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Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α Cos (– α) = cos(360º – α   cos α tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α Si dos ángulo...
Si un ángulo mide α  su complementario mide 90º – α    sen (90º – α) = AC / AB = cos α cos (90º – α) = BC / AB = sen α t...
0º = 0 rad r=1 cos 0º=1 sen 0º = 0 Razones de 0º = 0 rad 14. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACION...
90º =  rad r=1 cos 90º = 0 sen 90º = 1 Razones de 90º 15. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES ...
180º =  rad cos 180º=-1 sen 180º = 0 r=1 Razones de 180º   16. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACI...
270º =  r=1 sen 270º =-1 cos 270º =0 Razones de 270º   17. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES...
sen 30º cos 30º 30º r=1 r=1 r=1 r=1 Calculamos el sen 30º Sea el triángulo equilátero de lado 1 Trazando la altura, dividi...
r=1 30º sen 30º cos 30º Una vez obtenido el seno, y utilizando [1], podemos calcular el coseno: Y la tangente será: 18.2 R...
Las razones trigonométricas de 30º son las siguientes: 18.3 Razones trigonométricas de 30º (III) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8....
r=1 sen 45º cos 45º Este triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90º y los otros dos de 45º. Por lo que es isósceles, y po...
Las razones trigonométricas de 45º son las siguientes: 19.2 Razones trigonométricas de 45 (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. R...
Teniendo en cuenta que: sen (90º –   ) = cos   sen 60º = cos 30º cos (90º –   ) = sen   cos 60º = sen 30º Tenemos ento...
0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 21. Regla pnemotécnica para las razones trigonométricas de ángulos principales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA ...
B C a b c A <ul><li>Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo </li></ul><ul><li>A + B + C = 180º    B + C...
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Tema 08 Relaciones Trigonometricas

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Tema 08 Relaciones Trigonometricas

  1. 1. 0º 90º =π /2 rad 180º =π rad 270º = 3π/2 rad 360º =2π rad La longitud de una circunferencia es de 2πR  Tomando como unidad de medida el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia mide 2π radios. Por tanto: <ul><li>1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81'' </li></ul><ul><li>N grados = Nπ  / 180 radianes </li></ul><ul><li>n radianes = 180n / π  grados </li></ul>1 Grados sexagesimales y radianes MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  2. 2. Los ángulos  y  son iguales: ambos miden un radián 2. Concepto de radian MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández r  r  r' r'
  3. 3. <ul><li>Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”. </li></ul><ul><li>Se simboliza sen B. </li></ul>Por semejanza de triángulos se tiene que: <ul><li>El seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa. </li></ul>3. Seno de un ángulo agudo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  4. 4. <ul><li>Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”. </li></ul><ul><li>Se simboliza cos B. </li></ul>Por semejanza de triángulos se tiene que: <ul><li>El coseno de un ángulo B es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa </li></ul>4. Coseno de un ángulo agudo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  5. 5. <ul><li>Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento ST, se llama “tangente de B”. </li></ul><ul><li>Se simboliza tan B. </li></ul>Por semejanza de triángulos se tiene que: <ul><li>La tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por el cateto contiguo. </li></ul>Como ABC y SBT son semejantes: 5. Tangente de un ángulo agudo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  6. 6. Origen de medida de ángulos  = 405º  = –105º Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo menor que 360º definido por su misma posición El ángulo reducido de 405º es el de 45º 6. Ampliación del concepto ángulo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández Sentido negativo Sentido positivo
  7. 7. Aplicando el Teorema de Pitágoras: (sen α ) 2 + (cos α) 2 = sen 2 α + cos 2 α = 1 Dividiendo en la relación anterior por cos 2  7.1 Relaciones entre las razones trigonométricas (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  8. 8. Dividiendo por tenemos: 7.2 Relaciones entre las razones trigonométricas (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  9. 9. 8. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández  y y y y x x x r r r    r x r y r x x y
  10. 10. cos  Cos α Cos α Cos α Signos del (coseno, seno) en cada cuadrante (+,+) (–,+) (–, –) (+, –) I II III IV 9. Signos de la razones trigonométricas en los distintos cuadrantes MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández r = 1 u. r = 1 u. r = 1 u. α α α  r = 1 u. sen  Sen α Sen α sen  0º 90º =  /2 rad 180º = π rad 270º =3π /2 rad 360º = 2π rad
  11. 11. Si un ángulo mide α  su suplementario mide 180º – α. sen (180º – α) = sen α cos (180º – α) = – cos α tan (180º – α) = – tan α 10. Razones trigonométricas de ángulos suplementarios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α x y – x 180º – α y 1 1
  12. 12. sen (180º + α) = – sen α cos (180º + α) = – cos α tan (180º + α) = tan α Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α  11. Razones trigonométricas de ángulo que difieren en 180º MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α x – x 180º + α y – y 1 1
  13. 13. Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α Cos (– α) = cos(360º – α  cos α tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α  12. Razones trigonométricas de ángulos opuestos MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández – y y α x – α 1 1
  14. 14. Si un ángulo mide α  su complementario mide 90º – α  sen (90º – α) = AC / AB = cos α cos (90º – α) = BC / AB = sen α tan (90º – α) = 1 / tan α 14. Razones trigonométricas de ángulos complementarios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α 90º - α A B C
  15. 15. 0º = 0 rad r=1 cos 0º=1 sen 0º = 0 Razones de 0º = 0 rad 14. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  16. 16. 90º = rad r=1 cos 90º = 0 sen 90º = 1 Razones de 90º 15. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  17. 17. 180º = rad cos 180º=-1 sen 180º = 0 r=1 Razones de 180º 16. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  18. 18. 270º = r=1 sen 270º =-1 cos 270º =0 Razones de 270º 17. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  19. 19. sen 30º cos 30º 30º r=1 r=1 r=1 r=1 Calculamos el sen 30º Sea el triángulo equilátero de lado 1 Trazando la altura, dividimos el triángulos en dos rectángulos, donde el ángulo es de 30 º 30º 30º r=1 1/2 r=1 Sen 30º=1/2 18.1 Razones trigonométricas de 30º (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  20. 20. r=1 30º sen 30º cos 30º Una vez obtenido el seno, y utilizando [1], podemos calcular el coseno: Y la tangente será: 18.2 Razones trigonométricas de 30º (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  21. 21. Las razones trigonométricas de 30º son las siguientes: 18.3 Razones trigonométricas de 30º (III) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  22. 22. r=1 sen 45º cos 45º Este triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90º y los otros dos de 45º. Por lo que es isósceles, y por tanto sus catetos son iguales sen 45º = cos 45º Utilizando: 45º 19.1 Razones trigonométricas de 45º (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  23. 23. Las razones trigonométricas de 45º son las siguientes: 19.2 Razones trigonométricas de 45 (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  24. 24. Teniendo en cuenta que: sen (90º –  ) = cos  sen 60º = cos 30º cos (90º –  ) = sen  cos 60º = sen 30º Tenemos entonces que las razones son las siguientes: 20. Razones trigonométricas de 60º MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  25. 25. 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 21. Regla pnemotécnica para las razones trigonométricas de ángulos principales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández cos Sen 90º 60º 45º 30º 0º
  26. 26. B C a b c A <ul><li>Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo </li></ul><ul><li>A + B + C = 180º  B + C = 90º </li></ul><ul><li>Teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = c 2 </li></ul>Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos. 22. Resolución de triángulos rectángulos MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández 90º b a senB   c a cosB   b c tanB  

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