Funciones de dos variables

1. Cálculo diferencial e integral de una variable
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FUNCIONES MULTIVARIABLES
DIANA PAOLA GOMEZ
CALCULO VECTORIAL
ECCI- 2020-II

2. Cálculo diferencial e integral de una variable
CONTENIDO
1. Función de dos variables.
2. Gráfica de una función real de dos variables.
3. Curvas de nivel.
4. Límite.
5. Continuidad.
6. Derivadas Parciales.
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3. Cálculo diferencial e integral de una variable
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4. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Funciones de Varias Variables.
Definición: Una función f de dos variables es una regla
que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un
conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de
valores que toma f, es decir

5. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.
2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso
sea posible. Justifique su respuesta.

6. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Gráfica de una función de dos variables.
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio
D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z)
de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.

7. Cálculo diferencial e integral de una variable
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La magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa
M situado en el origen de coordenadas sobre un cuerpo de masa m
situado en el punto (x, y, z) viene dada por:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐺
𝑚𝑀
𝑥2+𝑦2+𝑧2
La ley de los gases ideales dice que la presión P de un gas es una
función del volumen V y la temperatura T según la ecuación
𝑃 = 𝑐
𝑇
𝑉
donde c es una constante.
La desviación S en el punto medio de una viga rectangular cuando
está sujeta por ambos extremos y soporta una carga uniforme viene
dada por:
S 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐶
𝐿3
𝜔ℎ2
donde L es la longitud, w la anchura, h la altura y C una constante.
Ejemplos de Aplicación

8. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ejercicio en Clase
1. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la
imagen.

9. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Curvas de nivel.

10. Cálculo diferencial e integral de una variable
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O
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos
variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es
una constante (que pertenece a la imagen de f).

11. Cálculo diferencial e integral de una variable
2. EJERCICIOS
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1. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:
2. Una lámina de metal plana está situada en un plano XY y la
temperatura T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es
inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen.
a) Describa las isotermas
b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 , 3) es 40°C,
encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la
temperatura de 20 grados centígrados.

12. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
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5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:

13. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Límites

14. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Límites
Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio
D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces
decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)
es L y escribimos
tal que siempre que
y

15. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Interpretación geométrica de los límites
X
Z

16. Cálculo diferencial e integral de una variable
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17. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Determina la no existencia del límite de una
función real.
Definición: Si cuando por
una trayectoria C1 y cuando por
otra trayectoria C2,, donde , entonces
no existe.
a
b
y

18. Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
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6. Muestre que no existe
7. Muestre que no existe
5. Muestre que no existe

19. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Continuidad
Definición: Una función f de dos variables, se denomina
continua en (a,b) si
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto
(a,b) de D
Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

20. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Derivadas parciales respecto a x
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea
(x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende
solamente de x y está definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor
de la derivada es llamado
derivada parcial de f(x,y),con
respecto a x en el punto
(x0,y0) y se denota por

21. Cálculo diferencial e integral de una variable
21 Definición de derivada parcial con respecto a x.

22. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Del mismo modo, la derivada de f con respecto a
y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (x=x0).
Definición de derivada parcial con respecto a y.

23. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e
interprete estos números como pendientes.
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

24. Cálculo diferencial e integral de una variable
24 Derivadas parciales respecto a x y a y.