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Una forma geométrica de medir irracionalidad

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Presentamos una forma geométrica de describir la irracionalidad de un número utilizando el área
de un sector circular A(r). Establecemos una conexión entre la expansión en fracciones continuas
de un número real y encontramos cotas para A(r), cuando r tiende a infinito por medio de describir
el comportamiento asintótico de las razones de los denominadores de las convergentes.

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Una forma geométrica de medir irracionalidad

  1. 1. Una forma geom´etrica de medir irracionalidad Pedro Morales-Almaz´an Department of Mathematics The University of Texas at Austin pmorales@math.utexas.edu Universidad del Valle de Guatemala Guatemala, 6 de enero de 2016 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  2. 2. “Los problemas no pueden ser resueltos al mismo nivel de pensamiento en el que fueron generados.” Albert Einstein Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  3. 3. Historia Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  4. 4. Historia ¿Qu´e tan irracional puede ser un n´umero? Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  5. 5. Historia ¿Qu´e tan irracional puede ser un n´umero? α ∈ Q, α /∈ Q Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  6. 6. Historia Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  7. 7. Historia • La irracionalidad es una propiedad, no una medida. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  8. 8. Historia • La irracionalidad es una propiedad, no una medida. • Todo real es aproximable por racionales. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  9. 9. Historia Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  10. 10. Historia Medir irracionalidad Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio de analizar el conjunto de racionales p/q tales que α − p q < 1 qµ , para distintos valores de µ. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  11. 11. Historia Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  12. 12. Historia lim n→∞ pn qn = α Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  13. 13. Historia lim n→∞ pn qn = α 1 Raz´on de crecimiento de qn Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  14. 14. Historia lim n→∞ pn qn = α 1 Raz´on de crecimiento de qn 2 La sucesi´on pn qn m´as eficiente (qn creciente) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  15. 15. Interpretaci´on geom´etrica Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  16. 16. Interpretaci´on geom´etrica Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  17. 17. Interpretaci´on geom´etrica 1 α es la pendiente de la recta L Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  18. 18. Interpretaci´on geom´etrica 2 El sector circular Sr es sim´etrico al rededor de L. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  19. 19. Interpretaci´on geom´etrica 3 Sr no contiene ning´un punto entero. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  20. 20. Interpretaci´on geom´etrica 4 Medir el ´area A(r) de Sr . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  21. 21. Problema Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  22. 22. Problema Analizar el comportamiento de A(r) cuando r → ∞. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  23. 23. Gr´aficas de A(r) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  24. 24. Gr´aficas de A(r) (e) α = e (f) α = π (g) α = √ 2 (h) α = √ 3 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  25. 25. Definiciones Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  26. 26. Definiciones θ(r) = 2 arctan(α) − arctan p q , p q ∈ Q y p2 + q2 < r2 . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  27. 27. Definiciones A(r) = r2 2 θ(r) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  28. 28. Fracciones Continuas h0 = a0 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  29. 29. Fracciones Continuas h1 = a0 + 1 a1 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  30. 30. Fracciones Continuas h2 = a0 + 1 a1 + 1 a2 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  31. 31. Fracciones Continuas h3 = a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  32. 32. Fracciones Continuas h = a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 ... Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  33. 33. Fracciones Continuas h = a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 ... h = [a0; a1, a2, a3, . . . ] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  34. 34. Fracciones continuas: Ejemplos Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  35. 35. Fracciones continuas: Ejemplos 1 10 7 = [1; 2, 3] = 1 + 1 2 + 1 3 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  36. 36. Fracciones continuas: Ejemplos 1 10 7 = [1; 2, 3] = 1 + 1 2 + 1 3 2 φ = [1; 1] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  37. 