma população tende aumentargeometricamente se seu crescimento nãotem controleA oferta de alimento aumenta somentearitmet...
A Teoria de Crescimento    Populacional de MalthusThomas Malthus publicou suas idéias sobre o efeito da população sobre a ...
A Teoria de Crescimento   Populacional de MalthusA conseqüência desses dois princípios é que eventualmente  a população ex...
Postulados do modelo Malthusiano:O alimento é necessário à subsistência dohomem;A paixão entre os sexos é necessária edeve...
A Teoria de CrescimentoPopulacional de Malthus                   A população cresce                   exponencialmente….  ...
Crescimento AritméticoImagine uma espécie na qual todos os  nascimentos acontecem de uma vez  (natalidade).Todas as mortes...
Crescimento Aritmético                        Crescimento Populacional        60        50        40  números        30   ...
Crescimento Linear                                                Crescimento Populacional   dn/dt = c                    ...
Premissas do crescimento          linearNúmero constante de indivíduos ou objetos adicionados a cada unidade de tempoO núm...
Dois Modelos de Crescimento                 13    Populacional ExplosivoDevido as diferencias nas historias vitais entre a...
Populações crescem pela                    14     multiplicação.Uma população aumenta em proporção a seu tamanho, de forma...
Crescimento GeométricaAumento populacional  – Porcentagem fixa do tamanho populacional    ao começo do períodoExemplo de c...
Crescimento Geométrico de uma        folha de papelNúmero de dobras   Espessura    –1             0.020   cm    –2        ...
Crescimento Geométrico de uma        Folha de Papel Número de dobras    Espessura    12               3.175 cm    20      ...
Began at 4 yrs   Began at 6 yrs
Crescimento Geométrica Contagem de indivíduos - Densidade populacional Reprodução de séries temporais - Censos populaciona...
Crescimento Geométrico:Indivíduos adicionados uma vez por ano  (reprodução sazonal)Usa equações de diferenciaPressupõe nen...
Crescimento Geométrico (modelo discreto) •Se uma população aumenta ou diminua a cada ano por uma proporção constante (z) •...
Crescimento GeométricoCrescimento geométricoMuitas vezes é útil examinar o crescimento populacional em períodos curtos de ...
O crescimento geométricocompara unidades diferentes          de tempo.Ao comparar uma “unidade” de tempo a “unidade” de te...
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Crescimento GeométricoO crescimento geométrico discreto se  caracteriza por mudanças durante um período  fixo de tempo . C...
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Como fica o modelo       nesses casos?Se xn é a quantidade de interesse após n intervalos de tempo.Um modelo discreto será...
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Um paradigma de       modelagemO valor futuro = Valor atual + Mudançaxn+1    =       xn       +    G xnMeta da modelagem é...
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Mudança na População éProporcional a População                          Mudança da biomassa versus biomassa               ...
Mudança na População é  Proporcional a População       Qual é o tangente que melhor ajusta os dados?Mudança da biomassa   ...
O ModeloDo gráfico podemos estimar que         Gxn = xn+1 - xn ~ 0.5xnE obtemos         xn+1 = xn + 0.5xn = 1.5xn       O ...
A SoluçãoA solução encontrada pela substituição:         xn+1 = 1.5(1.5xn-1)               = 1.5[1.5(1.5xn-2)]            ...
Exemplo: Crescimento de Leveduras   Tempo (horas)   Biomassa      Mudança de biomassa        n                 xn         ...
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Testando o ModeloNossa hipótese é Gxn = k(665-xn) xn ou seja a mudança da biomassa é proporcional ao produto (665-xn) xn c...
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Crescimento Geométrico de PopulaçõesEquação: N(t + 1) = N(t)λλ = taxa geométrica de crescimento =                 N (t  1...
No     Mudança Exponencial de Gado                = 1.44 ; N1 = 10          Ano Abundância
1/N(dN/dtv)                           dN/dtv              Abundância            Abundância
Tamanho da População (adultos)Ano       = 1.04
Representação Gráfica daMudança Exponencial de    No = 10 e  = 1.2Abundância (N)                           Ln(N)         ...
Como interpretar ? = 1.00, abundancia é constante > 1.00, abundancia aumenta   – Taxa = ( - 1.0)*100% < 1.00, abundan...
Crescimento Geométrico: N                    >1eg>0     N0                =1eg=0                      <1eg<0          t...
