Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
Wstępu do logiki i teorii mnogości
Spis treści
1. Definicja zdania w sensie logic...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań
...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady.
Kwantyfikator – termin przyjęty ...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności.
A⊂B⇔∀x x∈ A⇒ x∈B
A=B⇔ A⊂B...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykład...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.
R jest rel...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej.
Pr...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suri...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja
...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady.
Rela...
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie s...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

4,731 views

Published on

Moje notatki do egzaminu z Analizy Matematycznej

Published in: Education, Technology
1 Comment
2 Likes
Statistics
Notes



  • <b>[Comment posted from</b> http://piotr.szlagor.net/2009/09/w-dzisiejszym-poscie-publikuje-moje.html]
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
4,731
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
574
Actions
Shares
0
Downloads
122
Comments
1
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

  1. 1. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) Wstępu do logiki i teorii mnogości Spis treści 1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych..........................................2 2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń......................................................................................2 3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń........................................................................2 4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady..................................................................................................................3 5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady.................................................................................................3 6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady....................................3 7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności............................................................................................................4 8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki..................................................................................................................4 9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady............................................................5 10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.........................................................................6 11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady................................................6 12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych....7 13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych........7 14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady.........................................................................................................................................................................8 15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady.........................9 16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady...................................................................10 17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi................................................................................................................10 18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne......................................11 19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych...........................11 20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów................................................................................11 Strona nr 1
