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Manual del Usuario                         HESTHerramientas de Estadística y Probabilidad para Windows                    ...
ÍNDICEIntroducción...........................................................................................................
IntroducciónHEstadis es una aplicación para Windows para cálculos de estadística y probabilidad.Permite 7 tipos de cálculo...
Formatos de entrada de valoresLos valores numéricos se pueden entrar en alguno de los siguientes formatos:        - Número...
Intervalo de confianzaNos permite calcular el intervalo de confianza de un parámetro estadístico de una o dos poblacionesc...
Estadística de 1 variablePermite el cálculo de la estadística de una variable numérica X.- Los datos pueden estar agrupado...
Teoremas de la Probabilidad Total y BayesTenemos un conjunto de sucesos Ai incompatibles que completan el espacio muestral...
Anexo 1Fórmulas de distribuciones de probabilidadDistribución normal de Gauss                      ∞                      ...
Distribución Binomial Probabilidad puntual:                      ⎛ n ⎞ k0 α = p( x = k0 ) = ⎜                   ⎜       ⎟ ...
F   Variable aleatoria de la distribución F de Snedecorn1   Grados de libertad del numerador en la distribución F de Snede...
Anexo 2Fórmulas de intervalos de confianzaMedia de la población(varianza poblacional conocida)             ⎛              ...
Diferencia de las medias de dos poblaciones(varianzas desconocidas y distintas)                  ⎛                        ...
Anexo 3 Fórmulas de Contraste de hipótesisMedia de la población (varianza poblacional conocida) Dos lados:         Rechaza...
Media de la población (varianza poblacional desconocida) Dos lados:          Rechazar H0 si: H0: µ = µ0               ⎛   ...
Varianza de la poblaciónDos lados:        Rechazar H0 si:H0: σ 2 = σ 0            2                          ⎛            ...
Proporción de la población Dos lados:          Rechazar H0 si: H0: p = p0               ⎛             ⎞                   ...
Diferencia de las medias de dos poblaciones (varianzas poblacionales desconocidas eiguales) Dos lados:            Rechazar...
Diferencia de las medias de dos poblaciones (varianzas poblacionales desconocidas ydistintas) Dos lados:            Rechaz...
Cociente de las varianzas de dos poblacionesDos           Rechazar H0 si:lados:              ⎛                            ...
Diferencia de las proporciones de dos poblacionesDos lados:     Rechazar H0 si:H0: p1 = p2         ⎛             ⎞        ...
Siendo:    1−α    Nivel de confianza      α    Nivel de significación      H0   Hipótesis nula      H1   Hipótesis alterna...
Anexo 4Fórmulas de estadística de 1 variable                               ∑ xi niMedia aritmética        x=              ...
Siendo:   N      Número de valores          L      Límite inferior de la clase correspondiente          a      Amplitud de...
Anexo 5Fórmulas de estadística de 2 variables                                ∑ xi ni                                   ∑ y...
Anexo 6Fórmulas de los teoremas de la Probabilidad Total y BayesTeorema de la Probabilidad total P( B) = P( A1 ) ⋅ P( B / ...
Anexo 7Fórmulas de probabilidad para dos sucesos A y BSuceso seguro E:            P(E)=1                                  ...
EspecificacionesDescripción                 HEstadis. Aplicación informática para entorno Windows para cálculos de        ...