Como prever o tamanho populacional no futuro?  Por exemplo, quantos serão em dois anos?                          Nt + 2 = ...
Crescimento Geométrico de                       70           PopulaçõesO crescimento geométrico resulta em padrões sazonai...
Modelo de projeção do crescimentogeométrico (para prever o tamanhopopulacional futuro)Nt+1 = Nt + GNt       = (1 + G)NtSe ...
Crescimento Geométrico de                   72         PopulaçõesPara calcular o crescimento de uma população sobre muitos...
Crescimento geométrico em vários          intervalos do tempo:                 N1 =  N0           N2 =  N1 = ·  · N0  ...
Exemplo do crescimento geométrico (Nt   =  t N 0)Se  =1.12 (12% / unidades de tempo) N0 = 100N1 = (1.12) 100            ...
N(t)=N(0)tt é o tempo transcorrido em geraçõesprova: N(t)=N(t-1) N(t)= * l N(t-2) N(t)= *  *  N(t-3) ….
 é um parâmetro do      crescimento aritmético e      descreve a quantidade de    crescimento populacional por           ...
Crescimento GeométricoReprodução em pulsos e gerações  sucessivas se diferem em tamanho  por uma razão constanteNt = N0λtλ...
Tempo de DobrarEm quanto tempo a população dobra?               Nt = λt N0                λt = Nt/N0           Se Nt/N0 = ...
Observação: Akcakaya et al. usam ‘R’ em vez de λ para     a taxa finita de aumento em modelos discretos.                  ...
Crescimento Geométrico    (ambiente constante)Se novos recrutas chegam a taxa per capita positiva  por geração,   ou seja...
Dinâmica TransitóriaA dinâmica transitória pode ser simulada por um processo de iteração da equação exponencial de previsão
Dinâmica TransitóriaQuando os logaritmos da densidade populacional são representado em gráficos contra o tempo, existe uma...
Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores  que as mortes), a população cresce          exponencialmente:
Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores  que as mortes), a população cresce          geometricamente:
Se R < 0 (ou natalidade menor que   mortalidade), a população diminuageometricamente aproximando o zero, ou              s...
Se R < 0 (ou natalidade menor que   mortalidade), a população diminuageometricamente aproximando o zero, ou              s...
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ProblemaUma população de esperanças cresce a uma taxa de 23% por ano.No começo do ano 2011, a população foi 144 indivíduos...
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Crescimento Geometrico

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Crescimento Geometrico

  1. 1. Ecologia de Populações Prof. Dr. Harold Gordon Fowler popecologia@hotmail.comMudança Geométrica de Populações
  2. 2. ObjetivosCrescimento em ambientes sem limitações Crescimento Aritmético dn/dt = c Nt+1 = ct + Nt Crescimento Geométrico Nt+1 =  Nt Crescimento Exponencial Nt+1 = Ntert dN/dt = rNPremissas do ModeloCrescimento em ambientes com limitações Crescimento Logístico dN/dt = rN (K - N)/K B-D taxas de nascimentos e mortesPremissas do Modelo
  3. 3. Populações crescem de formas diferentes:Crescimento Aritmético (?)Crescimento Exponencial (iteroparidade)Crescimento Geométrico (semelparidade)Crescimento Logístico (ambos)
  4. 4. “Uma população tende aumentargeometricamente se seu crescimento nãotem controleA oferta de alimento aumenta somentearitmeticamentePorque a população aumenta maisrapidamente do que a oferta de alimento,o aumento da população causa miséria epobreza humana” Malthus, 1798
  5. 5. A Teoria de Crescimento Populacional de MalthusThomas Malthus publicou suas idéias sobre o efeito da população sobre a oferta de alimento em 1758. argumento está baseado em dois princípios:A população cresce a uma taxa geométrica (1, 2, 4, 16, 32, ...).A produção de alimentos cresce a uma taxa aritmética (1, 2, 3, 4,...).
