GEOMETRÍA<br />ÁNGULOS.<br />CUADRILÁTEROS.<br />ÁREAS<br />IDENTIDADES<br />VOLÚMENES<br />
                Entre los  elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos, <br />CUADRILÁTERO <br />Es un po...
 ANGULOS.<br />Tienen lado inicial y el lado terminal. y de acuerdo al sentido de giro se definen ángulos positivos y ángu...
El grado sexagesimal. Es el ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo...
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.<br />El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo:<b...
El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del   ángulo:<br />• El cociente entre la hipotenus...
FÓRMULAS<br />
Fórmulas                      Variaciones<br />
A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las fu...
Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su...
Calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60. Ej:<br />Para las funciones de 45 us...
Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo:<br />Hal...
=<br />+<br />2<br />2<br />x<br />Sen<br />x<br />Cos<br />1<br />+<br />=<br />2<br />2<br />x<br />Tan<br />x<br />Sec<...
Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otros autores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P de...
 Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo  en posició...
Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo  en posición estánda...
Del  cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde qu...
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.<br />Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real ...
 La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales.<br /> Como ver...
De lo anterior podemos deducir que:<br />Dominio y Rango.<br />Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen ...
Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes de dos ángulos.<br />Estas fórmulas las podemos aplicar tanto ...
Fórmulas del ángulo doble.<br />Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las ...
.<br />      LEY DE LOS SENOS<br />     LEY DE LOS COSENOS<br />
Áreas y perímetros de figuras geométricas <br />
Volúmenes y áreas de figuras geométricas <br />
Bibliografía<br />http://es.wikipedia.org/wiki/<br />Wikipedia<br />
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Geometría Generalidades

  1. 1. GEOMETRÍA<br />ÁNGULOS.<br />CUADRILÁTEROS.<br />ÁREAS<br />IDENTIDADES<br />VOLÚMENES<br />
  2. 2. Entre los elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos, <br />CUADRILÁTERO <br />Es un polígono de cuatro lados. se presentan dos ejemplos de cuadriláteros, convexo el de la izquierda y cóncavo el de la derecha. Para designarlos utilizamos letras mayúsculas en los vértices.<br />
  3. 3.
  4. 4.
  5. 5.
  6. 6.
  7. 7.
  8. 8.
  9. 9. ANGULOS.<br />Tienen lado inicial y el lado terminal. y de acuerdo al sentido de giro se definen ángulos positivos y ángulos negativos<br />Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es su posición estándar(posición normal). <br />Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice con el origen del sistema cartesiano. El lado terminal del ángulo colocado en esta posición indicará el cuadrante al que pertenece dicho ángulo.<br />
  10. 10.
  11. 11. El grado sexagesimal. Es el ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es el vértice de dicho ángulo. Su símbolo (°). <br />El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos.<br />El radián. es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un círculo, subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de dicho círculo. Se representa (rad).<br />Para transformar de grados a radianes se usa la relación: <br />Nro. Rad x = n°<br />Para transformar de radianes a grados se usa la relación: <br />No x = Nro. rad. <br />CLASES DE ÁNGULOS. <br />Nulos, agudos, rectos, obtusos, complementarios, suplementarios, de cualquier magnitud, de una vuelta.<br />
  12. 12.
  13. 13. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.<br />El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo:<br />• El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama Coseno del ángulo:<br />• El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama Tangente del ángulo:<br />• El cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama Cotangente del ángulo: <br />
  14. 14. El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del ángulo:<br />• El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se llama Cosecante del ángulo;<br />Si se analizan las funciones del ángulo b se llegan a las siguientes conclusiones:<br />
  15. 15.
  16. 16.
  17. 17. FÓRMULAS<br />
  18. 18. Fórmulas Variaciones<br />
  19. 19. A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si existe en alguna aplicación por ejemplo, esto es igual a ( x es el complemento). Con números; <br />VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.<br />Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos:<br />
  20. 20. Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su vez altura y mediatriz del lado opuesto. Separando un triángulo tenemos:<br />Un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.<br />
  21. 21. Calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60. Ej:<br />Para las funciones de 45 usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45) veamos:<br />Ejemplos:<br />
  22. 22. Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo:<br />Halle el valor de la siguiente expresión:<br />Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con los valores de estas funciones así:<br />
  23. 23. =<br />+<br />2<br />2<br />x<br />Sen<br />x<br />Cos<br />1<br />+<br />=<br />2<br />2<br />x<br />Tan<br />x<br />Sec<br />1<br />+<br />=<br />2<br />2<br />x<br />Ctg<br />x<br />Csc<br />1<br />IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.<br />Se derivan las siguientes identidades básicas llamadas identidades pitagóricas.<br />identidades recíprocas :<br />identidades de cociente.<br />
  24. 24. Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otros autores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P de coordenadas (x,y) en el lado terminal del ángulo como se indica en la figura y si tomamos la distancia de O a P, d (OP)<br />Entonces y  opuesto, x  adyacente r hipotenusa, entonces tenemos que:<br />Observando el grafico tenemos:<br />
  25. 25. Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo  en posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:<br />
  26. 26. Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo  en posición estándar, si <br />es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones trigonométricas de  se definen:<br />Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente del valor de , independientemente donde se escoja el punto P de coordenadas.<br />
  27. 27. Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a ser positiva.<br />Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmente los signos de las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes a saber:<br />
  28. 28. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.<br />Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.<br />Por ejemplo, el seno del número real , es simplemente, el seno del ángulo de  radianes (que como usted sabe, es Sen 30= ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo al evaluar la función trigonométrica de un número real.<br />
  29. 29. La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales.<br /> Como veremos mas adelante, de este resultado podemos obtener algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en este análisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces a las funciones circulares.<br />Ya que (x, y) está situado en la circunferencia unitaria, se deduce que:<br /> 1 x  1 y 1 y  1<br />
  30. 30. De lo anterior podemos deducir que:<br />Dominio y Rango.<br />Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen t pueden ser cualquier número real del intervalo 1, 1. Así obtenemos las funciones seno y coseno.<br /> y <br />Ambas con dominio en los números reales y como rango, el intervalo 1, 1.<br />.<br />
  31. 31. Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes de dos ángulos.<br />Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas.<br />
  32. 32. Fórmulas del ángulo doble.<br />Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulos que tiene la misma relación.<br />Fórmulas de ángulo mitad.<br />
  33. 33. .<br /> LEY DE LOS SENOS<br /> LEY DE LOS COSENOS<br />
  34. 34. Áreas y perímetros de figuras geométricas <br />
  35. 35. Volúmenes y áreas de figuras geométricas <br />
  36. 36.
  37. 37.
  38. 38. Bibliografía<br />http://es.wikipedia.org/wiki/<br />Wikipedia<br />

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