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Coelhos e raposas

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Coelhos, Raposas e a Modelagem
          Matemática

  Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
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  1. 1. Coelhos, Raposas e a Modelagem Matemática Prof. Dr. Harold Gordon Fowler popecologia@hotmail.com Ecologia de Populações
  2. 2. Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional Como cresce uma população? Deixamos “x” para representar a população. Se a população x(t) no tempo t muda para x + Δx no intervalo temporal [t, t + Δt]. Então a taxa de crescimento é x x(t ) t
  3. 3. Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional Para a população de raposas Começamos com a premissa que a população da raposa não chega a ser muito grande, assim podemos ignorar a saturação populacional Para o crescimento sem limites x  a( s  s0 ) x(t ) t A única presa da raposa é o coelho; assim s é proporcional a população de coelhos A população de coelhos e representada por “y” x  a(by (t )  s0 ) x(t ) t  cx (t ) y (t )  dx(t )  (cy  d ) x
  4. 4. Tempo População Taxa de Crescinmento 0,1 1 10 2 11 3 12,1 4 13,31 5 14,641 1200 6 16,105 7 17,716 1000 8 19,487 9 21,436 10 23,579 800 11 25,937 12 28,531 600 13 31,384 14 34,523 400 15 37,975 16 41,772 200 17 45,95 18 50,545 0 19 55,599 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 20 61,159 21 67,275 22 74,002 23 81,403 24 89,543 25 98,497 26 108,35 27 119,18 28 131,1
  5. 5. Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional Para a população de coelhos, a premissa básica é o crescimento sem limites se os coelhos estão sendo consumidos pelas raposas – ainda temos outra premissa de que o número de coelhos consumidos é proporcional a população de raposas y  f y (t )  g x(t ) y (t ) t  ( f  gx) y
  6. 6. Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional A taxa de crescimento depende de vários fatores, como A oferta per capita de alimento – chamado “s” Uma quantidade mínima de alimento, s0, é necessário para suster a vida x  a( s  s0 ) x(t ) t A taxa de crescimento é proporcional a s – s0 x  a( s  s0 ) x(t ) t Deixamos que “a” seja a coeficiente de crescimento
  7. 7. As Equações de Predador – Presa Lotka e Volterra População de raposas – x x  (cy  d ) x t População de coelhos – y y  ( f  gx) y t onde c, d, f, g são parâmetros constantes
  8. 8. Tempo Raposa Coelho c 5E-06 1 35000 70000 d 0,3 2 36750 80500 f 0,5 3 40517 91166 g 1E-05 4 46831 99812 5 56153 102975 120000 6 68219 96639 7 80716 79033 100000 8 88397 54757 9 86080 33732 10 74774 21561 80000 11 60403 16220 12 47181 14532 13 36455 14942 60000 14 28242 16966 15 22165 20657 40000 16 17805 26407 17 14814 34909 18 12956 47192 20000 19 12126 64674 20 12410 89169 0 Raposa 21 14220 122688 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Coelho 19 22 18676 166586 23 28630 218767 24 51357 265518
  9. 9. A saturação da população de coelhos: Tempo Raposa Coelho c 0,000005 1 50000 60000 d 0,3 2 50000 60000 f' 0,0000125 3 50000 60000 g 0,00001 4 50000 60000 rab-sat 100000 5 50000 60000 6 50000 60000 62000 7 50000 60000 8 50000 60000 60000 9 50000 60000 58000 10 50000 60000 11 50000 60000 56000 12 50000 60000 54000 13 50000 60000 14 50000 60000 52000 15 50000 60000 50000 16 50000 60000 17 50000 60000 48000 18 50000 60000 46000 19 50000 60000 20 50000 60000 44000 Raposa 21 50000 60000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 22 50000 60000 Coelho 23 50000 60000 24 50000 60000
  10. 10. Tempo População Oferta de alimento 8 1 10 Oferta mínima de alimento 5 2 11 coeficiente de crescimento0,0333 3 12,1 4 13,31 População 5 14,64 6 16,104 1200 7 17,715 8 19,486 1000 9 21,434 10 23,578 800 11 25,935 12 28,528 600 13 31,381 400 14 34,519 15 37,97 200 16 41,767 17 45,943 0 18 50,537 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 19 55,59 20 61,149 21 67,263 22 73,988 23 81,386 24 89,524