  6. 6. A Teoria de Crescimento Populacional de MalthusA conseqüência desses dois princípios é que eventualmente a população excede a capacidade da agricultura para prover subsistência para os novos membros da população. A população aumentaria até alcançar um limite de crescimento. O crescimento futuro seria limitado quando: – Controles preventivos – retarda do casamento (redução da taxa de fertilidade), aumento do custo de alimento, etc. – Controles positivos - inanição, guerras, doenças, aumentariam a taxa de mortalidade. As idéias de Malthus tem apoio nos governos ocidentais porque destaca o problema de muitas pessoas para se alimentar em vez da distribuição desproporcional dos recursos;
  7. 7. Postulados do modelo Malthusiano:O alimento é necessário à subsistência dohomem;A paixão entre os sexos é necessária edeverá permanecer aproximadamente emseu estado permanente;Malthus afirma que a capacidade do homemde se reproduzir é muito maior que acapacidade do planeta de produzir meiospara sua subsistência.
  8. 8. A Teoria de CrescimentoPopulacional de Malthus A população cresce exponencialmente…. De população excede a capacidade de suporte… A população sofre uma retro-alimentação negativa– controles preventivos ou positivos
  9. 9. Crescimento AritméticoImagine uma espécie na qual todos os nascimentos acontecem de uma vez (natalidade).Todas as mortes ocorrem no intervalo antes dos nascimentos (mortalidade).No mesmo intervalo, indivíduos podem sair da população por emigração, e entrar por imigração.Isso é o crescimento aritméticoAlgumas espécies exibem esse tipo de crescimento, como pastos e gafanhotos.
  10. 10. Crescimento Aritmético Crescimento Populacional 60 50 40 números 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 tempo
  11. 11. Crescimento Linear Crescimento Populacional dn/dt = c 60Onde c é o número de 50indivíduos adicionadosem cada unidade 40de tempo números 30A forma integrada 20Nt = ct + N0 10 0 0 2 4 6 8 10 12 tempo
  12. 12. Premissas do crescimento linearNúmero constante de indivíduos ou objetos adicionados a cada unidade de tempoO número adicionada não é proporcional ao tamanho populacional
  13. 13. Dois Modelos de Crescimento 13 Populacional ExplosivoDevido as diferencias nas historias vitais entre as espécies, existe uma necessidade para dois modelos diferentes (expressões matemáticas) de crescimento populacional: – Crescimento exponencial: apropriado quando indivíduos jovens são adicionados continuamente a população – Crescimento geométrico: apropriado quando indivíduos jovens são adicionados a população a um tempo particular do ano ou em outro intervalo discreto de tempo
  14. 14. Populações crescem pela 14 multiplicação.Uma população aumenta em proporção a seu tamanho, de forma análoga a taxa de interesse da poupança sobre o principal: – A uma taxa anual de aumento de 10%: uma população de 100 adiciona 10 indivíduos em 1 ano uma população de 1000 adiciona 100 indivíduos em 1 ano – Permite crescer sem controle, um crescimento de taxa constante que rapidamente aproximaria a infinidade
  15. 15. Crescimento GeométricaAumento populacional – Porcentagem fixa do tamanho populacional ao começo do períodoExemplo de crescimento exponencial é o crescimento geométrico - – Crescimento por dobrar a população – Porcentagem fixa é 200%
  16. 16. Crescimento Geométrico de uma folha de papelNúmero de dobras Espessura –1 0.020 cm –2 0.040 cm –3 0.080 cm –4 0.160 cm –5 0.320 cm –6 0.640 cm –7 1.280 cm –8 1.540 cm
  17. 17. Crescimento Geométrico de uma Folha de Papel Número de dobras Espessura 12 3.175 cm 20 0.381 m 35 4828 km 42 617988 km (chega a Lua) 50 149668992 km (chega a Sol)
  18. 18. Began at 4 yrs Began at 6 yrs
  19. 19. Crescimento Geométrica Contagem de indivíduos - Densidade populacional Reprodução de séries temporais - Censos populacionais MODELAGEM: Determinar os PROCESSOS que influenciam a VARIAÇÃO do número de indivíduos entre dois instantes de tempo consecutivosGerações separadas Tempo discreto Semelparidade Iteroparidade sazonal
  20. 20. Crescimento Geométrico:Indivíduos adicionados uma vez por ano (reprodução sazonal)Usa equações de diferenciaPressupõe nenhuma taxa específica a idade para natalidade ou mortalidade
  21. 21. Crescimento Geométrico (modelo discreto) •Se uma população aumenta ou diminua a cada ano por uma proporção constante (z) •Se a população aumenta por 25% entre anos, então z = 0.25. Nt + 1 = Nt + zNt Nt + 1 = (1 + z) Nt Se 1 + z = λ.  é a taxa finita de aumento. **** Nt + 1 = λ Nt **** •Se λ = 1.25, então a população aumenta 25% por ano
  22. 22. Crescimento GeométricoCrescimento geométricoMuitas vezes é útil examinar o crescimento populacional em períodos curtos de tempo.O crescimento exponencial analisa a taxa de crescimento durante um período comprido de tempo.
