propiedades de matrices y determinantes

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Propiedades de matrices y determinantes, Algebra Lineal.

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propiedades de matrices y determinantes

  1. 1. PROPIEDADES DE MATRICES Y DETERMINANTES(a) Suma de matrices y multiplicación de un escalar (d) Propiedades de matrices diagonales: por una matriz: Si A y B son matrices diagonales: 1. A + B = B + A 2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 1. A + B diag ( a11 + b11 , a22 + b22 ,..., ann + bnn ) = 3. α ( A + B ) = α A + α B 2. AB = diag ( a11b11 , a22b22 ,..., annbnn ) 4. (α + β ) A = A + β A α 3. α A = diag (α a11 , α a22 ,..., α ann ) 5. α ( β A ) = (αβ ) A 6. A + 0 = A Donde “0” es (e) Propiedades de la inversa: 7. A + ( − A ) =0 la matriz nula 1. A−1 es única 2. ( A−1 ) = A −1(b) Multiplicación de matrices: 1. A ( B + C ) = AB + AC 3. ( AB ) = B −1 A−1 −1 2. ( A + B ) C =AC + BC 1 4. (α A ) −1 = A−1 ∀ α ≠ 0 3. A ( BC ) = ( AB ) C α 4. α ( AB ) (α A ) B A (α B ) ( ) =(A ) −1 = = 5. An −1 n 5. A0n 0= 0n = nA 6. ( A ) = ( A ) −1 T T −1 6. BI n I= B = nB 7. En general, AB ≠ BA (la multiplicación no es 1 7. A−1 = ( Adj A) donde Adj A es la adjunta de A det ( A ) conmutativa) 8. AB = 0 no implica necesariamente que A = 0 ó B = 0 9. AB = AC no implica necesariamente que B = C (f) Propiedades de la transpuesta:(c) Propiedades de la traza: 1. ( AT ) = A T 1. tr ( A + B= tr ( A ) + tr ( B ) ) 2. ( A + B ) =AT + BT T 2. tr ( AB ) = tr ( BA ) 3. tr (α A ) α ⋅ tr ( A ) = 3. ( AB ) = BT AT T 4. tr ( AT ) = tr ( A ) 4. (α A ) = α AT TDIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAMAsignatura: Álgebra Lineal Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta
  2. 2. PROPIEDADES DE MATRICES Y DETERMINANTES(g) Propiedades de matrices simétricas/antisimétricas: (k) Propiedades de los determinantes: Si A es una matriz cuadrada: 1. El valor de un determinante no varía si se intercambian 1. A + AT = matriz simétrica sus filas por sus columnas; es decir: det ( A ) = det AT ( ) 2. A − AT = matriz antisimétrica 2. det ( λ A ) = λ det ( A ) n donde n es el orden de A 3. det ( AB ) = det ( A ) det ( B ) Si A y B son matrices simétricas/antisimétricas: 3. A + B también es simétrica/antisimétrica ( ) 4. det A−1 = 1 det ( A ) suponiendo que A−1 existe 4. α A también es simétrica/antisimétrica 5. AB no necesariamente es simétrica/antisimétrica 5. Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son nulos, el valor del determinante es nulo. 6. Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el(h) Matriz ortogonal: valor del determinante es cero. 1. AT = A−1 7. Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, el valor del determinante es cero. = = 2. AAT AT A I 8. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un mismo escalar, el valor del determinante(i) Propiedades de la conjugada: queda multiplicado por dicho escalar. ( ) 9. Si en un determinante se intercambian dos de sus filas o 1. A = A columnas, el valor del determinante cambia de signo, pero 2. ( A + B ) =A + B mantiene su valor absoluto. 10. Si a una fila o columna de un determinante se le suma el 3. ( AB ) A ⋅ B = (en este orden) múltiplo de cualquier otra (fila o columna), el valor del determinante no varía. 4. (α A ) α ⋅ A = 11. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.(j) Propiedades de la conjugada-transpuesta: 12. Si det ( A ) = 0 , A es una matriz singular. 13. Si det ( A ) ≠ 0 , A es una matriz no singular. ( ) * 1. A* =A 2. ( A + B ) =A* + B* * (l) Propiedad de la adjunta: 3. ( AB ) = B A * * * 1. A ( Adj A ) = ( Adj A) A = det ( A ) ⋅ I n 4. (α A ) = α ⋅ A* * donde A es una matriz cuadrada de orden nDIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAMAsignatura: Álgebra Lineal Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta

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