  2. 2. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych. Zdanie w sensie logicznym – zdanie oznajmujące, któremu w jednoznaczny sposób można przypisać ocenę prawdy lub fałszu. Spójniki zdaniowe: • ¬ p - negacja („nie”), • p∧q – koniunkcja („i”), • p∨q – alternatywa („lub”), • p⇒q - implikacja („Jeżeli … to …”), • p⇔q - równoważność („… wtedy i tylko wtedy, gdy ...”). Wartość logiczna zdań złożonych zależy jedynie od podstawowych zdań składowych. 2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń. Tautologia (prawo rachunku zdań) - taki układ zdania złożonego, który jest zawsze prawdziwy, bez względu na wartość logiczną zdań składowych. Przykłady: • ¬¬p⇔ p , • ¬ p⇒q⇔ p∧¬q , •  p⇒q∧q⇒r⇔ p⇒r . 3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń. Reguła dowodzenia – elementarne ogniwo rozumowań dedukcyjnych. Każda reguła dowodzenia jest tautologią. p1, p2, ... , pn q ⇔ p1∧ p2∧...∧pn⇒q Przykłady: • p , p⇒q q , • p⇒q ,q⇒r p⇒r , • ¬q⇒¬ p p⇒q , • ¬ p⇒q∧¬q p . Strona nr 2
  3. 3. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady. Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce na oznaczenie zwrotów „dla każdego”, „istnieje” i im podobnych. Funkcja zdaniowa – wyrażenie zawierające zmienne wolne, która w wyniku związania się z kwantyfikatorami staje się zdaniem. Przykład: ∀0 ∃N ∀nN∣an−g∣ 5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady. ¬∀x x⇔∃x ¬x ¬∃x x⇔∀x ¬x Przykład: ¬∀n∈ℕ1n4⇔∃n∈ℕ1n≤4 6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady. 1. ∀x∈X x∧x⇔∀x ∈X x∧∀x∈ X  x 2. ∀x∈X x ∨∀x ∈X x⇒∀x ∈X  x∨x  3. ∃x∈X x∧x⇒∃x ∈X x∧∃x∈X x  4. ∃x∈X x∨x⇔∃x∈ X  x∨∃x∈X x Przykład: ∀x∈ℤ x0∨∀x ∈ℤ x≤0⇒∀x∈ℤx0∨x≤0 Kontrprzykład: ∀x∈ℤ x0∨x≤0⇒∀x∈ℤ x0∨∀x ∈ℤ x≤0 Strona nr 3
  4. 4. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności. A⊂B⇔∀x x∈ A⇒ x∈B A=B⇔ A⊂B∧B⊂A A∩B=B∩A A∪B=B∪A  A∩B∩C =A∩B∩C  A∩B∪C= A∩B∪ A∩C  Działania uogólnione: ∑i∈I Ai={x :∃i∈I x ∈Ai } suma uogólniona ∏i∈I Ai={x :∀i∈I x ∈Ai} iloczyn uogólniony X ∖∑i∈I Ai ⇔∏i∈I X ∖ Ai X ∖∏i∈I Ai⇔∑i∈I X ∖ Ai 8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki. Relacja – zależność pomiędzy dwoma bądź większą ilością elementów DR={x ∈X :∃y∈Y x , y∈R} Dziedzina relacji D −1 R={y∈Y :∃x∈ X x , y∈R} Przeciwdziedzina relacji R −1 ={ y , x:x , y∈R} Relacja odwrotna S° R={x , z:∃y∈X x , y∈R∧ y , z∈S} Złożenie relacji Przykłady: • xRy⇔ y=2x , • ASB⇔ A∩B≠∅ Strona nr 4
  5. 5. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady. • R jest zwrotna w X ⇔∀x∈X xRx • R jest symetryczna w X ⇔∀x , y∈ X xRy⇒ yRx • R jest przechodnia w X ⇔∀x , y , z∈X xRy∧yRz ⇒xRz • R jest antysymetryczna w X ⇔∀x , y∈ X  xRy∧yRx⇒ x=y • R jest spójna w X ⇔∀x , y∈ X xRy∨ yRx • R jest asymetryczna w X ⇔∀x , y∈ X xRy⇒¬ yRx • R jest przeciwzwrotna w X ⇔∀x∈X ¬ xRx Przykładowe wykresy relacji: R jest relacją: – równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia, – porządkującą, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, – liniowo porządkującą gdy jest relacją porządkującą i jest spójna. Strona nr 5 Relacja zwrotna Relacja symetryczna Relacja przechodnia Relacja Antysymetryczna Relacja spójna Relacja asymetryczna Relacja przeciwzwrotna
  6. 6. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki. R jest relacją równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia, Przykłady: • xRy⇔∣x∣=∣y∣ , • ASB⇔ A=B . 11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady. [ x] - klasa równoważności elementu x względem relacji R [ x]={y∈ X : xRy} (zbiór wszystkich elementów zbioru X równoważnych z x) Gdy R jest relacją równoważnościową to: • ∀x∈X [ x]≠∅ , • ∑x∈X [ x]=X , • ∀x , y∈X [ x]∧[ y]≠∅⇔[x ]=[ y]⇔xRy X /R={[x ]: x∈ X } - iloraz zbioru przez klasę równoważności R (dowolnemu podziałowi zbioru odpowiada pewna relacja równoważności). Przykłady: • Kierunek na płaszczyźnie. Weźmy lRm⇔l∥m - relacja równoległości prostych na płaszczyźnie. [l]={p:l∥p} - zbiór prostych równoległych do l (kierunek). Kierunkiem na płaszczyźnie określamy klasę równoważności tej prostej względem relacji równoległości. • Wektor swobodny. Weźmy AB SCD⇔AB=CD - relacja równości wektorów. [AB]={CD :AB=CD} - zbiór wektorów równych wektorowi AB Wektorem swobodnym na płaszczyźnie nazywamy klasę równoważności ustalonego wektora względem relacji równości wektorów. Strona nr 6
  7. 7. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych: ℕ - zbiór liczb naturalnych. 1. 0 jest liczbą naturalną. 2. ' : ℕℕ ( n'=n1 ). 3. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. 4. ∀n∈ℕ∖{0}∃m∈ℕ m'=n . 5. ∀m ,n∈ℕm'=n' ⇒m=n 6.  A⊂ℕ∧0∈ A∧∀n∈ℕ n∈ A⇒n' ∈ A⇒ A=ℕ Zasada indukcji matematycznej:  A⊂ℕ∧k0∈ A∧∀n≥k 0 n∈ A⇒n1∈ A⇒ A=ℕ Przykłady: • 12 22 ...n2 = nn12n1 6 , • 10∣3 4n2 . 13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych. Zbiór liczb całkowitych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na zbiorze par liczb naturalnych, zdefiniowanej następująco: a ,b Rc ,d ⇔ad=bc ,gdzie a ,b ,c ,d∈ℕ (liczbę całkowitą można skonstruować jako zbiór wszystkich par liczb naturalnych, które dałyby ten sam wynik przy odejmowaniu). Przykłady: Liczbę 2 można skonstruować jako zbiór {2,0,3,1,4,2,} Liczbę -3 można skonstruować jako zbiór {1,4,2,5 ,3,6 ,} Zbiór liczb wymiernych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na zbiorze par liczb całkowitych, zdefiniowanej następująco:  p ,r Rq ,s⇔ p⋅s=r⋅q , gdzie p ,q∈ℤ∧r ,s∈ℤ∖{0} (liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich takich par, gdzie pierwszy element pary jest liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą). Przykłady: Liczbę 1 2 można skonstruować jako zbiór { ,−1,−2,1,2 ,2,4 ,} Strona nr 7
