Numeros complejos

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Numeros complejos

  1. 1. INSTITUTO TECNOLOGICO de Lázaro Cárdenas. ALGEBRA LINEAL INVESTIGACION 1. NUMEROS COMPLEJOSNOMBRE DEL ALUMNO:APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)URUE MARROQUIN PATRICIA GORETTISEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2012.SALON: D4. CONTADOR PUBLICO.FECHA DE ENTREGA: 29 DE AGOSTO DEL 2012.
  2. 2. Unidad I - Números complejos1.1. Definición y origen de los números complejosMuchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde elmomento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta laformalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento debidoal carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estarclaramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideasincompletas quedaron re-legadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema derazonamiento de la ´época, como fue el caso de los números complejos.Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas sededican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallabanenvueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna deGirolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porquéno aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantesremontándonos a los orígenes del ´algebra. Podemos decir que los números complejosaparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignoradossistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar.Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas denúmeros negativos.Por ejemplo la ecuación:x² + x + 5 = 0Los números complejos, se expresan a través de la suma de un número real y un númeroimaginario. Al entero real se le denomina parte real del número complejo y al número imaginariose le llama parte imaginaria del número complejo.Una de las muchas formas de expresar a los números complejos sería: Z = Re ( Z ) + Im( Z )Algunos ejemplos de esta representación son:Z₁ = 3 + 2iZ ₂ = -5 + 7iDonde Re ( Z ) y Im ( Z ) pueden ser racionales o irracionales.Los números complejos existen para cubrir un aspecto que los números reales no son capaces desolventar. Por ejemplo, a través de los números reales no podemos expresar las raíces pares de unnúmero negativo, por ejemplo:
  3. 3. x² +1 = 0Fue entonces que Leonhard Euler en 1777 introdujo el concepto de numero imaginario al asignarla raíz de un número negativo: i= -1De esta manera, los números imaginarios son capaces de expresar todas las raíces de unpolinomio, raíces reales y raíces imaginarias.Una definición formal de un número complejo sería: Numero complejoSea donde Z a bi donde a, b R ei 1, a esto se le denomina número complejo, parael cual, a es la parte real de Z y b es la parte imaginaria de Z. A esta representación de un númerocomplejo se le llama forma rectangular de un número complejo.La forma rectangular de un número complejo tiene algunas variantes. Si se especifica que Z es unnúmero complejo, puede ser expresado en su forma rectangular como sigue: Z = 3 + 2i = 3 + 2j = (3, 2)Dada esta última representación de un número complejo como par ordenado ( a, b) donde aRe Z y b Im Z podemos representar gráficamente un número complejo usando el diagramade Argand, el cual es muy similar al plano cartesiano.En el eje horizontal escribimos la magnitud de la parte real (Re) mientras que en la parte verticalanotaremos las magnitudes de la parte imaginaria ( Im ) . En estos ejes, tendremos tanto lasmagnitudes positivas como negativas.2.0 (3,2) Si Z = (3, 2) tendremos 3 unidades1.5 en la parte real y 2 unidades en la parte imaginaria. Si las ubicamos en el plano de Argand tendremos1.0 lo que se muestra en la Figura 10.50.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Figura 1. Representación gráfica de Z=3+2i
  4. 4. En este plano, básicamente tenemos representados dos números complejos. Si consideramos que: a = (3, 0) b = ( 0, 2) Z = a + b = 3 + 2iTenemos dos números a y b, donde a es un real puro (un número complejo cuya parte imaginariaes cero) y b es un imaginario puro (número complejo cuya parte real es cero).
  5. 5. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejosCon los números complejos somos capaces de realizar algunas operaciones fundamentales comolo son, la suma, la resta, multiplicación, división, conjugado y módulo de un número complejo.Para realizar estas operaciones vamos a considerar que el número complejo Z está representadoen su forma rectangular (también llamada forma binómica).Suma de números complejosLa suma de números complejos sigue un método muy sencillo. Si Z1 a bi y Z2 c di la sumade Z1 Z2 dará como resultado un nuevo número complejo.El número complejo resultante tendrá como parte real la suma de las partes reales de Z1 y Z 2 y suparte imaginaria será la suma de las partes imaginarias de Z1 y Z 2.La suma entre números complejos se puede definir como: Suma de números complejos Sean Z1 a bi y Z2 c di dos números complejos. La suma Z1 Z2 Z3 resultará en un nuevo número complejo, el cual se obtiene por: Z3 Z1 Z2 a bi c di a c b d i
  6. 6. Multiplicación de números complejosLa multiplicación entre dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva delproducto respecto de la suma.Para definir la multiplicación entre dos números complejos, consideremos que: Z1 a bi y Z2 c diLa multiplicación de estos números genera un nuevo número complejo. Para obtener este númerocomplejo Z3 Z1 Z2 a bi c di desarrollemos el producto de los paréntesis: Z3 a bi c di a c a di bi c bi diPero, dada la definición de i = -1 tenemos que el producto bi di resulta en:Agrupando los términos reales y los términos imaginarios: Z3 ac bd ad bc i Suma de números complejos Sean Z1 a bi y Z2 c di dos números complejos expresados en su forma binomica o rectangular. El producto o multiplicación Z1 Z2 se obtendrá como: Z3 ac bd ad bc i
  7. 7. Conjugado de un número complejoSea Z1 a bi un número complejo en forma rectangular. Se define su conjugado, expresadocomo Z1* a bi donde las magnitudes de las partes real e imaginaria de Z1 y de Z1* son iguales,excepto que la parte imaginaria de Z1* tendrá signo diferente.Conjugado de un numero complejoSea Z1 a bi un número complejo en forma rectangular, su conjugado, expresado como Z1*será: Z1* a bi
  8. 8. División de números conjugadosSi tenemos dos números complejos en su forma rectangular Z1 a bi y Z2 c di para realizarla división la cual dará como resultado un nuevo número complejo, debemos de multiplicar atoda la expresión por el conjugado del denominador, esto es:
  9. 9. 1.3. Potencia de “1”, modulo o valor absoluto de un complejo.Por definición, sabemos que y además sigue las mismas leyes de los exponentes. Paralas potencias de i tenemos que:De aquí pasaremos al concepto del módulo de un número complejo, que se representa por .Cuando representamos a un número complejo en el diagrama de Argand, ubicamos un punto en elplano, el módulo se refiere a la distancia que existe desde el origen hasta el punto, calculándosecomo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes numéricos de la parte real yla parte imaginaria. Considere un número complejo en su forma binómica , el modulo de Z representado con una se obtendrá como : Y el resultado es un escalar, o número real puro.
  10. 10. 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo.Hemos visto la representación rectangular de un número complejo y como se definen lasoperaciones elementales para un número complejo en forma rectangular. Sin embargo, existenotras formas de representar al mismo número complejo que facilitan las operaciones, éstas son laforma polar y la forma exponencial.Cuando hablamos de la forma polar de un número complejo, nos referimos a un segmento derecta que está ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos característicasimportantes, tiene un ángulo medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta yademás, el segmento de recta tiene una longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura: La distancia del segmento de recta se calcula igual que el modulo del número complejo expresado en forma rectangular: Mientras que el ángulo lo obtendremos como:De manera que un número complejo en su forma polar se expresa como: El ángulo de un número complejo no es único. Si medimos el ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj se considera un ángulo positivo, pero si medimos el ángulo en sentido de las manecillas del reloj será un ángulo negativo, según lo muestra la Figura 2.Por lo tanto, podemos establecer la siguiente regla de conversión polar a rectangular y rectangulara polarRelación Rectangular - PolarSea un número complejo rectangular. A partir de Z , su expresión en forma polarserá:
  11. 11. Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversión polar a rectangular usando lasfunciones trigonométricas: La parte real de número complejo rectangular la obtendremos como: Y la parte imaginaria:Relación Polar - RectangularSea un número complejo expresado en forma polar. A partir de Z , su expresión enforma rectangular está dada por:Si expresamos al número complejo como un par ordenado:A la última expresión se le conoce como forma trigonométrica de un número complejo. Algunoslibros manejan una forma abreviada como:Hagamos una tabla donde se resuman todas las formas que hemos visto para expresar un númerocomplejo:Tabla I. Resumen de las formas de expresar un número complejo
  12. 12. Forma exponencial de un número complejoEn la forma polar, el ángulo se mide en grados sexagesimales. Existe otra forma de expresar unnúmero complejo que es la forma exponencial, donde el ángulo se mide en radianes.Recuerde que hay una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes 180 .La forma exponencial de un número complejo es donde r representa el módulo del numerocomplejo y el ángulo en radianes.Para ver de donde proviene esta expresión, recordemos que existe una serie infinita querepresenta a la cual es:Si realizamos la sustitución la serie anterior se expresa como:Y de acuerdo a las potencias de i :Si agrupamos los términos semejantes:La parte real es la serie que aproxima a la función mientras que la parteImaginaria es la serie que aproxima a la función . De esta manera, podemossimplificar la expresión anterior:Multiplicamos ambos lados por el módulo r :
  13. 13. Tenemos la relación entre la forma exponencial y la forma binómica trigonométrica de un númerocomplejo. Debemos de tener en cuenta que la forma exponencial maneja al ángulo en radianesy la forma binómica trigonométrica en grados sexagesimales.
  14. 14. 4.5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un númerocomplejo.El teorema de De Moivre lo empleamos cuando queremos encontrar las enésimas potencias de unnúmero complejo.Para iniciar el procedimiento de deducción de la fórmula, consideremos a dos números complejos y realicemos la multiplicación entre ellos:En el caso en que Z1 Z2 la ecuación anterior resulta:Ahora, si tenemos tres números complejos iguales , el producto sería: Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2...)Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n porinducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válidatambién para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn entérminos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces,como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la formaexponencial de z-1 que zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθPor tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en (eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)Cuando se expresa en la forma (Cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθQue se le conoce como la fórmula de Moivre.
  15. 15. 1.6. Ecuaciones polinomicas.Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones algebraicas en las que intervienenuna o más variables. Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra.Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto ello facilita la solucióna múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de matemática.Cuando las expresiones algebraicas de cada miembro de la igualdad cumplen con ciertascondiciones, las ecuaciones reciben nombres particulares. De esta manera:Ecuaciones Polinómicas: Son aquellas en las que las expresiones algebraicas que intervienen en laecuación, son polinomios (existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, talescomo las expresiones algebraicas racionales y otras).Ejemplos:1. 4x-(3x-4)=6x-(3-8x)+(-2x+29)Solución4x-3x+4=6x-3+29-44x-3x-6x-8x+2x0-3+29-4-11x=22X=22/-11X=-22. 6x-(4x-7)=5x-(4-9x)+(-4x+35)Solución6x-4x+7=5x-4+9x-4x+356x-4x-5x-9x+4x=-4+35-7-8x=26X=- 13/4
  16. 16. BIBLIOGRAFIAhttp://www.edutecne.utn.edu.ar/autovalores/num_complejos.pdfhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htmhttp://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Ecuaciones/u2ecupr50a.pdfhttp://www.fra.utn.edu.ar/catedras/algebra/lecturas/Numeros_complejos.pdfhttp://algebra.materia.unsl.edu.ar/Teorias/Complejos2011.pdf

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