Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Noções básicas de lógica 2012 nota 01

5,258 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Noções básicas de lógica 2012 nota 01

  1. 1. CMCG/2012 – 1º Ano EM Conectivos Nota de aula 01 – Matemática – Professor Miguel A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: Noções básicas de lógica Conectivo Lê-se ∧ e Proposição ∨ ou Proposição é toda oração declarativa, com sentido completo, podendo serclassificada como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Conectivo ∧ Os símbolos V e F são chamados valores lógicos.Características: Colocando o conectivo “ ∧ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma  Sendo oração, tem sujeitado e predicado; nova proposição, p ∧ q , denominada conjunção das sentenças p e q.  É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);  Tem somente um valor lógico, isto é, ou é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Exemplos: a) p : 2 > 0 (V)Princípios básicos das proposições: q : 2 ≠ 1 (V)Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa p ∧ q : 2 > 0 e 2 ≠ 1 (V)simultaneamente. p : 7 ≠ 5 (V) b)Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não q : ( − 2) 2 < (− 1) 2 (F)existe um terceiro valor lógico. p ∧ q : 7 ≠ 5 e (− 2) 2 < (− 1) 2 (F) a) 9 > 6 (Proposição, Verdadeira). b) − 3 > − 2 (Proposição, Falsa). c) p : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a . (F) c) 2 ∈ Q ? (Não é proposição, oração interrogativa). q : um quadrado de lado a tem área a 2 . (V) d) 3 x − 1 = 11 (Não é proposição, não pode ser classificada como p ∧ q : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e área a2 . verdadeira ou falsa). (F)Proposição simples: uma proposição poderá ser simples, se não contém d) p : 2 é ímpar. (F)nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. q : 10 é múltiplo de 3. (F) Ex.: Matemática é uma disciplina legal. p ∧ q : 2 é ímpar e 10 é múltiplo de 3. (F)Proposição composta: uma proposição será denominada composta se forformada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de Ex.: Matemática é uma disciplina legal e o professor é exigente. uma conjunção a partir dos valores lógicos das proposições p e q: Tabela verdade da conjunção p∧ q Negação de uma proposição p q p∧ q A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, V V Vdenominada negação de p e indicada com o símbolo ~p. V F F Podemos sintetizar o valor lógico da proposição ~p na seguinte tabela, F V Fdenominada tabela verdade da proposição ~p. F F F p ~p V F F V
  2. 2. Conectivo ∨ Condicional → (se ... então) Colocando o conectivo “ ∨ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma Colocando o condicional “ → ” entre duas proposições p e q, obtemosnova proposição, p ∨ q , denominada disjunção das sentenças p e q. uma nova proposição, p→ q , que se lê: “se p então q”.Exemplos: Exemplos: a) p : uma circunferência de raio r tem comprimento medindo 2π r . (V) a) p : a bananeira é um vegetal. (V) q : um círculo de raio r tem área π r 2 . (V) q : a galinha é um animal. (V) p ∨ q : circunferência de raio r e um círculo de mesmo raio têm p → q : se a bananeira é um vegetal, então a galinha é um animal. (V) comprimento medindo 2π r ou área π r 2 . (V) b) p : (− 4)3 = − 64 (V) b) p : o elefante é um mamífero. (V) q : − 3 ∈ N (F) q : a vaca voa. (F) p → q : (− 4)3 = − 64 → − 3∈ N (F) p ∨ q : o elefante é um mamífero ou a vaca voa. (V) c) p : a gaivota é um peixe. (F) c) p : 2 é ímpar. (F) q : a baleia é um mamífero. (V) q : 8 é múltiplo de 4. (V) p → q : se a gaivota é um peixe, então a baleia é um mamífero. (V) p ∨ q : 2 é ímpar ou 8 é múltiplo de 4. (V) d) p : 10 > 100 (F) d) p : 4 > 13 (F) q : 100 > 1000 (F) q : 4 ⋅ 2 = 9 (F) p → q : 10 > 100 → 100 > 1000 (V) p ∨ q : 4 > 13 ou 4 ⋅ 2 = 9 (F) Tabela verdade do condicional p→ q p p p→ q Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de V V Vuma disjunção a partir dos valores lógicos das proposições p ou q ( p ∧ q ): V F F p∨ q F V V Tabela verdade da disjunção F F V P q p∨ q V V V Condicional (bicondicional) ↔ (... se, e somente se, ...) V F V F V V Colocando o (bi)condicional “ ↔ ” entre duas proposições p e q, obtemos F F F uma nova proposição, p ↔ q , que se lê: “p se, e somente se, q”. Condicionais Exemplos: A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições a) p : o golfinho vive no mar. (V)através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: q : a arara-azul tem penas. (V) Condicional Lê-se p ↔ q : o golfinho vive no mar se, e somente se, a arara-azul tem penas. → se ... então (V) ↔ ... se, e somente se, ...
