Firenze 23 febbraio liceo machiavelli

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  • La matematica ha cambiato profondamente l'idea che abbiamo oggi di spazio, facendoci capire che in un certo senso siamo noi a creare e inventare lo spazio attraverso il mutare delle nostre idee su di esso.(Questoè un progetto di un museo del mondoellenico, del gruppo di architettichiamatoAnamorphosis Architects, formato da Nikos Georgiadis, TotaMamalaki, Kostas Kakoyiannis, VaiosZitounolis. E’ statoprogettato un grandespazio continuo in trasformazione, suggerita da linee curve chesiavvolgono a spiralecontorcendosi, mentre al centro di unagrandespiralesitrova la sedeespositiva del periodoclassicodellaciviltàgreca.)In questa immagine c’è un edificio che può rappresentare in qualche senso l’inizio e la fine (temporanea) di un viaggio, fantastico che vi chiedo di fare con me, che inizia migliaia di anni fa con la geometria euclidea. La geometria che è stata alla basa, assieme alla filosofia greca, del formarsi della civiltà occidentale come la conosciamo oggi. Senza dimenticare naturalmente l’influenza di tante altre civiltà, prima tra tutte quella islamica che ha permesso all’Europa di riscoprire la civiltà greca dimenticata.Dunque vi chiedo di abbandonarvi a questo viaggio all’interno della civiltà occidentale, viaggio che spazia su duemila anni e più, privilegiando, dal mio punto di vista, gli aspetti culturali legati alla geometria, alla matematica, all’architettura.
  • Il connubiotramatematica e letteratura ha avutoneisecolimolteplicimanifestazioni e unadelleinterpretazionipiùinteressantièl'utilizzo del linguaggioscientificonellerappresentazioniutopistiche. Nellecittàutopiche: La scelta di raccontarecittà in cui vige un egualitarismoradicale, in cui c'èuna forte geometrizzazionedellospaziourbano, con unaspiccataossessione per la simmetria e in cui le istituzioni politico-socialisonoimmutabiliesercitandoun'influenza molto forte sui singoliègeneralmentedettata dal tentativo di sistematizzazione e di legittimazionedelleregole. Divertentegiocomatematico, unafavolacheè utopia positiva e ottimista in cui la matematicaèplanimetria e metaforapolitica. la società di Flatland, unacittà con unastrutturafisicache segue le leggipropriedellageometriapiana. Il paese non ha altezza, èsottoposto solo da unaforzagravitazionaleesercitata dal sud, puntocardinalefondamentale. Le figure sul piano non colgonoperchémancanoloro le strutturementali per concepire la terzadimensione.  
  • Galileo nel 1623 ci dice chesenza le strutturematematiche non sipuòcomprendere la naturaperchè la matematicaèillinguaggiodellanatura.
  • Facciamo un salto di moltisecoli. Nel 1904 un famosopittore, Cézanne, cosìscriveva ad Emile Bernard:
  • Facciamo un salto di moltisecoli. Nel 1904 un famosopittore, Cézanne, cosìscriveva ad Emile Bernard:
  • Facciamo un salto di moltisecoli. Nel 1904 un famosopittore, Cézanne, cosìscriveva ad Emile Bernard:
  • Lo storicod’arteVenturiaffermache non sivedonocilindri, sfere e coninellepitture di Cézanne dunquequestafraseesprimevaun’idealeaspirazione ad un’organizzazione di formetrascendenti la natura, non altro. Qualche tempo prima che Cézanne iniziasse a dipingereil panorama dellageometria era cambiatodaglianni di Galileo. Traglianni 1830-1850 Lobacevskij e Bolyaicostruivano I primiesempi di geometrie non-euclidee, in cui non era validoilfamoso V postulato di Euclidesulleretteparallele. 
  • Qualche tempo prima che Cézanne iniziasse a dipingereil panorama dellageometria era cambiatodaglianni di Galileo. Traglianni 1830-1850 Lobacevskij e Bolyaicostruivano I primiesempi di geometrie non-euclidee, in cui non era validoilfamoso V postulato di Euclidesulleretteparallele. Per secoli i matematici hanno ritenuto che il quinto postulato dovesse essere una conseguenza dei primi quattro e si sono adoperati, inutilmente, per dimostrarlo. Tanta ostinazione da parte degli studiosi di geometria nel cercare di dimostrare il postulato delle parallele - a cominciare da Proclo (IV secolo a.C.) fino a Saccheri (1667-1733) e Lambert (1728-1777) - non risiedeva nel fatto che essi dubitassero della sua verità (nessuno dubitava che la geometria euclidea fosse l'unica geometria possibile) ma nel carattere essenzialmente diverso che il quinto postulato aveva rispetto agli altri. 