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  1. 1. Manual del Usuario HESTHerramientas de Estadística y Probabilidad para Windows SOFTWARE www.vaxasoftware.com Ref.: HEST
  2. 2. ÍNDICEIntroducción................................................................................................................ 3Condiciones de uso.................................................................................................... 3Formatos de entrada de valores ................................................................................ 4Tipos de cálculos........................................................................................................ 4 Contraste de hipótesis ................................................................................................ 4 Intervalo de confianza ................................................................................................ 5 Distribuciones de probabilidad.................................................................................... 5 Estadística de 1 variable............................................................................................. 6 Estadística de 2 variables........................................................................................... 6 Teoremas de la Probabilidad Total y Bayes ............................................................... 7 Probabilidad para dos sucesos A y B ......................................................................... 7Anexo 1: Fórmulas de distribuciones de probabilidad................................................ 8Anexo 2: Fórmulas de intervalos de confianza ........................................................ 11Anexo 3: Fórmulas de contraste de hipótesis .......................................................... 13Anexo 4: Fórmulas de estadística de 1 variable ...................................................... 22Anexo 5: Fórmulas de estadística de 2 variables..................................................... 24Anexo 6: Fórmulas de los teoremas de la Probabilidad Total y Bayes .................... 25Anexo 7: Fórmulas de probabilidad para dos sucesos A y B................................... 26Especificaciones....................................................................................................... 27Marcas comerciales ................................................................................................. 27 2
  3. 3. IntroducciónHEstadis es una aplicación para Windows para cálculos de estadística y probabilidad.Permite 7 tipos de cálculos de probabilidad y estadística: Contraste de hipótesis. Intervalo de confianza. Distribución de probabilidad. Estadística de 1 y 2 variables. Teoremas de la Probabilidad Total y Bayes. Probabilidad para 2 sucesos A y B.Por favor, léase el presente manual a fin de conocer todas las funcionalidades de la aplicación.Nota:El diseño y las especificaciones están sujetos a cambios sin previo aviso.Condiciones de usoCONDICIONES DE USO DE LA APLICACIÓN TRIALWARE / SHAREWARE / DEMO (*)Vaxa Software no será responsable de los daños o perjuicios directos o indirectos ocasionados por el uso oimposibilidad de uso de esta aplicación, ni por los efectos en el funcionamiento de otras aplicaciones o delsistema operativo.Antes de la instalación recomendamos hacer copia de seguridad de sus datos, crear un punto de restauracióndel sistema y tener a mano todos los archivos para la reinstalación del sistema operativo y sus aplicaciones.Usted podrá evaluar gratuitamente la aplicación