  3. 3. b) p : 34 = 81 (V) Exemplos: q : 3 + 5 = 7 (F) a) 3 > 2 ⇔ 32 > 2 2 p ↔ q : 34 = 81 ↔ 3 + 5 = 7 (F) podemos usas o símbolo ⇔ , pois a proposição bicondicional: 3 > 2 (V) ↔ 3 > 2 2 2 (V) é verdadeira. c) p : 3 − 8 = 2 (F) q : | − 5 |= 5 (V) b) Não podemos escrever − 3 > − 4 ⇔ (− 3) 2 > (− 4) 2 , pois a p ↔ q : 3 − 8 = 2 ↔ | − 5 |= 5 (F) bicondicional: − 3 > − 4 (V) ↔ ( − 3) 2 > (− 4) 2 (F) é falsa. p : a Terra é plana. (F) Dizemos também que “p é equivalente a q”, quando p e q têm tabelas- d) verdade iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. q : o sal é doce. (F) p ↔ q : a Terra é plana se, e somente se, o sal é doce.(V) Sentenças abertas Expressões como: Tabela verdade do condicional p↔ q a) 2x+3=11 p q p↔ q b) 5x-2=13 V V V c) x²+x=0 V F F que têm variáveis cujos valores lógicos (V ou F) dependem dos valores atribuídos F V F a esta variável são denominadas funções proposicionais ou sentenças abertas. F F V Contudo existem duas formas de transformar sentenças abertas em proposições: Implicação lógica 1. Atribuir valor às variáveis. Dadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando 2. Utilizar quantificadores.condicional p→ q for verdadeira. Quando p implica q, indicamos p⇒ q Quantificadores Quantificador UniversalExemplos: É indicado pelo símbolo ∀ que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”. a) 4 + 1 = 5 ⇒ ( 4 + 1) 2 = 5 2 Exemplos: podemos usar o símbolo ⇒ , pois a condicional a) (∀ x)( x 2 ≥ 0) , “qualquer que seja x , temos x 2 ≥ 0 ” (Verdadeira)4+ 1= 5 (V) → (4 + 1) 2 = 52 (V) é verdadeira. b) (∀ x)( x + 5 = 7) , “qualquer que seja x , temos x + 5 = 7 ” (Falsa) b) Não podemos escrever que 5 > 2 ⇒ 5 > 8 , pois a condicional:5 > 2 (V) → 5 > 8 (F) é falsa. Quantificador Existencial É indicado pelo símbolo ∃ que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”. Equivalência lógica Exemplos: Dadas as proposições p e q, dizemos que “p equivale a q” quando a a) (∃ x)( x + 1 = 5) , “existe x tal que x + 1 = 5 ” (Verdadeira)proposição condicional p↔ q é verdadeira. b) (∃ x, x ∈ N )( x 2 = 25) , “existe pelo menos um x , x elemento de N , Quando p equivale a q, indicamos p ⇔ q. tal que x 2 = 25 ” (Verdadeira) c) (∃ x)( x < 0) , “existe 2 x tal que x 2 < 0 ” (Falsa)