  23. 23. O crescimento geométricocompara unidades diferentes de tempo.Ao comparar uma “unidade” de tempo a “unidade” de tempo anterior resulta numa razão.A letra grega “λ” representa essa razão.Podemos usar essa razão para comparar duas espécies: – Veado campineiro (λ=1.05) e pardal (λ=1.02).
  24. 24. O crescimento geométricocompara unidades diferentes de tempo.Quando você compara uma “unidade” de tempo à “unidade” anterior do tempo você obtêm uma razão.Lambda grega “λ” representa essa razão.Pode usar essa representação para comparar duas espécies: – Saúva limão (λ=1.05) e saúva mata pasto (λ=1.02).
  25. 25. Crescimento GeométricoO crescimento geométrico discreto se caracteriza por mudanças durante um período fixo de tempo . Como exemplo, a equação Nt= Nt-1GÉ a equação do crescimento populacionaldiscreto porque o número num tempo dado(t) se calcula do número presente numaunidade temporal discreta anterior (t-1).
  26. 26. Crescimento GeométricoG é a taxa anual de crescimento. G = 1+ B -D é a taxa finita per capita de mudança, e B e D são as taxas per capita de natalidade e mortalidade, respectivamente. Essa equação é uma equação de diferenças porque o crescimento se calcula pela diferença entre as densidades populacionais em dois pontos no tempo. A equação pode ser resolvida para qualquer período de tempo sob a condição de que G é constante; N t= N 0 G t
  27. 27. Crescimento GeométricoA equação do crescimento geométrico é: G = NG = taxa de crescimento da população= taxa de mudança finita da populaçãoN = tamanho populacional
  28. 28. Crescimento GeométricoA população aumenta por um fator constante a cada geraçãoDecore: – G = NExemplo: bactéria dobrando – Aumento pelo fator de dois a cada geração
  29. 29. O jogo de xadrez do Rei§ A curva de crescimento de forma de J descrita pela equação G = N, é típica do crescimento geométrico l G = a taxa de crescimento populacional l  = taxa de mudança finita da população l N = o tamanho populacional
  30. 30. Crescimento Geométrico G = NG = taxa de mudança finita da população= -18.1% ou - 0.181N = 86,500G = - 0.181(86,500) =70,844 peixes
  31. 31. Como fica o modelo nesses casos?Se xn é a quantidade de interesse após n intervalos de tempo.Um modelo discreto será a regra, ou conjunto de regras, que descreve como xn muda entre os intervalos de tempo.O modelo descreve como xn+1 depende de xn (e tal vez de xn-1, xn-2, …).
  32. 32. Como fica o modelo nesses casos?Em geral: xn+1 = f(xn, xn-1, xn-2, …)Somente examinaremos: xn+1 = f(xn)
  33. 33. Iteração de Modelos Discretos Dado uma equação de diferenças e uma condição inicial, x0, podemos calcular os iterações x1, x2 …, dessa forma: x1 = f(x0)Dado a equaçãoxdiscreta xn+1 = f(xn) 2 = f(x1) podemos fazer = f(x2) x3 previsões sobre as características das . . iterações? .
  34. 34. Um paradigma de modelagemO valor futuro = Valor atual + Mudançaxn+1 = xn + G xnMeta da modelagem é encontrar uma aproximação razoável para G xn que reproduz um conjunto de dados ou um fenômeno observado.
