Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Perturbaciones en el efecto Casimir

Hablaré sobre la utilización de funciones Zeta en el estudio de efectos cuánticos de campo, en específico en el efecto Casimir. En el caso de analizar el efecto Casimir en un a superficie de revolución, es posible estudiar la repercusión de introducir perturbaciones en la superficie y como el efecto Casimir reacciona ante esto.

  • Be the first to comment

Perturbaciones en el efecto Casimir

  1. 1. Perturbaciones en el efecto Casimir Pedro Morales-Almaz´an Department of Mathematics The University of Texas at Austin pmorales@math.utexas.edu ECFM, USAC Guatemala, 5 de agosto de 2016 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  2. 2. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  3. 3. Casimir Hendrik Casimir Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  4. 4. Efecto Casimir, 1948 • Vac´ıo • Placas conductoras perfectas • Fluctuaciones de vac´ıo • Presi´on de atracci´on entre placas Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  5. 5. 70 an˜os despu´es • De la teor´ıa a la experimentaci´on (1997) • No solo atracci´on sino tambi´en repulsi´on (1961) • Dependiente de la geometr´ıa (forma y condiciones de frontera) • Manejo de cantidades infinitas (regularizaci´on) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  6. 6. Regularizaci´on: Funci´on Zeta ζ(s) = ∞ n=1 1 ns Bernhard Riemann Leonhard Euler Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  7. 7. Regularizaci´on: Funci´on Zeta ζ(s) = ∞ n=1 1 ns , (s) > 1 Continuaci´on ana´ıtica: ζ(s) = 2s πs−1 sin πs 2 Γ(1 − s)ζ(1 − s) ζ(s) , s ∈ C Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  8. 8. Regularizaci´on en el Efecto Casimir Energ´ıa Casimir E = 1 2 n ωn Problema: ¡Diverge! Soluci´on: Ver el significado, no el valor. Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  9. 9. Funciones Zeta • Frecuencias fundamentales ωn • Ecuaci´on de Klein-Gordon ψ = ω2 ψ • Funci´on Zeta asociada ζ(s) = ω ω−2s • Energ´ıa de vac´ıo E = 1 2 ζ − 1 2 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  10. 10. Superficies de Revoluci´on f (x) > 0 , x ∈ [a, b] M: Superficie de revoluci´on • Inmerso en R3 • Metrica inducida del espacio Euclideano • Funci´on Zeta asociada Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  11. 11. Funci´on Zeta en M M´etrica inducida g = 1 + f (x)2 0 0 f 2(x) Laplaciano ∆ψ = 1 1 + f 2 ∂2ψ ∂x2 + f f − f f 1 + f 2 ∂ψ ∂x + 1 + f 2 f 2 ∂ψ ∂θ Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  12. 12. Funci´on Zeta en M Problema de valores propios ∆ψ(x, θ) = ω2 ψ(x, θ) Con: x ∈ [a, b] , θ ∈ [0, 2π) Condiciones de Dirichlet: ψ(a, θ) = ψ(b, θ) = 0 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  13. 13. Funci´on Zeta en M ζ(s) =Z0(s) + A0(s) Z=(s) + A=(s) . donde las partes finitas Z0 y Z= dependen de las soluciones del problema de valores propios, y las partes sint´oticas A0 y A= dependen solamente de f (x). Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  14. 14. Perturbaci´on en la Energ´ıa FP ζ∆(−1/2) = − 1 π 1 0 dλ λ d dλ log X0(b; ıλ) − 1 π ∞ 1 dλ λ d dλ  log X0(b; ıλ) − log A + − 2 i=−1 λ −i b a dt si (t)   − 1 8π f 2 (a) + f 4 (a) − 2f (a)f (a) f 2(a)(1 + f 2(a))2 + f 2 (b) + f 4 (b) − 2f (b)f (b) f 2(b)(1 + f 2(b))2 − 2 π ∞ k=1 k ∞ 0 du u d du  log Xk (b; ıuk) − log B + − 2 i=−1 k −i b a dt wi (t)   + 1 2π b a dt 1 + f (t)2 − 1 π + ζR (−2) π b a dt f −2 1 + f 2 + 1 24 (f −1 (a) + f −1 (b)) + 1 16 b a dt f −1 f f (1 + f 2)4 . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  15. 15. Perturbaci´on en la Energ´ıa Original Perturbaci´on positiva Perturbaci´on negativa Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  16. 