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áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chió

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áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chió

  1. 1. PROF. NILO
  2. 2. A definição de Determinante e o Teorema deLaplace tornam possível o cálculo de qualquerdeterminante, porém pode-se simplificar asoperações utilizando-se certas propriedades.Dada uma matriz quadrada M e sua transposta M t ,temos det M = det Mt.Exemplo :  1 4 1 2 1 4 1 2M=  ; Mt =  ⇒ = = −3  2 5   4 5    2 5 4 5
  3. 3. Se uma linha ou coluna de uma matriz quadradaM for constituída apenas por zeros, teremos queseu determinante será igual a zero.Exemplo :  0 0 0 0a) M =  ⇒ =0 Linha 1 inteira igual a zero.  2 5   2 5  6 0 6 0b) M =  ⇒ =0 Coluna 2 inteira igual a zero.  2 0   2 0
  4. 4. Se duas linhas ou duas colunas, numa matrizquadrada M, forem trocadas de posição, o novodeterminante obtido terá valor simétrico do original.Exemplo :  2 3 2 3 1 5 1 5a) M =  ⇒ = 7; M =  ⇒ = −7 1 5   1 5  2 3   2 3 Troca das linhas 1 e 2.  2 3 2 3  3 2 3 2b) M =  ⇒ = 7; M =  ⇒ = −7 1 5   1 5 5 1   5 1 Troca das colunas 1 e 2.
  5. 5. Se multiplicarmos uma linha ou coluna de umamatriz quadrada M por um escalar k, odeterminante da nova matriz obtida M’, será oproduto de k pelo determinante de M. det M = k.det MExemplo : Linha 1 foi multiplicada por 3.  1 4  3 12  1 4 3 12a) M =   ; M =  ⇒ = −3 e = −9  2 5   2 5    2 5 2 5 Coluna 1 foi multiplicada por 6. 1 4  6 4 1 4 6 4b) M =   ; M =  ⇒ = −3 e = −18  2 5   12 5    2 5 12 5
  6. 6. Se duas linhas ou duas colunas, numa matrizquadrada M, forem iguais, o valor do determinanteobtido será igual a zero.Exemplo :  2 3 2 3a) M =  ⇒ =0 Linhas 1 e 2 são iguais.  2 3   2 3  2 2 2 2b) M =  ⇒ =0 Colunas 1 e 2 são iguais. 1 1   1 1
  7. 7. A soma dos produtos dos elementosde uma fila qualquer de uma matrizquadrada M, pelos cofatores doselementos de uma fila paralela éigual a zero. Augustin-LouisExemplo : Cauchy (1789-1857) 3 4 2 3 4 2 Peguemos as Linhas 1 e 3   como exemplo.M = 1 3 5 ⇒ 1 3 5 Linha 3 com   Linha 1 : cofatores :   5 6 7 5 6 7 3 4 2 5 6 7 4 2 3 2 3 4 3.( −1)3+1 . + 4.( −1)3+2 . + 2.( −1)3+3 . = 3 5 1 5 1 3= 3.(14) + 4.( −1).13 + 2.(5) = 0
  8. 8. Se uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a dois, tem duas linhas ou colunas proporcionais,então det M = 0. Acabamos por recair napropriedade de filas paralelas iguais. Exemplo : As Linhas 1 e 3 são proporcionais  3 4 2 3 4 2 3 4 2  a)M =  1 3 5  ⇒ 1 3 5 = 2. 1 3 5 = 0     6 8 4 6 8 4 3 4 2  6 4 2 6 4 2 2 4 2  b)M = 15 3 5  ⇒ 15 3 5 = 3. 5 3 5 = 0     12 8 4  12 8 4 4 8 4