shareware durante el tiempo que considere necesario.Transcurrido este periodo de evaluación usted deberá registrarse o desinstalar la aplicación.Para registrarse consulte la opción "REGISTRAR APLICACIÓN" en el menú ayuda de la aplicación.Tras pagar los derechos de registro recibirá por e-mail la CLAVE de REGISTRO de la aplicación.Una vez registrada la aplicación, podrá usar las opciones que estaban deshabilitadas hasta ese momento.Conserve su clave de registro en lugar seguro. Si tuviera que reinstalar la aplicación podría necesitarla.La CLAVE de REGISTRO es única para cada equipo. No podrá usar la clave de registro en un equipo distinto.Usted puede distribuir libremente copias inalteradas del sistema de instalación de la aplicación shareware a otrosusuarios para su evaluación.El pago del registro le da derecho al uso de la aplicación pero no le otorga la propiedad de la misma.Usted no puede descompilar la aplicación ni usar ningún tipo de ingeniería inversa para su análisis omodificación.No puede usar parte o la totalidad de la aplicación para crear una nueva aplicación.Conflictos de archivos compartidos:VaxaSoftware no será responsable de los conflictos debidos a la incompatibilidad de archivos compartidos (*.dll*.ocx y otros).Las aplicaciones de VaxaSoftware usan archivos compartidos (*.dll *.ocx y otros) que se copian al equipo durantela instalación. Es posible que el archivo compartido exista previamente y sea o no reemplazado por otra versión distintadurante la instalación de la aplicación de VaxaSoftware. Ello puede originar que la aplicación de VaxaSoftware no funcione y/o que aplicaciones de terceros quecompartan el mismo archivo no lo hagan. Asimismo la instalación de aplicaciones de terceros puede ocasionar que la aplicación de VaxaSoftware o laaplicación de terceros no funcionen. VaxaSoftware tratará de resolver estos conflictos de forma razonable, no obstante su resolución satisfactoriano está garantizada y en muchos casos puede ser imposible.(*) Las condiciones de uso de la aplicación ya fueron aceptadas por el usuario antes del proceso de instalación. Aquí sereseñan para su consulta posterior. 3
  4. 4. Formatos de entrada de valoresLos valores numéricos se pueden entrar en alguno de los siguientes formatos: - Números corrientes: 0.24; 15.23 - Porcentajes: 90%; 12% - Fracciones: 2/3; 5/8 - Notación científica: 2E-4 (equivalente a 2x10-4 = 0.0002)El separador de decimales es el punto.Si se entra coma, se presentará como punto. Tipos de cálculosHEstadis permite realizar 7 tipos de cálculos estadísticos y de probabilidad: - Contraste de hipótesis - Intervalos de confianza - Distribuciones de probabilidad - Estadística de 1 variable - Estadística de 2 variables - Teoremas de la Probabilidad Total y Bayes - Probabilidad para dos sucesos A y BDebemos pulsar la pestaña correspondiente en la ventana de la aplicación para acceder a cada unode los tipos de cálculo. Contraste de hipótesisNos permite comprobar la validez de un parámetro estadístico de una o dos poblaciones conociendolos valores estadísticos de una o varias muestras.En todos los casos se debe especificar el nivel de confianza o el de significación.El contraste se puede realizar bilateral o unilateral izquierdo/derecho.Disponemos de 9 tipos de contraste de hipótesis: Para 1 población: 1) Media de la población con varianza poblacional conocida. 2) Media de la población con varianza poblacional desconocida. 3) Varianza de la población. 4) Proporción de la población. Para 2 poblaciones: 5) Diferencia de las medias poblacionales con varianzas poblacionales conocidas. 6) Diferencia de las medias poblacionales con varianzas poblacionales iguales y desconocidas. 7) Diferencia de las medias poblacionales con varianzas poblacionales distintas y desconocidas. 8) Cociente de las varianzas poblacionales 9) Diferencia de las proporciones poblacionales 4