  35. 35. Exemplo: Crescimento de LevedurasDados de um experimento medindo o crescimento de umacultura de leveduras: Tempo (horas) biomassa mudança de biomassa n xn Gpn = xn+1 - Gxn 0 9.6 8.7 1 18.3 10.7 2 29.0 18.2 3 47.2 23.9 4 71.1 48.0 5 119.1 55.5 6 174.6 82.7 7 257.3
  36. 36. Mudança na População éProporcional a População Mudança da biomassa versus biomassa DxnChange in biomass 100 50 xn 50 100 150 200 Biomass
  37. 37. Mudança na População é Proporcional a População Qual é o tangente que melhor ajusta os dados?Mudança da biomassa Dxn Dxn = xn+1 - xn ~ 0.5xn 100 50 xn 50 100 150 200 Biomassa
  38. 38. O ModeloDo gráfico podemos estimar que Gxn = xn+1 - xn ~ 0.5xnE obtemos xn+1 = xn + 0.5xn = 1.5xn O modelo: xn+1 = 1.5xn
  39. 39. A SoluçãoA solução encontrada pela substituição: xn+1 = 1.5(1.5xn-1) = 1.5[1.5(1.5xn-2)] = … = (1.5)n+1 x0 Solução: xn = (1.5)nx0Esse modelo prevê que aumentará para sempre --- crescimento explosivo.
  40. 40. Exemplo: Crescimento de Leveduras Tempo (horas) Biomassa Mudança de biomassa n xn Dxn = xn+1 - Dxn 0 9.6 8.7 1 18.3 10.7 2 29.0 18.2 3 47.2 23.9 4 71.1 48.0 5 119.1 55.5 6 174.6 82.7 7 257.3 93.4 8 350.7 90.3 9 441.0 72.3 10 513.3 46.4 11 559.7 35.1 12 594.8 34.6 13 629.4 11.5 14 640.8 10.3 15 651.1 4.8 16 655.9 3.7 17 659.6 2.2 18 661.8
  41. 41. Biomassa de levedura aproxima um nível populacional estávelBiomassa de levedura 700 100 5 10 15 20 Tempo em horas The limiting yeast biomass is approximately 665.
  42. 42. Refinando O ModeloO modelo original: Gxn = 0.5xn xn+1 = 1.5xnObservação dos dados: a mudança da biomassa fica menor ao limitar mais os recursos, e particularmente quando xn aproxima o valor de 665.O modelo novo: Gxn = k(665- xn) xn xn+1 = xn + k(665- xn) xn
  43. 43. Testando o ModeloNossa hipótese é Gxn = k(665-xn) xn ou seja a mudança da biomassa é proporcional ao produto (665-xn) xn com uma proporcionalidade constante k.Gráfico de Gxn versus (665-xn) xn para verificar se existe uma proporcionalidade razoávelSe existe, podemos usar o gráfico para estimar k.
  44. 44. Testando o Modelo Mudança da biomassa 100 10 50,000 100,000 150,000 (665 - xn) xnOur hypothesis seems reasonable, and the constant ofProportionality is k ~ 0.00082.
  45. 45. Comparando o Modelo aos Dados O modelo novo: xn+1 = xn + 0.00082(665-xn) xnBiomassa de levedura 700 Experimento Modelo 100 5 10 15 20 Tempo em horas
  46. 46. Crescimento Populacional N = número de indivíduos na população N(t) = N no tempo t N(t + 1) = N no tempo t + 1 Δ N = N(t + 1) - N(t)Mas, os padrões e direções de mudança depopulações dependem de taxasdemográficas
  47. 47. Crescimento Populacional4 maneiras que uma população pode mudar de tamanho (modeloo BIDE): Aumentam tamanho populacional –nascimentos (B) –imigração (I) Diminuem o tamanho populacional –mortes (D) –emigração (E)ΔN=B+I-D-EAs populações fechadas não tem imigração ou emigração, então, – I = 0 e E = 0, e – Δ N = B – D
  48. 48. Dinâmica Populacional Modelo de diferencia do crescimentogeométrico com uma quantidade finita de tempo∆N/ ∆t = taxa de ∆ = (bN - dN) = GN,onde b = taxa finita de natalidade ou taxa per capita de natalidade / unidade de tempoG = b-d, GN = taxa finita de crescimento
  49. 49. Dinâmica PopulacionalPor que importa? – A dinâmica anterior pode nos informa sobre a dinâmica atual e futuraNt+1 = Nt + NoB + NoI - NoD - NoE – Simples, mas … – Modelos – Simplificações da Realidade – são representações matemáticas de como as populações mudam no tempo (dinâmica). – São ideais – Simples suficiente para ser interpretada e suficiente complexos para serem reais – Capturam as propriedades gerais – ignoram a variação aleatória – Lidando com a incerteza, com a meta de sua redução Manejo adaptativo
  50. 50. Um dos padrões mais fundamentais de populações é sua Abundancia no Tempo. O crescimento ou declínio populacional depende dos processos demográficos de Nascimentos, Imigração, Mortes e Emigração. (BIDE)Esses processos demográficos dependem de interações ecológicas, como acompetição por recursos, predação, doenças e outras, e de detalhes da estruturapopulacional, como a proporção de fêmeas maduras e características da historiavital como a idade da primeira reprodução, filhotes por ninhada, e outras. Usamos modelos de crescimento populacional para descrever os padrões passados e prever padrões futuros. Começamos com a fissão binária simples de bacteria.
