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La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n      e                                    o                                 ...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica...
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¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos        ...
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¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos        ...
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¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oA pesar de todo eso...          Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012     ...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oA pesar de todo eso...    Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la es...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oA pesar de todo eso...    Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la es...
¿Porqu´ una vindicaci´n?      e              oA pesar de todo eso...    Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la es...
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¿C´mo pudiera ser posible todo eso?  oColiseo, Roma (50.000 espectadores, con ochenta filas de gradas)          Paolo Cares...
¿C´mo pudiera ser posible todo eso?  oPuente del Gard, Francia (pendiente de 0, 4 % de grado: 34 cm cada km)          Paol...
¿C´mo pudiera ser posible todo eso?  oPantheon, Roma (c´pula: 43mt de di´metro y altura)                 u                ...
¿C´mo pudiera ser posible todo eso?  oVia Appia, Roma–Brindisi (533 km)         Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012   ...
Los Romanos y la matem´tica seg´n muchos autores                      a        uLos Romanos tienen una p´sima fama como ma...
Thomas Little Heath (1861-1940)       Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012                                        ıl   ...
Mitolog´ rom´ntica de la matem´tica griega       ıa   a                 a...que, a su vez, depende de los fil´logos del sig...
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Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920)       Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012                                        ...
Paul Tannery (1843-1904)       Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012                                        ıl       La ...
Johan Ludvig Heiberg (1854-1928)Heiberg redact´ la mayor´ de las               o          ıaobra de la matem´tica griega y...
Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega                        a                   aEl fervor de estos es...
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¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos?    e                              a   Es costumbre pensar a los at´nies...
¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos?    e                              a   Es costumbre pensar a los at´nies...
¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos?    e                              a   Es costumbre pensar a los at´nies...
¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos?    e                              a   Es costumbre pensar a los at´nies...
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El mundo griego cl´sico                  a       Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012                                  ...
El mundo helen´              ıstico       Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012                                        ı...
El esplendor del periodo helen´                              ıstico   El Helenismo tiene sobre todo una conotaci´n cultura...
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El Imperio romanoLos reinos helen´                ısticos (con la importante excepci´n del sel´ucida, que fue             ...
El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro MagnoEl Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchosrasgos...
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Romanos y GriegosLos Romanos se relacionaron con los Griegos no siempre de maneraconflictual: en particular, las ciudades g...
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Quinto Horacio Flaco (65-8 a.C.)Famoso por su carpe diem,escribi´ tambi´n la c´lebre frase       o      e      e“Grecia ca...
Griegos y Hel´nicos             eEn la ´poca helen´       e           ıstica en Grecia la filosof´ se interesava a la ´tica...
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Marco Tulio Cicer´n (106-43)                 oEl hombre romano que, m´s que alg´n otro, difundi´ la cultura y la          ...
Cic´ron cerra la cuesti´n...   e                   o“Con los Griegos la geometr´ era tenida en mucho respecto, y por      ...
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... ¿o no?Cicer´n era muy interesado a la astronom´ (tradujo un tratado griego y     o                                    ...
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Marco Fabio Quintiliano (39-95) de Calahorra       Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012                                ...
De Institutione Oratoria (I.9)“Todos confiesan que la Geometr´ no deja de ser util para la edad tierna;                    ...
De Institutione Oratoria (I.9)“sabernos; ¿pues no hacemos esto mismo cuando peroramos? ¿Qu´ m´s?     e aAquella conclusi´n...
De Institutione Oratoria (I.9)“las extremidades de los lugares tienen una misma medida, ¿ha de sertambi´n igual el espacio...
De Institutione Oratoria (I.9)“ochenta pies, quedando una ´rea cuadrada, con la misma extremidad                          ...
De Institutione Oratoria (I.9)“Por ventura cuando. Pericles quit´ ´ los atenienses el miedo que les                       ...
Entonces, a pesar de los lugares comunes:   Es verdadero que no hubo matem´ticos romanos y no hay teoremas                ...
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¿De qu´ matem´tica hablamos?      e      aSi hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes           ...
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La primera calculadora de bolsillo...Los ´bacos eran conocidos por Babilonios, Egipcios y Griegos, pero los    aRomanos hi...
Matem´tica y guerra     aLos Romanos eran de seguro un pueblo de guerreros, y empleaban, detr´s     asu ej´rcito, la cienc...
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Matem´tica y guerra     aOtra t´cnica, mencionada por el griego Polibio (ii siglo a.C.), permite      etransmitir mensajes...
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Los agrimensores en cuanto te´ricos                             oEn el Corpus Agrimensorum es evidente que los mensores ha...
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Ejemplo de Marco Junio Nipsus“Por un tri´ngulo rect´ngulo cuyo cateto y base sumados sean 23 pies y el           a        ...
Otro ejemplo de Marco Junio NipsusEsto lo explicamos en notaci´n moderna: si a, b y c son los lados de un                 ...
La matematica de los romanos
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The text of a talk given at the Education Department of Universidad Autonoma de Madrid on April 26, 2012. It deals with the use of maths did by ancient Romans.

Published in: Education
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  • Gracias por el comentario: ?puedes indicarme los errores conceptuales mas evidentes? P
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  • Hay errores a barullo, aparte de faltas ortográficas.
