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Matemátic..

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  1. 1. 1 UNIVERSIDAD METROPOLITANA MATEMÁTICA II Lcdo. RAMIRO BOSQUEZ VERDEZOTO 2010 – 2011 Alum :……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......
  2. 2. 2 1. UNIDAD I MEDIDAS Sistema Internacional de Unidades, SI, también denominado sistema internacional de medidas, es el más usado. El antiguo sistema métrico decimal, es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido como sistema métrico, en algunas naciones en las que aún no se ha implantado el uso cotidiano del SI. Se creó en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente determinó seis unidades fundamentales. En 1971, fue añadida la sép- tima unidad básica, el mol. Unade las principales características, es la gran ventaja de que sus unidades están basadas en fenómenos físicosfundamentales.Laúnicaexcepciónesla unidad de masa,el kilogramo, que está definida como “la masa del prototipo internacionaldelkilogramo”o aquel cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos yMedidas. El Sistema Internacional regula el uso de las medidas métricas y no métricas, de ellas conoceremos las prin- cipales: 1.1. MEDIDAS DE LONGITUD: Son las medidas que establecen la magnitud entre dos puntos. Su unidad es el metro (m) establecido por la misión geodésica francesa como la millonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Antes de adoptar al metro como medida, los antiguos usaban manos, brazos, dedos, pies, etc. como medidas convencionales para determinar distancias. Estas medidas nacieron a partir de la necesidad del hombre para relacionarse con su medio. Múltiplos del metro: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Kilómetro Hectómetro Decámetro Km Hm Dm 1000 m 100 m 10 m 103 m 102 m 101 m Submúltiplos del metro: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA decímetro centímetro milímetro dm cm mm 0,1 m 0,01 m 0,001 m 10-1 m 10-2 m 10-3 m Relación de las medidas de longitud del SI con el SB UNIDAD SB SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB Pulgada Pie Yarda Vara Milla Terrestre Milla Marina pulg pie yd va mi mi 2,54 cm 30,48 cm 91,00 cm 84,00 cm 1609,00 m 1853,00 m 12 pulg 3 pie 2,76 pie 5280 pie 6080 pie Grabemos en la mente estas equivalencias…! 1 yarda 1 pie 1 pulg
  3. 3. 3 La longitud de este bolígrafo es de 14 cm, expresarlo en mm, pulg y pies. Para este efecto nos valemos del factor unitario de conversión. Experimentemos convirtiendo en mm y en pulg: Previamente observemos una regla y tomemos en cuenta lo siguiente: 1. ¿Cuántos mm tiene 1 cm? 2. Cuenta los mm hasta completar los 14 cm 3. Compara los cm con las pulg. 4. Luego procede al cálculo numérico. 14 cm en mm se resolverá: 14 cm en pulg se resolverá: 14 cm en pies se resolverá: El factor unitario resulta de: El factor unitario resulta de: Los factores unitarios resultan de: 1 cm = 10 mm 1 pulg = 2,54 cm 1 pulg = 2,54 cm y Entonces 14 cm = 140 mm Entonces 14 cm = 5,512 pulg 1 pie = 12 pulg Entonces 14 cm = 0,459 pies 1. Midiendo en cm el largo y el ancho de un objeto plano. 2. Expresando cada medición en seis medidas de longitud del SI y en seis del SB. ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… EXPERIMENTA PRACTIQUEMOS CONVERSIONES
