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Trabajo	  Práctico	  #	  7	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  Razones	  y	  Proporciones.	  Proporcionalidad	  direc...
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TP # 7 de Razones y Proporcionalidad Directa e Inversa.

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TP # 7 de Razones y Proporcionalidad Directa e Inversa.

  1. 1. Trabajo  Práctico  #  7                            Razones  y  Proporciones.  Proporcionalidad  directa  e  inversa                            2do.  Año   Definición  de  razón.  Proporción.  Propiedad  fundamental  de  la  proporciones.  Resolver  ecuaciones  usando   dicha  propiedad.  Resolver  problemas  usando  dicha  propiedad.  Proporcionalidad  directa:  constante,  fórmula   y  gráfica.  Proporcionalidad  inversa:  constante,  fórmula  y  gráfica.        Analiza  las  siguientes  expresiones:     a) “En   esta   ciudad   hay   un   automóvil   cada   5   personas”.   Decimos   que   la   razón   entre   el   número   de   autos   y   de   1 personas  es     5 b) “En   las   últimas   elecciones,   votaron   6   mujeres   cada   7   hombres”.   Decimos   que   la   razón   entre   el   número   de   6 mujeres  y  de  varones  es     7 c) “Este   automóvil   gasta   15   litros   de   nafta   por   cada   100   km”.   Decimos   que   la   razón   entre   el   número   de   litros   de   15 combustible  y  el  número  de  km.  recorridos  es   .   100 Definición:  Se  llama  razón  entre  dos  números  a  y  b    ( b ≠ 0 ),  al  cociente  de  la  división  de  a  por  b     Decir   que   votaron   6   mujeres   por   cada   7   hombres   es   lo   mismo   que   decir   que   votaron   12   mujeres   por   cada   14   hombres.   6 12 =   7 14 Decir  que  se  gastan  15  litros  por  cada  100  km.  Equivale  a  decir  que  se  gastan  3  litros  por  cada  20  km.   15 3 = 100 20     Definición:  La  igualdad  de  dos  razones  se  llama  proporción   a c =   b d Se  lee:  “a  es  a  b  como  c  es  a  d”.   a  y  d  reciben  el  nombre  de  extremos,  mientras  que    b  y  c  reciben  el  nombre  de  medios.       Definición:  las  proporciones  cuyos  medios  son  iguales  se  llaman  proporciones  continuas   a b =   b c   1 5 4 12 Ejemplos:     =        o       =   5 25 12 36 Propiedad  Fundamental  de  las  Proporciones:  En  toda  proporción,  el  producto  de  los  extremos  es  igual  al  producto   de  los  medios.   a c = ⇒ a.d = b.c   b d Vale  la  recíproca     1  
  2. 2. Trabajo  Práctico  #  7                            Razones  y  Proporciones.  Proporcionalidad  directa  e  inversa                            2do.  Año   Definición  de  razón.  Proporción.  Propiedad  fundamental  de  la  proporciones.  Resolver  ecuaciones  usando   dicha  propiedad.  Resolver  problemas  usando  dicha  propiedad.  Proporcionalidad  directa:  constante,  fórmula   y  gráfica.  Proporcionalidad  inversa:  constante,  fórmula  y  gráfica.       1 3                                                                                                                                    Ejemplo:     = ⇒ 1.15 = 5.3   5 15 Ejercicios:   2 3 1 3 x 9 + 0, 2 x 1) =                                                                      2)   = 2                                                                3)   9 = 2   3 2 1 0,75 1 2 + x 3 3 3 9 2 16 1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 1− + ⎜ 2 + ⎟ 3,5 2+ 3+ 25 = 10 2                          5)   ⎝ 3 ⎠ 2= 3   4)   =                                          6)   ⎛ 2 ⎞ 2 x 4 x x ⎛ 1 ⎞ −1 ⎜1 − ⎟ + 0, 2 ⎜ 4 − ⎟ ⎝ 3 ⎠ 5 ⎝ 4 ⎠ 2 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ + 2,5 ⎟ 3 ⎜ + 0,1 ⎟ x 2 ⎠ = x                                        9)   ⎝ 5 x 7)   2 =                                                                        8)   ⎝ ⎠ =   x 3 x 2 4 x ⎛ 3 ⎞ 4 ⎜ 0,1 + ⎟ 8 ⎝ 10 ⎠ ) ) 3 1 51. 1, 2 + 2, 3 . 4 = 25. 3   ( ) 10)   −1 −2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 2x + 1 ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ + ⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4 Problemas:   1) Un  número  disminuido  en  dos  es  a  su  triple  como  3  es  a  7.  ¿De  qué  número  de  trata?   2) El  doble  de  un  número  es  a  9  como  el  número,  disminuido  en  3,  es  a  8.  ¿Qué  número  es?   3) Un  número  aumentado  en  5  es  a  7  como  su  mitad  es  a  9.  ¿De  qué  número  se  trata?   4) Marta  tiene  15  años  y  Julia  23,  ¿dentro  de  cuántos  años  sus  edades  serán  proporcionales  a  2  y  a  3?   