  51. 51. Crescimento geométricoComeçamos com 1 bactéria no tempo t = 0: N0 = 1, e a cada unidade de tempo a bactéria sofre fissão binária e o número de bactéria dobra. Então N0 = 1 2 N0 = N1 = 2 = 2 1 2 N1 = N2 = 4 = 2 2 2 N 2 = N3 = 8 = 2 3 … 2 Nt-1 = Nt = N0 2t … Exemplo, 1 unidade de tempo = 20 minutos; 36 horas = 108 unidades de tempo, e N108 = 12108 = suficiente para cobrir a Terra! A taxa de crescimento geométrica por unidade de tempo é  = ( Nt / Nt-1 ). Exemplo de bactéria,  = 2 por 20 minutos. = 20min Qual seria  per hora? hr = 2(60/20) = 23 = 8 por hora Qual seria  por minuto? min = 2(1/20) = 20.05 = 1.035 por minuto
  52. 52. MODELAGEM DA VARIAÇÃO DO NÚMERO DE INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃOVariação do númerode indivíduos de uma Número de Número Número Número depopulação entre dois = - - nascimentos de mortes + de imigrantes emigrantesinstantes de tempo (B) (D) (I) (E)consecutivos I B D E D P = B +I-D-E População aberta População fechada I=0eE=0 I B D E D P = B -D
  53. 53. GERAÇÕES SEPARADAS DINÂMICA INDEPENDENTE DA DENSIDADE Fração média de sobrevivência Fração média de sobrevivência1000 ovos no de ovos para larva =0,92 920 de larva para pupa =0,25 230início do ano t larvas pupas Fração média de sobrevivência de pupa para adulto =0,20 Fim do ano t Mortalidade Início do Início do ano t+1 ano t 46 1000 ovos X 0,92=920 larvas adultos 920 larvas X 0,25 =230 pupas Fecundidade média de 100 230 pupas X 0,2 = 46 adultos ovos por adulto Combinando-se as frações de sobrevivência: 0,92 X 0,25 X 0,2 = 0,046 fração de sobrevivência total média 4600 ovos 1000 x 0,046 x 100 = 4600
  54. 54. UM MODELO DE DINÂMICA POPULACIONAL INDEPENDENTE DA DENSIDADE Et 1  R Et Número de ovos Sobrevivência total Número de ovos no início do ano t+1 média de ovos para no início do ano t adultos vezes a fecundidade Após T períodos ET  RT E0 Número de ovos Número de ovos iniciais após T períodos Dinâmicas possíveis ??
  55. 55. 60 50 R 1POPULAÇÃO 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 TEMPO CRESCIMENTO ILIMITADO
  56. 56. 200 180 160 R 1 POPULAÇÃO 140 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 TEMPO EXTINÇÃODECRESCIMENTO EXPONENCIAL
  57. 57. PremissasNenhuma imigração ou emigração – Mudaremos isso depoisTaxa constante de natalidade e mortalidade – Nenhuma especificidade de sexo, tempo, ou espaçoA taxa de mudança é independente da abundanciaO crescimento ocorre em passos discretos
  58. 58. Modelo Geométrico de PopulaçõesIngredientes – Lambda () = taxa de mudança finita da população (aumento ou diminuição) A mudança proporcional de abundancia durante um intervalo de tempo =  
  59. 59. Taxa Finita de aumento Nt + 1 = λ Nt λ= Nt + 1/Nt Razão sem dimensão, sem unidades•Por exemplo, se o tamanho populacional de lobos guarás na áreade estudo é 150 esse ano e o tamanho populacional é 200 no anoseguinte, então  é igual a 1.33(200/150).•Se λ = 1.33, então a população aumenta 33% por unidade detempo (ano) λ > 1, aumento exponencial λ = 1, sem mudança — população estacionária λ < 1, declínio exponencial
  60. 60. Crescimento Geométrico:N(t) = N(0)λtIntervalos múltiplos de tempo.N(t+1) = N(t) λDemonstra o crescimento num intervalo de tempo.