  • Bisogna aspettare la prima metà del 1800 perché la questione venga affrontata in modo radicalmente diverso dal russo Lobacevskij e dall'ungherese Bolyaii due matematici si convinsero infatti, l'uno indipendentemente dall'altro, che il quinto postulato non fosse una conseguenza dei precedenti e lo sostituirono con un'ipotesi alternativa:(P5') Per un punto che giace al di fuori di una retta si possono tracciare più rette che non incontrino la retta data.Svilupparono così uno dei due possibili rami della geometria non euclidea: la geometria non euclidea iperbolica. Lobacevskij pubblicò il suo lavoro nel 1829 e Bolyai nel 1832. Prima di loro, tuttavia, anche il grande Gauss (1777-1855) era arrivato a conclusioni e risultati simili senza tuttavia pubblicarli. Si osservi che il quinto postulato può essere negato anche in un altro modo:(P5") (Assioma ellittico o di Riemann) Tutte le rette passanti per un punto che giace al di fuori di una retta data incontrano tale retta (quindi due rette si intersecano sempre, non esistono rette parallele).Si arriva così all'altro possibile ramo della geometria non euclidea: la geometria ellittica sviluppata da Riemann (dissertazione presso l'università di Gottinga del 1854.
  • Un'ottima rappresentazione di una geometria iperbolica di questo tipo è stata fornita dal pittore olandese MauritsCornelis Escher (1898-1971) nella sua straordinaria opera "Limite del cerchio III" (1959): ponendoci al centro del disegno e smuovendoci verso il bordo di esso, ci restringiamo sempre di più, e per raggiungere il bordo ci occorrerà percorrere una distanza infinita, proprio come se volessimo raggiungere il "bordo" di un piano euclideo. Questa rappresentazione dell'infinito anticipa di qualche decennio la formulazione matematica del concetto di frattale ad opera di Benoit B. Mandelbrot (1924-1910).
  • Come si vede, mentre la geometria iperbolica di Lobacevskij e Bolyai sfrutta pur sempre figure piane come il cerchio che si sostituiscono al piano, invece la geometria ellittica di Riemann abbandona il piano, costruendo la sua geometria su di una superficie curva. In questo caso si tratta in effetti della superficie tridimensionale di una sfera, ma il tutto può essere generalizzato ad una "superficie ad n dimensioni", che prende il nome di varietà riemanniana n-dimensionale. Viene introdotto in tale modo il concetto di curvatura dello spazio, giacché la varietà di Riemann è manifestamente una superficie curva.
  • « Dante possiede una chiara visione globale della complessa struttura spaziale nella sua totalità. Per le nove sfere del cielo, Dante recupera la rappresentazione di Aristotele, apportando un cambiamento fondamentale che riguarda la fine dello spazio: come può essere che la sfera più distante, che appare la più grande, abbia in realtà le più piccole dimensioni? Lo spazio di Dante è una varietà di Riemann con una fonte di energia che imprime ad esso la metrica» La forma dell'Universo di Dante è quella che i matematici chiamano ipersfera, cioè una sfera avente più di tre dimensioni: nel nostro caso quattro. Il nostro cervello è incapace di figurarsi oggetti con più di tre dimensioni, ma possiamo avere un'idea del modello di Speiser se procediamo per analogia con quanto avviene nello spazio euclideo ordinario.
  • Il punto di luce e le sfere di angeli circondano l'Universo sensibile, e insieme sono circondati dall'Universo stesso! Nessuna altra spiegazione è possibile, se non quella che ne ha dato Speiser, e che oggi è condivisa da molti matematici e fisici.
  • A propositodellosviluppodellageometria non euclideasièparlato, giustamente, di "rivoluzionecopernicana" nelpensieromatematico;
  • In altri termini, gli assiomi della geometria non sono che definizioni travestite. Allora che pensare della domanda “E’ vera la geometria euclidea?” essa non ha nessun senso. Come non ha senso domandarsi se il sistema metrico sia vero e siano falsi i vecchi sistemi di misura; o se le coordinate cartesiane siano vere, e false quelle polari. Una geometria non può essere più vera di un’altra: può solo essere più comoda. La geometria euclidea è, e resterà, la più comoda.