37. Fracciones continuas: Ejemplos 1 10 7 = [1; 2, 3] = 1 + 1 2 + 1 3 2 φ = [1; 1] 3 √ 2 = [1; 2] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  38. 38. Fracciones continuas: Ejemplos 1 10 7 = [1; 2, 3] = 1 + 1 2 + 1 3 2 φ = [1; 1] 3 √ 2 = [1; 2] 4 √ 3 = [1; 1, 2] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  39. 39. Fracciones continuas: Ejemplos 1 10 7 = [1; 2, 3] = 1 + 1 2 + 1 3 2 φ = [1; 1] 3 √ 2 = [1; 2] 4 √ 3 = [1; 1, 2] 5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  40. 40. Propiedades Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  41. 41. Propiedades • Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  42. 42. Propiedades • Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua. • Las convergentes producen la aproximaci´on m´as eficiente de un n´umero. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  43. 43. Propiedades • Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua. • Las convergentes producen la aproximaci´on m´as eficiente de un n´umero. eg. π ∼ [3] = 3 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  44. 44. Propiedades • Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua. • Las convergentes producen la aproximaci´on m´as eficiente de un n´umero. eg. π ∼ [3] = 3 π ∼ [3; 7] = 22 7 = 3.142857... Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  45. 45. Propiedades • Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua. • Las convergentes producen la aproximaci´on m´as eficiente de un n´umero. eg. π ∼ [3] = 3 π ∼ [3; 7] = 22 7 = 3.142857... π ∼ [3; 7, 15] = 333 106 = 3.141509... Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  46. 46. Propiedades • Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua. • Las convergentes producen la aproximaci´on m´as eficiente de un n´umero. eg. π ∼ [3] = 3 π ∼ [3; 7] = 22 7 = 3.142857... π ∼ [3; 7, 15] = 333 106 = 3.141509... π ∼ [3; 7, 15, 1] = 355 113 = 3.141592... Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  47. 47. Propiedades Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  48. 48. Propiedades Aproximaci´on geom´etrica Los puntos enteros m´as cercanos a la recta y = αx est´an dados por las convergentes de α. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  49. 49. Propiedades Aproximaci´on geom´etrica Los puntos enteros m´as cercanos a la recta y = αx est´an dados por las convergentes de α. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  50. 50. Sucesi´on de ´areas Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  51. 51. Sucesi´on de ´areas h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  52. 52. Sucesi´on de ´areas h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1 mn = (p2 n + q2 n) arctan(α) − arctan(hn) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  53. 53. Sucesi´on de ´areas h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1 mn = (p2 n + q2 n) arctan(α) − arctan(hn) Mn = (p2 n+1 + q2 n+1) arctan(α) − arctan(hn) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  54. 54. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  55. 55. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  56. 56. mn = (p2 n + q2 n) arctan(α) − arctan(hn) Mn = (p2 n+1 + q2 n+1) arctan(α) − arctan(hn) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  57. 57. Cotas Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  58. 58. Cotas Teorema sobre cotas inferiores mk < h2 k + 1 α2 + 1 qk qk+1 1 + 3 √ 3 16 (α2 + 1) k , h2 k + 1 α2 + 1 qk qk+1   1 1 + 1 ak+2 qk qk +1 − 3 √ 3 16 (α2 + 1) k   < mk . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  59. 59. Cotas Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  60. 60. Cotas Teorema sobre cotas superiores Mk < h2 k+1 + 1 α2 + 1 qk+1 qk 1 + 3 √ 3 16 (α2 + 1) k , h2 k+1 + 1 α2 + 1 qk+1 qk   1 1 + 1 ak+2 qk qk+1 − 3 √ 3 16 (α2 + 1) k   < Mk . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  61. 61. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  62. 62. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas α = [a0; a1, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  63. 63. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas α = [a0; a1, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn] Teorema 1 Ci + 1 bi+1 ≤ lim inf k→∞ ml+kn+i−1 ≤ 1 Ci . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  64. 64. Teorema lim sup k→∞ Ml+kn+i−1 ≤ Ci , C2 i Ci + 1 bi+1 ≤ lim inf k→∞ Ml+kn+i−1 . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  65. 65. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas √ 3 = [1; 1, 2] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  66. 66. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas √ 3 = [1; 1, 2] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  67. 67. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas √ 2 = [1; 1] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  68. 68. Fracciones continuas eventualmente peri´odicas √ 2 = [1; 1] Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad
  69. 69. Preguntas @p3d40 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Irracionalidad

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