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  • las matemáticas son las mejores pues las utilizaras toda la vida
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  • me encanto este trabajo esta super y me ayudo en matematica
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La matematica de los romanos

  1. 1. La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n e o Paolo Caressa 26 de abr´ 2012 ıl Departamento de Did´cticas Espec´ a ıficas Facultad de Formaci´n del Profesorado y Educaci´n o o ´ Universidad Autonoma de Madrid Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 1/ 55 e o
  2. 2. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los a ıa a o´Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os n Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 2/ 55 e o
  3. 3. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los a ıa a o´Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os nEn efecto: Los Romanos tomaron sus conocimientos matem´ticos desde los a Griegos Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 2/ 55 e o
  4. 4. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los a ıa a o´Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os nEn efecto: Los Romanos tomaron sus conocimientos matem´ticos desde los a Griegos Los Romanos no dieron contributos a la matem´tica deductiva a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 2/ 55 e o
  5. 5. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los a ıa a o´Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os nEn efecto: Los Romanos tomaron sus conocimientos matem´ticos desde los a Griegos Los Romanos no dieron contributos a la matem´tica deductiva aPero: Los Romanos utilizaron la matem´tica (como veremos) a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 2/ 55 e o
  6. 6. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los a ıa a o´Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os nEn efecto: Los Romanos tomaron sus conocimientos matem´ticos desde los a Griegos Los Romanos no dieron contributos a la matem´tica deductiva aPero: Los Romanos utilizaron la matem´tica (como veremos) a Los Romanos no impidieron a los matem´ticos de ejercitar su a actividad (hasta la difusi´n del Cristianismo) o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 2/ 55 e o
  7. 7. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oHasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de lamatem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los a ıa a o´Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os nEn efecto: Los Romanos tomaron sus conocimientos matem´ticos desde los a Griegos Los Romanos no dieron contributos a la matem´tica deductiva aPero: Los Romanos utilizaron la matem´tica (como veremos) a Los Romanos no impidieron a los matem´ticos de ejercitar su a actividad (hasta la difusi´n del Cristianismo) o Los matem´ticos “griegos” de los primeros siglos de la ´poca cristiana a e vivieron en el Imperio romano Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 2/ 55 e o
  8. 8. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 3/ 55 e o
  9. 9. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos a Los Romanos eran demasiado practicos y toscos para apreciar a la matem´tica Griega a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 3/ 55 e o
  10. 10. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos a Los Romanos eran demasiado practicos y toscos para apreciar a la matem´tica Griega a Los Romanos no ten´ ninguna forma de ciencia ıan Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 3/ 55 e o
  11. 11. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos a Los Romanos eran demasiado practicos y toscos para apreciar a la matem´tica Griega a Los Romanos no ten´ ninguna forma de ciencia ıan Los Romanos fueron la causa del declino de la matem´tica griega a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 3/ 55 e o
  12. 12. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oUnos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos a Los Romanos eran demasiado practicos y toscos para apreciar a la matem´tica Griega a Los Romanos no ten´ ninguna forma de ciencia ıan Los Romanos fueron la causa del declino de la matem´tica griega a Los Romanos destruyeron la biblioteca de Alejandria Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 3/ 55 e o
  13. 13. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oA pesar de todo eso... Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 4/ 55 e o
  14. 14. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oA pesar de todo eso... Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la estudiaban tal a c´mo la filosof´ griega (dific´ hacer una distinci´n) o ıa ıl o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 4/ 55 e o
  15. 15. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oA pesar de todo eso... Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la estudiaban tal a c´mo la filosof´ griega (dific´ hacer una distinci´n) o ıa ıl o El empleo no se limitava a la ´lite culta pero era difuso e Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 4/ 55 e o
  16. 16. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oA pesar de todo eso... Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la estudiaban tal a c´mo la filosof´ griega (dific´ hacer una distinci´n) o ıa ıl o El empleo no se limitava a la ´lite culta pero era difuso e La matem´tica y la ciencia helen´ a ıstica pudieron continuar a lo largo del Imperio, hasta que el cristianismo devino religi´n unica o ´ Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 4/ 55 e o
  17. 17. ¿Porqu´ una vindicaci´n? e oA pesar de todo eso... Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la estudiaban tal a c´mo la filosof´ griega (dific´ hacer una distinci´n) o ıa ıl o El empleo no se limitava a la ´lite culta pero era difuso e La matem´tica y la ciencia helen´ a ıstica pudieron continuar a lo largo del Imperio, hasta que el cristianismo devino religi´n unica o ´y por otra parte... Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 4/ 55 e o
  18. 18. ¿C´mo pudiera ser posible todo eso? oColiseo, Roma (50.000 espectadores, con ochenta filas de gradas) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 5/ 55 e o
  19. 19. ¿C´mo pudiera ser posible todo eso? oPuente del Gard, Francia (pendiente de 0, 4 % de grado: 34 cm cada km) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 6/ 55 e o
  20. 20. ¿C´mo pudiera ser posible todo eso? oPantheon, Roma (c´pula: 43mt de di´metro y altura) u a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 7/ 55 e o
  21. 21. ¿C´mo pudiera ser posible todo eso? oVia Appia, Roma–Brindisi (533 km) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 8/ 55 e o
  22. 22. Los Romanos y la matem´tica seg´n muchos autores a uLos Romanos tienen una p´sima fama como matem´ticos: en efecto e amuchos estiman que fueron lor Romanos a causar la decadencia de laciencia griega Thomas Heath (1921) Eric Temple Bell (1937) William Stahl (1962) Morris Kline (1972) Lucio Russo (1997) ...Bell y Kline dependen de Heath... Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 9/ 55 e o
  23. 23. Thomas Little Heath (1861-1940) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 10/ 55 e o
  24. 24. Mitolog´ rom´ntica de la matem´tica griega ıa a a...que, a su vez, depende de los fil´logos del siglo xix oLos grandes fil´logos del siglo xix sistematizaron las fuentes antiguas de la omatem´tica griega y al mismo tiempo fijaron sus interpretaciones, que aperduran hacia todo el siglo xx Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 11/ 55 e o