  • 1800-1900
  • Il primo lavoro che può essere considerato relativo alla topologia è attribuito ad Eulero. Nel 1736 Eulero pubblicò un articolo sulle soluzioni per il ponte di Konigberg, dal titolo "The solution of a problemelating to the geometry of position". Lo stesso titolo indica che Eulero stava studiando un nuovo tipo di geometria nella quale il parametro distanza non era rilevante. Problema di una città reale. Città natale del filosofo Kant (1724-1804) Hilbert. Problema è possibile fare una passeggiata seguendo un percorso che attraversi ogni ponte una sola volta e tornare al punto di partenza (Eulero dimostra che non è possibile
  • http://www.youtube.com/watch?v=-sbg7xrM21Yhttp://www.youtube.com/watch?v=OCTdiBIznb8cavolfiore
  • E’ facile comprendere che la matematica ha contribuito, quando non ha determinato, il modo di concepire lo spazio sulla terra e nell’universo. In particolare la topologia, la scienza delle trasformazioni, la scienza degli invarianti. Si veda a New York il progetto fi Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan (Fig.1). Quello ancora più topologico di Guggenheim di Bilbao. Fig.2
  • E’ facile comprendere che la matematica ha contribuito, quando non ha determinato, il modo di concepire lo spazio sulla terra e nell’universo. In particolare la topologia, la scienza delle trasformazioni, la scienza degli invarianti. Si veda a New York il progetto fi Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan (Fig.1). Quello ancora più topologico di . Fig.2Vedete come la scoperta o invenzione delle geometrie non euclidee e delle dimensioni più alte, a partire dalla quarta, sia uno degli esempi più interessanti anche per le profonde ripercussioni che molte delle idee dei matematici avranno sulla cultura umanistica e sull’arte.
  • Il terzo elemento su cui riflettere è come tutte queste idee vengono trasmesse e assimilate, magari non comprese a fondo e solo orecchiate dai diversi settori della società. Ha scritto l’architetto Alice Imperiale nel libro Nuove Bidimensionalità al capitolo Tecnologie digitali e nuove superfici: “gli architetti si appropriano liberamente di metodologie specifiche di altre discipline. Ciò può essere attribuito al fatto che ampi cambiamenti culturali si verificano più velocemente in altri contesti che in architettura” “l’architettura riflette i cambiamenti che avvengono nella cultura, e secondo molti, con un ritmo dolorosamente lento.”Gli architetti cercano costantemente di occupare un ruolo di avanguardia, pensano che le informazioni prese a prestito da altre discipline possano essere rapidamente assimilate all’interno delle progettazioni architettoniche. Tuttavia la traducibilità, il trasferimento da un linguaggio ad un altro, rimane un problema. Gli architetti guardano sempre più spesso ad altre discipline e ad altri processi industriali per ispirarsi, facendo un uso sempre maggiore nella progettazione del computer.
  • Turing 1936
  • Torniamo al significato della parola spazio in geometria. Parole, appunto, dove il cambiare geometria serve per affrontare problemi che sono diversi perché è diversa la struttura dello spazio. Lo spazio sono le proprietà, non gli oggetti contenuti.
  • Riassumendo il viaggio si svolge tra parole, computer, assiomi, trasformazioni, libertà. Una parola avrà una importanza superiore alle altre: topologia.Cratilodialogo di Platone “in esso è trattato il problema del linguaggio della correttezza dei nomi. C’è la figura del legislatore, uomo sapiente, colui che decide i nomi e li crea solo corretti. IV sec.a.c.
  • La casa di Van Berkelispirata al nastro di Moebius (Moebius House) èpensata come unastrutturaprogrammaticamente continua, cheintegrail continuo mutamento di coppiedialettichescorrevolichefluisconol'unanell'altra, dall'internoall'esterno, dalleattività di lavoro a quelle del tempo libero, dallastrutturaportanteallastruttura non portante. Mobius ha un unicafaccia e non ha bordorappresenta un pontetrarealtà e sogno.