  5. 5. Intervalo de confianzaNos permite calcular el intervalo de confianza de un parámetro estadístico de una o dos poblacionesconociendo los valores estadísticos de una o varias muestras.En todos los casos se debe especificar el nivel de confianza o el de significación.Disponemos de 9 tipos de intervalos de confianza: Para 1 población: 1) Media de la población con varianza poblacional conocida. 2) Media de la población con varianza poblacional desconocida. 3) Varianza de la población. 4) Proporción de la población. Para 2 poblaciones: 5) Diferencia de las medias poblacionales con varianzas poblacionales conocidas. 6) Diferencia de las medias poblacionales con varianzas poblacionales iguales y desconocidas. 7) Diferencia de las medias poblacionales con varianzas poblacionales distintas y desconocidas. 8) Cociente de las varianzas poblacionales. 9) Diferencia de las proporciones poblacionales. Distribuciones de probabilidadPara cada tipo de distribución de probabilidad, nos permite calcular el punto o puntos porcentualesconocida la probabilidad y viceversa.El cálculo se puede realizar con la probabilidad acumulada a izquierda, derecha, intervalo, intervalocentrado o puntual.Disponemos de 6 tipos de distribuciones de probabilidad: Distribuciones continuas: 1) Normal. 2) t-Student. 3) Ji-Cuadrado. 4) F-Snedecor. Distribuciones discretas: 5) Binomial. 6) Poisson. 5
  6. 6. Estadística de 1 variablePermite el cálculo de la estadística de una variable numérica X.- Los datos pueden estar agrupados en intervalos o no agrupados.Se calculan los siguientes parámetros estadísticos: 1) Media aritmética 2) Mediana 3) Moda 4) Desviación típica 5) Varianza 6) Coeficiente de variación 7) Asimetría 8) Curtosis 9) Momentos (orden 0 a 4, para la media y el origen) 10) Cuartiles, deciles y percentiles y sus inversos 11) Representación gráfica (diagrama de barras o histograma) e impresión.- Los datos de pueden guardar y abrir como archivos de extensión E1V.- Los datos y resultados de pueden imprimir. Estadística de 2 variablesPermite el cálculo de la estadística de dos variables numéricas X, Y.- Podemos obtener 5 tipos de fórmulas de correlación usando el método de mínimos cuadrados: 1) Lineal 2) Logarítmica 3) Exponencial 4) Potencial 5) CuadráticaSe calculan los siguientes parámetros estadísticos: 1) Medias aritméticas de X e Y. 2) Desviaciones típicas de X e Y. 3) Varianzas de X e Y. 4) Covarianza. 5) Coeficiente de correlación. 6) Fórmula de la curva de regresión. 7) Estimación (interpolación / extrapolación) del valor de X o Y. 8) Representación gráfica (curva y nube de puntos) e impresión.- Los datos de pueden guardar y abrir como archivos de extensión E2V.- Los datos y resultados de pueden imprimir. 6
  7. 7. Teoremas de la Probabilidad Total y BayesTenemos un conjunto de sucesos Ai incompatibles que completan el espacio muestral y un suceso B.Conocidas las probabilidades p(Ai) y las probabilidades condicionadas p(B / Ai), se calcula:p(B) y p( Ai / B) Probabilidad para dos sucesos A y BPara dos sucesos A y B. Se calculan todas las probabilidades posibles cuando se conocen algunosvalores.Los datos o incógnitas pueden ser:p( A) p( A )p( B) p( B )p( A ∩ B) p( A ∩ B)p( A ∪ B) p( A ∪ B)p( A ∩ B ) p( A ∪ B )p( A / B) p( A − B)p( B / A) p( B − A) 7