  25. 25. Mitolog´ rom´ntica de la matem´tica griega ıa a a...que, a su vez, depende de los fil´logos del siglo xix oLos grandes fil´logos del siglo xix sistematizaron las fuentes antiguas de la omatem´tica griega y al mismo tiempo fijaron sus interpretaciones, que aperduran hacia todo el siglo xxEsos grandes estudiosos, que viv´ en un mundo colonial de la Europa del ıansiglo xix, crearon tamb´en una “divinizaci´n” de los Griegos y de su ı´ opensamiento, estableciendo una suerta de mitolog´ ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 11/ 55 e o
  26. 26. Mitolog´ rom´ntica de la matem´tica griega ıa a a...que, a su vez, depende de los fil´logos del siglo xix oLos grandes fil´logos del siglo xix sistematizaron las fuentes antiguas de la omatem´tica griega y al mismo tiempo fijaron sus interpretaciones, que aperduran hacia todo el siglo xxEsos grandes estudiosos, que viv´ en un mundo colonial de la Europa del ıansiglo xix, crearon tamb´en una “divinizaci´n” de los Griegos y de su ı´ opensamiento, estableciendo una suerta de mitolog´ ıaMientras los estudiosos del siglo xviii divinizaron a los autores latinos (porejemplo Cic´ron y S´neca), el siglo xix tiene una sensibilidad m´s cerca de e e ala del Renacimiento y vee en los autores de lengua griega el ´pice de la acultura cl´sica a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 11/ 55 e o
  27. 27. Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 12/ 55 e o
  28. 28. Paul Tannery (1843-1904) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 13/ 55 e o
  29. 29. Johan Ludvig Heiberg (1854-1928)Heiberg redact´ la mayor´ de las o ıaobra de la matem´tica griega y sus aediciones son aun hoy las canonicaspor las obras de casi todos losmatem´ticos antiguos de lingua agriegaHeiberg ´ justamente c´lebre por su e edescubrimiento de unos manuscritosperdutos de Arqu´ ımedes Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 14/ 55 e o
  30. 30. Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega a aEl fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno omitos que a´n perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de u a eHeath A History of Greek Mathematics del 1921 (a´n disponible en el ucat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 15/ 55 e o
  31. 31. Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega a aEl fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno omitos que a´n perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de u a eHeath A History of Greek Mathematics del 1921 (a´n disponible en el ucat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes a Pit´goras y su escuela han descubierto todo lo que le se atribuye a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 15/ 55 e o
  32. 32. Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega a aEl fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno omitos que a´n perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de u a eHeath A History of Greek Mathematics del 1921 (a´n disponible en el ucat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes a Pit´goras y su escuela han descubierto todo lo que le se atribuye a Arqu´ ımedes utiliz´ los espejos ustorios para encendiar las naves o romanas Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 15/ 55 e o
  33. 33. Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega a aEl fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno omitos que a´n perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de u a eHeath A History of Greek Mathematics del 1921 (a´n disponible en el ucat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes a Pit´goras y su escuela han descubierto todo lo que le se atribuye a Arqu´ ımedes utiliz´ los espejos ustorios para encendiar las naves o romanas El “´lgebra geom´trica” en los libros de Euclides a e Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 15/ 55 e o
  34. 34. Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega a aEl fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno omitos que a´n perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de u a eHeath A History of Greek Mathematics del 1921 (a´n disponible en el ucat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes a Pit´goras y su escuela han descubierto todo lo que le se atribuye a Arqu´ ımedes utiliz´ los espejos ustorios para encendiar las naves o romanas El “´lgebra geom´trica” en los libros de Euclides a e Diofanto es el inventor del ´lgebra a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 15/ 55 e o
  35. 35. Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega a aEl fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno omitos que a´n perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de u a eHeath A History of Greek Mathematics del 1921 (a´n disponible en el ucat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes a Pit´goras y su escuela han descubierto todo lo que le se atribuye a Arqu´ ımedes utiliz´ los espejos ustorios para encendiar las naves o romanas El “´lgebra geom´trica” en los libros de Euclides a e Diofanto es el inventor del ´lgebra a Los Griegos eran una raza de refinados pensadores, todos los otros eran supersticiosos (como Egipcios, Persas y Babilonios), toscos (como los Romanos), y as´ siguiendo ı Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 15/ 55 e o
  36. 36. ¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos? e a Es costumbre pensar a los at´nieses de la ´poca cl´sica (v-iv siglo), e e a pero hubo tambi´n una ´poca arc´ica (viii-vi siglo) y una ´poca e e a e helen´ ıstica (iii-i siglo) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 16/ 55 e o
  37. 37. ¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos? e a Es costumbre pensar a los at´nieses de la ´poca cl´sica (v-iv siglo), e e a pero hubo tambi´n una ´poca arc´ica (viii-vi siglo) y una ´poca e e a e helen´ ıstica (iii-i siglo) ... y hubo otras ciudades con otras tradiciones: Esparta, Thebe, Corinth, las ciudades del Asia Menor y de la Magna Grecia Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 16/ 55 e o
  38. 38. ¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos? e a Es costumbre pensar a los at´nieses de la ´poca cl´sica (v-iv siglo), e e a pero hubo tambi´n una ´poca arc´ica (viii-vi siglo) y una ´poca e e a e helen´ ıstica (iii-i siglo) ... y hubo otras ciudades con otras tradiciones: Esparta, Thebe, Corinth, las ciudades del Asia Menor y de la Magna Grecia Las figuras de la Grecia arc´ica, como Tales de Mileto y Pit´goras de a a Samo, son semilegendarias y no sa sabe nunca de cierto, y las fuentes son de muchos siglos despues Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 16/ 55 e o
  39. 39. ¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos? e a Es costumbre pensar a los at´nieses de la ´poca cl´sica (v-iv siglo), e e a pero hubo tambi´n una ´poca arc´ica (viii-vi siglo) y una ´poca e e a e helen´ ıstica (iii-i siglo) ... y hubo otras ciudades con otras tradiciones: Esparta, Thebe, Corinth, las ciudades del Asia Menor y de la Magna Grecia Las figuras de la Grecia arc´ica, como Tales de Mileto y Pit´goras de a a Samo, son semilegendarias y no sa sabe nunca de cierto, y las fuentes son de muchos siglos despues Muchos acontecimientos son de la ´poca cl´sica, de Plat´n y e a o Arist´teles... o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 16/ 55 e o