  4. 4. Obs. É também utilizado outro quantificador ∃ | que se lê: “existe um único”. Negação de uma conjunçãoExemplo: Pode-se verificar, em (A), que ~ ( p ∧ q ) ⇔ (~ p ) ∨ (~ q ) , assim sendo a a) (∃! x )( x + 3 = 9) , “existe um único x tal que x + 3 = 9” (Verdadeira) negação da proposição p∧ q é a proposição (~ p ) ∨ (~ q ) . Exemplo: determinar a negação de: Construindo tabelas verdade a) 3 = 2 e 8 < 12 . Dadas as proposições p e q, podemos determinar os valores lógicos de: p: 3 = 2 (F) q: 8 < 12 (V) a) ~ p, ~ q , p ∧ q , ~ ( p ∧ q) e (~ p ) ∨ (~ q ) . ~p: 3 ≠ 2 (V) ~q: 8 ≥ 12 (F) p Q ~ p ~q p ∧ q ~ ( p ∧ q) (~ p) ∨ (~ q) ~ ( p ∧ q ) : 3 ≠ 2 ou 8 ≥ 12 (V) V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V b) A pomba voa e o gato late. F F V V F V V p: a pomba voa (V) (A) q: o gato late. (F) b) ~ p , ~ q , p ∨ q , ~ ( p ∨ q) e (~ p ) ∧ (~ q ) ~p: a pomba não voa (F) ~q: o gato não late (V) p Q ~ p ~q p ∨ q ~ ( p ∨ q) (~ p) ∧ (~ q) ~ ( p ∧ q ) : a pomba não voa ou o gato não late. (V) V V F F V F F V F F V V F F Negação de uma disjunção F V V F V F F ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ) ∧ (~ q ) , assim sendo, Pode-se verificar, em (B), que F F V V F V V a negação as proposição p ∨ q é a proposição (~ p ) ∧ (~ q ) . (B) Exemplos: determinar a negação de: c) ~ p , ~ q , p ∧ ~ q , p → q , ~ ( p → q) e a) 8 ≠ 0 ou 2 ≠ 2 p: 8 ≠ 0 (V) p Q ~ p ~q p∧ ~ q p→ q ~ ( p → q) (~ q → ~ p) V V F F F V F V q: 2≠ 2 (F) V F F V V F V F ~p: 8= 0 (F) F V V F F V F V ~q: 2= 2 (V) F F V V F V F V ~ ( p ∨ q ) : 8 = 0 e 2 = 2 (F) (C) b) Matemática é interessante ou fascinante. p: Matemática é interessante (V) Negação de uma proposição q: Matemática é fascinante (V) Para proposições simples já foi visto que a partir de uma proposição p ~p: Matemática é desinteressante (não é interessante) (F)qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada ~q: Matemática não é fascinante. (F)com o símbolo ~p. ~ ( p ∨ q ) : Matemática é desinteressante e não é fascinante. (F)Exemplo: a) p : 7 ≠ 5 (V) ~ p : 7 = 5 (F)
  5. 5. Negação de um condicional simples Exercícios Pode-se verificar, em (C), que ~ ( p → q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) , assim sendo, anegação da proposição p→ q é a proposição ( p∧ ~ q) . 1) Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, classifique como F ou V?Exemplos: determinar a negação de: a) 5 ⋅ 4 = 20 b) 5-3=3 b) 2+7.3=5.4+3 d) 5(3+1)=5.3+5.1 a) Se 1 ∈ Q então 1 ∈ R . p: 1 ∈ Q (V) c) 1+3 ≠ 1=6 f) ( − 2) ≥ ( − 2) 5 3 d) 3+4>0 h) 11-4.2 q: 1∈ R (V) ~q: 1∉ R (F) 2) Classificar em V ou F cada uma das seguintes proposições compostas: ~ ( p → q ) : 1 ∈ Q e 1∉ R (F) a) 3>1 e 4>2 b) 3>1 ou 3=1 b) Se matemática é fácil então eu sou feliz. c) (− 1) 6 = − 1 e 25 < (− 2) 7 p: matemática é fácil (V) d) 5 é número par e 5 é numero ímpar. q: eu sou feliz (V) e) 5 é numero par ou 5 é número impar. ~q: não sou feliz (F) f) 4 é número ímpar