El décimo problema de Hilbert
Enunciado del problema <ul><li>10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung. </li></ul><ul><li>Eine Diop...
Traducción <ul><li>10. Decisión sobre la solubilidad de una ecuación diofantina. </li></ul><ul><li>Dada una ecuación diofa...
Ecuaciones diofantinas. <ul><li>Una ecuación diofantina es de la forma </li></ul><ul><li>D(x 1 , x 2 , ..., x m )=0 </li><...
Enteros racionales. <ul><li>En conjunto de enteros racionales es simplemente Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …} </li></ul><ul><li>S...
Los 23 problemas de Hilbert <ul><li>En 1900, durante el congreso internacional de matemáticos en París, David Hilbert pres...
Problemas de decisión <ul><li>Desde los tiempos de Diofanto se han encontrado muchos métodos para resolver algunos tipos p...
Soluciones naturales <ul><li>(x+1) 3 +(y+1) 3 =(z+1) 3  no tiene soluciones naturales, pero tiene una infinidad de solucio...
“Procedimientos” <ul><li>Hilbert pide un “procedimiento”; pero, ¿qué quiere decir exactamente esto? </li></ul><ul><li>Uno ...
La solución <ul><li>En 1970, Yuri Matiyasevich resolvió el problema en forma negativa, esto es, no existe ningún algoritmo...
Conjuntos diofantinos <ul><li>Consideremos la ecuación diofantina </li></ul><ul><li>D(a 1 , ..., a n , x 1 , ..., x m )=0 ...
Ejemplos de conjuntos diofantinos <ul><li>El conjunto de todos los cuadrados: </li></ul><ul><li>a-x 2 =0 </li></ul><ul><li...
Preguntas interesantes <ul><li>¿Es el conjunto de todos los números primos un conjunto diofantino? </li></ul><ul><li>¿Es e...
Funciones diofantinas <ul><li>Una función es diofantina si, vista como conjunto de pares ordenados, es un conjunto diofant...
Funciones de crecimiento exponencial. <ul><li>Son funciones del orden de magnitud 2 n . </li></ul><ul><li>Después de mucho...
La sucesión de Fibonacci <ul><li>Es la famosa sucesión definida por </li></ul><ul><li>F 0 =0 </li></ul><ul><li>F 1 =1 </li...
Consecuencia interesante <ul><li>Existe un polinomio en diez variables (y se sabe explícitamente cuál es) cuya imagen es e...
Replanteamiento del décimo problema de Hilbert <ul><li>Después de resolver en décimo problema de Hilbert en la forma en qu...
Generalizaciones <ul><li>Consideremos a los enteros gaussianos (números complejos cuyas partes real e imaginaria son ambas...
Número de variables, grado de los polinomios <ul><li>El problema de Hilbert restringido a polinomios de grado cuatro es in...
Aritmetización <ul><li>Muchos problemas tienen una equivalencia diofantina, o sea que son equivalentes a que cierto polino...
Relación con el teorema de Gödel <ul><li>En cada sistema deductivo gödeliano, existe una ecuación diofantina formalmente i...
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El DéCimo Problema De Hilbert

  1. 1. El décimo problema de Hilbert
  2. 2. Enunciado del problema <ul><li>10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung. </li></ul><ul><li>Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lä ßt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist. </li></ul>
  3. 3. Traducción <ul><li>10. Decisión sobre la solubilidad de una ecuación diofantina. </li></ul><ul><li>Dada una ecuación diofantina con cualquier cantidad de incógnitas y con coeficientes enteros racionales, dar un procedimiento a través del cual se pueda determinar con un número finito de operaciones, si dicha ecuación tiene soluciones enteras racionales. </li></ul>
  4. 4. Ecuaciones diofantinas. <ul><li>Una ecuación diofantina es de la forma </li></ul><ul><li>D(x 1 , x 2 , ..., x m )=0 </li></ul><ul><li>donde D es un polinomio con coeficientes enteros racionales. El nombre se debe a Diofanto, matemático griego de la antigüedad. </li></ul>
  5. 5. Enteros racionales. <ul><li>En conjunto de enteros racionales es simplemente Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …} </li></ul><ul><li>Se le llama así para distinguirlo de otros conjuntos de enteros (posteriormente mencionaré a uno de ellos, el de los enteros gaussianos). </li></ul>
  6. 6. Los 23 problemas de Hilbert <ul><li>En 1900, durante el congreso internacional de matemáticos en París, David Hilbert presentó una famosa lista de 23 problemas matemáticos. Los consideraba los retos más importantes para los matemáticos del siglo XX. </li></ul>
  7. 7. Problemas de decisión <ul><li>Desde los tiempos de Diofanto se han encontrado muchos métodos para resolver algunos tipos particulares de ecuaciones diofantinas. </li></ul><ul><li>Sin embargo, Hilbert pide un sólo procedimiento que permita decidir si una ecuación diofantina tiene o no solución. </li></ul>
  8. 8. Soluciones naturales <ul><li>(x+1) 3 +(y+1) 3 =(z+1) 3 no tiene soluciones naturales, pero tiene una infinidad de soluciones enteras. </li></ul><ul><li>Hilbert pide soluciones enteras para las ecuaciones. También es posible considerar soluciones naturales (N={0, 1, 2, …}) </li></ul><ul><li>Se puede mostrar que estos dos problemas de decisión son equivalentes. </li></ul><ul><li>Mientras no se diga otra cosa, a partir de ahora me referiré al décimo problema de Hilbert restringido a soluciones naturales (los coeficientes sí pueden ser negativos). </li></ul>