  4. 4. 4 1.2. MEDIDAS DE TIEMPO: En realidad el tiempo no existe, es una invención del hombre, inspirado en los movimientos de la tierra. Este invento ha permitido a los humanos ubicarnos en el cosmos,relacionandocon otras medidas para dominar el espacio terrestre y extraterrestre. La unidad funda- mental es el segundo (s). Unidades de tiempo UNIDAD SÍMBOLO EQUIV. UNIDAD SÍMBOLO EQUIV. 1 mileño 1 siglo 1 década 1 lustro 1 año común 1 año bisiesto 1 añocomercial Mileño Siglo Década Lustro Año común Año bisiesto Año comercial 1000años 100años 10 años 5 años 365días 366días 360días 1 mes 1 semana 1 día 1 hora 1 minuto 1 segundo Mes Semana Día h min s 30 días 7 días 24 horas 60 min 60 s 1 s Alicia comenzó a cepillarse los dientes a las 10h00, cuando terminó, el reloj marcaba la hora que observamos. Determinar ese tiempo transcurrido en min, s, h y días. Para satisfacer las propuestas procederemos observando el reloj: 1. Han transcurrido 8 min con 33,25 s 2. Convirtamos todo en min, así: Ahora tenemos: 8 min + 0,5442 min = 8,5442 min. 8,5442 min en s será: (Utilizando el mismo factor unitario del cálculo anterior) 8,5442 min en h será: 0,1424 h en días serán: El factor unitario viene de: 1 min = 60 s El factor unitario viene de: 1 h = 60 min El factor unitario viene de: 1 día = 24 h Grabemos en la mente estas equivalencias…! PRACTIQUEMOS CONVERSIONES
  5. 5. 5 1. Calculando tu edad hasta la presente fecha, en años, meses y días. 2. Convirtiendo todo en solo: siglos,décadas,lustros, años, meses, Semanas, días, horas, minutos y segundos. ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3. MEDIDAS DE SUPERFICIE. Llamamos superficie a toda forma plana limitada por segmentos rectos o curvos, en efecto tendríamos superficies cuadradas, rectangulares, triangulares, trapezoidales, romboidales, poligonales, circulares, ovoideas,etc. Estas formas tienen unidades de medidas, definidas por las áreas. Se derivan de las medidas de longitud, calculando el cuadrado de cada una. Su unidad es el metro cuadrado (m2) Múltiplos del metro cuadrado: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Kilómetro cuadrado Hectómetro cuadrado Decámetro cuadrado Km2 Hm2 Dm2 1000000 m2 10000 m2 100 m2 106 m2 104 m2 102 m2 Submúltiplos del metro cuadrado: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA decímetro cuadrado centímetro cuadrado dm2 cm2 0,01 m2 0,0001 m2 10-2 m2 10-4 m2 EXPERIMENTA Grabemos en la mente estas equivalencias…!
  6. 6. 6 milímetro cuadrado mm2 0,000001 m2 10-6 m2 Relación de las medidas de superficie del SI con el SB UNIDAD SB SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB Pulgada cuadrada Pie cuadrado Yarda cuadrada Vara cuadrada pulg2 pie2 yd2 va2 6,4516 cm2 929,0304 cm2 8281,00 cm2 7056,00 cm2 144 pulg2 9 pie2 7,6176 pie2 Si cada equivale a 1 m2, determinar esta superficie en: Km2, cm2, pulg2, pie2. En respuesta a lo planteado será: 16 m2 en Km2: 16m2 × 1 Km2 10000000 m2 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔 𝐊𝐦 𝟐 16 m2 en cm2: 16m2 × 10000 cm2 1m2 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐦 𝟐 16 m2 en pulg2: 16m2 × 10000 cm2 1m2 × 1pulg2 6,4516cm2 = 𝟐𝟒𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟓 𝐩𝐮𝐥𝐠 𝟐 16 m2 en pulg2: 16m2 × 10000 cm2 1m2 × 1pulg2 6,4516cm2 × 1pie2 144 pulg2 = 𝟏𝟕𝟐,𝟐𝟐𝟑 𝐩𝐢𝐞 𝟐 1. Calculando el área de tu dormitorio en m2. 2. Convirtiendo en: Hm2, Dm2, dm2, mm2, yd2, va2. ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… PRACTIQUEMOS CONVERSIONES EXPERIMENTA