  61. 61. Mudança ExponencialEm cada passo muda por um fator constante – Multiplicar pelo constante (geométrico) Não é a mudança aritmética – mudança por uma diferencia constante (adicionar um valor constante) Nt+1 = Nt  (exemplo: 2011 a 2012) Nt+2 = Nt   Nt+2 = Nt 2 Nt+2/ Nt = 2 ….  = raiz quadrado de (2) ou a raiz t e não /2
  62. 62. Crescimento Geométrico de PopulaçõesEquação: N(t + 1) = N(t)λλ = taxa geométrica de crescimento = N (t  1) N (t )Isso e a mudança proporcional da população – se λ = 1.5, a população aumentará em 50% – se λ = 0.5, a população diminuirá em 50%
  63. 63. No Mudança Exponencial de Gado = 1.44 ; N1 = 10 Ano Abundância
  64. 64. 1/N(dN/dtv) dN/dtv Abundância Abundância
  65. 65. Tamanho da População (adultos)Ano  = 1.04
  66. 66. Representação Gráfica daMudança Exponencial de No = 10 e  = 1.2Abundância (N) Ln(N) Tempo > Tempo >
  67. 67. Como interpretar ? = 1.00, abundancia é constante > 1.00, abundancia aumenta – Taxa = ( - 1.0)*100% < 1.00, abundancia diminua – Taxa = ( - 1.0)*100%
  68. 68. Crescimento Geométrico: N >1eg>0 N0  =1eg=0 <1eg<0 tempo
  69. 69. Como prever o tamanho populacional no futuro? Por exemplo, quantos serão em dois anos? Nt + 2 = λ Nt + 1 Nt + 1 = λ N t Nt + 2 = λλ Nt Nt + 2 = λ2 Nt Nt = λt N0 Onde N0 é o tamanho inicial da população.Exemplo: N0 = 100, λ = 1.15, t = 10 anos N10 = (1.1510)100 = 405 indivíduos
  70. 70. Crescimento Geométrico de 70 PopulaçõesO crescimento geométrico resulta em padrões sazonais de aumento e decremento.A equação que descreve esse padrão de crescimento é: N(t + 1) = N(t)onde: N(t + 1) = número de indivíduos após de uma unidade de tempo N(t) = tamanho populacional inicial  = razão da população a qualquer tempo a uma unidade de tempo anterior, de forma que λ = N(t + 1)/N(t)
  71. 71. Modelo de projeção do crescimentogeométrico (para prever o tamanhopopulacional futuro)Nt+1 = Nt + GNt = (1 + G)NtSe  (lambda) = (1 + G), então Nt+1 =  Nt  = Nt+1/Nt ∆ proporcional diferente do a ∆ finito como anterior Taxa proporcional de ∆/tempo  = taxa finita de aumento, proporcional /unidade de tempo
  72. 72. Crescimento Geométrico de 72 PopulaçõesPara calcular o crescimento de uma população sobre muitos intervalos de tempo, N(t), multiplicamos o tamanho original da população, N(0), pela taxa de crescimento geométrico () pelo número apropriado de intervalos de tempo t: N(t) = N(0)  tPara uma população que cresce a uma taxa geométrica de 50% por ano ( = 1.50), uma população inicial de N(0) = 100 cresceria à N(10) = N(0)  10 = 5.767 em 10 anos.
  73. 73. Crescimento geométrico em vários intervalos do tempo: N1 =  N0 N2 =  N1 = ·  · N0 N3 =  N2 = ·  ·  · N0 N t =  t N0As populações crescem por multiplicação em vez de adição (como taxas de juros compostos)Se conhecemos  e N0, podemos resolver para Nt.
  74. 74. Exemplo do crescimento geométrico (Nt =  t N 0)Se  =1.12 (12% / unidades de tempo) N0 = 100N1 = (1.12) 100 112N2 = (1.12 x 1.12) 100 125N3 = (1.12 x 1.12 x 1.12) 100 140N4 = (1.12 x 1.12 x 1.12 x 1.12) 100 157
  75. 75. N(t)=N(0)tt é o tempo transcorrido em geraçõesprova: N(t)=N(t-1) N(t)= * l N(t-2) N(t)= *  *  N(t-3) ….