  • Firenze 23 febbraio liceo machiavelli

    1. 1. Fantasia e Libertà:Dal mondo piatto alle ipersuperfici Liceo “N. Machiavelli” Firenze 23 Febbraio 2011 Antonella Fatai Liceo Classico “F. Petrarca” Arezzo GREMS UNISI SISUS
    2. 2. Flatland, a Romance of Many Dimensions,(1882) di Edwin Abbott Abbott.Flatlandia, è strutturata secondo regole matematiche una piramidebasata sulla complessità di configurazione degli individui: alla base cèil Segmento-Donna, al gradino successivo ci sono i Triangoli Isosceli,quindi i Triangoli Equilateri, i Quadrati, i Poligoni regolari, e poi lanobiltà, il cui prestigio aumenta in misura proporzionale allaumentodel numero dei lati, salendo nella scala sociale. Al verticedellorganizzazione sociale ci sono i Cerchi, Sommi Sacerdoti eorganizzatori di tutte le Arti e le Scienze. Questi detengono il potere eimpongono leggi durissime e irrevocabili che garantiscono a Flatlandun governo oligarchico al riparo da ogni pericolo di rivoluzione;misure, queste, precauzionali e dittatoriali che mantengono la societàin una condizione di immobilismo politico. Ai margini della società visono le Figure Irregolari, caratterizzate da irrazionalità di forme e dicomportamento.
    3. 3. Lo Spazio e la MatematicaParmi di scorgere ferma credenza, che nel filosofare sia necessarioappoggiarsi all’opinioni di qualche celebre autore, si che la mentenostra, quando non si maritasse col discorso d’un altro, ne dovesse intutto rimanere sterile ed infeconda; e forse stima che la filosofia siaun libro e una fantasia d’un uomo, come l’Iliade e l’OrlandoFurioso, libri ne’ quali la meno importante cosa è che quello che vi èscritto sia vero. Signor Sarsi, la cosa non istà cosí. La filosofia è scrittain questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima nons’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sontriangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi èimpossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è unaggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.G. Galilei, La prosa, Sansoni, Firenze, 1978, pag. 261
    4. 4. Lo Spazio e la Matematica
    5. 5. La montagna Sainte-Victoire, 1905 Paul Cézanne Tecnica olio su tela Dimensioni 63×83 cm Ubicazione Kunsthaus, Zurigo
    6. 6. Le Cabanon de Jourdan 1906Oil on canvas 25 5/8 x 31 7/8 in (65 X 81 cm)Collection Riccardo Jucker, Milan
    7. 7. Lo Spazio e la Matematica
    8. 8. Def. XXXIII ed il postulato V del I° libro degli Elementi di Euclide:
    9. 9. IL V Postulato
    10. 10. Lobacevskij, BolyaiGeometria iperbolica.(P5) Per un punto chegiace al di fuori di una retta si possonotracciare più rette chenon incontrino la retta data.
    11. 11. "Limite del cerchio III" (1959)
    12. 12. 1854 Riemann Geometria ellittica(P5") Tutte le rette passanti per un punto che giace al di fuori di una retta data incontrano tale retta.
    13. 13. In pratica, la geometria costruita su unasuperficie sferica è sicuramente ellittica, mentrequella costruita su di un piano è inevitabilmenteeuclidea, e quella realizzata su di una superficie"a sella" è certamente iperbolica, come mostralo schema seguente:
    14. 14. Andreas SpeiserLuniverso di Dante non è uno spazio euclideo, bensì una varietàdi Riemann! ("Klassiche stücke der Mathematik", 1925)
    15. 15. Unindiscutibile conferma di questa straordinaria visionequadridimensionale delluniverso ci è offerta dallo stesso Dantequando, appena entrato nellEmpireo oltrepassando il PrimoMobile, lultima frontiera delluniverso materiale, afferma:« Non altrimenti il trïunfo che lude
sempre dintorno alpunto che mi vinse,
parendo inchiuso da quel chellinchiude,
a poco a poco al mio veder si stinse » (Par.XXX, 10-13)
    16. 16. Lucio Lombardo RadiceCiò che colpisce in Lobacevskij (e in Bolyai, che poco dopoLobacevskij raggiunse risultati equivalenti) è il fatto che, dalpunto di vista matematico, la lettura delle loro opere nonrichiede conoscenze che vadano al di là di quelle "euclidee". E ciòche colpisce forse ancora di più è il fatto che alcuni dei principaliteoremi della nuova "geometria generale" siano antecedenti allasua fondazione: si trovino nellopera, ad esempio, di GerolamoSaccheri, "euclideo" convinto, un secolo prima che non neiPrincipi della geometria di Lobacevskij o nel Tentamen diBolyai, che non nelle opere cioè dei fondatori della nuovageometria. Il paragone che viene alla mente (e che da altri èstato già fatto) è piuttosto quello con la rivoluzione copernicana.Nella rivoluzione non-euclidea come in quella copernicana il fattonuovo non consiste tanto e soltanto nellapporto di nuovomateriale, di nuove scoperte, quanto in un capovolgimento del"punto di vista". 