  7. 7. 7 1.4. MEDIDAS AGRARIAS. Las medidas agrarias, inspiradas en las de superficie, son las que se usan exclusivamente para terrenos en el agro, considerando a las extensiones agrícolas como planas. Su unidad es el área (a). Múltiplo del área: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Hectárea ha 10000 m2 104 m2 Submúltiplo del área: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Centiárea ca 1 m2 100 m2 Otras medidas: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB Cuadra Área a 10000 va2 100 m2 104 va2 102 m2 Si cada equivale a ha, determinar esta superficie en: m2, a, ca. En respuesta a lo planteado será: 25 ha en m2: 25 ha× 10000 m2 1ha = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝐦 𝟐 25 ha en a: 25 ha× 10000 m2 1ha × 1 ca 1m2 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐚 25 ha en ca: 25 ha× 10000 m2 1ha × 1 a 100 m2 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 𝐚 25 ha en cuadras: 25 ha × 10000 m2 1ha = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝐦 𝟐 Grabemos en la mente estas equivalencias…! PRACTIQUEMOS CONVERSIONES
  8. 8. 8 1.Calculando el área del solar de tu casa en m2. 2.Convirtiendo en: ha, a, ca, cuadras. ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.5. MEDIDAS DE VOLUMEN. Usualmente las grandes cantidades de líquidos se expresan en medidas cubitales, la unidad de medida es el metro cúbico (m3), que es un cubo cuya arista mide un metro. Como todo líquido adopta la forma del recipiente que lo contiene, en algunos no notaremos las medidas cúbicas, pero será posible su cálculo con fórmulas apropiadas para el efecto. Las medidas de volumen resultan de las de longitud, calculando la potencia cúbica de cada una. Múltiplos del metro cúbico: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Kilómetro cúbico Hectómetro cúbico Decámetro cúbico Km3 Hm3 Dm3 1000000000 m3 1000000 m3 1000 m3 109 m3 106 m3 103 m3 Submúltiplos del metro cúbico: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico dm3 cm3 mm3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3 10-3 m3 10-6 m3 10-9 m3 EXPERIMENTA 1m 1m 1m Grabemos en la mente estas equivalencias…!
  9. 9. 9 Relación de las medidas de volumen del SI con el SB UNIDAD SB SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB Pulgada cúbica Pie cúbico Yarda cúbica Vara cúbica pulg3 pie3 yd3 va3 16,3871 cm3 28316,847 cm3 753571 cm3 592704 cm3 1728 pulg3 27 pie3 21,0246 pie3 Observando el contenido de agua en la piscina, notaremos un volumen de 450 m3, expresemos en Dm3, dm3 y pulg3. Entonces estas conversiones serán: 450 m3 en Dm3: 450 m3 × 1Dm3 1000m3 = 𝟎, 𝟒𝟓 𝐃𝐦 𝟑 450 m3 en dm3: 450 m3 × 1000 dm3 1m3 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐝𝐦 𝟑 450 m3 en pulg3: 450 m3 × 1000000 cm3 1 m3 × 1 pulg3 16,3871 cm3 = 𝟐𝟕𝟒𝟔𝟎𝟕𝟗𝟐, 𝟎𝟗𝟏 𝐩𝐮𝐥𝐠 𝟑 1. Calcula el volumen de agua que contiene la cisterna de tu casa o de alguna que tú conozcas, en m3. 2. Expresa en Hm3, cm3, mm3, pie3, yd3, va3. ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… PRACTIQUEMOS CONVERSIONES EXPERIMENTA
  10. 10. 10 1.6. MEDIDAS DE CAPACIDAD. Las medidas de capacidad también nos determinan la cantidad de líquido en un recipiente, a diferencia de las de volumen, la unidad es el litro (l). Un litro equivale a 1 dm3. Múltiplos del litro: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Kilolitro Hectolitro Decalitro Kl Hl Dl 1000 l 100 l 10 l 103 l 102 l 101 l Submúltiplos del litro: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA decilitro centilitro mililitro dl cl ml 0,1 l 0,01 l 0,001 l 10-1 l 10-2 l 10-3 l Otras medidas de capacidad Recordemos con la figura a esos viejos tanques cilíndricos de hierro que sirven para almacenar aceite lubricante para vehículos. Asumiremos como 40 galones su contenido, pues ahora expresemos en l, dl y pintas. 40 galones en l serán: 40 galones× 3,785 l 1 galón = 𝟏𝟓𝟏, 𝟒 𝐥 40 galones en dl serán: 40 galones× 3,785 l 1 galón × 10 dl 1 l = 𝟏𝟓𝟏𝟒 𝐝𝐥 40 galones en pintas serán: 40 galones× 3 ,785 l 1 galón × 1 dm3 1 l × 1000 cm3 1 dm3 × 1 pinta 473,2 cm3 = 𝟑𝟏𝟗, 𝟗𝟒𝟗 𝐩𝐢𝐧𝐭𝐚𝐬 1. En los diferentes supermercados venden aceite comestible en frascos de 2 l 2. Conviértelos en Dl, cl, ml, dm3, cm3 y galones. UNIDAD EQUIVALENCIA Galón Pinta Onza fluida 3,785 litros 473,2 cm3 29,57 cm3 1 litro Grabemos en la mente estas equivalencias…! 1 dm3 PRACTIQUEMOS CONVERSIONES EXPERIMENTA =