  9. 9. “Procedimientos” <ul><li>Hilbert pide un “procedimiento”; pero, ¿qué quiere decir exactamente esto? </li></ul><ul><li>Uno de los grandes avances fue definir con precisión qué significa, se introdujeron conceptos como máquinas de Turing, funciones recursivas, cálculo λ … pero luego se demostró que todos ellos son equivalentes y se aceptan como definición de “procedimiento” en el sentido del décimo problema de Hilbert (y otros problemas de decisión). A dichos “procedimientos” se les llama algoritmos. </li></ul>
  10. 10. La solución <ul><li>En 1970, Yuri Matiyasevich resolvió el problema en forma negativa, esto es, no existe ningún algoritmo que, dada una ecuación diofantina arbitraria, nos diga si dicha ecuación tiene solución o no. En términos técnicos, el décimo problema de Hilbert es indecidible como problema de decisión. </li></ul>
  11. 11. Conjuntos diofantinos <ul><li>Consideremos la ecuación diofantina </li></ul><ul><li>D(a 1 , ..., a n , x 1 , ..., x m )=0 </li></ul><ul><li>en la que separamos a las variables en dos colecciones: los parámetros a 1 , ..., a n ; y las incógnitas x 1 , ..., x m . Se dice que el conjunto de valores de los parámetros para los que esta ecuación tiene solución es un conjunto diofantino. </li></ul>
  12. 12. Ejemplos de conjuntos diofantinos <ul><li>El conjunto de todos los cuadrados: </li></ul><ul><li>a-x 2 =0 </li></ul><ul><li>El conjunto de todos los números compuestos: </li></ul><ul><li>a-(x+2)(y+2)=0 </li></ul><ul><li>El conjunto de los enteros positivos que no son potencias de 2: </li></ul><ul><li>a-(2x+3)y=0 </li></ul><ul><li>El conjunto de los números que no son cuadrados: </li></ul><ul><li>(a-z 2 -x-1) 2 +((z+1) 2 -a-y-1) 2 =0 </li></ul>
  13. 13. Preguntas interesantes <ul><li>¿Es el conjunto de todos los números primos un conjunto diofantino? </li></ul><ul><li>¿Es el conjunto de todas las potencias de 2 un conjunto diofantino? </li></ul>
  14. 14. Funciones diofantinas <ul><li>Una función es diofantina si, vista como conjunto de pares ordenados, es un conjunto diofantino. </li></ul><ul><li>Es claro que las funciones diofantinas son recursivas. </li></ul>
  15. 15. Funciones de crecimiento exponencial. <ul><li>Son funciones del orden de magnitud 2 n . </li></ul><ul><li>Después de mucho trabajo, se llegó a la conclusión de que sólo es necesario que exista una función diofantina de crecimiento exponencial. </li></ul>
  16. 16. La sucesión de Fibonacci <ul><li>Es la famosa sucesión definida por </li></ul><ul><li>F 0 =0 </li></ul><ul><li>F 1 =1 </li></ul><ul><li>F n+2 =F n +F n+1 </li></ul><ul><li>Claramente se trata de una función de crecimiento exponencial. El último paso histórico en la demostración de Matiyasevich fue demostrar que es una función diofantina. </li></ul>
  17. 17. Consecuencia interesante <ul><li>Existe un polinomio en diez variables (y se sabe explícitamente cuál es) cuya imagen es el conjunto de números primos. </li></ul>
  18. 18. Replanteamiento del décimo problema de Hilbert <ul><li>Después de resolver en décimo problema de Hilbert en la forma en que fue planteado, Matiyasevich le ha dado una interpretación más amplia, generalizándolo. </li></ul><ul><li>Por ejemplo, Hilbert plantea el problema en términos de soluciones enteras; pero se resuelve en términos de soluciones naturales aprovechando su equivalencia como problemas de decisión. Pero Diofanto buscaba soluciones racionales. </li></ul>
  19. 19. Generalizaciones <ul><li>Consideremos a los enteros gaussianos (números complejos cuyas partes real e imaginaria son ambas enteras), Denef demostró que el décimo problema de Hilbert para este conjunto también es indecidible. </li></ul><ul><li>Pero el décimo problema de Hilbert para números racionales está aún sin resolver. </li></ul><ul><li>Se puede considerar el problema en muchos otros conjuntos: enteros p-ádicos, anillos de enteros en campos de números, en campos de funciones, etc. </li></ul>
  20. 20. Número de variables, grado de los polinomios <ul><li>El problema de Hilbert restringido a polinomios de grado cuatro es indecidible, restringido a polinomios de grado dos es decidible… ¿qué tal restringido a polinomios de grado tres? ¡Es un problema muy difícil! </li></ul><ul><li>Se conjetura que el décimo problema de Hilbert restringido a dos incógnitas es indecidible. </li></ul>
  21. 21. Aritmetización <ul><li>Muchos problemas tienen una equivalencia diofantina, o sea que son equivalentes a que cierto polinomio no tenga soluciones enteras. Por ejemplo </li></ul><ul><li>La conjetura de Fermat (ya está resuelta). </li></ul><ul><li>La conjetura de Goldbach. </li></ul><ul><li>La conjetura de Riemann. </li></ul><ul><li>La conjetura de los cuatro colores (resuelta). </li></ul>
  22. 22. Relación con el teorema de Gödel <ul><li>En cada sistema deductivo gödeliano, existe una ecuación diofantina formalmente indecidible. </li></ul><ul><li>Vale la pena estudiar en detalle por lo menos una vez estos resultados. </li></ul>

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