  40. 40. ¿Qui´n eran los Griegos y los matem´ticos griegos? e a Es costumbre pensar a los at´nieses de la ´poca cl´sica (v-iv siglo), e e a pero hubo tambi´n una ´poca arc´ica (viii-vi siglo) y una ´poca e e a e helen´ ıstica (iii-i siglo) ... y hubo otras ciudades con otras tradiciones: Esparta, Thebe, Corinth, las ciudades del Asia Menor y de la Magna Grecia Las figuras de la Grecia arc´ica, como Tales de Mileto y Pit´goras de a a Samo, son semilegendarias y no sa sabe nunca de cierto, y las fuentes son de muchos siglos despues Muchos acontecimientos son de la ´poca cl´sica, de Plat´n y e a o Arist´teles... o ... pero los grandes matem´ticos (Euclides, Arqu´ a ımedes, Apolonio) vivieron en la ´poca helen´ e ıstica Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 16/ 55 e o
  41. 41. El mundo griego cl´sico a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 17/ 55 e o
  42. 42. El mundo helen´ ıstico Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 18/ 55 e o
  43. 43. El esplendor del periodo helen´ ıstico El Helenismo tiene sobre todo una conotaci´n cultural m´s que ´tnica o a e o pol´ ıtica: lor reinos helen´ ısticos eran multi´tnicos pero no e multicultural, en efecto la cultura era griega por lengua y pensamiento (v´ase el libro de los Macabeos en la Bibla) e Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 19/ 55 e o
  44. 44. El esplendor del periodo helen´ ıstico El Helenismo tiene sobre todo una conotaci´n cultural m´s que ´tnica o a e o pol´ ıtica: lor reinos helen´ ısticos eran multi´tnicos pero no e multicultural, en efecto la cultura era griega por lengua y pensamiento (v´ase el libro de los Macabeos en la Bibla) e El Helenismo es por lo tanto una prosecuci´n de la cultura griega o afuera de la Grecia, en todos los paises conquistados por Alejandro Magno (356-323 a.C.) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 19/ 55 e o
  45. 45. El esplendor del periodo helen´ ıstico El Helenismo tiene sobre todo una conotaci´n cultural m´s que ´tnica o a e o pol´ ıtica: lor reinos helen´ ısticos eran multi´tnicos pero no e multicultural, en efecto la cultura era griega por lengua y pensamiento (v´ase el libro de los Macabeos en la Bibla) e El Helenismo es por lo tanto una prosecuci´n de la cultura griega o afuera de la Grecia, en todos los paises conquistados por Alejandro Magno (356-323 a.C.) Los reinos helen´ ısticos no tenian una unidad sino en la cultura de sus clases directivas Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 19/ 55 e o
  46. 46. El esplendor del periodo helen´ ıstico El Helenismo tiene sobre todo una conotaci´n cultural m´s que ´tnica o a e o pol´ ıtica: lor reinos helen´ ısticos eran multi´tnicos pero no e multicultural, en efecto la cultura era griega por lengua y pensamiento (v´ase el libro de los Macabeos en la Bibla) e El Helenismo es por lo tanto una prosecuci´n de la cultura griega o afuera de la Grecia, en todos los paises conquistados por Alejandro Magno (356-323 a.C.) Los reinos helen´ ısticos no tenian una unidad sino en la cultura de sus clases directivas La hibridaci´n de la cultura griega con las tradiciones locales (egipcia, o mesopot´mica, judia, etc.) dieron lugar a la temporada del helenismo, a en particular a la matem´tica como la entendemos hoy: axiomas y a teoremas, m´todo deductivo, modelos matem´ticos e a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 19/ 55 e o
  47. 47. El Imperio romanoLos reinos helen´ ısticos (con la importante excepci´n del sel´ucida, que fue o eanexada por el Imperio sas´nida) fueron conquistados o anexados por el anacente Imperio romano en los siglos iii-i a.C. Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 20/ 55 e o
  48. 48. El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro MagnoEl Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchosrasgos: Se fundava sobre una idea casi religiosa del poder de Roma, mientras el Imperio de Alejandro se fundaba sobre el carisma individual de Alejandro Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 21/ 55 e o
  49. 49. El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro MagnoEl Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchosrasgos: Se fundava sobre una idea casi religiosa del poder de Roma, mientras el Imperio de Alejandro se fundaba sobre el carisma individual de Alejandro Era un imperio centralizado, cuyo centro cabal era la ciudad de Roma Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 21/ 55 e o
  50. 50. El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro MagnoEl Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchosrasgos: Se fundava sobre una idea casi religiosa del poder de Roma, mientras el Imperio de Alejandro se fundaba sobre el carisma individual de Alejandro Era un imperio centralizado, cuyo centro cabal era la ciudad de Roma Era un imperio multicultural: los pueblos conquistados pudieran mantener casi todos sus costumbres pero no su independencia pol´ıtica o econ´mica o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 21/ 55 e o
  51. 51. El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro MagnoEl Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchosrasgos: Se fundava sobre una idea casi religiosa del poder de Roma, mientras el Imperio de Alejandro se fundaba sobre el carisma individual de Alejandro Era un imperio centralizado, cuyo centro cabal era la ciudad de Roma Era un imperio multicultural: los pueblos conquistados pudieran mantener casi todos sus costumbres pero no su independencia pol´ıtica o econ´mica o Ten´ una burocracia muy eficiente ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 21/ 55 e o
  52. 52. El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro MagnoEl Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchosrasgos: Se fundava sobre una idea casi religiosa del poder de Roma, mientras el Imperio de Alejandro se fundaba sobre el carisma individual de Alejandro Era un imperio centralizado, cuyo centro cabal era la ciudad de Roma Era un imperio multicultural: los pueblos conquistados pudieran mantener casi todos sus costumbres pero no su independencia pol´ıtica o econ´mica o Ten´ una burocracia muy eficiente ıa Sus dominios se desarrollavan al rededor del mar Mediterr´neo, y a tenian eficientes vias de comunicaci´n cuyo centro era la capital del o Imperio Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 21/ 55 e o
  53. 53. Romanos y GriegosLos Romanos se relacionaron con los Griegos no siempre de maneraconflictual: en particular, las ciudades griegas llamaron muchas veces a losRomanos para defenderle contra los Macedonios (por ejemplo Tito QuincioFlaminino (228-174 a.C.) proclam´ la libertad total de los griegos o ´continentales, en los Juegos Istmicos de 196 a.C.) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 22/ 55 e o
  54. 54. Romanos y GriegosLos Romanos se relacionaron con los Griegos no siempre de maneraconflictual: en particular, las ciudades griegas llamaron muchas veces a losRomanos para defenderle contra los Macedonios (por ejemplo Tito QuincioFlaminino (228-174 a.C.) proclam´ la libertad total de los griegos o ´continentales, en los Juegos Istmicos de 196 a.C.)Los Griegos por muchos aspectos preferieron la dominaci´n romana a la odominaci´n macedonia, y tambi´n por eso los Romanos se sintieron los o eherederos de la civilizaci´n griega, mientras no fueron seducidos de la ocivilizaci´n helen´ o ıstica Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 22/ 55 e o