  11. 11. 11 ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.7. MEDIDAS DE MASA. Las unidades de masa determinan la cantidad de sustancia que tiene un cuerpo, su unidad es el gramo (g) y el instrumento donde se mide la masa es la balanza, desde una cacera hasta la más sofisticada. Múltiplos del gramo: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA Tonelada Métrica Quintal Métrico Kilogramo Hectogramo Decagramo Tm Qm Kg Hg Dg 1000000 g 100000 g 1000 g 100 g 10 g 106 g 105 g 103 g 102 g 101 g Submúltiplos del gramo: UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA decigramo centigramo miligramo dg cg mg 0,1 g 0,01 g 0,001 g 10-1 g 10-2 g 10-3 g Otras medidas de masa UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA SB Tonelada Kilogramo Quintal Arroba Libra Onza Ton Kg qq @ Lb onz 20 qq 2,2 lb 100 lb 25 lb 16 onz 454 g 28,35 g Grabemos en la mente estas equivalencias…!
  12. 12. 12 El tráiler que muestra la figura lleva 350 qq de cemento para una obra civil en ejecución, expresemos este contenido en: Kg, Qm, @. 350 qq en Kg serán: 350 qq× 100 lb 1 qq × 1 Kg 2,2 lb = 𝟏𝟓𝟗𝟎𝟗, 𝟎𝟗𝟏 𝐊𝐠 350 qq en Qm serán: 350 qq× 100 lb 1 qq × 1 Kg 2,2 lb × 1 Qm 100 Kg = 𝟏𝟓𝟗,𝟎𝟗𝟏 𝐐𝐦 350 qq en @ serán: 350 qq× 4 @ 1 qq = 𝟏𝟒𝟎𝟎 @ 1. Piensa en cuántos qq de arroz puede cargar un camión pequeño, hablemos de un 350. 2. Esa masa que supones, exprésalo en: Tm, Hg, dg, @, lb, onz. ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… PRACTIQUEMOS CONVERSIONES EXPERIMENTA
  13. 13. 13 2. UNIDAD II ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 2.1. DEFINICIÓN DE PUNTO, LÍNEA Y PLANO. PUNTO: es el mínimo elemento de la geometría, carente de dimensiones,es decir no tiene espesor (largo, ancho, altura ni profundidad). Encontramos la idea de punto en el lugar geométrico donde se interceptan dos o más líneas. Un punto se puede denotar con un número o con una letra de imprenta mayúscula (según norma del dibujo técnico). LÍNEA: está concebida como la sucesión de puntos, el movimiento de un punto en una dirección determinada, etc. La línea puede clasificarse en dos grandes grupos: rectas y curvas, su notación se hace con letras minúsculas. Centrémonos en la primera clase y encontraremos entre otras las siguientes: a) Por la relación: b) Por el sentido: c) Por la extensión: Recta: Sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección. No conocemos el punto inicial ni el final, representándose como se indica en los gráficos: A P 1 a r t m Paralelas Dos o más rectas que siguen una misma dirección. Perpendiculares Dos rectas que se cortan, formando ángulos rectos. Horizontales Es la idea que tenemos de las rectas que no tienen inclinación. Como ejemplo vemos en el nivel que se usa en la construcción. Verticales Es la idea que tenemos de las rectas que no tienen inclinación. Como ejemplo vemos la plomada que se usa en la construcción. Inclinadas u oblicuas Es la idea que tenemos de las rectas que tienen inclinación. Como ejemplo vemos en una escalera. x y z