  11. 11. Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional O crescimento infinito é real? Se a população alcança a saturação em x0 O coeficiente de crescimento é proporcional a x0 – x x  b( x0  x(t ))(s  s0 ) x(t ) t  bx0 ( s  s0 ) x(t )  b( s  s0 ) x(t ) 2 Podemos interpretar o termo x2 como um número proporcional ao número médio de encontros entre x indivíduos. Por isso mensura um tipo de fricção social.
  12. 12. Tempo População Oferta de alimento 8 1 10 Oferta mínima de alimento 5 2 11 coeficiente da saturação 1000 3 12,099 da população 0,00003367 4 13,306 5 14,632 6 16,089 7 17,688 8 19,443 600 9 21,369 500 10 23,481 11 25,797 400 12 28,335 300 13 31,117 14 34,162 200 15 37,495 100 16 41,14 17 45,125 0 18 49,477 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 19 54,227 20 59,408 21 65,052 22 71,195 23 77,875 24 85,129
  13. 13. Modelagem da Dinâmica Populacional Começamos com a população de raposas Se a população de raposas não cresce muito de forma que podemos ignorar a “saturação populacional” O modelo de crescimento sem limites é x  a( s  s0 ) x(t ) t Agora, se a única fonte alimentar da raposa é o coelho, então s é proporcional a população de coelhos A população de coelhos é representada por “y” x  a(by (t )  s0 ) x(t ) t  cx (t ) y (t )  dx(t )  (cy  d ) x
  14. 14. Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional Como no caso da população de coelhos, temos como premissa que existe crescimento exponencial quando os coelhos estão sendo consumidos pelas raposas – ainda temos a premissa do que o número de coelhos é proporcional a população de raposas y  f y (t )  g x(t ) y (t ) t  ( f  gx) y
  15. 15. As Equações de Predador – Presa Lotka e Volterra População de raposas – x População de coelhos – y x  (cy  d ) x t y  ( f  gx) y t onde c, d, f, g são parâmetros constantes
  16. 16. Tempo RaposasCoelhos c 5E-06 1 35000 70000 d 0,3 2 36750 80500 f 0,5 3 40517 91166 g 1E-05 4 46831 99812 5 56153 102975 120000 6 68219 96639 7 80716 79033 100000 8 88397 54757 9 86080 33732 10 74774 21561 80000 11 60403 16220 12 47181 14532 13 36455 14942 60000 14 28242 16966 15 22165 20657 40000 16 17805 26407 17 14814 34909 18 12956 47192 20000 19 12126 64674 20 12410 89169 0 Raposas 21 14220 122688 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Coelhos 19 22 18676 166586 23 28630 218767 24 51357 265518
  17. 17. Introduzimos uma saturação para a população de coelhos: Tempo Raposas Coelhos c 0,000005 1 50000 60000 d 0,3 2 50000 60000 f' 0,0000125 3 50000 60000 g 0,00001 4 50000 60000 saturação 100000 5 50000 60000 6 50000 60000 62000 7 50000 60000 8 50000 60000 60000 9 50000 60000 58000 10 50000 60000 11 50000 60000 56000 12 50000 60000 54000 13 50000 60000 14 50000 60000 52000 15 50000 60000 50000 16 50000 60000 17 50000 60000 48000 18 50000 60000 46000 19 50000 60000 20 50000 60000 44000 Raposas 21 50000 60000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 22 50000 60000 Coelhos 23 50000 60000 24 50000 60000
  18. 18. Interações entre Predadores e Presas: Sumário As interações predador e presa são freqüentemente dramáticas, como as interações entre coelhos e raposas O modelo simples de predação de Lotka e Volterra gera flutuações de predador e presa Os modelos gráficos identificam os fatores que estabilizam e desestabilizam a interação predador e presa Importância da predação na natureza evidenciada por: – Diversidade, ubiqüidade de adaptações anti- predador – Evidencia que os predadores controlam as presas, sob condições específicas – Impacto de predadores e presas que interagem sobre os ciclos populacionais

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