  55. 55. Romanos y GriegosLos Romanos se relacionaron con los Griegos no siempre de maneraconflictual: en particular, las ciudades griegas llamaron muchas veces a losRomanos para defenderle contra los Macedonios (por ejemplo Tito QuincioFlaminino (228-174 a.C.) proclam´ la libertad total de los griegos o ´continentales, en los Juegos Istmicos de 196 a.C.)Los Griegos por muchos aspectos preferieron la dominaci´n romana a la odominaci´n macedonia, y tambi´n por eso los Romanos se sintieron los o eherederos de la civilizaci´n griega, mientras no fueron seducidos de la ocivilizaci´n helen´ o ısticaAun si los Romanos eran orgullosos de su organizaci´n pol´ o ıtica y de sufuerza militar, se hicieron colonizar culturalmente por los Griegosconquistados, como nos dice... Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 22/ 55 e o
  56. 56. Quinto Horacio Flaco (65-8 a.C.)Famoso por su carpe diem,escribi´ tambi´n la c´lebre frase o e e“Grecia cautiva a su salvajeconquistador” Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 23/ 55 e o
  57. 57. Griegos y Hel´nicos eEn la ´poca helen´ e ıstica en Grecia la filosof´ se interesava a la ´tica y a la ıa eret´rica (estoicos y epic´reos) mientras en el los reinos helen´ o u ısticos secultivaban matem´tica, ´ptica y astronom´ a o ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 24/ 55 e o
  58. 58. Griegos y Hel´nicos eEn la ´poca helen´ e ıstica en Grecia la filosof´ se interesava a la ´tica y a la ıa eret´rica (estoicos y epic´reos) mientras en el los reinos helen´ o u ısticos secultivaban matem´tica, ´ptica y astronom´ a o ıa“Muchos son de pastoreo en el populoso Egipto, ratones de biblioteca [lade Alejandria] bien alimentados, que discuten interminablemente en lapajarera del Museo”(atribuida al griego Tim´n el Sil´grafo (320-230 a.C.) o o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 24/ 55 e o
  59. 59. Griegos y Hel´nicos eEn la ´poca helen´ e ıstica en Grecia la filosof´ se interesava a la ´tica y a la ıa eret´rica (estoicos y epic´reos) mientras en el los reinos helen´ o u ısticos secultivaban matem´tica, ´ptica y astronom´ a o ıa“Muchos son de pastoreo en el populoso Egipto, ratones de biblioteca [lade Alejandria] bien alimentados, que discuten interminablemente en lapajarera del Museo”(atribuida al griego Tim´n el Sil´grafo (320-230 a.C.) o oLos Romanos eran muy interesados a la filosof´ griega, no a los autores de ıalengua griega en los reinos helen´ ısticos que iban conquistando Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 24/ 55 e o
  60. 60. Marco Tulio Cicer´n (106-43) oEl hombre romano que, m´s que alg´n otro, difundi´ la cultura y la a u ofilosofia griega a Roma Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 25/ 55 e o
  61. 61. Cic´ron cerra la cuesti´n... e o“Con los Griegos la geometr´ era tenida en mucho respecto, y por ıaconsecuencia ninguno era m´s honrado que un matem´tico, pero nosotros a aRomanos hemos limitado el campo de esta arte a la utilizaci´n pr´ctica de o amedir y calcular”(Disputaciones tusculanas, 1.2.5)La interpretaci´n clasica de esta frase es que los Romanos no eran ointeresados a la matem´tica sino a medir y calcular: muchos autores de ahistoria de la matem´tica, como Kline, basan sobre este frase la non aexistencia de la matem´tica romana a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 26/ 55 e o
  62. 62. Cic´ron cerra la cuesti´n... e o“Con los Griegos la geometr´ era tenida en mucho respecto, y por ıaconsecuencia ninguno era m´s honrado que un matem´tico, pero nosotros a aRomanos hemos limitado el campo de esta arte a la utilizaci´n pr´ctica de o amedir y calcular”(Disputaciones tusculanas, 1.2.5)La interpretaci´n clasica de esta frase es que los Romanos no eran ointeresados a la matem´tica sino a medir y calcular: muchos autores de ahistoria de la matem´tica, como Kline, basan sobre este frase la non aexistencia de la matem´tica romana aPero otros interpretan ese frase como un reproche y no una alabanza Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 26/ 55 e o
  63. 63. ... ¿o no?Cicer´n era muy interesado a la astronom´ (tradujo un tratado griego y o ıaescribi´ un libro de astrolog´ y en sus obras afirma que Arqu´ o ıa), ımedes fueuno de los m´s grandes sabios de la antig¨edad, y hizo restaurar la tomba a ude Arqu´ ımedes cuando era cuestor en Siracusa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 27/ 55 e o
  64. 64. ... ¿o no?Cicer´n era muy interesado a la astronom´ (tradujo un tratado griego y o ıaescribi´ un libro de astrolog´ y en sus obras afirma que Arqu´ o ıa), ımedes fueuno de los m´s grandes sabios de la antig¨edad, y hizo restaurar la tomba a ude Arqu´ ımedes cuando era cuestor en SiracusaEscribe Serafina Cuomo Ancient Mathematics, 2001, p.198: Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 27/ 55 e o
  65. 65. Marco Fabio Quintiliano (39-95) de Calahorra Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 28/ 55 e o
  66. 66. De Institutione Oratoria (I.9)“Todos confiesan que la Geometr´ no deja de ser util para la edad tierna; ıa ´pues conceden que con ella se ejercita el ´nimo, se aguza el ingenio, y se aadquiere prontitud para discurrir; pero que aprovecha no como las dem´s aartes, despu´s de aprendidas, sino mientras se aprende. Esta opini´n es e opropia de ignorantes. No Sin motivo los hombres m´s grandes se dieron a´ este estudio: porque constando la Geometr´ de n´meros y figuras, ela ıa uconocimiento de aqu´llos no s´lo es necesario al orador, sino ´ cualquiera, e o aque aprendi´ las primeras letras. Su uso es muy frecuente en las causas, en olas que se tiene por ignorante al orador, no digo cuando anda titubeandoen las sumas, sino si yerra el c´mputo con el movimiento incierto, y menos oapto de los dedos. El uso de las lineas y figuras tiene tambi´n alg´n uso, e upuesto caso que tambi´n hay pleitos sobre medidas y l´ e ımites. Pero tieneuni´n y parentesco con la oratoria por otra cierta raz´n. Primeramente el o oorden, de que no puede prescindir la Geometr´ ¿no es tambi´n preciso en ıa, ela elocuencia? La Geometr´ asimismo de las premisas va deduciendo sus ıaconsecuencias, y sienta los principios conocidos para probar lo que no ” Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 29/ 55 e o
  67. 67. De Institutione Oratoria (I.9)“sabernos; ¿pues no hacemos esto mismo cuando peroramos? ¿Qu´ m´s? e aAquella conclusi´n ultima do diferentes cuestiones propuestas ¿no consta o ´casi toda ella de silogismos? Motivo por el cual dicen algunos, que estaarte es m´s parecida ´ la dial´ctica que ´ la ret´rica. Pues el orador no a a e a odeja de probar su asunto ´lgunas veces, aunque raras, en la misma forma aque los dial´ctico: pues si el caso lo pide, usa de silogismos, y sin duda ealguna se vale de entimemas, que son unos silogismos oratorios. Enconclusi´n, entre todas las pruebas las m´s convincentes son, las que o allamarnos demostraciones geom´tricas. ¿Y qu´ otra cosa m´s precisa en el e e adiscurso que las pruebas? Tiene m´s la Geometr´ que por medio de la a ıa,demostraci´n descubre la falsedad de una verdad aparente: y puntualmente olo mismo sucede en los n´meros con las que llaman falacias del c´lculo, en u alas que me sol´ yo divertir cuando ni˜o. Pero hay otras cosas de mayor ıa nentidad. ¿Qui´n no se tragar´ la verdad de este teorema? Si ” e a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 30/ 55 e o