  14. 14. 14 Semirrecta: Porción de recta en la que conocemos el punto inicial pero no el final, representándose como se indica en los gráficos: Segmento de recta: porción de recta definida por dos puntos. Conocemos el punto inicial y el punto fi- nal, como se indica en los gráficos: PLANO: es una superficie lisa que posee dos dimensiones (largo y ancho), contiene infinitos puntos y rectas. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:  Tres puntos no alineados (una figura geomé-trica cualquiera).  Una recta y un punto exterior a ella.  Dos rectas paralelas.  Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego. Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita). 2.2. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO. Para comprender a cabalidad estos conceptos necesitamos escuadras, como las que se muestran en la figura de la izquierda. M C P A B P Q S T β α
  15. 15. 15 1. Trazando rectas paralelas, en cualquier sentido, usando las escuadras (como muestra la ilustración inferior izquierda de la pág. anterior). 2. Trazando perpendiculares, con las escuadras, ¿Cómo lo haría?, siga instruc- ciones que dé el profesor. 2.3. ÁNGULO. La definición básica de ángulo está conceptualizada como la abertura comprendida entre dos rectas, pero mirando en el sistema de coordenadas es el la rotación de una semirrecta, en sentido contrario a las manecillas del reloj, haciendo eje en su origen, sobre el plano cartesiano. Usualmente se denota con una letra griega o una letra mayúscula acompañada del símbolo , su unidad de medida es el grado (°) y el instrumento con el que medimos los ángulos es el graduador. Hay medidas menores que el grado: el minuto y el segundo RST β Ω Midiendo los ángulos de la figura anterior. Construyendo ángulos de 45°, 60°, 75°, 105°. R S T PRACTI QUEMOS PRACTIQUEMOS 1° = 60’ (60 minutos) 1’ = 60’’ (60 segundos) B A C β Ω O R S T B A C O EXPERIMENTA
  16. 16. 16 2.4. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POR SU ABERTURA. 2.5. ÁNGULOS POR DIFERENCIA DE GRADOS. 2.6. ÁNGULOS POR LA RELACIÓN CON OTROS ÁNGULOS. Nulo 0° No hay abertura, mide 0°. Agudo Tiene una abertura > 0° y < 90°. Recto Su abertura, mide 90°. Obtuso Tiene una abertura > 90° y < 180°. Llano Tiene una abertura = 180°. Complementarios Los ángulos que faltan para completar 90°. Suplementarios 180° 0° Los ángulos que faltan para completar 180°. Consecutivos Están en el mismo plano, tienen el mismo vértice y un lado en común. Adyacentes Son consecutivos sobre una misma recta.
  17. 17. 17 2.7. OPERACIONES BÁSICAS CON ÁNGULOS. Entre dos o más ángulos pueden establecerse operaciones entre sí, de manera natural, sea suma, resta, multiplicación o división. Primeramente debemos familiarizarnos con la correspondencia entre grados y radianes, así: La circunferencia está dividida en 360 partes llamadas grados: 𝐜 = 𝟑𝟔𝟎° La longitud de la circunferencia se calcula por la fórmula: 𝐜 = 𝟐𝐫𝛑 porque está comprobado que el valor de π es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. De done: 𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝛑𝐫 (r se convierte en radianes, del radio de la circunferencia) En consecuencia: 𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝛑 𝐫𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧𝐞𝐬 (2𝛑R) Por lo tanto: 𝟏 𝐫𝐚𝐝𝐢á𝐧 = 𝟓𝟕° 𝟏𝟕′ 𝟒𝟓′′ Convirtamos 1 R en grados. 𝟏𝟕′ × 𝟏° 𝟔𝟎′ = 𝟎, 𝟐𝟖𝟑° 𝟒𝟓′′ × 𝟏° 𝟑𝟔𝟎𝟎′′ = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓° Finalmente la sumatoria: 57° + 0,283° + 0,0125° = 57,298° Entonces: 1 R = 57,298° Correspondientes Son opuestos por el vértice y tiene las mismas medidas entre sí. x y xy x y xy x y xy Alternos externos Están entre dos paralelas, exteriormente. PRACTIQUEMOS CONVERSIONES Alternos internos Están entre dos paralelas, interiormente. xy x y