ou 4 é múltiplo de 3. ~ ( p → q ) : matemática é fácil e eu não sou feliz (F) g) 6 é número par e 6 é múltiplo de 3.Negação de proposições quantificadas 3) Dizer qual a negação de cada proposição abaixo: Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo a) ( ∀ x)(x+3=5)(∀ x )( p ( x )) , é negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo b) ( ∀ x)(x(x+1)=x²+x)existencial e nega-se p (x ) obtendo: (∃ x )(~ p ( x )) c) ( ∃ x)(x=x)Exemplos: a) p: (∀ x)( x é par ) (F) d) ( ∃ a) (a + 1 ≥ 1 ) 2 3 ~p: (∃ x )( x não é par ) (V) e) ( ∃ a) ( 1 ∈ R) a b) p:Todo homem é mortal. (V) f) Todo losango é um quadrado. ~p: Existe um homem que é imortal (não é mortal). (F) g) Todo número inteiro primo é ímpar. Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo 4) Usando a equivalência ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ) ∧ (~ q ) , escreva a negação da(∃ x )( p ( x )) , é negada assim: substitui-se o quantificador existencial pelo sentença “5 é numero par ou 5 é diferente de 3”.universal e nega-se p ( x ) obtendo: (∀ x )(~ p ( x )) 5) Escreva a negação da sentença “ Carlos foi viajar ou foi à escola”.Exemplos: a) p: (∃ x )( x + 5 = 19) (V) 6) Usando a equivalência ~ ( p ∧ q) ⇔ (~ p ) ∨ (~ q ) , escreva a negação da ~p: (∀ x)( x + 5 ≠ 19) (F) sentença “José casou-se e foi viajar”. b) p: Existe um triângulo de três lados iguais que não é eqüilátero. (F) 7) Dadas as proposições p e q, construir e comparar as tabelas verdades de ~p: Todo triângulo de três lados iguais é eqüilátero. (V) p→ q e ~q→ ~ p.
  6. 6. 8) Classifique como V ou F cada uma das sentenças: a) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x>0) b) Sendo x um número, tem-se ( ∃ x)(x>0) c) Sendo x um número, tem-se (x)(x>0) d) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x+2=2+x) 9) Numa sentença do tipo p → q , o condicional → só pode ser substituído pela relação de implicação ⇒ quando a sentença p→ q for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo → por ⇒ : a) 5>3 → 3+1=4 b) 6>5 → 3<2 c) 3<2 → 6>5 d) 3+2=6 → 5<1 10) Numa sentença do tipo p ↔ q , o bicondicional ↔ só pode ser substituído pelo símbolo de equivalência ⇔ quando a sentença p↔ q for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo ↔ por C: a) 9+1=10 ↔ 5>2 c) 3<5 ↔ 3-1=6 b) 6+1=5 ↔ 6+1=7 d) 6<1 ↔ 3+1=0 11) Usando a equivalência ~ (~ p ) ⇔ p , dê uma sentença equivalente a “ Não é verdade que Márcia não voltou”.ReferênciasFundamentos de matemática elementar, Gelson Iezzi [e outros] – São Paulo: Ed.Atual, 1977.Matemática, Manoel Rodrigues Paiva – São Paulo: Moderna, 1995.

×