  68. 68. De Institutione Oratoria (I.9)“las extremidades de los lugares tienen una misma medida, ¿ha de sertambi´n igual el espacio que abarcan sus l´ e ıneas? Pues es falso: porque va´ decir mucho la figura, que tiene el ´mbito de un lugar, por donde losa age´metras reprenden ´ los historiadores que creen bastar el curso de la o anavegaci´n para calcular la grandeza de una isla. Cuanto m´s perfecta es o ala figura tanto mayor es su capacidad. Por donde si la l´ınea exterior esredonda, que es la figura m´s perfecta de las planas, abarcar´ m´s que a a asiendo cuadrada, aunque de igual extremidad. Asimismo el cuadradoabarca m´s que el tri´ngulo, y el tri´ngulo equil´tero m´s que el escaleno. a a a a aHabr´ por ventura otros ejemplos m´s dificultosos de resolver; pero yo a apondr´ uno muy proporcionado aun ´ los principiantes. No hay quien no e asepa que la yugada consta de doscientos cuarenta pies de largo y la mitadde ancho. Cu´nto es lo que boja y el campo que ocupa f´cil es de saber. a aPero si damos ´ cada lado ciento ” a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 31/ 55 e o
  69. 69. De Institutione Oratoria (I.9)“ochenta pies, quedando una ´rea cuadrada, con la misma extremidad aocupar´ mayor espacio. Si alguno no quiere molestarse en hacer la aoperaci´n, lo entender´ m´s breve en n´meros menores. Diez pies por cada o a a ulado, hacen cuarenta en cuadro, y dentro ciento; pero si d´mos quince a´ dos de los lados, y cinco ´ los otros dos, siendo uno mismo el ´mbito, ela a aespacio ser´ una cuarta parte menos. Pero si los lados distan diez y nueve apies uno de otro, no tendr´n dentro m´s pies cuadrados que los que lienen a ade longitud; mas la l´ ınea exterior tendr´ el mismo ´mbito que cuando ten´ a a ıadentro cien pies cuadrados. Y cuanto se vaya quitando ´ la figura acuadrada, otro tanta pierde la capacidad. De aqu´ resulta, que un lugar ıcon circuito mayor abarque menor espacio. Esto en las figuras planas.Porque en montes y valles, aun el m´s ciego ve que el terreno es mayor aque la parte de cielo que le cabe; No me paro ´ decir que la geometr´ se a ıaremonta hasta dar raz´n del mundo; pues, ense˜´ndonos con los n´meros o na ula regularidad y uniformidad del curso de los astros, nos hace ver que nadahay que sea casual y sin providencia, lo que ´ las veces puede ser aconducente en la oratoria. ” Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 32/ 55 e o
  70. 70. De Institutione Oratoria (I.9)“Por ventura cuando. Pericles quit´ ´ los atenienses el miedo que les oacaus´ un eclipse de sol, haci´ndoles ver la causa; cuando Sulpicio Galo o ehabl´ en presencia del ej´rcito de L. Paulo de otro eclipse de la luna, para o eque no se atemorizasen los soldados, teni´ndole por milagro, ¿no hicieron eoficio de oradores? Lo que si hubiera entendido Nicias en la Sicilia,seguramente no hubiera sacrificado la flor del ej´rcito de los atenienses, edespavoridos con este prodigio; as´ como no se asust´ Di´n en semejante ı o olance, cuando vino ´ destruir al tirano Dionisio: Sirvan enhorabuena estos aejemplos para la milicia; y pasemos en silencio, que s´lo la pericia de oArqu´ımedes prolong´ el asedio de Zaragoza de Sicilia. Lo que m´s hace o a´ nuestro prop´sito es que con aquellas demostraciones de la geometr´ sea o ıaresuelven no pocas cuestiones, que de otro modo eran indisolubles, v. gr.:del modo de hacer la divisi´n; d´ la divisi´n infinita; de la prontitud en o e oaumentar. De forma que habiendo el orador de hablar de todas materias,no puede pasar sin la geometr´ ”ıa. Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 33/ 55 e o
  71. 71. Entonces, a pesar de los lugares comunes: Es verdadero que no hubo matem´ticos romanos y no hay teoremas a descibiertos por lor romanos, pero lo mismo se puede decir por la matem´tica egipcia, babilonesa, china, etc´tera a e Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 34/ 55 e o
  72. 72. Entonces, a pesar de los lugares comunes: Es verdadero que no hubo matem´ticos romanos y no hay teoremas a descibiertos por lor romanos, pero lo mismo se puede decir por la matem´tica egipcia, babilonesa, china, etc´tera a e El Imperio Romano dio la oportunidad a muchos estudiosos de efectuar su investigaciones (Tolomeo, Her´n, Diofanto, etc´tera): por o e ejemplo Tolomeo se vali´ de la red viaria del Imperio por su c´lebre o e libro de geograf´ ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 34/ 55 e o
  73. 73. Entonces, a pesar de los lugares comunes: Es verdadero que no hubo matem´ticos romanos y no hay teoremas a descibiertos por lor romanos, pero lo mismo se puede decir por la matem´tica egipcia, babilonesa, china, etc´tera a e El Imperio Romano dio la oportunidad a muchos estudiosos de efectuar su investigaciones (Tolomeo, Her´n, Diofanto, etc´tera): por o e ejemplo Tolomeo se vali´ de la red viaria del Imperio por su c´lebre o e libro de geograf´ ıa Los Romanos utilizaron las nociones de matem´tica por sus obras de a ingenier´ y arquitectura: por ejemplo las calles, y no se puede ıa administrar un imperio sin la aritmetica (por ejemplo los Incas no conoc´ la escritura pero sab´ efectuar operaciones aritm´ticas por ıan ıan e medio de los quipus) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 34/ 55 e o
  74. 74. Entonces, a pesar de los lugares comunes: Es verdadero que no hubo matem´ticos romanos y no hay teoremas a descibiertos por lor romanos, pero lo mismo se puede decir por la matem´tica egipcia, babilonesa, china, etc´tera a e El Imperio Romano dio la oportunidad a muchos estudiosos de efectuar su investigaciones (Tolomeo, Her´n, Diofanto, etc´tera): por o e ejemplo Tolomeo se vali´ de la red viaria del Imperio por su c´lebre o e libro de geograf´ ıa Los Romanos utilizaron las nociones de matem´tica por sus obras de a ingenier´ y arquitectura: por ejemplo las calles, y no se puede ıa administrar un imperio sin la aritmetica (por ejemplo los Incas no conoc´ la escritura pero sab´ efectuar operaciones aritm´ticas por ıan ıan e medio de los quipus) Los Romanos desarrollaron un concepto de ley natural ligado a la ret´rica, que se halla en Lucrecio (i a.C.) y S´neca (i d.C.) por o e ejemplo Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 34/ 55 e o
  75. 75. ¿De qu´ matem´tica hablamos? e aSi hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes a edel Renacimiento solo los helen´ ıstico y los ´rabes hizo matem´tica... a a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 35/ 55 e o
  76. 76. ¿De qu´ matem´tica hablamos? e aSi hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes a edel Renacimiento solo los helen´ ıstico y los ´rabes hizo matem´tica... a aPero hubo una matem´tica antigua no deductiva sino algor´ a ıtmica, hechapor los Babilonio, Egipcios, Indios, Chinos y Mayas (¡y tambi´n por los eGriegos!) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 35/ 55 e o
  77. 77. ¿De qu´ matem´tica hablamos? e aSi hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes a edel Renacimiento solo los helen´ ıstico y los ´rabes hizo matem´tica... a aPero hubo una matem´tica antigua no deductiva sino algor´ a ıtmica, hechapor los Babilonio, Egipcios, Indios, Chinos y Mayas (¡y tambi´n por los eGriegos!)Una matem´tica de medidas, c´lculos y procedimientos expresados no de a amanera general sino por ejemplos y algor´ıtmos: en suma intuit´ y no ıvaformal, algor´ ıtmica y no deductiva, pr´ctica y no te´rica a o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 35/ 55 e o
