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Teoria dos jogos

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De um mini-curso na USP de Ribeirão Preto, em 2006.

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Teoria dos jogos

  1. 1. Sum´rio a Soma Zero Jogos sem Soma Zero Um Minicurso sobre Teoria dos Jogos Pedro Aladar Tonelli Departamento de Matem´tica Aplicada a Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica USPSemana de Matem´tica Aplicada FFCLRP-USP setembro de a 2006 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  2. 2. Sum´rio a Soma Zero Jogos sem Soma ZeroSum´rio a 1 Jogos de Soma Zero Introdu¸˜o ca O Conceito de equil´ıbrio de Nash Os jogos de soma zero e dois jogadores Elementos de Sela e Valor do Jogo e e ´ Estrat´gias Mistas e Estrat´gias Otimas Estrat´gias dominantes e 2 Jogos n˜o soma zero a Defini¸˜es co Exemplos com matrizes de dimens˜o 2a Equil´ ıbrios evolucionariamente est´veis a Bibliografia Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  3. 3. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caO que ´? e Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para e a estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o. a Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplom´tico ou pol´ a ıtico Concorrˆncia na Economia e Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos ca o Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  4. 4. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caO que ´? e Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para e a estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o. a Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplom´tico ou pol´ a ıtico Concorrˆncia na Economia e Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos ca o Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  5. 5. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caO que ´? e Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para e a estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o. a Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplom´tico ou pol´ a ıtico Concorrˆncia na Economia e Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos ca o Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  6. 6. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caO que ´? e Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para e a estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o. a Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplom´tico ou pol´ a ıtico Concorrˆncia na Economia e Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos ca o Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  7. 7. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caO que ´? e Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para e a estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o. a Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplom´tico ou pol´ a ıtico Concorrˆncia na Economia e Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos ca o Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  8. 8. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caHist´rico o Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960) Maynard-Smith (1970) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  9. 9. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caHist´rico o Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960) Maynard-Smith (1970) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  10. 10. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caHist´rico o Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960) Maynard-Smith (1970) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  11. 11. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caHist´rico o Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960) Maynard-Smith (1970) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  12. 12. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caHist´rico o Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960) Maynard-Smith (1970) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  13. 13. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caDivis˜es Comuns o Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos e o Jogos Cooperativos Jogos n˜o Cooperativos a Forma Extensiva Forma Estrat´gica (Normal) e Jogos de Soma Zero Jogos sem Soma Zero Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores. Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  14. 14. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caDivis˜es Comuns o Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos e o Jogos Cooperativos Jogos n˜o Cooperativos a Forma Extensiva Forma Estrat´gica (Normal) e Jogos de Soma Zero Jogos sem Soma Zero Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores. Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  15. 15. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caDivis˜es Comuns o Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos e o Jogos Cooperativos Jogos n˜o Cooperativos a Forma Extensiva Forma Estrat´gica (Normal) e Jogos de Soma Zero Jogos sem Soma Zero Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores. Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  16. 16. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caDivis˜es Comuns o Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos e o Jogos Cooperativos Jogos n˜o Cooperativos a Forma Extensiva Forma Estrat´gica (Normal) e Jogos de Soma Zero Jogos sem Soma Zero Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores. Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  17. 17. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPrimeiras defini¸˜es co Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos a e seguintes elementos: Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito). Estrat´gias: Σi (quase sempre finito). e Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento) Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma e e vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias. e Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  18. 18. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPrimeiras defini¸˜es co Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos a e seguintes elementos: Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito). Estrat´gias: Σi (quase sempre finito). e Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento) Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma e e vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias. e Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  19. 19. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPrimeiras defini¸˜es co Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos a e seguintes elementos: Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito). Estrat´gias: Σi (quase sempre finito). e Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento) Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma e e vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias. e Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  20. 20. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPrimeiras defini¸˜es co Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos a e seguintes elementos: Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito). Estrat´gias: Σi (quase sempre finito). e Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento) Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma e e vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias. e Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  21. 21. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caDilema dos Prisioneiros O Jogo: Dois prisioneiros s˜o mantidos em escrit´rios separados e a o o promotor do caso oferece a cada um o seguinte: caso ele testemunhe contra o comparsa e este n˜o testemunhar contra ele, a sua pena ser´ de 1 ano de pris˜o cabendo a seu colega cumprir 10 a a anos. Caso o comparsa tamb´m testemunhe contra ele sua pena e ser´ de 5 anos. Se, todavia, ambos se recusarem a testemunhar a um contra o outro, ambos passar˜o dois anos na cadeia. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  22. 22. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caTabela de pagamentos do dilema dos prisioneiros N T N (−2, −2) (−10, −1) T (−1, −10) (−5, −5) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  23. 23. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caMelhor Resposta Temos um jogo na forma normal: Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn Um ponto u = (u1 , . . . , un )) ∈ Σ1 × · · · × Σn vamos chamar de um perfil de estrat´gias. e Fixado o perfil u e o jogador i definimos o conjunto melhor resposta de i Mi (u) ∈ Σi como Mi (u) = {vi ∈ Σi : Πi (u1 , . . . , ui−1 , vi , ui+1 , . . . , un ) = max Πi (u1 , . . . , ui−1 , v , ui+1 , . . . , un )} (1) v ∈Σi Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  24. 24. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caO equil´ ıbrio como ponto fixo Note que na defini¸˜o acima n˜o ´ necess´rio que ui ∈ Mi (u). ca a e a Definimos M(u) = M1 (u) × · · · Mn (u) ⊂ Σ1 × · · · × Σn (2) e diremos que um perfil u ´ um Equil´ e ıbrio de Nash quando: u ∈ M(u) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  25. 25. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caInterpreta¸˜o do equil´ ca ıbrio Se u ∈ M(u), para o jogador pi : ui ∈ Mi (u) ⊂ Σi , ou seja, ui ´ a melhor resposta do jogador para o e perfil u. Assim para um perfil de equil´ ıbrio, se um jogador mudar sozinho de estrat´gia ele n˜o pode aumentar, e corre o risco de rebaixar o e a ganho individual Πi . Obs: Pode existir um perfil em que todos os jogadores ganham mais que num perfil de equil´ ıbrio, mas a´ cada jogador precisaria do ı aux´ dos outros. ılio Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  26. 26. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEquil´ ıbrio do dilema dos prisioneiros N T N (−2, −2) (−10, −1) T (−1, −10) (−5, −5) O perfil u = (T , T ) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  27. 27. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caM´todo dos perf´ racionais e ıs Diremos que um perfil u ∈ Σ satisfaz a propriedade da racionalidade individual para o jogador i quando Πi (u) = max Πi (u1 , . . . , v , . . . , un ) (3) v ∈Σi Definimos o conjunto de perfis racionais de i como sendo: Ri = {u ∈ Σ : u tem a prop. de racionalidade individual } ⊂ Σ (4) N = ∩n Ri ´ o conjunto de todos os perf´ de equil´ i=1 e ıs ıbrio do jogo. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  28. 28. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a cadefini¸˜o dos jogos de soma zero ca Num jogo com dois Jogadores (Luiza e Carlos) com as estrat´gias e Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } O jogo tem soma zero se Π1 (ei , fj ) + Π2 (ei , fj ) = 0. Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), −Π1 (ei , fj )) = (aij , bij ) (5) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  29. 29. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExemplo: Pedra, papel, tesoura Luiza e Carlos est˜o jogando Pedra, Papel e Tesoura, eles tem o a mesmo conjunto de estrat´gias Σ = {R, P, T } e   0 −1 1 A= 1 0 −1 (6) −1 1 0 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  30. 30. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caElementos de sela Se (ei , fj ) for um par de equil´ ıbrio ent˜o: a aij ≥ akj ∀k ∈ {1, . . . , n} (7) − aij ≥ −ail ∀l ∈ {1, . . . , m} (8) Dada uma matriz A ∈ Mn×m um elemento aij ´ chamado elemento e de sela da matriz A quando satisfaz as duas rela¸˜es co simultaneamente: aij = max akj para k ∈ {1, . . . , n} (9) k aij = min ail para l ∈ {1, . . . , m} (10) l Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  31. 31. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caexemplo Vejamos um exemplo, a matriz   4 0 −1 A= 2 1 3  (11) −2 0 4 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  32. 32. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPropriedades dos elementos de sela Proposi¸˜o ca Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A, ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq a e a No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o a iguais. Pode n˜o haver elementos de sela. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  33. 33. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPropriedades dos elementos de sela Proposi¸˜o ca Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A, ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq a e a No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o a iguais. Pode n˜o haver elementos de sela. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  34. 34. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caPropriedades dos elementos de sela Proposi¸˜o ca Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A, ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq a e a No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o a iguais. Pode n˜o haver elementos de sela. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  35. 35. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  36. 36. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  37. 37. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  38. 38. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  39. 39. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  40. 40. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  41. 41. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela. a Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  42. 42. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExemplo: estrat´gia mista e Digamos que a matriz do jogo seja: 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 Esta matriz n˜o tem ponto de Sela. a Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs. e e (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo? Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  43. 43. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExemplo: estrat´gia mista e Digamos que a matriz do jogo seja: 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 Esta matriz n˜o tem ponto de Sela. a Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs. e e (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo? Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  44. 44. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExemplo: estrat´gia mista e Digamos que a matriz do jogo seja: 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 Esta matriz n˜o tem ponto de Sela. a Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs. e e (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo? Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  45. 45. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExemplo: estrat´gia mista e Digamos que a matriz do jogo seja: 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 Esta matriz n˜o tem ponto de Sela. a Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs. e e (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo? Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  46. 46. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExemplo: estrat´gia mista e Digamos que a matriz do jogo seja: 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 Esta matriz n˜o tem ponto de Sela. a Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs. e e (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo? Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  47. 47. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExtens˜o Mista do Jogo a Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn ) Carlos: q = (q1 , . . . , qm ) Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq (M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  48. 48. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExtens˜o Mista do Jogo a Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn ) Carlos: q = (q1 , . . . , qm ) Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq (M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  49. 49. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExtens˜o Mista do Jogo a Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn ) Carlos: q = (q1 , . . . , qm ) Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq (M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  50. 50. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caExtens˜o Mista do Jogo a Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn ) Carlos: q = (q1 , . . . , qm ) Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq (M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  51. 51. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caNo exemplo anterior 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 + 0.40.30.5 + 0.40.20.2 E (p, q) = 0.43200 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  52. 52. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caNo exemplo anterior 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 + 0.40.30.5 + 0.40.20.2 E (p, q) = 0.43200 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  53. 53. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caNo exemplo anterior 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 + 0.40.30.5 + 0.40.20.2 E (p, q) = 0.43200 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  54. 54. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caNo exemplo anterior 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 + 0.40.30.5 + 0.40.20.2 E (p, q) = 0.43200 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  55. 55. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caNo exemplo anterior 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 + 0.40.30.5 + 0.40.20.2 E (p, q) = 0.43200 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  56. 56. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caValor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  57. 57. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caValor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  58. 58. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caValor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  59. 59. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caValor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  60. 60. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caValor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  61. 61. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caValor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  62. 62. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca ´Estrat´gias Otimas e Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax. e o e r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza e e o vL (A) = minq E (r, q) s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se e e o vC (A) = maxp E (p, s) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  63. 63. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca ´Estrat´gias Otimas e Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax. e o e r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza e e o vL (A) = minq E (r, q) s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se e e o vC (A) = maxp E (p, s) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  64. 64. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca ´Estrat´gias Otimas e Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax. e o e r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza e e o vL (A) = minq E (r, q) s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se e e o vC (A) = maxp E (p, s) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  65. 65. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca ´Estrat´gias Otimas e Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax. e o e r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza e e o vL (A) = minq E (r, q) s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se e e o vC (A) = maxp E (p, s) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  66. 66. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca ´Estrat´gias Otimas e Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax. e o e r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza e e o vL (A) = minq E (r, q) s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se e e o vC (A) = maxp E (p, s) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  67. 67. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caTeorema Minmax Teorema Dada uma matriz A temos que existem estrat´gias mistas ´timas e o para o jogador das linhas e das colunas e vC (A) = vL (A). Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  68. 68. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  69. 69. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  70. 70. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  71. 71. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  72. 72. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  73. 73. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  74. 74. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caEstrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
  75. 75. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a caUm resultado para o C´lculo das estrat´gias ´timas a e o Proposi¸˜o ca m n Definindo: E (i, q) = j=1 aij qj e E (p, j) = i=1 aij pi ent˜o: a vC (A) = min max E (i, q) (12) q i vL (A) = max min E (p, j) (13) p j Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

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