  18. 18. 18 RESPUESTAS: Grados: 76° + 1° = 71° Minutos: 10’ + 1’ = 11’ Segundos: los 31’’ sobrantes. Entonces: 71° 11’ 31’’ 1. Observa: la inclinación del eje de la tie- rra con respecto a la órbita (23,5°). 2. Calcula el complemento y el suplemento de dicho valor. 3. Expresa todos los valores calculados en radianes. ANOTACIONES AUXILIARES: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… A continuación estudiemos las operaciones entre los ángulos: Suma: La suma de dos ángulos resulta otro ángulo cuya amplitud de giro corresponde al total de las amplitudes de los dos ángulos iniciales. Gráficamente demostramos así: Numéricamente colocamos grados bajo grados, minutos bajo minutos y segundos bajo segundos; luego ope- ramos de manera na- tural, como se mues- tra en el recuadro ad- junto. Nótese que los minutos y los segundos resultan más de 60, por lo que se hace necesario hacer las conversiones siguientes: EXPERIMENTA 37° 28’ 56’’ + 39° 42’ 35’’ 76° 70’ 91’’ Los 70’ en grados: 70 60 10 1 entonces 1° más. Los 91’’ en minutos: 91 60 31 1 entonces 1’ más.
  19. 19. 19 RESPUESTAS: Grados: 72° + 1° = 73° Minutos: 18’ + 1’ = 19’ Segundos: los 3’’ sobrantes. Entonces: 73° 19’ 3’’ Resta: La resta es la diferencia entre dos amplitudes, de la de un ángulo mayor y la un ángulo menor. Gráficamente demostramos así: La colocación es idéntica que en la suma; luego operamos de manera natural, como se muestra en el recuadro adjunto. En el resultado de la resta no ocurre lo mismo que en el de la suma, la operación termina ahí. Multiplicación: Aquí notaremos la suma de un mismo ángulo, tantas veces. Gráficamente demostramos así: Numéricamente observamos la operación natural, cada parte por el mismo multiplicador, según se demuestra en el recuadro: Ahora volvemos a operar como en la suma: División: Contrariamente a la multiplicación, dividir un ángulo implica seccionar en parte iguales según se requiera, esto se demuestra gráficamente así: Numéricamente vamos a demostrar parte por parte: Por Ej.: dividir 47º 38' 48'' entre 4. Operemos con los grados: 47° 4 07 11° 3 estos grados sobrantes convertidos en minutos sumamos a los 38’: 180’+ 38’ = 218’ Ahora operamos con los minutos: 218’ 4 018 54’ α β  α – β =  37° 58’ 36’’ – 28° 46’ 25’’ 09° 12’ 11’’ α β 3α = β 24° 26’ 21’’ × 3 72° 78’ 63’’ Los 78’ en grados: 78 60 18 1 entonces 1° más. Los 63’’ en minutos: 63 60 3 1 entonces 1’ más. α β β ÷3 = α
  20. 20. 20 2 estos minutos sobrantes convertidos en segundos sumamos a los 48’’: 120’’ + 48’’ = 168’’ Finalmente operamos con los segundos: 168’’ 4 08 42’ 0 En consecuencia la respuesta será: 11° 54’ 42’’ Sean los ángulos: A = 33° 56’ 7’’ B = 41° 46’’ C = 22° 38’ D = 16° E = 46’ 56’’ 16’’ F = 39° 28’ G = 72° 24’’ H = 57’ Resuelve las operaciones: A + B – G 5(A – C) 3(D + H) C+G 6 A+F 3 B−F 2 ANOTACIONES AUXILIARES: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… EXPERIMENTA
