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Estructuras Discretas en ComputaciónSucesiones, recurrencia e inducción                     Profesor: Mag. Ing. Pavel Alia...
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Sucesiones o Series Fórmula del término n-ésimo: notación corta de una  sucesión.             {1, 3, 5, 7, …2n-1} , an={2...
Sucesiones o Series La notación corta presenta una enorme ventaja pues permite  expresar infinitos números en una expresi...
En sucesiones aritméticas Fórmula del término n-ésimo:                       an=a1 + (n-1)d Ejemplo 1: {-7, -3, 1, 5, 9, ...
En sucesiones geométricas Fórmula del término n-ésimo:                      an=a1 * r(n-1) Ejemplo 2: {2, 6, 18, 54, 162,...
En sucesiones de segundo grado Fórmula del término n-ésimo:                        an=an2 + bn +c  • c : a0  • a+b : Dife...
Principio de Inducción matemática Imaginemos que una fila de fichas de dominó se extiende hasta  más allá de lo que alcan...
Principio de Inducción matemática Supongamos que todos los números naturales tienen una  propiedad que llamaremos “P”   ...
Inducción matemática {1 + 2 +3+4 + …+n}=n(n+1)/2 , n≥1 ¿Qué hacemos si queremos verificar que la expresión es verdadera?...
Inducción matemática Permite verificar si es cierta o no cualquier propiedad  o proposición matemática. El método induct...
Ejercicios Guiados y Propuestos
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Sucesiones recurrencia induccion

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Sucesiones recurrencia induccion

  1. 1. Estructuras Discretas en ComputaciónSucesiones, recurrencia e inducción Profesor: Mag. Ing. Pavel Aliaga E. Facultad de Ing. de Sistemas Universidad de Lima 2009-2
  2. 2. Temas1. Sucesiones - Series  Fórmula del término n-esimo  Fórmula de recurrencia2. Inducción matemática ¿Por qué estudiamos series?
  3. 3. Sucesiones o Series Fórmula del término n-ésimo: notación corta de una sucesión. {1, 3, 5, 7, …2n-1} , an={2n-1}n=1  ∞ • a1= 2(1) -1=1n=posición en la serie • a2= 2(2) -1=3 Fórmula de recurrencia: relación entre un término cualquiera y el anterior. an+1=an + 2 • 3=1 +2 • 5=3+2
  4. 4. Sucesiones o Series La notación corta presenta una enorme ventaja pues permite expresar infinitos números en una expresión muy corta. Las sucesiones o series pueden ser aritméticas, geométricas, exponenciales, basadas en funciones trigonométicas, etc.
  5. 5. En sucesiones aritméticas Fórmula del término n-ésimo: an=a1 + (n-1)d Ejemplo 1: {-7, -3, 1, 5, 9, …} a1=-7, d=4 an = -7 + (n-1)*4 = {4n-11} Fórmula de recurrencia: an+1=an + d del ejemplo 1: a2=a1+4, luego: an+1=an + 4
  6. 6. En sucesiones geométricas Fórmula del término n-ésimo: an=a1 * r(n-1) Ejemplo 2: {2, 6, 18, 54, 162, …} a1=2, r=3 an = { 2*3(n-1) } Fórmula de recurrencia: an+1=an * r del ejemplo 2: a2=a1*3, luego: an+1=3an
  7. 7. En sucesiones de segundo grado Fórmula del término n-ésimo: an=an2 + bn +c • c : a0 • a+b : Diferencias en grado 1 • 2a : Diferencias en grado 2 Ejemplo 1: {-1, 4, 11, 20, 31, …} • c= - 4 (calcular término anterior (a0) a “a1”) • a+b=3 • 2a=2, a=1 reemplazando se tiene: an = n2 +2n-4 = {n(n+2)-4}
  8. 8. Principio de Inducción matemática Imaginemos que una fila de fichas de dominó se extiende hasta más allá de lo que alcanza la vista, y supongamos que sabemos que estos dos enunciados son verdaderos:  Enunciado 1: Alguien ha tirado la primera ficha  Enunciado 2: Si una ficha es derribada, entonces ésta tira la siguiente ficha Principio de las fichas de dominó: En una fila de fichas de dominó en la que son verdaderos los enunciados 1 y 2, todas las fichas son finalmente derribadas.
  9. 9. Principio de Inducción matemática Supongamos que todos los números naturales tienen una propiedad que llamaremos “P”  Enunciado 1: El número uno posee la propiedad P  Enunciado 2: Si un número posee la propiedad P, entonces el siguiente número (n+1) también la posee. Principio de inducción: Si los enunciados 1 y 2 son verdaderos, entonces todos los números naturales tienen la propiedad . La idea que hay detrás de los dos principios es muy parecida a las fichas de dominó. En este caso cada número le "comunica" al siguiente la propiedad (según el enunciado 2) por lo que, si el primero tiene la propiedad, la acaban teniendo todos.
  10. 10. Inducción matemática {1 + 2 +3+4 + …+n}=n(n+1)/2 , n≥1 ¿Qué hacemos si queremos verificar que la expresión es verdadera? a) Probamos para n=1, n=2, n=3, etc b) Verificamos en un computadora para un millar de valores específicos de n. c) Usamos la inducción matemáticaRpta: c
  11. 11. Inducción matemática Permite verificar si es cierta o no cualquier propiedad o proposición matemática. El método inductivo consta de dos partes o teoremas parciales:  Teorema 1 (paso base): verificar que la expresión se cumpla para algún número natural n (p.e: n=1)  Teorema 2 (paso inductivo): verificar que la expresión se cumpla para cualquier “n+1”  Conclusión: Si 1 y 2 son ciertas, se concluye que la propiedad es cierta por TODO número natural n.
  12. 12. Ejercicios Guiados y Propuestos

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  • JavierAyala2

    May. 3, 2017
  • CarolinaGonzalez495

    Feb. 6, 2021

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