  8. 8. Anexo 1Fórmulas de distribuciones de probabilidadDistribución normal de Gauss ∞ − ( x−µ )2 1α = p ( x ≥ x0 ) = ∫ e 2σ 2 dx x0 2 πσ 2Distribución t-Student de Gosset n +1 − ⎛ n + 1⎞ ⎛ t ⎞ 2 2 Γ⎜ ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜ ∞ ⎝ 2 ⎠⎝ n⎟ ⎠α = p(t ≥ t 0 ) = ∫ dt ⎛n⎞ t0 Γ⎜ ⎟ n π ⎝2⎠Distribución Ji-cuadrado de Pearson ∞ e − x / 2 x n / 2 −1α = p(χ ≥ χ ) = 2 2 0 ∫ dx 2 χ0 2n / 2 Γ(n / 2)Distribución F de Fisher Snedecor n1 ⎛ n + n ⎞ ⎛ n ⎞ 2 1 −1 n ∞ Γ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ F 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ n2 ⎠α = p ( F ≥ F0 ) = ∫ n1 + n 2 dF F0 ⎛n ⎞ ⎛n ⎞⎛ n ⎞ 2 Γ⎜ 1 ⎟ Γ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 + 1 F ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ n2 ⎠ 8
  9. 9. Distribución Binomial Probabilidad puntual: ⎛ n ⎞ k0 α = p( x = k0 ) = ⎜ ⎜ ⎟ p (1 − p ) n − k0 ⎟ ⎝ k0 ⎠ Probabilidad acumulada superior: n ⎛n⎞ α = p( x ≥ k0 ) = ∑ ⎜ i ⎟ p (1 − p) ⎜ ⎟ i n −i i=k0 ⎝ ⎠ Distribución de Poisson Probabilidad puntual: λk 0 α = p ( x = k 0 ) = e −λ k0 ! Probabilidad acumulada superior: ∞ λn α = p( x ≥ k0 ) = ∑ n=k0 e −λ n!Siendo: α Probabilidad x Variable aleatoria de la distribución Normal µ Media de la distribución Normal σ Desviación típica de la distribución Normal x0 Punto porcentual de la distribución Normal t Variable aleatoria de la distribución t-Student n Grados de libertad de la distribución t-Student t0 Punto porcentual de la distribución t-Student χ2 Variable aleatoria de la distribución Ji-cuadrado n Grados de libertad de la distribución Ji-cuadrado χ 02 Punto porcentual de la distribución Ji-cuadrado 9
  10. 10. F Variable aleatoria de la distribución F de Snedecorn1 Grados de libertad del numerador en la distribución F de Snedecorn2 Grados de libertad del denominador en la distribución F de SnedecorF0 Punto porcentual de la distribución F de Snedecor n Número de experimentos en la distribución Binomialp Probabilidad de éxito de un suceso individual en la distribución Binomial x Variable aleatoria de la distribución Binomialk0 Punto porcentual de la distribución Binomialλ Media (=desviación típica) de la distribución de Poisson x Variable aleatoria de la distribución de Poissonk0 Punto porcentual de la distribución de Poisson 10
  11. 11. Anexo 2Fórmulas de intervalos de confianzaMedia de la población(varianza poblacional conocida) ⎛ σ σ ⎞ µ ∈ ⎜ x − zα ⎜ , x + zα ⎟ ⎝ 2 n 2 n ⎟ ⎠Media de la población(varianza poblacional desconocida) ⎛ S S ⎞ µ ∈⎜ x − t ⎛α , x + t ⎛α ⎞ ⎟ ⎜ ⎞ ⎜ , n −1 ⎟ n ⎜ , n −1 ⎟ n⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎠Proporción de la población ⎛ p (1 − p) ˆ ˆ p (1 − p) ⎞ ˆ ˆ p ∈ ⎜ p − zα ⎜ ˆ , p + zα ˆ ⎟ ⎟ ⎝ 2 n 2 n ⎠Varianza de la población ⎛ (n − 1) S 2 (n − 1) S 2 ⎞ σ 2 ∈⎜ , ⎟ ⎜ χ 2 ⎛ α , n−1 ⎞ ⎜ ⎟ χ 2 ⎛ 1 − α , n−1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠Diferencia de las medias de dos poblaciones(varianzas conocidas) ⎛ σ 12 σ2 ⎞ 2 µ1 − µ2 ∈ ⎜ x1 − x2 ± zα + ⎟ ⎜ n1 n2 ⎟ ⎝ 2 ⎠Diferencia de las medias de dos poblaciones(varianzas desconocidas e iguales) ⎛ 1 1 ⎞ µ1 − µ 2 ∈ ⎜ x1 − x2 ± t ⎛ α SP + ⎟ ⎜ ⎞ ⎜ , n 1 + n 2 −2 ⎟ n1 n2 ⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎠ (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2 2Siendo: SP = 2 , σ 12 = σ 2 2 n1 + n2 − 2 11