  76. 76.  é um parâmetro do crescimento aritmético e descreve a quantidade de crescimento populacional por geraçãoN(t+1)/N(t) = ¨ se  =1 a população é constante, se  <1 a população decresce,¨ se  >1 a população cresce
  77. 77. Crescimento GeométricoReprodução em pulsos e gerações sucessivas se diferem em tamanho por uma razão constanteNt = N0λtλ = Nt+1/Nt = taxa geométrica de aumentoλ = Ro com reprodução em pulsos
  78. 78. Tempo de DobrarEm quanto tempo a população dobra? Nt = λt N0 λt = Nt/N0 Se Nt/N0 = 2, o que é t? λt = 2 t ln(λ) = ln(2) t = ln(2)/ln(λ) t = ln(2)/r (crescimento contínuo)
  79. 79. Observação: Akcakaya et al. usam ‘R’ em vez de λ para a taxa finita de aumento em modelos discretos. Nt = R t N0
  80. 80. Crescimento Geométrico (ambiente constante)Se novos recrutas chegam a taxa per capita positiva  por geração, ou seja,se f(N(t))=N(t) então N(t+1)=( + )N(t).Ou seja, N(t)= ( +)t N(0).O número reprodutivo básico demográfico é Rd=/(1-)Rd, uma quantidade sem dimensões, representa o número médio de descendentes produzidos por uma população pioneira pequena (N(0)) durante a vida. Rd>1 implica que a população invade a uma taxa geométrica. Rd<1 resulta na extinção.
  81. 81. Dinâmica TransitóriaA dinâmica transitória pode ser simulada por um processo de iteração da equação exponencial de previsão
  82. 82. Dinâmica TransitóriaQuando os logaritmos da densidade populacional são representado em gráficos contra o tempo, existe uma relação linear com a tendência igual a taxa per capita de mudança, R. A dinâmica transitória não é estável porque a população não retorna a densidade prévia, mas ou cresce para atingir uma densidade nova ou declina até a extinção.
  83. 83. Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores que as mortes), a população cresce exponencialmente:
  84. 84. Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores que as mortes), a população cresce geometricamente:
  85. 85. Se R < 0 (ou natalidade menor que mortalidade), a população diminuageometricamente aproximando o zero, ou se extingue:
  86. 86. Se R < 0 (ou natalidade menor que mortalidade), a população diminuageometricamente aproximando o zero, ou se extingue:
  87. 87. Dinâmica TransitóriaPode existir uma solução estável sob a condição não provável de que R = 0 (ou a mortalidade é exatamente igual que a natalidade), causando a população a ficar em equilíbrio (sem mudança):
  88. 88. ProblemaUma população de esperanças cresce a uma taxa de 23% por ano.No começo do ano 2011, a população foi 144 indivíduos.Qual seria a população no começo de 2021? As gerações são discretas, ou não sobre-põem
  89. 89. Respostat=10 (10 anos são 10 gerações para uma espécie anual).N(t+1)/N(t)=  =1.23 (1.23 é 1.00 mais 23%)N(t)=N(0)t;N(t)=144*(1.23)10=144*7.93N(t)=1141
  90. 90. ProblemaUma espécie de aranha reproduz no fim de verão e deixa somente ovos para sobreviver o inverno. Uma população local da aranha aumentou de 5000 à 6000 num um ano.1. Essa espécie tem gerações que sobrepõem? Explique.2. Qual seria as  para essa população?3. Prevê o tamanho populacional após 3 anos.4. Qual é uma premissa que precisa aceitar na previsão do tamanho populacional futuro?
  91. 91. Quando usar modelos de tempo discretoOs modelos discretos descrevemfenômenos ou eventos biológicosconsiderando tempo em intervalosfixos, ou discretos.
  92. 92. Quando usar modelos de tempo discreto Exemplos:O tamanho de uma população de insetos no ano i;A proporção de indivíduos numa população com um gene particular na geração i;O número de células numa cultura de bactéria no dia i;A concentração de um gás tóxico no pulmão depois respirar i vezes;A concentração de uma droga na sangue após a dosagem i.
  93. 93. Outras Características de Não pode ser mudado por escalamento /2 NÃONão pode ser somado – GeométricoAs vezes representada como R – R = ( - 1)

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