  8. 8. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady. Definicja funkcji: Relacja f ⊂X ×Y jest funkcją jeżeli: 1. D f =X . 2. D f −1 ⊂Y 3. ∀ x , y1∧x , y2 xfy1∧xfy2⇒ y1= y2 xfy= f x Funkcja jest iniekcją, gdy ∀x1, x2 ∈X  f x1= f x2⇒x1=x2 . Przykład: f x=x Kontrprzykład: f x=∣x∣ Funkcja jest suriekcją, gdy ∀y∈Y ∃x∈ X f x=y . Przykład: f x=x 2 , gdy f :ℝ [0,∞ Kontrprzykład: f x=x 2 , gdy f :ℝℝ Funkcja jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją. Funkcja jest monotoniczna, gdy jest rosnąca lub malejąca. Strona nr 8
  9. 9. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady. Obraz zbioru przez funkcję to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja przyjmuje dla argumentów branych z danego zbioru. f : X  Y A⊂X f  A={ f  x: x ∈A} f  A∩B⊂ f  A∩ f B f  A∪B= f  A∪ f B f  A∖ f B⊂ f  A∖ B Przeciwobraz zbioru poprzez funkcję to zbiór tych elementów z dziedziny funkcji, które funkcja przeprowadza na elementy danego zbioru. f : X  Y B⊂Y f −1 B={x∈D f : f x∈B} f −1 A∩B= f −1  A∩ f −1 B f −1 A∪B= f −1  A∪ f −1 B f −1 A∖ B= f −1  A∖ f −1 B Funkcja odwrotna: Funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej. Funkcja jest odwracalna, gdy jest bijekcją (iniekcją i suriekcją). f −1 x:Y  X Złożenie funkcji:  f : X Y ∧g :Y  Z ⇒ f °g : X  Z  f °g x= f gx Przykład: • f x=2x1 g x=x 2  f °g x= f gx= f  x 2 =2x 2 1 g° f  x=g f x=g2x1=2x1 2 =4x 2 4x1 Strona nr 9
  10. 10. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady. Relacja jest porządkująca, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Przykład: • xRy⇔ x≤y , • x1, y2S x2, y2⇔[x1≤x2∧ y1≤y2] . Kontrprzykład: • xRy⇔ xy , • x1, y2S x2, y2⇔[x1x2∧ y1y2] . Relacja jest liniowo porządkująca, gdy jest relacją porządkująca i jest spójna. Przykład: • x1, y2T x2, y2⇔x1x2∨[ x1=x2∧ y1≤ y2] . Kontrprzykład: • x1, y2T x2, y2⇔x1x2 . 17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych: R⊂A×A • x0∈ A jest największy w A ⇔∀x∈A xRx0 , • x0∈ A jest najmniejszy w A ⇔∀x∈A x0 Rx , • x0∈ A jest elementem maksymalnym w A ⇔∀x∈A x0 Rx⇒ x0=x , • x0∈ A jest elementem minimalnym w A ⇔∀x∈A xRx0⇒ x0=x . Związki pomiędzy elementami specjalnymi: 1. W zbiorze uporządkowanym każdy element największy (najmniejszy) jest elementem maksymalnym (minimalnym). 2. W zbiorze uporządkowanym może istnieć co najwyżej jeden element największy (najmniejszy). 3. Gdy w zbiorze liniowo uporządkowanym element x0 jest maksymalny (minimalny), to jest największy (najmniejszy) . Przykład: • A={1,2,3 ,...,7} xRy⇔ x≤y element największy (i zarazem maksymalny) to x0=7 , bo ∀x∈A x≤7 . element najmniejszy (i zarazem minimalny) to x0=1 , bo ∀x∈A 1≤x . Strona nr 10
  11. 11. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne. Zbiory A i B są równoliczne (co zapisujemy jako A~B), jeśli istnieje f : A B bijekcja. Relacja równoliczności jest jest równoważnościowa. Przykład zbiorów równolicznych: A={a1, a2, a3, ...,an} B={b1, b2, b3, ... ,bn} Przykład zbiorów nierównolicznych: A={a1, a2, a3, ...,an} B={b1, b2, b3, ... ,bm } dla m≠n A - moc zbioru A (ilość elementów w zbiorze) A=B⇔ A~B A=ℵ0⇔ A~ℕ (Istnieje f :ℕ A ) 19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych. Zbiór jest przeliczalny, jeśli jest skończony lub A~ℕ Zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi. Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego można ustawić w ciąg – "wypisać je po kolei". Własności zbiorów przeliczalnych: • podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. • suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. • iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Przykłady: • 2ℕ , • ℤ . 20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów. Zbiór X jest mocy continuum, jeśli X jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. A=C ⇔ A~ℝ (Istnieje f :ℝ A ) Przykład: • − 2,  2  ( f x=arctanx  ). Strona nr 11

×