  12. 12. Diferencia de las medias de dos poblaciones(varianzas desconocidas y distintas) ⎛ S12 S 2 ⎞ 2 µ1 − µ 2 ∈ ⎜ x1 − x2 ± t ⎛ α + ⎟ ⎜ ⎞ ⎜ ,ν⎟ n1 n2 ⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎠ Siendo: ν≈ (S 1 2 / n1 + S 2 / n2 ) 2 2 , σ 12 ≠ σ 2 2 (S 1 2 / n1 ) + (S / n2 ) 2 2 2 2 n1 − 1 n2 − 1Cociente de las varianzas de dos poblaciones σ 12 ⎛ S12 S12 ⎞ ∈⎜ F , F⎛ α ⎟ σ 2 ⎜ S 22 ⎛1 − α , n 2 ⎝ ⎜ ⎝ 2 2 −1, n 1 −1 ⎟ ⎞ ⎠ S 2 ⎜ 2 , n 2 −1, n 1 −1⎞ ⎟ 2 ⎝ ⎟ ⎠⎠Diferencia de las proporciones de dospoblaciones ⎛ p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) ⎞ ˆ ˆ ˆ ˆp1 − p2 ∈ ⎜ p1 − p2 ± zα ⎜ ˆ ˆ + ⎟ ⎟ ⎝ 2 n1 n2 ⎠Siendo: µ Media poblacional x Media muestral σ Desviación típica poblacional S Desviación típica muestral p Proporción de la población ˆ p Proporción de la muestra n Tamaño de la muestra α Nivel de significación 1 − α Nivel de confianza zα α Punto porcentual de la distribución normal de Gauss con probabilidad superior 2 2 t (α ,ν ) Punto porcentual de la distribución t-Student de Gosset con probabilidad superior α con ν grados de libertad χ (α ,ν ) Punto porcentual de la distribución ji-cuadrado χ 2 de Pearson con probabilidad superior α 2 y con ν grados de libertad F (α , ν1 , ν 2 ) Punto porcentual de la distribución F de Fisher-Snedecor con probabilidad superior α y con grados de libertad ν 1 y ν 2 12
  13. 13. Anexo 3 Fórmulas de Contraste de hipótesisMedia de la población (varianza poblacional conocida) Dos lados: Rechazar H0 si: H0: µ = µ0 ⎛ ⎞ z0 ∉ ⎜ − zα , zα ⎟ Siendo ⎜ ⎟ H1: µ ≠ µ0 ⎝ 2 2 ⎠ x − µ0 z0 = σ/ n El estadístico z0 sigue una distribución normal N(0, 1). Lado derecho: Rechazar H0 si: H0: µ ≤ µ0 z0 > zα H1: µ > µ0 Lado izquierdo: Rechazar H0 si: H0: µ ≥ µ0 z0 < − zα H1: µ < µ0 13
  14. 14. Media de la población (varianza poblacional desconocida) Dos lados: Rechazar H0 si: H0: µ = µ0 ⎛ ⎞ t0 ∉ ⎜ − t ⎛ α ⎞ , t ⎛ α ⎞ ⎟ H1: µ ≠ µ0 ⎜ ⎜ , n −1⎟ ⎜ , n −1⎟ ⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠⎠ x − µ0 Siendo t0 = S/ n El estadístico t0 sigue una distribución t-Student de n-1 grados de libertad. Lado derecho: Rechazar H0 si: H0: µ ≤ µ0 t0 > t (α , n −1) H1: µ > µ0 Lado izquierdo: Rechazar H0 si: H0: µ ≥ µ0 t0 < −t (α , n −1) H1: µ < µ0 14
  15. 15. Varianza de la poblaciónDos lados: Rechazar H0 si:H0: σ 2 = σ 0 2 ⎛ ⎞ χ 02 ∉ ⎜ χ ⎛2 , χ ⎛2α ⎟H1: σ ≠ σ 2 2 ⎜ α ⎜ 1 − , n −1 ⎟ ⎜ , n −1 ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ 0 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠⎠ (n − 1) S 2 Siendo χ 0 = 2 2 σ0 El estadístico χ sigue una2 0 distribución Ji-cuadrado de n-1 grados de libertad.Lado derecho: Rechazar H0 si:H0: σ 2 ≤ σ 0 2 χ 02 > χ (2α , n −1)H1: σ 2 > σ 0 2Lado izquierdo: Rechazar H0 si:H0: σ 2 ≥ σ 0 2 χ 02 < χ (2 − α , n −1) 1H1: σ 2 < σ 0 2 15
  16. 16. Proporción de la población Dos lados: Rechazar H0 si: H0: p = p0 ⎛ ⎞ z0 ∉ ⎜ − z α , z α ⎟ ⎜ ⎟ H1: p ≠ p0 ⎝ 2 2 ⎠ n p − n p0 ˆ Siendo z0 = n p0 (1 − p0 ) El estadístico z0 sigue una distribución normal N(0, 1). Lado derecho: Rechazar H0 si: H0: p ≤ p0 z0 > zα H1: p > p0 Lado Rechazar H0 si: izquierdo: z0 < − zα H0: p ≥ p0 H1: p < p0Diferencia de las medias de dos poblaciones (varianzas poblacionales conocidas y distintas) Dos lados: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 = ∆ 0 ⎛ ⎞ z0 ∉ ⎜ − z α , z α ⎟ ⎜ ⎟ H1: µ1 − µ2 ≠ ∆ 0 ⎝ 2 2 ⎠ x − x2 − ∆ 0 ( σ 12 ≠ σ 2 ) 2 Siendo z0 = 1 σ 12 σ2 2 + n1 n2 El estadístico z0 sigue una distribución normal N(0, 1). Lado derecho: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 ≤ ∆0 z0 > zα H1: µ1 − µ2 > ∆ 0 Lado izquierdo: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 ≥ ∆ 0 z0 < − zα H1: µ1 − µ2 < ∆0 16