  9. 9. Seja M uma matriz quadrada de ordem n em queos elementos da coluna j são tais que, podem sertransformadas na soma de dois números, podemosescrever:Exemplo : x a+b m x a m x b m y c+d n = y c n +y d n z e+f p z e p z f pEssa propriedade também é válida para linhas.Exemplo : 3 4 2 3 4 2 3 4 2 x+y a+b m+p = x a m + y b p 0 3 4 0 3 4 0 3 4
  10. 10. Vamos construir uma Combinação Linear da 1ª coma 2ª e com a 3ª colunas da matriz abaixo.Exemplo :Utilizando os multiplicadores 1, 3 e 4, nessascolunas teríamos: Coluna 1 = 1. Coluna 1 + 3. Coluna 2 + 4. Coluna 3 C1 = 1. C1 + 3. C2 + 4. C3 1 7 1 1.1+3.7+4.1=26  26 7 1     M=  2 8 5  1.2+3.8+4.5=46 M=  46 8 5           3 1 6 1.3+3.1+4.6=30  30 1 6 
  11. 11. Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra filaparalela, previamente multiplicada poruma constante, obteremos uma novamatriz M’ tal que det M’ = det M.Exemplo : Carl JacobiFaremos uma nova Coluna 2 = Coluna 2 −3. Coluna 1. (1804-1851)Faremos uma nova Coluna 3 = Coluna 3 −5. Coluna 1. 1 3 5  1 0 5 1 0 0 Abre caminho   para aplicar o Teorema deM=  4 2 7  ⇒ 4 -10 7 = 4 -10 -13 Laplace com   menos    4 1 -6  4 -11 -6 4 -11 -26 trabalho.
  12. 12. Numa Matriz Triangular Superior ou Inferior, odeterminante dessa matriz pode ser obtidomultiplicando os termos da Diagonal Principal.Exemplo :  3 2 4 3 2 4   a)M=  0 5 3  ⇒ 0 5 3 = 3.5.1 = 15     0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 3 0 0 0   2 1 0 0 2 1 0 0 b)M=  ⇒ = 3.1.2.6 = 36   3 4 2 0 3 4 2 0   5  7 2 6  5 7 2 6
  13. 13. Dadas duas matrizes quadradas de mesma ordem n, temos : det(A.B) = (det A).(det B) Jacques Binet (1786-1856) Exemplo :  2 3  1 2 11 16  A=  e B=  ⇒ A.B =    0 5    3 4  1 2 15 20    2 3det A = = 2.5 − 0.3 = 10; det B = = 1.4 − 3.2 = − 2 0 5 3 4 11 16det(A.B) = = 11.20 − 16.15 = −20 15 20
  14. 14. Uma consequência do Teorema de Binet é que odeterminante de uma matriz pelo determinante desua inversa é igual a 1.det(A.A −1 ) = (det A).(det A −1 ) ⇒ (det A).(det A −1 ) = det I n −1(det A).(det A )=1 Que foi bem ? Isso é muito fácil mas é preciso ter atenção !
  15. 15. É consequência do Exemplo :Teorema de Jacobi e éaplicável sempre que 1 2 4 2  a11 = 1. Se no determinante 3 7 5 6isso não ocorrer, podemos A=  provocar essa ocorrência  através das propriedades  1 10 − 4 5já conhecidas.   3 8 2  3  1 2 4 2 7−6 5 − 12 6 − 6 1 −7 0 3 7 5 6 = 10 − 2 − 4 − 4 5 − 2 = 8 −8 3 = 1 10 − 4 5 8−6 2 − 12 3 − 6 2 − 10 −3 3 8 2 3
  16. 16. 1 2 4 2 7−6 5 − 12 6 − 6 1 −7 0 3 7 5 6 = 10 − 2 − 4 − 4 5 − 2 = 8 −8 3 = 1 10 − 4 5 8−6 2 − 12 3 − 6 2 − 10 −3 3 8 2 3 1 −7 0 − 8 + 56 3−0 48 3= 8 −8 3 = = = 48.( − 3) − 3.4 = − 156 − 10 + 14 − 3 − 0 4 −3 2 − 10 − 3

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