  21. 21. 21 2.8. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE. Las dos ilustraciones muestran dos rectas cortadas por una secante, en la figura izquierda las rectas no son paralelas, en la de la derecha las rectas son paralelas. En los dos casos apreciamos 8 ángulos, los mismos que ya los estudiamos en tratados anteriores, a recordar: Ángulos correspondientes tienen la misma ubicación en ambos grupos de 4 ángulos. Así, son correspon- dientes los pares de ángulos: 1-5; 2-6; 3-7; 4-8. Ángulos alternos externos están ubicados por fuera de las rectas y a distinto lado de la secante. Entonces, son alternos externos los pares de ángulos: 1-7 y 2-8. Ángulos alternos internos están ubicados por dentro de las rectas y a distinto lado de la secante. Por lo tanto, son ángulos alternos internos los pares de ángulos 3-5 y 4-6. Si las rectas paralelas cortadas por la secante, se nota que los ángulos correspondientes tienen igual medida, al igual que los ángulos alternos internos y alternos externos. En resumen, para el caso de rectas paralelas cortadas por una secante los ángulos 1-3-5-7 son iguales entre sí, de igual manera los ángulos 2- 4-6-8. F E A C B D 1 2 3 6 4 5 78 l3 l1 l2 1 2 3 6 4 5 7
  22. 22. 22 3. UNIDAD III TRIÁNGULOS 3.1. DEFINICIÓN. Si observamos tres puntos en el plano o en el espacio, no colineales, unidos entre sí con segmentos de recta, nos damos cuenta que estamos reduciendo al plano a una porción pequeña, que la llamaremos triángulo. Inicialmente la concebimos como una figura geométrica limitada por tres segmentos de recta, esto nos muestra más adelante que tiene tres ángulos, tres lados y tres vértices. Más adelante conoceremos y estudiaremos exclusivamente sus elementos. 3.2. ELEMENTOS. Las definiciones básicas sobre triángulo nos permiten observar los principales elementos a saber: Vértices: puntos donde se cortan los lados,denotados por letras mayúsculas (A, B, C). Ángulos: aberturas entre los lados, denotados por las letras del vértice (A, B, C). Lados: segmentos de recta que marcan los límites del triángulo, denotados por las letras minúsculas de sus ángulos opuestos (a, b, c). Zona interior: la superficie interna plana limitada por los segmentos de recta. Zona exterior: la superficie externa plana, a partir de los límites del triángulo, infinita en extensión. 3.3. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. Los elementos estudiados son los básicos para todo cálculo en un triángulo, existiendo otros que nos per- mitirán entender mejor los diferentes teoremas. Estas líneas y puntos se ilustran así: Mediatrices: son las rectas perpendiculares que pasan por los puntos medios de cada lado del triángulo (a, b, c). Éstas se interceptan en un punto (P) llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia en la que se inscribe el triángulo. Observando la figura apreciamos que el radio r equivale a PB, PA, PC, o sea r = PB = PA = PC. β α c b a LADOS: a, b, c. ANGULOS: A, B, C. VÉRTICES: A, B, C. A B C ZONA INTERIOR ZONA EXTERIOR ZONA EXTERIOR ZONA EXTERIOR A B C a c b r P
  23. 23. 23 Bisectrices: son las rectas que pasan por los vértices del triángulo, dividiendo en dos partes iguales a los ángulos respectivos (a, b, c). Éstas se interceptan en un punto (P) llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Cada lado es tangente a la circunferencia. Alturas: son los segmentos perpendiculares (a, b, c) a cada lado o su prolongación, provenientes del vértice opuesto. Éstos se interceptan en un punto (P) llamado ortocentro. Con cualquier altura y la base a la que se dirige, podemos establecer la fórmula para calcular el área del triángulo, tomando en consideración que es la mitad de un cuadrilátero. Medianas: son los segmentos (a, b, c) que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Éstos se interceptan en un punto (P) llamado baricentro, este punto es el punto de equilibrio del triángulo. 1. Realizando los trazos de las 4 líneas notables en un mismo triángulo, primero en uno escaleno, luego en un equilátero y después en un isósceles. 