1. Bµi d¹y
Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬ (tiÕt 2)
Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o H¶I Phßng

2. Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
C©u hái kiÓm tra bµI cò
1. H·y ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa tÝch v« h­íng cña hai
vÐct¬
2. X¸c ®Þnh c¸c mÖnh ®Ò sau ®óng hay sai?
a. nÕu ⊥
r r r
a.b = 0
r
a
r
b
b.
r
a = (1;2) ⇒ ⊥
r r r
b = (- 2;1) a b,
c. lµ mét sè
r
k.a

3. Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
3. C«ng thøc h×nh chiÕu:
a. §Þnh nghÜa:
Cho vÐc t¬ vµ ®­êng th¼ng d. Gäi A’, B’ lÇn l­ît lµ
h×nh chiÕu cña A, B trªn d. Khi ®ã, lµ h×nh chiÕu
cña vÐct¬ trªn ®­êng th¼ng d.
r uuur
a = AB ur uuuur
a' = A'B'r
a
A
B
A’ B’
d
r
a

4. A
B
A’ B’
d
r
a A1
B1
A1’ B1’ d’
r
b
ur
b'
ur
a'
NhËn xÐt: Cho hai vÐct¬ , lÇn l­ît cã h×nh chiÕu lµ ,
r
a
r
b
ur
a'
ur
b'
Khi ®ã: ⇒
r r ur ur
a =b a' =b'

5. Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
b. §Þnh lý:
. .=
r r r ur
ab ab'
ϕO
B
A B’
d r
a
r
b
ur
b'
d
ϕ
B’ O
r
b
ur
b'
r
a A
B
Tr­êng hîp 1 Tr­êng hîp 2
Cho vµ , lµ h×nh chiÕu cña lªn ®­êng
th¼ng chøa . Khi ®ã:
r
a
ur
b'
r
b
r
b
r
a

6. NhËn xÐt
4. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch v«h­íng:
a. §Þnh lý: Víi mäi vÐct¬ vµ víi mäi k R
r r r
a,b,c ∈
+) (tÝnh chÊt giao ho¸n). .=
r r r r
ab b a
+) (tÝnh chÊt ph©n
phèi)
( )
r r r r r r r
a b+c = a.b+a.c
+) (tÝnh chÊt kÕt hîp)
uur r r r
(ka).b =k(a.b)
Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
r r r r r r2 22
(a+b) = a +2a.b+b
−
r r r r r r2 22
(a b) = a -2a.b+b
+ −
r r r r r r2 2
(a b)(a b) = a -b

7. VÝdô 1: Cho ®o¹n th¼ng AB, O lµ trung ®iÓm. Chøng
minh r»ng víi mäi M:
uuur uuur 2 2
MA.MB = OM -OA
Gi¶i
VT = ( )( )
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
MA.MB = MO+OA MO+OB
= ( )( )−
uuur uuur uuur uuur
MO+OA MO OA
= MO2
– OA2
= VP (® pcm ) O BA
4. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch v«h­íng:
Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
M
b. VÝ dô

8. VÝdô 2: Cho h×nh vu«ng ABCD víi I vµ J lµ trung ®iÓm t­¬ng
øng cña AB, BC.
Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng AJ vµ DI vu«ng gãc víi nhau.
Gi¶i A
B C
D
I
J
Do I, J lµ trung ®iÓm cña AB, BC nªn:
V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn:
( )
uur uuur uuur1
DI= DA +DB
2
( )
uur uuur uuur1
AJ = AB+ AC
2
vµ
( )( )⇒
uur uur uuur uuur uuur uuur1
AJ.DI= DA +DB AB+ AC
4
( ). . .+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1
= DA.AB+DA AC DB AB DB AC
4



uuur uuur
uuur uuur
DA.AB = 0
DB.AC = 0
b. VÝ dô

9. MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý vÒ c«ng thøc h×nh
chiÕu
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
DA.AC = -AD.AC = -AD.AD = -AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
DB.AB = BD.BA = BA.BA =BA
Do ®ã ( ) 0=
uur uur 2 21
AJ.DI= BA - AD
4
VËy: AJ ⊥ DI
A
B C
D
I
J
VÝdô2

10. 5. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v«h­íng
§Þnh lý:Trong hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai vÐct¬
r
1 1a =(x ;y )
r
2 2b =(x ;y ).,
Khi ®ã, ta cã:
Chøng minh
Ta cã: ⇔ +
r r r r
1 1 1 1a =(x ;y ) a = x i y j
⇔
r r r r
2 2 2 2b =(x ;y ) b = x i+y j
. )⇒
r r r r r r
1 1 2 2ab = (x i+y j)(x i+y j
= x1.x2 + y1.y2 (® pcm )
Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
r r
1 2 1 2a.b = x .x +y .y

11. VÝdô: Trong hÖ to¹ ®é Oxy, cho A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5)
5. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v«h­íng
TÝnh
:
uuur uuur
AB.BC , tõ ®ã nhËn xÐt g× vÒ tam gi¸c ABC ?
xO
y
7
-3
81
4
5
A
B
CTa cã:
uuur
AB =(1;7)
uuur
BC =(-7;1),
⇒
uuur uuur
AB.BC =1.7+(-7).1= 0
VËy: Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B
Gi¶i

12. Bµi 3. TÝch v«h­íng cña hai vÐc t¬
+) TÝch v«h­íng cña hai vÐct¬
.
.
r r
r r
r r
a b
cos(a,b)=
a b
Ta cã:
r r 22
a = avµ
+) C«ng thøc h×nh chiÕu
Trong ®ã, lµ h×nh chiÕu cña lªn ®­êng th¼ng chøa .
ur
b'
r
b
r
a
. .=
r r r ur
ab ab'
r r r r r r
a.b = a . b .cos(a,b)
r r
cos(a,b)< 0 nÕu
r r o
(a,b)> 90⇒
r r
cos(a,b)> 0 nÕu
`
r r o
(a,b)< 90⇒
+) BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v«h­íng
Trong hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai vÐct¬
r
1 1a =(x ;y )
r
2 2b =(x ;y ).,
r r
1 2 1 2a.b = x .x +y .y

13. Bµi tËp vÒnhµ