  17. 17. Diferencia de las medias de dos poblaciones (varianzas poblacionales desconocidas eiguales) Dos lados: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 = ∆ 0 ⎛ ⎞ t0 ∉ ⎜ − t ⎛ α , t ⎛α ⎟ H1: µ1 − µ2 ≠ ∆ 0 ⎜ ⎜ , n 1 + n 2 −2 ⎟ ⎜ , n 1 + n 2 − 2 ⎟ ⎞ ⎞⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠⎠ x − x2 − ∆ 0 ( σ 12 = σ 2 ) 2 Siendo t0 = 1 1 1 SP + n1 n2 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2 2 S = 2 P n1 + n2 − 2 El estadístico t0 sigue una distribución t-Student de n1+n2–2 grados de libertad. Lado derecho: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 ≤ ∆0 t0 > t (α , n 1 +n 2 −2 ) H1: µ1 − µ2 > ∆ 0 Lado izquierdo: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 ≥ ∆ 0 t0 < −t (α , n 1 +n 2 −2 ) H1: µ1 − µ2 < ∆0 17
  18. 18. Diferencia de las medias de dos poblaciones (varianzas poblacionales desconocidas ydistintas) Dos lados: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 = ∆ 0 ⎛ ⎞ t0 ∉ ⎜ − t ⎛ α ⎞ , t ⎛ α ⎞ ⎟ H1: µ1 − µ2 ≠ ∆ 0 ⎜ ⎜ ,ν ⎟ ⎜ , ν ⎟ ⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠⎠ x − x2 − ∆ 0 ( σ 12 ≠ σ 2 ) 2 Siendo t0 = 1 S12 S 2 2 + n1 n2 ν= (S 1 2 / n1 + S 2 / n2 ) 2 2 (S 1 2 / n1 ) (S 22 / n2 ) + 2 2 n1 − 1 n2 − 1 El estadístico t0 sigue una distribución t-Student de ν grados de libertad. Lado derecho: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 ≤ ∆0 t0 > t (α ,ν ) H1: µ1 − µ2 > ∆ 0 Lado izquierdo: Rechazar H0 si: H0: µ1 − µ2 ≥ ∆ 0 t0 < −t (α ,ν ) H1: µ1 − µ2 < ∆0 18
  19. 19. Cociente de las varianzas de dos poblacionesDos Rechazar H0 si:lados: ⎛ ⎞H0: F0 ∉ ⎜ F⎛ α , F⎛ α ⎟ ⎜ ⎜ 1 − , n 1 −1, n 2 −1 ⎞ ⎜ , n 1 −1, n 2 −1⎞ ⎟ σ 12 = σ 2 2 ⎝ ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎝2 ⎟ ⎠⎠H1: S 2 Siendo F0 = 12 σ 12 ≠ σ 2 2 S2 El estadístico F0 sigue una distribución F-Snedecor con n1-1 y n2-1 grados de libertad.Lado Rechazar H0 si:derecho: F0 > F(α , n 1 −1, n 2 −1)H0: σ 12 ≤ σ 2 2H1: σ 12 > σ 2 2Lado Rechazar H0 si:izquierdo: F0 < F(1 − α , n 1 −1, n 2 −1)H0: σ 2 ≥ σ 02H1: σ 2 < σ 02 19
  20. 20. Diferencia de las proporciones de dos poblacionesDos lados: Rechazar H0 si:H0: p1 = p2 ⎛ ⎞ z0 ∉ ⎜ − z α , z α ⎟ ⎜ ⎟H1: p1 ≠ p2 ⎝ 2 2 ⎠ Siendo p1 − p2 ˆ ˆ z0 = ⎛1 1⎞ p (1 − p ) ⎜ + ⎟ ˆ ˆ ⎜ ⎟ ⎝ n1 n2 ⎠ n1 p1 + n2 p2 ˆ ˆ p= ˆ n1 + n2 El estadístico z0 sigue una distribución normal N(0, 1).Lado Rechazar H0 si:derecho: z0 > zαH0: p1 ≤ p2H1: p1 > p2Lado Rechazar H0 si:izquierdo: z0 < − zαH0: p1 ≥ p2H1: p1 < p2 20
  21. 21. Siendo: 1−α Nivel de confianza α Nivel de significación H0 Hipótesis nula H1 Hipótesis alternativa µ Media poblacional x Media muestral σ Desviación típica poblacional S Desviación típica muestral p Proporción de la población pˆ Proporción de la muestra n Tamaño de la muestra z0 Estadístico del contraste que sigue una distribución normal de Gauss t0 Estadístico del contraste que sigue una distribución t-Student de Gosset F0 Estadístico del contraste que sigue una distribución F de Fisher-Snedecor χ 02 Estadístico del contraste que sigue una distribución ji-cuadrado de Pearson zα Punto porcentual de la distribución normal de Gauss con probabilidad superior α t (α ,ν ) Punto porcentual de la distribución t-Student de Gosset con probabilidad superior α con ν grados de libertad χ (α ,ν ) Punto porcentual de la distribución ji-cuadrado χ 2 de Pearson con probabilidad 2 superior α y con ν grados de libertad F (α , ν1 , ν 2 ) Punto porcentual de la distribución F de Fisher-Snedecor con probabilidad superior α y con grados de libertad ν 1 y ν 2 21