2. Analizando la ubicación de los puntos de intersección en cada clase de trián- gulo. (la experiencia desarrollarla en hojas de dibujo) 3.4. TEOREMA DE THALES. Hace la relación básica para obtener las propie- dades fundamentales de la semejanza de triángulos. Según este teorema, una familia de rectas paralelas, r1, r2, r3, r4,…, que cortan a dos rectas concurrentes, m y n, determinan en ellas segmentos proporciona- les, así: 𝐀𝐁 𝐀′𝐁′ = 𝐁𝐂 𝐁′𝐂′ = 𝐂𝐃 𝐂′𝐃′ = 𝐀𝐃 𝐀′𝐃′ = 𝐤 A esto llamamos proporcionalidad de segmentos, es decir que cada razón será el mismo valor, resultando una constante a la que denominamos k. En el triángulo ABC se ha trazado los segmentos DE y FG para- lelos a la base AC, de donde establecemos separaremos tres triángulos semejantes por establecerse el Teorema de Thales entre sus lados y las igualdades entre ángulos así: P a c b A B C b a c P A B C P a c b A B C EXPERIMENTA A C B A’ D C’ B’ D’ m n r1 r2 r3 r4 A B C D E F G
  24. 24. 24 A = D = F C = E = G De donde la semejanza entre triángulos establecemos así: Δ ABC ≈ Δ DBE ≈ Δ FBG por cuanto: 𝐅𝐁 𝐃𝐁 = 𝐃𝐁 𝐀𝐁 = 𝐁𝐆 𝐁𝐄 = 𝐁𝐄 𝐁𝐄 = 𝐅𝐆 𝐃𝐄 = 𝐃𝐄 𝐀𝐂 = 𝐤 Aplicando la semejanza de triángulos en el cálculo de x en el gráfico: 𝟐,𝟓 𝐝𝐦 𝟑 𝐝𝐦 = 𝐱 𝟓,𝟒 𝐝𝐦 𝐱 = 𝟐,𝟓 𝐝𝐦×𝟓,𝟒 𝐝𝐦 𝟑 𝐝𝐦 = 𝟏𝟑,𝟓 𝐝𝐦 𝟑 = 𝟒, 𝟓 𝐝𝐦 1. Diseñando un caballete para montar un tablero con trabajos de exposición. 2. Demostrando a que distancias colocarás los pernos que sujeten las piezas. ANOTACIONES AUXILIARES: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… B F G A B C B D E PRACTIQUEMOS 3 dm 5,4 dm 2,5 dm x EXPERIMENTA
  25. 25. 25 3.5. PROPIEDADES GENERALES. Entre las propiedades generales de los triángulos estudiaremos tres principales:  La suma de dos lados menores de un triángulo siem- pre es mayor que el mayor de los lados. 5 cm + 5 cm > 7,071 cm, generalizando esto: AB + BC > AC  La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180°. 45° + 45 + 90° = 180° generalizando esto: A + B + C = 180°  Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. 135° = 45° + 90° generalizando esto: D = A + B Los ángulos A y B no son adyacentes con en ángulo C 1. Trazando tres triángulos (un equilátero, un isósceles y un escaleno) sobre me- didas en lados y ángulos. 2. Demostrando cada propiedad, matemáticamente. ANOTACIONES AUXILIARES: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5 cm 5 cm 7,071 cm A B C 45°45° 90° A=45° B 90° C=45° D=135° EXPERIMENTA
  26. 26. 26 3.6. TEOREMA DE PITÁGORAS. Pitágoras de Samos, filósofo y matemático griego, sostenía que la esencia de las cosas estaba en los núme - ros. Estudiando el triángulo rectángulo demostró que “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”, que gráficamente podemos representar así: Esto nos conlleva a aplicar este principio en todo triángulo rectángulo. En el triángulo: El Teorema de Pitágoras será: o2 = m2 + n2 1. Trazando tres triángulos rectángulos. 2. Midiendo los lados. 3. Demostrando en Teorema de Pitágoras en cada uno. 3.7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. El teorema de Pitágoras nos transporta al sistema de coordenadas para establecer la distancia entre dos puntos en el plano. Desarrollemos juntos la fórmula en base al gráfico: ANOTACIONES AUXILIARES: …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… (Hipotenusa)2 (Cateto)2 (Cateto)2 3 4 5 PRACTIQUEMOS m n o EXPERIMENTA P1(x1,y1) P2(x2,y2)
  27. 27. 27 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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