Corpos finitos    Arranjos de Costas           Quadrados latinos e Sudoku             Criptografia            Conclus˜o     ...
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Os corpos finitos são estruturas algébricas formadas por um conjunto finito junto com as operações de soma e multiplicação. O corpo finito mais simples tem somente dois números: 0 e 1. Porém esse corpo "binário" tem muitas aplicações na vida real. Daremos exemplos de algumas dessas aplicações a areas diversas como (1) comunicação por radar e sônica, (2) arranjos militares em dias de parada, (3) jogos populares como o "sudoku" e (4) criptografia.

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  1. 1. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o a 1+1=0 Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca Semana de Cursos e Palestras da Computa¸˜o ca 16 de outubro de 2012Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  2. 2. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitosHist´ria dos corpos finitos o A teoria de corpos finitos desenvolveu-se extensivamente no s´culo e XIX, por´m a sua origem data dos s´culos XVII e XVIII. Os e e primeiros pesquisadores a considerar corpos finitos foram: Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Na ´poca, os unicos corpos finitos conhecidos eram os corpos e ´ contendo um n´mero primo de elementos. u A apari¸˜o em 1830 do artigo Sur la th´orie des nombres de ca e ´ Evariste Galois (1811-1832), foi fundamental para o surgimento de v´rias quest˜es quanto ` estrutura de corpos finitos em geral. a o aDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  3. 3. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitos´Areas de aplica¸˜o ca Muitas sub´reas dos corpos finitos podem ser aplicadas quase que a imediatamente a problemas no “mundo real”. Os corpos finitos s˜o usadas hoje em dia extensivamente em ´reas a a tais como: teoria de c´digos (para a recupera¸˜o de erros nas o ca comunica¸˜es), co criptografia (para a transmiss˜o segura de dados), a engenharia el´trica e de comunica¸˜es, e co ··· A enorme maioria dessas aplica¸˜es trabalham com o corpo finito co F2 que sera introduzido a seguir.Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  4. 4. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitosGrupos Defini¸˜o. Um grupo (G, ∗) ´ um conjunto G munido de uma ca e opera¸˜o bin´ria ∗ onde ca a (a) para todo a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G; (b) para todo a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; (c) existe um elemento e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para todo a ∈ G; (d) para todo a ∈ G, existe um elemento b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. O grupo G ´ Abeliano se G ´ um grupo e e e (e) para todo a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a. Exemplos: (Z, +), e (Q {0}, ·).Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  5. 5. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitosCorpos finitos Defini¸˜o. Um corpo (F, +, ·) ´ um conjunto F junto com duas ca e opera¸˜es + e · tais que: co (1) (F, +) ´ um grupo Abeliano; e (2) (F {0}, ·) ´ um grupo Abeliano; e (3) para todo a, b, c ∈ F , temos a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a. Se #F ´ finito, F ´ um corpo finito. e e Exemplo: os inteiros m´dulo um n´mero p formam um corpo se e o u somente se p ´ um n´mero primo. e u p = 2: ({0.1}, +, ·) ´ o corpo F2 de dois elementos! eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  6. 6. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitosExemplos: 1 + 1 = 0, e 1 + 1 + 1 = 0 As tabelas de soma e multiplica¸˜o em F2 s˜o: ca a + 0 1 · 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  7. 7. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitosExemplos: 1 + 1 = 0, e 1 + 1 + 1 = 0 As tabelas de soma e multiplica¸˜o em F2 s˜o: ca a + 0 1 · 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 As tabelas de soma e multiplica¸˜o em F3 s˜o: ca a + 0 1 2 · 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  8. 8. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSobre corpos finitosConteudo dessa palestra Aplica¸˜es nas seguintes ´reas: co a comunica¸˜o por radar e sˆnica; ca o arranjos militares em dias de parada; jogos populares como o sudoku; criptografia. Comentamos sobre esses problemas e (brevemente) como os corpos finitos ajudam nas solu¸˜es deles. coDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  9. 9. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oArranjos de Costas Arranjos de Costas foram introduzidos por John Costas em 1965 para uma aplica¸˜o sˆnica. Esses arranjos tˆm baixa ca o e auto-ambiguidade usada para contra-atacar ecos. Isso fez que sejam muito uteis em aplica¸˜es nas comunica¸˜es por radar e ´ co co sˆnicas, assim como em redes locais de fibra-´ticas como a CDMA o o (code-division multiple access). Um arranjo de Costas de ordem n ´ um arranjo n × n de pontos e e espa¸os brancos que satisfaz c n pontos, n(n − 1) espa¸os brancos, com exatamente um c ponto em cada linha e coluna; e todos os segmentos entre dois pontos s˜o diferentes. aDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  10. 10. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co o A ultima condi¸˜o implica que todos os n(n − 1)/2 vetores entre ´ ca dois pontos s˜o diferentes. a Exemplo n = 3: · · · · · · · · · · · ·Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  11. 11. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oEcos de radar e sˆnicos oDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  12. 12. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oEcos de radar e sˆnicos oDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  13. 13. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oEcos de radar e sˆnicos oDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  14. 14. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oEcos de radar e sˆnicos oDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  15. 15. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  16. 16. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  17. 17. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  18. 18. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  19. 19. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  20. 20. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  21. 21. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  22. 22. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  23. 23. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  24. 24. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  25. 25. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  26. 26. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oPor que funcionou? Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou a baixo em frequˆncia, copias do padr˜o s´ podem coincidir em 0, 1 e a o ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸˜o da informa¸˜o. ca ca 4, 2, 1, 3, 0 Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de c c uma vez. Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n, mas n˜o para todo valor de n; o valor menor para o qual n˜o se a a conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32. c eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  27. 27. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aArranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas co oConstru¸oes c˜ As trˆs constru¸˜es conhecidas de arranjos de Costas (devidas a e co Welch, Lempel e Golomb, respectivamente) s˜o baseadas em a corpos finitos. Existem tamb´m experimentos computacionais. e Constru¸˜o de Welch: n = p − 1, α um elemento primitivo em Fp . ca Exemplo: p = 7, n = 6, α = 3, f (j) = αj , 1 ≤ j ≤ 6: · · · · · · 3 2 6 4 5 1Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  28. 28. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuHist´ria do Sudoku o 1 Quebra-cabe¸a moderno desenhado por Howard Garns (` c a idade de 74 anos), e publicado primeiramente na Dell Magazines em 1979 com o nome number place. (Isto foi redescoberto somente em 2005.) 2 Em Jap˜o, Nikoli, Inc. foi o primeiro a publicar esses a quebras-cabe¸a na Monthly Nikolist em 1984. c 3 Maki Kaji (Nikoli President) originalmente chamou o quebra-cabe¸a de Suuji Wa Dokushin Ni Kagiru (“os n´meros c u devem ser unicos”), e foi depois abreviado como “Sudoku” ´ (Su = n´mero, Doku = unico). u ´ 4 Sudoku ´ um sucesso internacional desde 2005. eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  29. 29. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuDefini¸˜o de Sudoku ca Um quadrado Sudoku ´ uma matriz 9 × 9 usando os n´meros e u 1, . . . , 9 arranjados tal que 1 Cada linha tem cada n´mero uma s´ vez. u o 2 Cada coluna tem cada n´mero uma s´ vez. u o 3 Cada um dos 9 subquadrados de tamanho 3 × 3 tem cada n´mero uma s´ vez. u o Usamos os n´meros 0, . . . , 8 por conveniˆncia. u e H´ muitas generaliza¸˜es de Sudoku incluindo Sudoku diagonal, a co Sudoku par-´ ımpar, Sudoku com cores, Sudoku geom´trico (com e regi˜es irregulares), e muitos mais. oDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  30. 30. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku Um quadrado Sudoku: 048723561 561048723 723561048 804372156 156804372 372156804 480237615 615480237 237615480Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  31. 31. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku Um quebra-cabe¸a Sudoku do quadrado Sudoku anterior c 23 1 5 7235 04 80 3 2 6 1 680 7 7 15 8 37615 6 02 15 8Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  32. 32. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuQuadrados latinos Seja n um n´mero inteiro positivo. Um quadrado latino de ordem u n ´ uma matriz n × n de n s´ e ımbolos distintos tal que cada s´ ımbolo aparece exactamente uma vez em cada linha e coluna. Exemplos: 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 2 0 1 1 2 0 Dois quadrados latinos s˜o chamados ortogonais se quando a superimpostos cada um dos n2 pares aparece exatamente uma vez: 00 11 22 12 20 01 21 02 10Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  33. 33. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku Um conjunto de quadrados latinos {L1 , . . . , Lt } ´ mutualmente e ortogonal (MOLS) se Li ´ ortogonal a Lj para todo i = j. e Quadrados latinos mutualmente ortogonais foram originalmente considerados por Euler (1779) para arranjos militares em dias de parada: Seis regimentos diferentes tem seis oficiais, cada um de categoria diferente (de seis categorias diferentes). Podem esses 36 oficiais ser arranjados numa forma¸˜o em ca quadrado tais que em cada linha e coluna tenhamos um oficial de cada categoria e um de cada regimento? A solu¸˜o requer um par de MOLS de ordem 6. A resposta ´ ca e negativa: n˜o podemos ter esse arranjo para n = 6. aDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  34. 34. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku u a ´ Seja N (n) o n´mero m´ximo de MOLS de ordem n. E sabido que N (n) ≤ n − 1. Bose (1938) provou que se q ´ uma potˆncia de e e um n´mero primo ent˜o N (q) = q − 1. u a Id´ia: seja α ∈ F∗ e definamos um quadrado latino e q Lα (i, j) = i + αj, onde i, j ∈ Fq . O conjunto de quadrados latinos {Lα : α ∈ F∗ } ´ um conjunto de q − 1 MOLS de ordem q. q e Problema em aberto (dif´ıcil): (Conjectura de Potˆncia do N´mero Primo) Existem n − 1 MOLS e u de ordem n se e somente se n ´ uma potˆncia de um n´mero e e u primo.Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  35. 35. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuRela¸oes c˜ Quebra-cabe¸as Sudoku s˜o um caso especial de quadrado latino; c a qualquer solu¸˜o de um Sudoku ´ um quadrado latino. ca e Sudoku requer a restri¸˜o adicional que nove subquadrados 3 × 3 ca particulares contenham tambem os n´meros 1 a 9. uDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  36. 36. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuRela¸oes c˜ Quebra-cabe¸as Sudoku s˜o um caso especial de quadrado latino; c a qualquer solu¸˜o de um Sudoku ´ um quadrado latino. ca e Sudoku requer a restri¸˜o adicional que nove subquadrados 3 × 3 ca particulares contenham tambem os n´meros 1 a 9. u Mais rela¸˜es: podemos construir classes de Sudokus usando co MOLS. Por´m s˜o Sudokus f´ceis dado que cada subquadrado e a a 3 × 3 esta perto de ser m´gico . . . como nosso exemplo anterior!! a Um quadrado m´gico de ordem n tem cada um dos n´meros a u 1, . . . , n2 exactamente uma vez, e a soma de cada linha, de cada coluna, e de cada diagonal, igual a n(n2 + 1)/2.Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  37. 37. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuAlbrecht D¨rer ‘Melencolia’ (1514) uDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  38. 38. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuLa Pasi´n, fachada da Sagrada Familia : 33 o 1 14 14 4 11 7 6 9 8 10 10 5 13 2 3 15Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  39. 39. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuLa Pasi´n, fachada da Sagrada Familia : 33 o 1 14 14 4 16 3 2 13 11 7 6 9 5 10 11 8 8 10 10 5 9 6 7 12 13 2 3 15 4 15 14 1Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  40. 40. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuAlguns n´meros sobre os Sudokus u 1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  41. 41. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuAlguns n´meros sobre os Sudokus u 1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816 2 # quadrados Sudokus: 6,670,903,752,021,072,936,960 L9 = 828186Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  42. 42. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuAlguns n´meros sobre os Sudokus u 1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816 2 # quadrados Sudokus: 6,670,903,752,021,072,936,960 L9 = 828186 3 # quadrados Sudoku essencialmente diferentes (rota¸˜es, co refle¸˜es, permuta¸˜es e troca de rˆtulos); 5,472,730,538. co co oDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  43. 43. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudokuAlguns n´meros sobre os Sudokus u 1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816 2 # quadrados Sudokus: 6,670,903,752,021,072,936,960 L9 = 828186 3 # quadrados Sudoku essencialmente diferentes (rota¸˜es, co refle¸˜es, permuta¸˜es e troca de rˆtulos); 5,472,730,538. co co o 4 Pode ter 77 das 81 c´lulas cheias e ainda assim n˜o ter e a solu¸˜o unica. Vocˆ consegue achar um exemplo? ca ´ eDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  44. 44. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku 5 17 de 81 ´ o n´mero m´ e u ınimo de c´lulas cheias com solu¸˜o e ca unica; 49151 tais quebra-cabe¸a s˜o conhecidos (hoje!); um ´ c a deles ´: e 1 4 2 5 4 7 8 3 1 9 3 4 2 5 1 8 6Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  45. 45. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku 6 Problem. Foi provado (busca exhaustiva) em 2011 que n˜o a h´ solu¸˜o unica com 16 dos 81 n´meros dados. Levou um a ca ´ u ano de computa¸˜o (n˜o h´ prova matem´tica desse ca a a a resultado).Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  46. 46. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku 6 Problem. Foi provado (busca exhaustiva) em 2011 que n˜o a h´ solu¸˜o unica com 16 dos 81 n´meros dados. Levou um a ca ´ u ano de computa¸˜o (n˜o h´ prova matem´tica desse ca a a a resultado). 7 Problema. Dada um quadrado solu¸˜o de um Sudoku, como ca apagamos n´meros de forma tal que o quebra-cabe¸a Sudoku u c resultante tenha sempre uma solu¸˜o unica? ca ´Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  47. 47. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aSudoku 6 Problem. Foi provado (busca exhaustiva) em 2011 que n˜o a h´ solu¸˜o unica com 16 dos 81 n´meros dados. Levou um a ca ´ u ano de computa¸˜o (n˜o h´ prova matem´tica desse ca a a a resultado). 7 Problema. Dada um quadrado solu¸˜o de um Sudoku, como ca apagamos n´meros de forma tal que o quebra-cabe¸a Sudoku u c resultante tenha sempre uma solu¸˜o unica? ca ´ 8 Problema. Dada um quadrado solu¸˜o de um Sudoku, quais ca c´lulas diferentes podem ser deixadas sem prencher e ainda e assim ter uma solu¸˜o unica? Por exemplo, no nosso exemplo ca ´ anterior temos 35 n´meros dados. Quais n´meros (outros que u u estes 35) podem ser obtidos usando aquele quadrado?Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  48. 48. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aAplica¸˜es criptogr´ficas co aConceitos b´sicos a Uma fun¸˜o unidirecional ´ uma fun¸˜o com a propriedade de que ca e ca ´ f´cil de us´-la, mas ´ dif´ de invertˆ-la. A seguran¸a da e a a e ıcil e c criptografia de chave p´blica depende da existˆncia deste tipo de u e fun¸˜o. Mas n˜o sabemos se fun¸˜es unidirecionais existem! ca a co Os candidatos mais importantes a este tipo de fun¸˜o s˜o a ca a multiplica¸˜o de dois n´meros primos (a fun¸˜o inversa ´ a ca u ca e fatora¸˜o de n´meros inteiros) e a exponencia¸˜o (cuja fun¸˜o ca u ca ca inversa ´ calcular o logaritmo discreto). e RSA ´ um exemplo de uso da multiplica¸˜o de dois n´meros e ca u primos.Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  49. 49. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aAplica¸˜es criptogr´ficas co aLogaritmo discreto Em v´rias aplica¸˜es criptogr´ficas ´ importante o c´lculo de a co a e a potˆncias grandes em Fqn . e O Problema do Logaritmo Discreto Seja α um elemento primitivo de Fq . Dado β ∈ Fq {0} achar um n´mero inteiro x tal que u β = αx . Para valores grandes de q este ´ um problema computacionalmente e dif´ ıcil. Na pr´tica, q = 2n ou q = p para um n´mero primo p grande. a uDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  50. 50. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aAplica¸˜es criptogr´ficas co aO m´todo de Diffie-Hellman (1976) e Suponhamos que Alice (A) e Bob (B) queiram ter uma chave em comum. Seja α um elemento primitivo em Fq . Suponhamos que A calcula um valor aleat´rio (privado) a e B calcula um valor o aleat´rio (privado) b. o Ent˜o A calcula αA = αa e manda para B, enquanto B calcula a αB = αb e transmite para A. Agora A pode calcular (αB )a = αab e B pode calcular (αA )b = αab , e ent˜o eles compartilham a chave k = αab . a Calcular a, b ou αab requer achar o logaritmo discreto.Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  51. 51. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aAplica¸˜es criptogr´ficas co a P´blico: Fq e um elemento primitivo α. u A $ B $ αA - a aleat´rio o b aleat´rio o αA = αa αB αB = αb % %Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  52. 52. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aAplica¸˜es criptogr´ficas co a A $ B $ Calcule Calcule a k = αB b k = αA % % k = (αa )b = (αb )a = αab !!! Intruso: calcule αab , mesmo conhecendo αa e αb .Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  53. 53. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aConclus˜o a Brevemente comentamos sobre alguns problemas pr´ticos a atuais nas comunica¸˜es por radar e sˆnicas e na criptografia, co o assim como tamb´m em jogos recreacionais como o Sudoku, e onde os corpos finitos tˆm um papel importante tanto nas e constru¸˜es desses objetos como nas solu¸˜es desses co co problemas. H´ muitas mais ´reas de aplica¸˜o onde os corpos finitos tˆm a a ca e um papel fundamental. . .Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0
  54. 54. Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclus˜o aConclus˜o a Brevemente comentamos sobre alguns problemas pr´ticos a atuais nas comunica¸˜es por radar e sˆnicas e na criptografia, co o assim como tamb´m em jogos recreacionais como o Sudoku, e onde os corpos finitos tˆm um papel importante tanto nas e constru¸˜es desses objetos como nas solu¸˜es desses co co problemas. H´ muitas mais ´reas de aplica¸˜o onde os corpos finitos tˆm a a ca e um papel fundamental. . . Obrigado pela sua aten¸˜o! caDaniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca1+1=0

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