  78. 78. ¿De qu´ matem´tica hablamos? e aSi hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes a edel Renacimiento solo los helen´ ıstico y los ´rabes hizo matem´tica... a aPero hubo una matem´tica antigua no deductiva sino algor´ a ıtmica, hechapor los Babilonio, Egipcios, Indios, Chinos y Mayas (¡y tambi´n por los eGriegos!)Una matem´tica de medidas, c´lculos y procedimientos expresados no de a amanera general sino por ejemplos y algor´ıtmos: en suma intuit´ y no ıvaformal, algor´ ıtmica y no deductiva, pr´ctica y no te´rica a o... exactamente como la matem´tica de los Romanos a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 35/ 55 e o
  79. 79. ¿De qu´ matem´tica hablamos? e aSi hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes a edel Renacimiento solo los helen´ ıstico y los ´rabes hizo matem´tica... a aPero hubo una matem´tica antigua no deductiva sino algor´ a ıtmica, hechapor los Babilonio, Egipcios, Indios, Chinos y Mayas (¡y tambi´n por los eGriegos!)Una matem´tica de medidas, c´lculos y procedimientos expresados no de a amanera general sino por ejemplos y algor´ıtmos: en suma intuit´ y no ıvaformal, algor´ ıtmica y no deductiva, pr´ctica y no te´rica a o... exactamente como la matem´tica de los Romanos aVamos finalmente a ver unos ejemplos de matem´tica romana a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 35/ 55 e o
  80. 80. La primera calculadora de bolsillo...Los ´bacos eran conocidos por Babilonios, Egipcios y Griegos, pero los aRomanos hicieron estos peque˜os ´bacos que pudieran ser transportados y n aempleados durante viajes: el sistema de numeraci´n de los ´bacos es o aposicion´l a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 36/ 55 e o
  81. 81. Matem´tica y guerra aLos Romanos eran de seguro un pueblo de guerreros, y empleaban, detr´s asu ej´rcito, la ciencia y la t´cnica por ganar las batallas: no solo los e elegionarios era tambi´n capaz de construir trincheras, torres de madera, eetc´tera, y no solo hubo arquitectos y ingenieros militares, pero tambi´n se e eutilizaban t´cnicas matem´ticas, como la criptograf´ e a ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 37/ 55 e o
  82. 82. Matem´tica y guerra aLos Romanos eran de seguro un pueblo de guerreros, y empleaban, detr´s asu ej´rcito, la ciencia y la t´cnica por ganar las batallas: no solo los e elegionarios era tambi´n capaz de construir trincheras, torres de madera, eetc´tera, y no solo hubo arquitectos y ingenieros militares, pero tambi´n se e eutilizaban t´cnicas matem´ticas, como la criptograf´ e a ıaEn efecto empleaban un cl´sico sistema criptogr´fico, llamado cifrado a aC´sar, basado sobre sustituci´n de letras trasladas por n puestos en el e oorden alfab´tico: por ejemplo con n = 4 e A B C D ... W X Y Z D E F G ... Z A B Cla palabra Roma se convierte en Urpd Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 37/ 55 e o
  83. 83. Matem´tica y guerra aOtra t´cnica, mencionada por el griego Polibio (ii siglo a.C.), permite etransmitir mensajes a distancia Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 38/ 55 e o
  84. 84. Matem´tica y guerra aOtra t´cnica, mencionada por el griego Polibio (ii siglo a.C.), permite etransmitir mensajes a distancia 1 2 3 4 5 1 A B C D E 2 F G H I K 3 L M N O P 4 Q R S T U 5 V W X Y ZPor ejemplo: matematica =⇒ 32, 11, 44, 15, 32, 11, 44, 24, 13, 11. Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 38/ 55 e o
  85. 85. Matem´tica y guerra aOtra t´cnica, mencionada por el griego Polibio (ii siglo a.C.), permite etransmitir mensajes a distancia 1 2 3 4 5 1 A B C D E 2 F G H I K 3 L M N O P 4 Q R S T U 5 V W X Y ZPor ejemplo: matematica =⇒ 32, 11, 44, 15, 32, 11, 44, 24, 13, 11.Un legionario con 5 linternas pudiera transmitir esta secuencia de una torrea una otra, aun distante Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 38/ 55 e o
  86. 86. Matem´tica en la vida p´blica a uEn la sociedad romana, especialmente en el Imperio, los c´lculos eran aimportantes por la vida p´blica, as´ que exist´ unos funcioncionarios que u ı ıanmediban y calculaban oficialmente por el estado o por pericias privadas Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 39/ 55 e o
  87. 87. Matem´tica en la vida p´blica a uEn la sociedad romana, especialmente en el Imperio, los c´lculos eran aimportantes por la vida p´blica, as´ que exist´ unos funcioncionarios que u ı ıanmediban y calculaban oficialmente por el estado o por pericias privadasNumerarius, tabularius, rationales y scribae eran diferentes niveles de estosfuncionarios que ten´ un rol importante en la vida p´blica: luego hubo ıan ucalculatores y geometras Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 39/ 55 e o
  88. 88. Matem´tica en la vida p´blica a uEn la sociedad romana, especialmente en el Imperio, los c´lculos eran aimportantes por la vida p´blica, as´ que exist´ unos funcioncionarios que u ı ıanmediban y calculaban oficialmente por el estado o por pericias privadasNumerarius, tabularius, rationales y scribae eran diferentes niveles de estosfuncionarios que ten´ un rol importante en la vida p´blica: luego hubo ıan ucalculatores y geometrasEn el Edicto sobre Precios M´ximos del 301, Diocleciano (244-311) aintent´ fijar los precios de productos y prestaciones, y hay las oremuneraciones de maestros y t´cnicos: de ellas vemos que quien ten´ e ıaconocimientos de matem´tica era estimado como muy calificado e aimportante Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 39/ 55 e o
  89. 89. Matem´tica en la vida p´blica a uEn el Edicto se leen las remuneraciones de los maestros de variasdisciplinas: los de geometr´ reciben lo mismo que los de griego, latin y ıaliteratura, solo los maestros de ret´rica y los abodagos y juristas reciben om´s, 250 denarios al mes en vez de 200 a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 40/ 55 e o
  90. 90. Matem´tica y Astrolog´ a ıaOtra aplicaci´n importante era la compilaci´n de calendario oficiales y o orelojes de sol: las ceremonias en el mundo romano eran muy importantes,y el concepto de religio ten´ un sentido viril y legal, no simplemente de ıacreencia religiosa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 41/ 55 e o
  91. 91. Matem´tica y Astrolog´ a ıaOtra aplicaci´n importante era la compilaci´n de calendario oficiales y o orelojes de sol: las ceremonias en el mundo romano eran muy importantes,y el concepto de religio ten´ un sentido viril y legal, no simplemente de ıacreencia religiosaTambi´n la astrolog´ que hoy no se puede considerar entre las ciencias, e ıa,en la ´poca imperial era una de las disciplinas que requir´ conocimientos e ıanmatem´ticos: Claudio Tolomeo (ii siglo d.C.), el gran astr´nomo y a ogeom´tra, tambi´n se interesaba de astrolog´ y replicaba a los e e ıa,detractores de esa “ciencia” que no se puede culpar una doctrina si haycharlatanos que la practican Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 41/ 55 e o
  92. 92. Matem´tica y Astrolog´ a ıaOtra aplicaci´n importante era la compilaci´n de calendario oficiales y o orelojes de sol: las ceremonias en el mundo romano eran muy importantes,y el concepto de religio ten´ un sentido viril y legal, no simplemente de ıacreencia religiosaTambi´n la astrolog´ que hoy no se puede considerar entre las ciencias, e ıa,en la ´poca imperial era una de las disciplinas que requir´ conocimientos e ıanmatem´ticos: Claudio Tolomeo (ii siglo d.C.), el gran astr´nomo y a ogeom´tra, tambi´n se interesaba de astrolog´ y replicaba a los e e ıa,detractores de esa “ciencia” que no se puede culpar una doctrina si haycharlatanos que la practicanOtro autor que abog´ la “astrolog´ matem´tica” fue Julio F´ o ıa a ırmicoMaterno (iv siglo d.C.), que escribi´ en la ´poca tardoimperial, cuando o e“matem´tico” era sin´nimo de “astr´logo”, y por lo tanto la matem´tica a o o aera identificada por los cristianos con el paganismo y la herej´ ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 41/ 55 e o