  22. 22. Anexo 4Fórmulas de estadística de 1 variable ∑ xi niMedia aritmética x= NVarianza (s2) y ∑ xi2 ni ∑ xi2 nidesviación típica (s) s2 = − x2 ; s= − x2 N N sCoeficiente de CV =variación x k⋅N − N i−1Percentiles Pk = L + a 100 ni k⋅N − N i−1Deciles Dk = L + a 10 ni k⋅N − N i−1Cuartiles Qk = L + a 4 ni N − N i −1Mediana Me = L + a 2 , Me = P50 = D5 = Q2 ni ∆1Moda Mo = L + a ∆1 = ni − ni−1 , ∆ 2 = ni − ni+1 ∆1 + ∆ 2 Para intervalos desiguales se usan densidades de frecuenciaMomentos de orden k Respecto a la media: mk = ∑ (x i − x ) k ni N Respecto al origen: ak = ∑ x ni k i N m3Asimetría g1 = s3 mCurtosis g 2 = 44 − 3 s 22
  23. 23. Siendo: N Número de valores L Límite inferior de la clase correspondiente a Amplitud de la clase correspondiente Ni-1 Frecuencia acumulada de la clase anterior ni Frecuencia de la clase correspondiente ni-1 Frecuencia de la clase anterior ni+1 Frecuencia de la clase siguiente 23
  24. 24. Anexo 5Fórmulas de estadística de 2 variables ∑ xi ni ∑ yi niMedias aritméticas x= ; y= N NVarianzas ∑ xi2 ni ∑ yi2 ni sx = 2 − x2 ; sy = 2 − y2 N NCovarianza ∑ xi yi ni sx y = 2 −x y NCoeficiente de sx y r=correlación de Pearson sx sy sx yRegresión y− y = (x − x ) → y = a+b xLINEAL s x2RegresiónLOGARÍTMICA y− y = sln x y 2 sln x (ln x − ln x ) → y = a + b lnx s x ln yRegresión ln y − ln y = (x − x ) → y = a·b XEXPONENCIAL s x2RegresiónPOTENCIAL ln y − ln y = sln x ln y s 2 (ln x − ln x ) → y = a·x b ln xRegresiónCUADRÁTICA → y = a x2 + b x + c 24
  25. 25. Anexo 6Fórmulas de los teoremas de la Probabilidad Total y BayesTeorema de la Probabilidad total P( B) = P( A1 ) ⋅ P( B / A1 ) + P( A2 ) ⋅ P( B / A2 ) + K + P( An ) ⋅ P( B / An )Teorema de Bayes P( Ai ) ⋅ P( B / Ai ) A1 A2 ... AnP( Ai / B) = P( B) B 25
  26. 26. Anexo 7Fórmulas de probabilidad para dos sucesos A y BSuceso seguro E: P(E)=1 E A BSuceso imposible ∅: P(∅)=0Suceso opuesto: P( A ) = 1 − P( A) P( B ) = 1 − P ( B )Sucesos incompatibles: P( A ∩ B ) = 0Sucesos independientes: P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B)Unión de sucesosincompatibles: P( A ∪ B) = P( A) + P( B)Unión de sucesoscompatibles: P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)Intersección de sucesosindependientes: P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)Intersección de sucesos dependientes(Probabilidad compuesta): P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B / A)Diferencia de sucesos: P( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) P( B − A) = P( B) − P( A ∩ B)Leyes de De Morgan: P( A ∪ B) = P( A ∩ B ) P( A ∩ B) = P( A ∪ B ) P( A ∩ B) P( A ∩ B)Probabilidad condicionada: P( A / B) = , P( B / A) = P( B) P( A) 26
  27. 27. EspecificacionesDescripción HEstadis. Aplicación informática para entorno Windows para cálculos de estadística y probabilidad.Precisión de salida Variable entre 8 y 10 dígitos exactos.Precisión interna 16 dígitos.Tipos de cálculo: 7 tipos: Contraste de hipótesis Intervalo de confianza Distribuciones de probabilidad Estadística de 1 variable Estadística de 2 variables Teoremas de la probabilidad Total y Bayes Probabilidad para dos sucesos A y BDimensiones Ancho = 1024 píxeles, alto = 732 píxeles Marcas comercialesVaxaSoftware y el logotipo Vaxa son marcas comerciales de Vaxa Software.Windows es una marca comercial registrada o una marca comercial de Microsoft Corporation en losEstados Unidos de América y/o en otros países.PDF es una marca comercial o marca comercial registrada de Adobe Systems Incorporated en losEstados Unidos y/o en otros países.Todas las demás marcas comerciales son propiedad de sus respectivos propietarios. 27

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