5) ¿Cuál  es  la  medida  del  lado  de  un  cuadrado,  si  la  razón  entre  la  medida  del  lado  y  la  superficie,  es  igual  a  la   razón  entre  la  medida  del  lado  y  el  perímetro?   6) ¿Cuánto  mide  la  altura  de  un  rectángulo  cuya  base  es  a  su  superficie  como  3  es  a  5?     7) Las  edades  de  Juan  y  Pedro  son  proporcionales  al  número  de  letras  de  sus  nombres,  y  Juan  tiene  6  años   menos  que  Pedro.  ¿cuántos  años  tiene  cada  uno?   3 8) En  un  rectángulo  la  razón  entre  las  medidas  de  la  base  y  la  altura  es   ,  y  el  perímetro  es  128  cm,  ¿cuáles  son,   7 en  cm,  las  longitudes  de  la  base  y  la  altura?   9) Dos  números  están  a  razón  ¾.  Si  el  menor  de  ellos  es  189.  ¿Cuál  es  el  otro?   10) Dos  obrero  trabajan  en  una  fábrica  armando  cajas,  pero  mientras  que  uno  arma  3  cajas,  el  otro  arma  7  cajas.   Si  el  más  hábil  ha  armado  91  cajas,  ¿cuántas  habrá  armado  el  otro?   11) L  a  suma  de  dos  números  es  2920  y  se  encuentran  en  razón  5/3.  ¿Cuáles  son  los  números?     2  
  3. 3. Trabajo  Práctico  #  7                            Razones  y  Proporciones.  Proporcionalidad  directa  e  inversa                            2do.  Año   Definición  de  razón.  Proporción.  Propiedad  fundamental  de  la  proporciones.  Resolver  ecuaciones  usando   dicha  propiedad.  Resolver  problemas  usando  dicha  propiedad.  Proporcionalidad  directa:  constante,  fórmula   y  gráfica.  Proporcionalidad  inversa:  constante,  fórmula  y  gráfica.       12) Dos  números  están  en  razón  ¼.  Se  sabe  que  uno  es  3  unidades  mayor  que  el  otro.  ¿Cuáles  son  los  números?   13) En  un  mapa,  la  distancia  entre  dos  ciudades  es  de  36  cm  y  la  distancia  real  es  de  288  km,  ¿A  qué  escala  fue   diseñado  el  mapa?     Aclaración:    1:100000  significa  que  cada  centímetro  del  mapa  representa  100000  centímetros,  o  sea  1000   metros;  o  que  un  metro  en  el  mapa  representa  100000  metros,  o  sea,  100  kilómetros   A)  1  :  800   B)  1  :  8.000   C)  1  :  80.000   D)  1  :  800.000   E)  1  :  8.000.000     Proporcionalidad  directa  e  inversa   Definición:  Cuando  decimos  que  y  es  directamente  proporcional  a  x,  significa  que  y=kx  ;  donde  k  es  un  número   distinto  de  cero,  y  lo  llamamos  constante  de  proporcionalidad.     14) RECUERDA  REVISAR  TANTO  EN  TU  CARPETA  LA  TEORÍA  DE  PROPORCIONALIDAD  DIRECTA  EN  LA  PARTE  DE   FUNCIONES  COMO  EN  EL  BLOG.  Ejercicio:  Las  tablas  siguientes  relacionan,  en  un  caso,  la  medida  de  la  arista  y   el  volumen  del  cubo  y,  en  el  otro,  el  volumen  y  el  peso  del  corcho.  Luego  de  analizar  cada  tabla  contesta:   a. ¿Cuál  de  las  tablas  corresponde  a  magnitudes  directamente  proporcionales?   b. ¿Cuál  es  la  constante  de  proporcionalidad?  Escriban  la  fórmula  de  la  función  de  proporcionalidad  y   grafiquen  dicha  función.   Cubo   Medida  de  la  arista  (en  cm)   2   5   9     Volumen  (en  cm3)   8   125   729                            Corcho   Volumen  (en  cm3)   500   975   2150     Peso  (en  g)   120   234   516     k Definición:  Cuando  decimos  que  y  es  inversamente  proporcional  a  x,  significa  que  y=  ;  donde  k  es  un  número   x distinto  de  cero,  y  lo  llamamos  constante  o  coefeiciente  de  proporcionalidad.       3  
  4. 4. Trabajo  Práctico  #  7                            Razones  y  Proporciones.  Proporcionalidad  directa  e  inversa                            2do.  Año   Definición  de  razón.  Proporción.  Propiedad  fundamental  de  la  proporciones.  Resolver  ecuaciones  usando   dicha  propiedad.  Resolver  problemas  usando  dicha  propiedad.  Proporcionalidad  directa:  constante,  fórmula   y  gráfica.  Proporcionalidad  inversa:  constante,  fórmula  y  gráfica.       15) Si  un  tren  se  desplaza  900  km  en  línea  recta,  ¿cómo  calculamos  el  tiempo  (y)  que  tarda  en  recorrer  el  trayecto   a  una  velocidad  constante  (x)?   Cómo  recordarán,  cuando  un  móvil  se  desplaza  en  línea  recta  a  velocidad  constante,  se  cumple  que  el  espacio   o  trayecto  recorrido  es  igual  al  producto  entre  la  velocidad  y  el  tiempo  empleados  para  realizarlo.  Entonces,   para  calcular  (y),  podemos  utilizar  la  siguiente  fórmula       900   y .  x = 900,   o sea   y = x   Podemos  también  hacer  una  tabla  de  valores  y  ubicar  estos  puntos  en  un  sistema  cartesiano   Velocidad  (  en   Tiempo  (en  horas)   km/h)   x   y   50     100     150       3     4,5       4  

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