  93. 93. Los agrimensoresEl t´rmino geometr´ significa medida de tierra, o sea “agrimensura”, y en e ıaefecto este es el sentido en el cual los Romanos la intend´ a´n si la ıan: utradici´n de los agrimensores remonta a los Egipcios y a los Babilonios, obajo los Romanos la agrimensura devino una profesi´n oficial y muy oestimada Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 42/ 55 e o
  94. 94. Los agrimensoresEl t´rmino geometr´ significa medida de tierra, o sea “agrimensura”, y en e ıaefecto este es el sentido en el cual los Romanos la intend´ a´n si la ıan: utradici´n de los agrimensores remonta a los Egipcios y a los Babilonios, obajo los Romanos la agrimensura devino una profesi´n oficial y muy oestimadaLos agrimensores romanos, mensores, atendeban a muchas ocupaciones:trazaban los l´ ımites de campos, eran ´rbitros de controversias sobre aconfines, eran maestros de geometr´ y geodesia. Estas actividades duraron ıaa lo largo de todo el Impero, hasta el siglo vi d.C. Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 42/ 55 e o
  95. 95. Los agrimensoresEl t´rmino geometr´ significa medida de tierra, o sea “agrimensura”, y en e ıaefecto este es el sentido en el cual los Romanos la intend´ a´n si la ıan: utradici´n de los agrimensores remonta a los Egipcios y a los Babilonios, obajo los Romanos la agrimensura devino una profesi´n oficial y muy oestimadaLos agrimensores romanos, mensores, atendeban a muchas ocupaciones:trazaban los l´ ımites de campos, eran ´rbitros de controversias sobre aconfines, eran maestros de geometr´ y geodesia. Estas actividades duraron ıaa lo largo de todo el Impero, hasta el siglo vi d.C.Las nocciones de agrimensura romana son resumidas en el CorpusAgrimensorum Romanum que trata sea de los aspectos legales que de losaspectos t´cnicos, con muchas partes dedicadas a la geometr´ en e ıa,particular a la geometr´ de Euclides ıa Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 42/ 55 e o
  96. 96. Los agrimensores en cuanto t´cnicos eLos agrimensores eran sea juristas, sea t´cnicos, sea maestros y te´ricos: e oen cuanto t´cnicos se ocupaban de la centuriaci´n o sea de la division de e ola tierra en figuras geom´tricas omogeneas para una asignaci´n o otro fin e o(centuriaci´n in Africa proconsularis) o Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 43/ 55 e o
  97. 97. Los agrimensores en cuanto t´cnicos e(groma, un instrumento de los agrimensores) Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 44/ 55 e o
  98. 98. Los agrimensores en cuanto t´cnicos eSexto Julio Frontino (40-103) es c´lebre por su obra sobre los acueductos ede Roma: en esta hubo como modelo el Sobre la arquitectura de Vitruvio,que a su vez habla de la tradici´n matem´tica helen´ o a ıstica, citandoArqu´ ımedes y Apolonio Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 45/ 55 e o
  99. 99. Los agrimensores en cuanto t´cnicos eSexto Julio Frontino (40-103) es c´lebre por su obra sobre los acueductos ede Roma: en esta hubo como modelo el Sobre la arquitectura de Vitruvio,que a su vez habla de la tradici´n matem´tica helen´ o a ıstica, citandoArqu´ ımedes y ApolonioAs´ Frontino se coloca entre agrimensura, arquitectura e ingenieria ı Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 45/ 55 e o
  100. 100. Los agrimensores en cuanto t´cnicos eSexto Julio Frontino (40-103) es c´lebre por su obra sobre los acueductos ede Roma: en esta hubo como modelo el Sobre la arquitectura de Vitruvio,que a su vez habla de la tradici´n matem´tica helen´ o a ıstica, citandoArqu´ ımedes y ApolonioAs´ Frontino se coloca entre agrimensura, arquitectura e ingenieria ıMarco Vitruvio Poli´n (i siglo a.C.) es una fuente importante de oinformaciones por la matem´tica antigua y griega en particular: otro aimportante estudioso fue Marco Terencio Varr´n (116-27 a.C.) que oescribi´ de muchas disciplinas y cuyo libro de geometr´ es perdido y o ıasobrevive en unos fragmentos Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 45/ 55 e o
  101. 101. Los agrimensores en cuanto te´ricos oEn el Corpus Agrimensorum es evidente que los mensores hablan des´ mismos como de una ´lite t´cnica, cuy´ istrucci´n ten´ que comprender ı e e a o ıafilosof´ geograf´ y matem´tica ıa, ıa a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 46/ 55 e o
  102. 102. Los agrimensores en cuanto te´ricos oEn el Corpus Agrimensorum es evidente que los mensores hablan des´ mismos como de una ´lite t´cnica, cuy´ istrucci´n ten´ que comprender ı e e a o ıafilosof´ geograf´ y matem´tica ıa, ıa aPor ejemplo una de las menciones del Contador de arena de Arqu´ ımedes sehalla en la obra de Higino Grom´tico (´poca de Trajano) a e Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 46/ 55 e o
  103. 103. Los agrimensores en cuanto te´ricos oEn el Corpus Agrimensorum es evidente que los mensores hablan des´ mismos como de una ´lite t´cnica, cuy´ istrucci´n ten´ que comprender ı e e a o ıafilosof´ geograf´ y matem´tica ıa, ıa aPor ejemplo una de las menciones del Contador de arena de Arqu´ ımedes sehalla en la obra de Higino Grom´tico (´poca de Trajano) a eOtro mensor bajo Trajano fue Balbus, que combati´ bajo Trajano, y oescribi´ un tratado donde se hallan las nocciones de geometr´ euclidiana o ıapor primera vez escritas en latin Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 46/ 55 e o
  104. 104. Los agrimensores en cuanto te´ricos oEn el Corpus Agrimensorum es evidente que los mensores hablan des´ mismos como de una ´lite t´cnica, cuy´ istrucci´n ten´ que comprender ı e e a o ıafilosof´ geograf´ y matem´tica ıa, ıa aPor ejemplo una de las menciones del Contador de arena de Arqu´ ımedes sehalla en la obra de Higino Grom´tico (´poca de Trajano) a eOtro mensor bajo Trajano fue Balbus, que combati´ bajo Trajano, y oescribi´ un tratado donde se hallan las nocciones de geometr´ euclidiana o ıapor primera vez escritas en latinMarco Junio Nipsus (ii d.C.) propone muchos problema geom´tricos, y etambi´n m´dotos de triangulaci´n por medir distancias de objetos e e oinacessibles Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 46/ 55 e o
  105. 105. Ejemplo de Marco Junio Nipsus“Por un tri´ngulo rect´ngulo cuyo cateto y base sumados sean 23 pies y el a a´rea es 60 pies y la hipotenusa de 17 pies, as´ se pueden hallar cateto ya ıbase. Se multiplique la hipotenusa por s´ misma. Hace 289. Restamos ıcuatro ´reas de este, que hace 240. El resto es de 49. De este tomamos la araiz cuadrata, que es 7. Sumamola al cateto y base, o sea a 23 pies. Hace30 pies. Tomamos la mitad. Hace 15 pies. Esta es la base. [...] el cateto es8 pies.”Como se vee la descripci´n matem´tica es de natura algor´ o a ıtmica y nodeductiva, como en el caso de los Babilonios, Egipcios, etc´tera e Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 47/ 55 e o
  106. 106. Otro ejemplo de Marco Junio NipsusEsto lo explicamos en notaci´n moderna: si a, b y c son los lados de un otri´ngulo cualquiera, determinar su area a Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012 ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaci´n 48/ 55 e o

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