16. Perturbaci´on en la Energ´ıa f (x) → f (x) + g(x) Donde es peque˜no y g(x) es • No-negativa • Suave • Concentrada alrededor de un punto • Cero en x = a y x = b Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  17. 17. Perturbaci´on en la Energ´ıa Plan: • Calcular la funci´on Zeta al hacer el cambio f (x) → f (x) + g(x) • Calcular el cambio en la Energ´ıa calculando la derivada con respecto de • Obtener el cambio instant´aneo al calcular la derivada en = 0 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  18. 18. Perturbaci´on en la Energ´ıa Cambio instant´aneo en Zeta d d =0 ζ − 1 2 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  19. 19. Perturbaci´on en la Energ´ıa Parte asint´otica A0 y A= se calculan reemplazando formalmente f (x) → f (x) + g(x) Parte finita Z0 y Z= se calculan analizando el cambio en las funciones propias enla ecuaci´on de valor propio al hacer f (x) → f (x) + g(x) Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  20. 20. Perturbaci´on: T´erminos asint´oticos • Sustituir f (x) con f (x) + g(x) en las expresiones asint´oticas • Expandir en serie de potencias en • Tomar el coeficiente lineal Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  21. 21. Perturbaci´on en la Energ´ıa FP ζ∆(−1/2) = − 1 π 1 0 dλ λ d dλ log X0(b; ıλ) − 1 π ∞ 1 dλ λ d dλ  log X0(b; ıλ) − log A + − 2 i=−1 λ −i b a dt si (t)   − 1 8π f 2 (a) + f 4 (a) − 2f (a)f (a) f 2(a)(1 + f 2(a))2 + f 2 (b) + f 4 (b) − 2f (b)f (b) f 2(b)(1 + f 2(b))2 − 2 π ∞ k=1 k ∞ 0 du u d du  log Xk (b; ıuk) − log B + − 2 i=−1 k −i b a dt wi (t)   + 1 2π b a dt 1 + f (t)2 − 1 π + ζR (−2) π b a dt f −2 1 + f 2 + 1 24 (f −1 (a) + f −1 (b)) + 1 16 b a dt f −1 f f (1 + f 2)4 . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  22. 22. Perturbaci´on: T´erminos finitos X + f f − f f 1 + f 2 X + (1 + f 2 ) λ2 − k2 f 2 X = 0 • Reemplazar f (x) por f (x) + g(x) • Expandir en serie de potencias en hasta O( 2) • Escribir la soluci´on del sistema perturbado como ˜X = X + ˆX • Encontrar ˆX utilizando variaci´on de par´ametros Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  23. 23. Perturbaci´on en la Energ´ıa FP ζ∆(−1/2) = − 1 π 1 0 dλ λ d dλ log X0(b; ıλ) − 1 π ∞ 1 dλ λ d dλ  log X0(b; ıλ) − log A + − 2 i=−1 λ −i b a dt si (t)   − 1 8π f 2 (a) + f 4 (a) − 2f (a)f (a) f 2(a)(1 + f 2(a))2 + f 2 (b) + f 4 (b) − 2f (b)f (b) f 2(b)(1 + f 2(b))2 − 2 π ∞ k=1 k ∞ 0 du u d du  log Xk (b; ıuk) − log B + − 2 i=−1 k −i b a dt wi (t)   + 1 2π b a dt 1 + f (t)2 − 1 π + ζR (−2) π b a dt f −2 1 + f 2 + 1 24 (f −1 (a) + f −1 (b)) + 1 16 b a dt f −1 f f (1 + f 2)4 . Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  24. 24. Perfil constante Cilindro: f (x) = c Intervalo [0, 1] Perturbaci´on en la Energ´ıa Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  25. 25. Perfil constante Cilindro: f (x) = c Intervalo [0, 10] Perturbaci´on en la Energ´ıa Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  26. 26. Perfil constante Cilindro: f (x) = c Intervalo [0, 100] Perturbaci´on en la Energ´ıa Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  27. 27. Conclusiones • Los bordes son la principal influencia en el efecto Casimir • Perturbaciones alejadas de los bordes no se ven afectadas • El Casimir busca que la curvatura del borde sea normal a la superficie Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  28. 28. Referencias Morales-Almazan P., Zeta function for perturbed surfaces of revolution, arXiv:1412.8575 Jeffres, T. et al. Zeta Function on Surfaces of Revolution, arXiv:1211.4043 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones
  29. 29. Preguntas @p3d40 Pedro Morales-Almaz´an Math Department Perturbaciones

×