    17. 17. Nel 1872 Felix Klein (1849-1925)Professore ad Erlangen, nel discorso inaugurale,noto con il nome Programma di Erlangen,descriveva la geometria come lo studio delleproprietà delle figure aventi carattere invarianterispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni.Di conseguenza ogni classificazione dei gruppi ditrasformazioni diventava una codificazione dellediverse geometrie. Ad esempio la geometriaEuclidea del piano è lo studio delle proprietà dellefigure invarianti rispetto al gruppo di trasformazionirigide del piano formato dalle traslazioni e dallerotazioni.
    18. 18. Poincaré affermava che:“…gli assiomi geometrici non sono né giudizisintetici a priori, né fatti sperimentali. Sonoconvenzioni; la nostra scelta, tra tutte leconvenzioni possibili, è guidata dai fattisperimentali, ma resta libera e non è limitata dallanecessità di evitare ogni contraddizione. È così che ipostulati possono restare rigorosamente veri, anchese le leggi sperimentali che hanno determinato laloro adozione non sono che approssimative.
    19. 19. Scriveva MondrianIl neoplasticismo ha le sue radici nel cubismo. Puòessere chiamato anche pittura astratto-reale perchèlastratto (come le scienze matematiche ma senzaraggiungere come loro lassoluto) può essereespresso da una realtà plastica nella pittura. Essa èuna composizione di piani rettangolari colorati cheesprime la realtà più profonda, cui pervieneattraverso lespressione plastica dei rapporti e nonattraverso lapparenza naturale. .... La nuovaplastica pone i suoi problemi in equilibrio esteticoed esprime in tal modo la nuova armonia.
    20. 20. Salvador Dalí 1954"Corpus Hypercubus”
    21. 21. Si deve sempre a Poincaré la nascita ufficiale di quel settore dellamatematica che oggi si chiama Topologia con il volume AnalysisSitûs (Analisi della posizione), traduzione latina del nome greco,pubblicato nel 1895. Poincaré definiva la topologia come la scienzache fa conoscere le proprietà qualitative delle figure geometrichenon solo nello spazio ordinario ma anche nello spazio a più di tredimensioni.
    22. 22. Se a tutto questo si aggiunge la geometria deisistemi complessi, la geometria dei frattali, lateoria del caos e tutte le immagini“matematiche” scoperte (o inventate) daimatematici negli ultimi trenta anni utilizzando lacomputer graphic, si comprende come lamatematica abbia contribuito a fare cambiarepiù volte la nostra idea di spazio, dello spazio incui viviamo e dell’idea stessa di spazio.
    23. 23. New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan
    24. 24. New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Bilbao
    25. 25. Il primo elemento è lo spazioIl primo elemento è lo spazio delineato da Euclide, con ledefinizioni, gli assiomi, le proprietà degli oggetti che inquesto spazio devono trovare posto. Spazio che saràquello della perfezione, lo spazio platonico l’uomo comematrice e misura dell’universo, idea che attraversa isecoli. La matematica, la geometria che devono spiegaretutto, anche la forma degli esseri viventi: Le curve dellanatura, titolo di un famoso libro del Novecento di Cookche certo non si immaginava quanto potesse essere veroritrovare in forme della natura, addirittura in quelle chesono all’origine della vita, alcune curve matematiche.
    26. 26. Il secondo elemento è la libertàIl secondo elemento è la libertà; la matematica, lageometria sembrano essere il regno dell’aridità. Chi non siè mai occupato di matematica o non ha mai studiato coninteresse la matematica a scuola, non riesce a capire laprofonda emozione che essa può suscitare. Né costoropossono capire che la matematica sia un’attivitàaltamente creativa. Né che sia il regno della libertà dovenon solo si inventano (o si scoprono) nuovi oggetti, nuoveteorie, nuovi campi di attività di ricerca, ma si inventanoanche i problemi. Non avendo inoltre il matematicobisogno in molti casi di ingenti risorse finanziarie, si puòaffermare che la matematica sia il regno della libertà edella fantasia. E certo del rigore e del corretto ragionare.
    27. 27. Il terzo elemento su cui riflettere …• Il terzo elemento su cui riflettere è come tutte queste idee vengono trasmesse e assimilate, magari non comprese a fondo e solo orecchiate dai diversi settori della società.• Ha scritto l’architetto Alice Imperiale nel libro Nuove Bidimensionalità al capitolo Tecnologie digitali e nuove superfici: “gli architetti si appropriano liberamente di metodologie specifiche di altre discipline. Ciò può essere attribuito al fatto che ampi cambiamenti culturali si verificano più velocemente in altri contesti che in architettura” “l’architettura riflette i cambiamenti che avvengono nella cultura, e secondo molti, con un ritmo dolorosamente lento.”• Gli architetti cercano costantemente di occupare un ruolo di avanguardia, pensano che le informazioni prese a prestito da altre discipline possano essere rapidamente assimilate all’interno delle progettazioni architettoniche. Tuttavia la traducibilità, il trasferimento da un linguaggio ad un altro, rimane un problema.• Gli architetti guardano sempre più spesso ad altre discipline e ad altri processi industriali per ispirarsi, facendo un uso sempre maggiore nella progettazione del computer.
    28. 28. Il quarto elemento è il computerIl quarto elemento è il computer, il computergrafico, la macchina logica e geometrica pereccellenza. L’idea geniale di un matematico, AlanTuring, portata a termine sotto lo stimolo di unaguerra. Una macchina costruita dall’uomo, in cuiè stata inserita una logica, costruita sempredall’uomo, pensata dall’uomo. Uno strumentomolto sofisticato, insostituibile, non solo inarchitettura. Uno strumento appunto.
    29. 29. Il quinto elemento il progresso, la parola progresso.• Il quinto elemento il progresso, la parola progresso. Se consideriamo le geometrie non euclidee, le nuove dimensioni, la topologia, l’esplosione della geometria e della matematica nel Ventesimo secolo, si può parlare di progresso?• Delle conoscenze senz’altro, ma non nel senso che i nuovi risultati cancellano i precedenti. I matematici usano volentieri un vecchi detto ricalibrato sulla matematica. “la Matematica è come il maiale, non si butta via nulla, prima o poi anche le cose che sembrano più astratte ed anche insensate possono venire utili”.
    30. 30. Il sesto elemento sono le parole.• Il sesto elemento sono le parole. Una delle grandi capacità dell’umanità è di dare un nome alle cose (sto pensando che già in Platone…) molte volte nel nominare si usano parole già nell’uso corrente. In matematica in particolare negli ultimi anni questa abitudine ha creato dei problemi come è successo con parole come frattali, catastrofi, complessità iperspazio. Parole simboliche, metaforiche. Anche topologia e dimensionalità e serialità fanno parte del linguaggio comune o almeno degli architetti.
    31. 31. il ruolo dellaTopologia, così come lo vede un architettoLo topologia è lo studio del comportamento di unastruttura di superficie sottoposta a deformazione. Lasuperficie registra i cambiamenti degli slittamenti spazio-temporali differenziali in una deformazione continua. Ciòcomporta ulteriori potenzialità per la deformazionearchitettonica. La deformazione continua di unasuperficie può condurre allintersezioni di piani esterni einterni in un continuo mutamento morfologico,esattamente come nel nastro di Moebius. Gli architettiusano questa forma topologica nel progetto di casa,inserendo campi differenziali di spazio e tempo in unastruttura altrimenti statica.
    32. 32. La casa di Van Berkel ispirata al nastro di Moebius (Moebius House)
    33. 33. OSSERVAZIONI FINALI
Ho cercato di raccontare alcuni momenti importanti chehanno portato ad un mutamento nella nostra concezione dipercepire lo spazio, cercando di far cogliere oltre agli aspettitecnici e formali che pure sono essenziali nella matematica,laspetto culturale parlando dellidea di spazio in relazione adalcuni aspetti dellarchitettura contemporanea. Vorrei soloricordare due parole che hanno una grande importanza:fantasia e libertà. Sono forse queste le due parole magicheche hanno permesso allarchitettura contemporanea diarricchire di molto il patrimonio progettuale. Fantasia e libertàche derivano dal confluire nel corso degli anni di tantielementi: la logica dei computer, le nuove geometrie, latopologia, la computer graphics.
    34. 34. OSSERVAZIONI FINALI
    35. 35. GRAZIEVi auguro tanta fantasia e tanta libertàAntonella.fatai@istruzione.it

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